Performances d'un système asservi : stabilité, précision, rapidité (cours et exercices corrigés de génie électrique TSI2)

Q: Comment relier le dépassement à l'amortissement et à la marge de phase ?

Pour un deuxième ordre d'amortissement xi compris entre 0 et 1, le premier dépassement relatif vaut D_1 = exp (-(πxi)/(√(1-xi^2)) ) : 16,3 % pour xi = 0,5, 5 % pour xi = 0,69, aucun dépassement pour xi ≥ 1. Pour une FTBO de la forme (K)/(p(1+τ p)), l'amortissement de la boucle fermée vaut à peu près la marge de phase en degrés divisée par 100, jusqu'à 60 degrés environ : une marge de 45° donne xi ≈ 0,42 et un dépassement d'environ 23 %. C'est un ordre de grandeur pour contrôler un résultat, pas une formule exacte, et c'est la marge de phase, pas la marge de gain, qui renseigne sur le dépassement.

TSI 2
Offert à l'essai

Stabilité (pôles, critère du revers, marges de gain et de phase, gain limite de stabilité), précision (erreurs statique et de traînage, classe du système, perturbations), rapidité (temps de réponse à 5 %, bande passante) et amortissement ; lecture des performances sur les réponses temporelle et fréquentielle et vérification d'un cahier des charges.

19méthodes
33exercices corrigés
3problèmes
21pièges
94figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Un asservissement doit être stable, précis et rapide, et chaque performance se chiffre avant de se comparer au cahier des charges. Ce chapitre de génie électrique de deuxième année apprend à décider de la stabilité par les pôles de la FTBF et par le critère du revers dans le plan de Bode, à calculer et lire les marges de phase et de gain et un gain limite de stabilité, à relier la marge de phase à l'amortissement et au dépassement, à calculer l'écart statique et l'écart de traînage à partir de la classe de la FTBO, à trouver l'écart dû à une perturbation selon la position de l'intégrateur, à déterminer un temps de réponse à 5 % et une bande passante, et à donner les causes d'une erreur statique résiduelle en asservissement de position. Il suit la partie A.1 « Performances d'un système asservi » du programme de génie électrique de la TSI2 au Maroc (version de 2024), avec des exercices corrigés et des problèmes tirés des sujets du CNC de TSI.

Ce que tu sauras faire

Un panneau photovoltaïque monté sur un suiveur doit rester face au soleil toute la journée. Son asservissement de position doit répondre à trois questions : la position mesurée revient-elle à l'équilibre sans osciller sans fin (stabilité) ? Le panneau atteint-il la position demandée, malgré le vent qui pousse sur sa surface (précision) ? L'atteint-il assez vite (rapidité) ? Ce chapitre donne les outils pour répondre à ces trois questions, avec des chiffres, et pour les comparer au cahier des charges. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

écrire la FTBO et la FTBF d'un système bouclé et les mettre sous forme canonique ;
décider de la stabilité d'un système bouclé par les pôles de sa FTBF ou par le critère du revers dans le plan de Bode ;
calculer et lire sur un diagramme de Bode les marges de phase et de gain, et un gain limite de stabilité ;
relier l'amortissement, le dépassement et la marge de phase ;
calculer l'écart statique et l'écart de traînage, vis-à-vis de la consigne et vis-à-vis d'une perturbation, et les relier à la classe de la FTBO et à la position des intégrateurs ;
donner des causes à l'erreur statique pas tout à fait nulle d'un asservissement de position ;
déterminer un temps de réponse à 5 % et une bande passante ;
expliquer l'influence du gain de boucle sur les trois performances ;
simuler une boucle en Python et y montrer l'effet d'une saturation ;
vérifier un cahier des charges et conclure sur une copie ou un document réponse.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Fonctions de transfert

$H_{BO} = A\,B$ (blocs de la boucle seulement) ; $H_{BF} = \frac{A}{1 + A\,B}$ .
Forme canonique $\frac{K}{p^{\alpha}}\cdot\frac{1 + \cdots}{1 + \cdots}$ : gain $K$ , classe $\alpha$ (intégrateurs), ordre $n$ .
Premier ordre $\frac{K}{1 + \tau p}$ : 63 % à $\tau$ , $t_{r5\%} = 3\tau$ . Deuxième ordre $\frac{K}{1 + \frac{2\xi}{\omega_0}p + \frac{p^2}{\omega_0^2}}$ .
Valeur finale : $\lim_{t\to\infty} s = \lim_{p\to0} p\,S(p)$ , si le système est stable.

