Montages ALI en PSI : inverseur, intégrateur, hystérésis

Un ALI fonctionne en régime linéaire quand la sortie est ramenée sur l'entrée inverseuse et que le montage est stable : avec un ALI idéal, on écrit alors $V_+ = V_-$, ce qui donne par exemple $V_s = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)V_e$ pour le non inverseur et $V_s = -\frac{R_2}{R_1}V_e$ pour l'inverseur. Sans rétroaction, ou avec une rétroaction sur la seule entrée non inverseuse, il sature : $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ si $\varepsilon = V_+ - V_- > 0$, $-V_{\mathrm{sat}}$ si $\varepsilon < 0$. La position de la rétroaction n'est qu'un indice ; c'est l'étude de stabilité qui le justifie.

Le modèle, le suiveur, le non inverseur, la mise en cascade et les comparateurs sont communs à toutes les classes concernées. L'inverseur et l'intégrateur sont au programme de PSI, de PT et des classes marocaines (PSI, TSI, MP) ; l'étude de la stabilité avec le modèle du premier ordre est réservée à la PSI et à la PT.

Tableau des montages usuels

L'ALI est supposé idéal (courants d'entrée nuls, résistance de sortie nulle, gain infini), et $V_{\mathrm{sat}} \approx 14\ \text{V}$ pour une alimentation $\pm 15\ \text{V}$.

$R_2$ est toujours la résistance de retour vers la sortie. Le cycle du comparateur inverseur est parcouru dans le sens opposé à celui du non inverseur.

Méthode en quatre étapes

1. Repérer la rétroaction et choisir le régime. Sortie reliée à la seule entrée $-$ : régime linéaire probable, $V_+ = V_-$. Pas de rétroaction, ou rétroaction sur la seule entrée $+$ : saturation. Rétroaction sur les deux entrées : seule l'étude de stabilité tranche.
2. Exprimer $V_+$ et $V_-$. Diviseur de tension (justifié par $i_+ = i_- = 0$) ou théorème de Millman aux entrées, jamais au nœud de sortie, dont le courant vient de l'alimentation.
3. Conclure. En régime linéaire, poser $V_+ = V_-$ et isoler $V_s$ (impédances complexes en régime sinusoïdal). En saturation, chercher la valeur de $V_e$ qui annule $\varepsilon$ pour chacun des deux états de sortie : ce sont les seuils.
4. Vérifier. Contrôler $|V_s| < V_{\mathrm{sat}}$ et un cas limite ($R_2 = 0$ donne le suiveur). En PSI et en PT, le modèle du premier ordre, $\tau\frac{\mathrm{d}V_s}{\mathrm{d}t} + V_s = \mu_0\varepsilon$, justifie le régime par le signe des coefficients.

Exercice 1 : seuils d'un comparateur à hystérésis

Un comparateur à hystérésis non inverseur reçoit $V_e$ à travers $R_1 = 22\ \text{k}\Omega$ ; une résistance $R_2 = 100\ \text{k}\Omega$ relie la sortie à l'entrée $+$, et l'entrée $-$ est à la masse. $V_{\mathrm{sat}} = 14\ \text{V}$. (1) Justifier le régime de fonctionnement. (2) Calculer les seuils. (3) L'entrée est une sinusoïde de $5{,}0\ \text{V}$ d'amplitude et de $1{,}0\ \text{kHz}$ : décrire la sortie et calculer le retard des basculements. (4) Même question pour une amplitude de $2{,}0\ \text{V}$.

1. Régime. La seule rétroaction se fait sur l'entrée $+$ : le régime linéaire est instable, la sortie est saturée, $V_s = \pm V_{\mathrm{sat}}$ selon le signe de $\varepsilon$.

2. Seuils. Aucun courant n'entre dans l'ALI, donc le théorème de Millman à l'entrée $+$ donne

$V_+ = \frac{R_2V_e + R_1V_s}{R_1 + R_2}, \qquad V_- = 0.$

$\varepsilon$ change de signe pour $V_e = -\frac{R_1}{R_2}V_s$. Avec $V_B = \frac{R_1}{R_2}V_{\mathrm{sat}} = 0{,}22 \times 14 = 3{,}08\ \text{V}$ :

• depuis $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$, la sortie bascule à $-V_{\mathrm{sat}}$ quand $V_e$ descend sous $-3{,}08\ \text{V}$ ;
• depuis $V_s = -V_{\mathrm{sat}}$, elle bascule à $+V_{\mathrm{sat}}$ quand $V_e$ dépasse $+3{,}08\ \text{V}$.

3. Amplitude $5{,}0\ \text{V}$. La sortie est un carré de $\pm 14\ \text{V}$, de même fréquence. Chaque basculement a lieu quand $|V_e| = 3{,}08\ \text{V}$, soit un retard de phase $\arcsin\frac{3{,}08}{5{,}0} \approx 38°$ après le passage par zéro, c'est-à-dire $\frac{38}{360} \times 1{,}0\ \text{ms} \approx 0{,}11\ \text{ms}$.

4. Amplitude $2{,}0\ \text{V}$. L'entrée n'atteint jamais $\pm 3{,}08\ \text{V}$ : la sortie garde son état initial (fonction mémoire).

