Régimes transitoires : la méthode pour ne plus se tromper sur les conditions initiales

Un exercice de régime transitoire se joue souvent en deux lignes : celles où l'on écrit les conditions initiales. L'équation différentielle, presque tout le monde sait l'établir. La résoudre, aussi. Mais au moment de fixer les constantes, une erreur sur la valeur à $t = 0^+$ fausse tout le reste, et le correcteur ne peut plus rien compter.

Voici la règle, les deux pièges classiques, et un exemple.

La règle : deux grandeurs sont continues, et seulement deux

Dans un circuit, l'énergie stockée ne peut pas sauter d'une valeur à une autre en un temps nul, parce que cela demanderait une puissance infinie. Or l'énergie d'un condensateur vaut $\frac12 C u_C^2$ et celle d'une bobine $\frac12 L i_L^2$. Donc :

• la tension aux bornes d'un condensateur est continue : $u_C(0^+) = u_C(0^-)$ ;
• le courant qui traverse une bobine est continu : $i_L(0^+) = i_L(0^-)$.

Rien d'autre n'est continu. Le courant d'un condensateur peut sauter. La tension aux bornes d'une bobine peut sauter. La tension aux bornes d'une résistance saute dès que le courant saute.

C'est tout ce qu'il faut retenir. Le reste se déduit.

Piège 1 : appliquer la continuité à la mauvaise grandeur

Sur les copies, on lit souvent, pour un circuit RC que l'on ferme à $t = 0$ : « le courant était nul avant la fermeture, donc $i(0^+) = 0$ ». C'est faux. Le courant d'un circuit RC n'est pas une grandeur continue.

Ce qu'il faut écrire : le condensateur est déchargé, donc $u_C(0^-) = 0$, et par continuité $u_C(0^+) = 0$. À cet instant, la loi des mailles donne $E = R\, i(0^+) + u_C(0^+)$, soit $i(0^+) = E / R$. Le courant saute de $0$ à $E / R$ : le condensateur déchargé se comporte, à l'instant de la fermeture, comme un fil.

Même chose, dans l'autre sens, pour la bobine : à la fermeture d'un circuit RL, le courant reste nul, et c'est la tension $u_L$ qui saute à $E$.

Piège 2 : deviner la dérivée initiale

Pour un circuit du second ordre, il faut deux conditions initiales : la valeur de $u_C$ à $0^+$ et sa dérivée. Et là, on lit : « le circuit est au repos, donc $\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(0^+) = 0$ ».

Parfois c'est vrai. Souvent c'est faux. La dérivée initiale ne se devine pas, elle se calcule par l'autre dipôle :

$\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(0^+) = \frac{i(0^+)}{C}, \qquad \text{et } i(0^+) = i_L(0^-) \text{ par continuité du courant de la bobine.}$

Si aucun courant ne circulait avant la manœuvre, la dérivée initiale est nulle. Si un courant circulait (par exemple parce que l'on ouvre un interrupteur dans un circuit en régime permanent), elle ne l'est pas, et l'oublier change complètement la solution.

Exemple : décharge d'un condensateur dans une bobine

Un condensateur $C$ chargé sous $U_0$ est relié à $t = 0$ à une bobine $L$ en série avec une résistance $R$. On cherche $u_C(t)$ en régime pseudo-périodique.

Conditions initiales. Continuité de $u_C$ : $u_C(0^+) = U_0$. Continuité de $i_L$ : $i(0^+) = 0$, donc $\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(0^+) = 0$.

Solution. Avec $\alpha = \dfrac{R}{2L}$ et $\omega$ la pseudo-pulsation, la forme générale est $u_C = e^{-\alpha t}(A \cos \omega t + B \sin \omega t)$. La première condition donne $A = U_0$. La seconde donne $-\alpha A + \omega B = 0$, soit $B = \dfrac{\alpha}{\omega} U_0$ :

$u_C(t) = U_0\, e^{-\alpha t} \left(\cos \omega t + \frac{\alpha}{\omega} \sin \omega t\right).$

Le terme en sinus n'est pas un détail : sans lui, la dérivée à l'origine vaudrait $-\alpha U_0$, ce qui correspondrait à un courant initial non nul dans la bobine. C'est l'erreur la plus fréquente sur cet exercice, et elle coûte la question entière.

Ce qu'il faut vérifier avant d'encadrer

Trois contrôles prennent trente secondes :

1. À $t = 0^+$, la solution redonne bien la valeur imposée par la continuité.
2. Quand $t \to \infty$, elle redonne le régime permanent, que l'on lit sur le circuit avec le condensateur ouvert et la bobine remplacée par un fil.
3. L'argument de chaque exponentielle et de chaque sinus est sans dimension.

Une solution qui échoue à l'un des trois est fausse, quel que soit le soin du calcul intermédiaire.

Pour aller plus loin

Dans Prepa Help, le chapitre « Régimes transitoires » de physique de première année reprend cette méthode avec quatorze fiches, vingt-cinq exercices corrigés en trois temps (indications, correction détaillée, méthodes à retenir), les schémas de chaque circuit et les pièges relevés sur les copies. Les programmes marocain et français sont couverts, avec leurs différences signalées.