À retenir Les trois performances

Performance	Critère	Outil	Fourni par les sujets
stabilité	pôles, $M_\varphi$ , $M_G$ , $D_1$	équation caractéristique, Bode de la FTBO, revers	Bode, abaque de $D_1$
précision	$\varepsilon_s$ , $\varepsilon_t$ , écart dû à une perturbation	valeur finale, classe et gain de la FTBO
rapidité	$t_{r5\%}$ , $\omega_{BP}$ , $\omega_{c0}$	formes canoniques, abaque, Bode	abaque de $t_{r5\%}\,\omega_0$

À retenir Stabilité

Stable si et seulement si tous les pôles de la FTBF (racines de $1 + H_{BO}(p) = 0$ ) ont une partie réelle strictement négative.
Degré 1 ou 2 : coefficients non nuls et de même signe. Degré 3 ou plus : racines calculées, ou revers. Routh hors programme.
Critère du revers (FTBO sans pôle instable) : phase au-dessus de $-180^\circ$ en $\omega_{c0}$ .
$M_\varphi = 180^\circ + \arg H_{BO}(j\omega_{c0})$ ; $M_G = -20\log\lvert H_{BO}(j\omega_{-180})\rvert$ ; $M_G$ infinie si la phase n'atteint pas $-180^\circ$ .
Gain limite : $K_{\lim} = \frac{1}{\lvert G(j\omega_{-180})\rvert}$ .
Causes d'instabilité : gain élevé, intégrateurs ( $-90^\circ$ chacun), retard pur ( $-T\omega$ , gain inchangé).
Ordres de grandeur : $M_\varphi \approx 45^\circ$ , $M_G \approx 10\ \text{dB}$ ; la valeur qui compte est celle du cahier des charges.

À retenir Stabilité pratique

$D_1 = \exp\left(-\frac{\pi\xi}{\sqrt{1 - \xi^2}}\right)$ ; $\xi = 0{,}5$ : 16,3 % ; $\xi = 0{,}69$ : 5 %.
FTBO $\frac{K}{p(1 + \tau p)}$ : $\xi \approx \frac{M_\varphi}{100}$ (ordre de grandeur, jusqu'à $60^\circ$ ).

À retenir Précision (retour unitaire, boucle stable)

Classe	Échelon $e_0$	Rampe $a$
0	$\frac{e_0}{1 + K_{BO}}$	infini
1	0	$\frac{a}{K_{BO}}$
2	0	0

Perturbation : $\varepsilon_P = -\frac{A_2}{1 + A_1 A_2}P$ . Un intégrateur en amont annule l'écart dû à une perturbation en échelon ; des intégrateurs seulement en aval laissent $-\frac{P_0}{K_1}$ .
Asservissement de position : l'intégrateur $\theta = \frac{\Omega}{p}$ est en aval du couple résistant.
Écart du comparateur (V) et erreur de la sortie (rad, tr/min) : facteur $K_c$ du capteur.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Calculer les marges de phase et de gain

Quand l’utiliser

Compétence : résoudre.

La FTBO est donnée par son expression et l'on demande les marges par le calcul, ou pour contrôler une lecture graphique.

Rappel de cours

$\lvert H_{BO}(j\omega_{c0})\rvert = 1$ , $M_\varphi = 180^\circ + \arg H_{BO}(j\omega_{c0})$ ; $\arg H_{BO}(j\omega_{-180}) = -180^\circ$ , $M_G = -20\log\lvert H_{BO}(j\omega_{-180})\rvert$ . Phase d'un premier ordre : $-\arctan(\tau\omega)$ ; d'un intégrateur : $-90^\circ$ .

Démarche

Écrire le module et l'argument de $H_{BO}(j\omega)$ comme produits et sommes de termes simples.
Résoudre $\lvert H_{BO}(j\omega)\rvert = 1$ : en élevant au carré, on obtient souvent une équation du second degré en $\omega^2$ ; garder la racine positive.
Calculer la phase à $\omega_{c0}$ , puis $M_\varphi$ .
Chercher $\omega_{-180}$ : si la phase n'atteint pas $-180^\circ$ , $M_G$ est infinie ; sinon, résoudre $\arg H_{BO} = -180^\circ$ (avec deux arctangentes : $\tau_1\tau_2\omega^2 = 1$ ) et calculer le gain.
Conclure sur la stabilité et comparer aux marges exigées.