Exercice 2 : stabilité et bande passante (PSI en France, PT)

On réalise un non inverseur avec $R_1 = 1{,}0\ \text{k}\Omega$ (côté masse) et $R_2 = 19\ \text{k}\Omega$ (retour). L'ALI suit le modèle du premier ordre, $\mu_0 = 10^5$ et $f_c = 10\ \text{Hz}$. (1) Établir l'équation différentielle de $V_s$ et conclure sur la stabilité. (2) Calculer le gain statique et la fréquence de coupure. (3) On échange par erreur les deux entrées. Partie de $1\ \text{mV}$, en combien de temps la sortie atteint-elle $14\ \text{V}$ ?

1. Équation. $V_+ = V_e$, $V_- = \beta V_s$ avec $\beta = \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 0{,}05$, d'où

$\tau\frac{\mathrm{d}V_s}{\mathrm{d}t} + (1 + \mu_0\beta)V_s = \mu_0V_e.$

Les coefficients $\tau$ et $1 + \mu_0\beta = 5\,001$ sont positifs : le montage est stable.

2. Gain et bande passante. Sous forme canonique,

$G_0 = \frac{\mu_0}{1 + \mu_0\beta} = \frac{10^5}{5\,001} \approx 20{,}0, \qquad f'_c = (1 + \mu_0\beta)f_c = 5\,001 \times 10 \approx 50\ \text{kHz}.$

On retrouve $\frac{1}{\beta} = 1 + \frac{R_2}{R_1} = 20$, le gain de l'ALI idéal, et le produit $G_0f'_c = \mu_0f_c = 10^6\ \text{Hz}$.

3. Entrées échangées. Avec $V_+ = \beta V_s$ et $V_- = V_e$,

$\tau\frac{\mathrm{d}V_s}{\mathrm{d}t} + (1 - \mu_0\beta)V_s = -\mu_0V_e, \qquad 1 - \mu_0\beta = -4\,999 < 0.$

Les coefficients sont de signes opposés : instable. Pour $V_e = 0$, $V_s$ croît comme $e^{t/\theta}$, avec $\tau = \frac{1}{2\pi f_c} \approx 15{,}9\ \text{ms}$ et

$\theta = \frac{\tau}{\mu_0\beta - 1} \approx 3{,}2\ \mu\text{s}, \qquad t = \theta\ln\frac{14}{10^{-3}} \approx 30\ \mu\text{s}.$

Le montage est devenu un comparateur à hystérésis inverseur.

Quelles sont les erreurs classiques ?

• Écrire $V_+ = V_-$ parce que l'ALI est idéal. Il faut aussi le régime linéaire ; dans un comparateur, on n'annule $\varepsilon$ que pour trouver un seuil.
• Confondre les deux gains. Le non inverseur a pour gain $1 + \frac{R_2}{R_1}$, pas $\frac{R_2}{R_1}$ ; le cas $R_2 = 0$ (suiveur, gain $1$) le vérifie.
• Oublier la saturation. Un gain de $20$ appliqué à $1\ \text{V}$ donne une sortie écrêtée vers $14\ \text{V}$.
• Prendre un triangle pour une saturation. Des paliers plats signent la saturation ; des rampes, la vitesse de balayage ($V_m\omega > \sigma$).

Questions fréquentes

Comment savoir si un ALI fonctionne en régime linéaire ?

Une rétroaction sur la seule entrée inverseuse l'indique ; on vérifie ensuite $|V_s| < V_{\mathrm{sat}}$. En PSI et en PT, avec le modèle du premier ordre, le régime est stable si les coefficients de l'équation différentielle de $V_s$ sont de même signe (critère valable aux ordres $1$ et $2$).

Pourquoi le montage intégrateur sature-t-il ?

La moindre composante continue de l'entrée est intégrée indéfiniment, jusqu'à $\pm V_{\mathrm{sat}}$. On place une grande résistance $R'$ en parallèle sur le condensateur : ce pseudo-intégrateur n'intègre que pour $\omega \gg \frac{1}{R'C}$.

Quelle différence entre comparateur simple et comparateur à hystérésis ?

Le comparateur simple bascule à chaque changement de signe de $\varepsilon$, donc plusieurs fois près du seuil si le signal est bruité. Le comparateur à hystérésis a deux seuils ; entre eux, la sortie garde son état, et un bruit plus petit que la demi-largeur du cycle ne la fait pas basculer.

Comment calculer la bande passante d'un non inverseur ?

Avec le modèle du premier ordre, $f'_c = (1 + \mu_0\beta)f_c$ et $G_0 \approx 1 + \frac{R_2}{R_1}$ : leur produit vaut $\mu_0f_c$, de l'ordre du mégahertz. La PSI et la PT françaises l'établissent ; en TSI (France et Maroc) et en MP au Maroc, on le constate en travaux pratiques ; la PSI marocaine étudie celle de l'inverseur, $f'_c \approx \mu_0f_c\frac{R_1}{R_1 + R_2}$.

Le critère des signes suffit-il pour juger la stabilité ?

Pour un système d'ordre $1$ ou $2$, oui : il est stable si et seulement si tous les coefficients de l'équation homogène sont non nuls et de même signe. À l'ordre $3$, ce n'est plus suffisant : $s''' + s'' + s' + 2s = 0$ a tous ses coefficients positifs et pourtant des solutions divergentes.

Pour aller plus loin

Le chapitre « Amplificateur linéaire intégré, stabilité et rétroaction » (PSI, PT, TSI2, MP au Maroc) détaille les limites de l'ALI réel, les mesures à l'oscilloscope et la stabilité des montages bouclés ; sa page publique montre un extrait et le plan. L'oscillateur de relaxation, qui associe un intégrateur et un comparateur à hystérésis, est traité dans Oscillateurs électroniques. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière, et tu peux poser une question sur WhatsApp.