Rédaction type

« $\lvert H_{BO}(j\omega)\rvert = 1$ donne $0{,}01\omega^4 + \omega^2 - 100 = 0$ , d'où $\omega_{c0} = 7{,}86\ \text{rad/s}$ ; $M_\varphi = 180^\circ - 90^\circ - \arctan(0{,}786) = 51{,}8^\circ$ . La phase reste au-dessus de $-180^\circ$ : $M_G$ est infinie. Le cahier des charges impose $M_\varphi \ge 45^\circ$ : l'exigence est satisfaite. »

Exemple traité

Plateau tournant d'une machine d'emballage asservi en position (valeurs choisies), FTBO $\frac{10}{p(1 + 0{,}1p)}$ . Module : $\frac{10}{\omega\sqrt{1 + 0{,}01\omega^2}} = 1$ , soit $0{,}01X^2 + X - 100 = 0$ avec $X = \omega^2$ ; $X = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4}}{0{,}02} = 61{,}8$ , $\omega_{c0} = 7{,}86\ \text{rad/s}$ . Phase : $-90^\circ - \arctan(0{,}786) = -128{,}2^\circ$ , $M_\varphi = 51{,}8^\circ$ . Phase toujours au-dessus de $-180^\circ$ : $M_G$ infinie.

Erreurs fréquentes

Prendre une racine négative de l'équation en $\omega^2$ .
Calculer l'arctangente en radians et l'ajouter à des degrés.
Écrire $M_G = 0$ quand la phase n'atteint pas $-180^\circ$ .

Pour s’entraîner

Exercices 6, 12, 16, 17 et 29 ; problèmes 1 et 3.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice L'éolienne : marge, temps de réponse et écart ★★☆

Une éolienne à machine synchrone, sans multiplicateur : le générateur annulaire est logé dans la nacelle, derrière le moyeu.

La vitesse d'une éolienne à machine synchrone est asservie par deux boucles imbriquées : une boucle interne de gain $K_v$ et un correcteur intégral $\frac{K_r}{p}$ en tête de la boucle externe. Le couple électromagnétique vaut $C_e = K_t\,I_q$ . Données : $f = 0{,}5\ \text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s}$ , $J = 0{,}2\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ , $K_t = 0{,}37\ \text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{A}^{-1}$ . Le sujet a réglé $K_v \approx 6{,}22$ et $K_r \approx 8{,}70$ pour obtenir en boucle fermée $m = 0{,}7$ et $\omega_n = 10\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ .

Asservissement de vitesse de l'éolienne : correcteur K_r/p, boucle interne K_v K_t, couple résistant C_r retranché avant \frac{1}{f+Jp}, retours unitaires. — Asservissement de vitesse de l'éolienne : correcteur $K_r/p$ , boucle interne $K_v K_t$ , couple résistant $C_r$ retranché avant $\frac{1}{f+Jp}$ , retours unitaires.

Écrire la FTBO de la boucle externe, la boucle interne étant fermée. Calculer la marge de phase et conclure sur la stabilité.
Donner le temps de réponse à 5 % et le premier dépassement de la boucle fermée.
Calculer l'écart statique vis-à-vis de la consigne, puis vis-à-vis d'un couple résistant constant.

Indications

Méthodes 5, 13 et 14. Réduis d'abord la boucle interne : $\frac{K_vK_t}{f + K_vK_t + Jp}$ .

Correction détaillée

1. $K_vK_t = 2{,}3\ \text{N}\cdot\text{m}$ par unité de commande. La FTBO vaut

H_{BO}(p) = \frac{K_r}{p}\cdot\frac{K_vK_t}{f + K_vK_t + Jp} = \frac{20}{p(2{,}8+0{,}2p)} = \frac{7{,}14}{p(1+0{,}0714p)}.

$\omega_{c0} \approx 6{,}48\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ et $M_\varphi = 90° - \arctan(0{,}0714 \times 6{,}48) \approx 65{,}2°$ . Intégrateur et premier ordre : la phase n'atteint pas $-180°$ , la boucle est stable, avec une marge confortable.

2. Pour $m = 0{,}7$ , l'abaque donne $t_{r5\%}\,\omega_n \approx 2{,}9$ , soit $t_{r5\%} \approx 0{,}29\ \text{s}$ ; $D_1 = e^{-\pi \cdot 0{,}7/\sqrt{0{,}51}} \approx 4{,}6\ \%$ . La règle $m \approx \frac{M_\varphi}{100}$ ne vaut que jusque vers $60°$ de marge : ici, $M_\varphi = 65{,}2°$ correspond à $m = 0{,}7$ et non à $0{,}65$ .

3. Classe 1 : écart statique nul vis-à-vis de la consigne. Le couple résistant entre après l'intégrateur $\frac{K_r}{p}$ : cet intégrateur est en amont de la perturbation, l'écart dû à un couple constant est nul aussi.

Méthodes à retenir

Avec $m = 0{,}7$ , le temps de réponse réduit est minimal, de l'ordre de 3, et le dépassement de 5 % environ : c'est le réglage de référence.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 19 méthodes, 21 pièges corrigés, la carte mentale, 33 exercices corrigés, 3 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Ce chapitre est offert : il s’ouvre en entier avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Rappels de première année
- 1.1 Structure d'un système asservi
- 1.2 Laplace utile
- 1.3 Schéma-blocs, FTBO et FTBF
- 1.4 Forme canonique
- 1.5 Premier ordre
- 1.6 Deuxième ordre
- 1.7 Diagramme de Bode des éléments simples
2. Le cahier des charges d'un asservissement
- 2.1 Trois familles d'exigences
- 2.2 Performances attendues, simulées, mesurées
3. Stabilité
- 3.1 Définition
- 3.2 Condition de stabilité : les pôles de la FTBF
- 3.3 Ordres 1 et 2 : le signe des coefficients
- 3.4 Boucle ouverte et boucle fermée
4. Critère du revers et marges de stabilité dans le plan de Bode
- 4.1 Le point critique
- 4.2 Le critère du revers
- 4.3 Marges de phase et de gain
- 4.4 Ce qui rend un système instable
- 4.5 Gain limite de stabilité
- 4.6 Quelles marges viser
5. Stabilité pratique : amortissement et dépassement
- 5.1 Dépassement d'un deuxième ordre
- 5.2 Marge de phase et amortissement de la boucle fermée
6. Précision vis-à-vis de la consigne
- 6.1 Écart et erreur
- 6.2 Écart à retour unitaire
- 6.3 Classe, gain et précision
- 6.4 Lire la classe et le gain sur le Bode de la FTBO
7. Précision vis-à-vis d'une perturbation
- 7.1 Superposition
- 7.2 Position de l'intégrateur
- 7.3 Asservissement de position et couple résistant
8. Causes d'une erreur statique pas tout à fait nulle en position
9. Rapidité
- 9.1 Temps de réponse à 5 %
- 9.2 Bande passante
- 9.3 Rapidité et boucle ouverte
10. Le dilemme stabilité, précision, rapidité
- 10.1 Influence du gain de boucle
- 10.2 Influence d'un intégrateur
- 10.3 Un même moteur en vitesse puis en position
11. Non-linéarités : les voir sans les calculer
12. Simuler en Python
13. Vérifier un cahier des charges et répondre sur un document réponse

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Écrire la FTBO et la FTBF et les mettre sous forme canonique
Rendre un écart homogène : retour non unitaire, gain de capteur, unités
Décider de la stabilité par les pôles de la FTBF
Appliquer le critère du revers sur le Bode de la FTBO
Calculer les marges de phase et de gain
Lire les marges sur un Bode fourni et répondre sur le document réponse
Déterminer un gain limite de stabilité
Évaluer l'effet d'un retard pur sur la marge de phase
Lire la classe et le gain de la FTBO sur son diagramme de Bode
Calculer un écart statique et un écart de traînage par le théorème de la valeur finale
Prévoir la précision par la classe et le gain de la FTBO
Calculer l'écart dû à une perturbation
Déterminer un dépassement et un amortissement
Déterminer un temps de réponse à 5 %
Déterminer une bande passante
Lire les performances sur une réponse indicielle et identifier un modèle
Simuler une boucle en Python, mesurer, ajouter une saturation
Expliquer une erreur statique non nulle mesurée en asservissement de position
Vérifier un cahier des charges et conclure

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (13)

Stable ou instable : cinq fonctions de transfert
Le gain et la stabilité de la boucle
Gain, classe et ordre de quatre FTBO
La régulation de vitesse du treuil n'est pas précise
Le débit du respirateur
Vitesse de l'axe X d'une table : traînage et stabilité
Lire la classe et le gain sur deux diagrammes de Bode
Marges sur un diagramme de Bode
Dépassement et temps de réponse du flux d'une motrice
Un amplificateur bouclé : gain contre bande passante
Intégrateur en amont ou en aval de la perturbation
Le retard des colliers chauffants
Gains de capteurs : génératrice tachymétrique et potentiomètre

Entraînement (15)

La régulation du courant d'une liaison à courant continu
La perturbation de la liaison à courant continu
La température de l'extrudeuse : marges et écart
L'éolienne : marge, temps de réponse et écart
La porte d'un bus électrique
Le véhicule hybride ne respecte pas son cahier des charges
Le flux de la motrice avec un correcteur proportionnel
L'axe d'un robot soumis à une charge
Lire la réponse d'un asservissement de vitesse
Marges et gain limite d'un troisième ordre
Le robot d'assistance et la variation de charge
La scie à découpe à la volée : écart nul
Identifier un deuxième ordre sur un relevé, puis prévoir la boucle fermée
Simuler trois gains en Python
L'erreur résiduelle d'un positionneur à codeur

Approfondissement (5)

Le dilemme en littéral
Le retard d'une commande numérique
Robot à câbles : performances d'une boucle de position
Pôles dominants : réduire un troisième ordre
Le thermostat du four : une non-linéarité

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le suivi du soleil par un panneau photovoltaïque : courant, vitesse, position
CNC 2020, filière TSI, Génie électrique, partie D « Asservissement du panneau photovoltaïque », questions Q29 à Q36
L'asservissement de position des panneaux d'un micro-réseau
CNC 2018, filière TSI, Génie électrique, partie C « Étude de l'asservissement de position des panneaux », questions C.1 à C.7 et première phrase de C.8
La régulation de la position des électrodes d'un four à arc
CNC 2025, filière TSI, Génie électrique, partie C « Régulation de la position des électrodes », questions C.1 à C.4

Questions fréquentes

Comment calculer la marge de phase d'un système asservi ?

On travaille sur la FTBO, pas sur la FTBF. On cherche d'abord la pulsation de coupure $\omega_{c0}$ où le gain de la FTBO vaut 0 dB, c'est-à-dire $\lvert H_{BO}(j\omega_{c0})\rvert = 1$ ; pour une FTBO $\frac{K}{p(1+\tau p)}$ , cette condition donne une équation du second degré en $\omega^2$ . La marge de phase vaut alors $M_\varphi = 180^\circ + \arg H_{BO}(j\omega_{c0})$ . Par exemple, pour $\frac{10}{p(1+0{,}1p)}$ , $\omega_{c0} = 7{,}86$ rad/s, la phase y vaut $-128{,}2^\circ$ et $M_\varphi = 51{,}8^\circ$ . Sur un diagramme de Bode fourni, on trace un trait vertical là où le gain coupe 0 dB et on lit l'écart entre la phase et $-180^\circ$ .

Que dit le critère du revers dans le plan de Bode ?

Pour une FTBO sans pôle à partie réelle positive, le système bouclé est stable si, à la pulsation où le gain de la FTBO vaut 0 dB, sa phase est au-dessus de $-180^\circ$ . De façon équivalente, à la pulsation où la phase vaut $-180^\circ$ , le gain doit être négatif en décibels. Le point critique est gain 0 dB et phase $-180^\circ$ à la même pulsation : la boucle fermée oscille alors sans fin. Le critère se lit toujours sur le Bode de la FTBO, jamais sur celui de la FTBF ; les critères de Routh et de Nyquist sont hors programme en TSI au Maroc.

Comment trouver l'écart statique à partir de la classe de la FTBO ?

À retour unitaire et si la boucle fermée est stable, le théorème de la valeur finale donne l'écart. Pour une consigne en échelon $e_0$ , une FTBO de classe 0 et de gain $K_{BO}$ laisse un écart statique $\frac{e_0}{1 + K_{BO}}$ ; dès la classe 1, l'écart statique est nul. Pour une consigne en rampe de pente $a$ , l'écart de traînage est infini en classe 0, vaut $\frac{a}{K_{BO}}$ en classe 1 et est nul en classe 2. Ce tableau ne vaut que pour la consigne : pour une perturbation en échelon, l'écart ne s'annule que s'il y a un intégrateur en amont du point où elle s'applique.

Comment déterminer le temps de réponse à 5 % ?

C'est l'instant à partir duquel la réponse indicielle reste dans la bande de plus ou moins 5 % autour de sa valeur finale. Pour un premier ordre de constante de temps $\tau$ , il vaut $3\tau$ , et non $\tau$ ni $5\tau$ . Pour un deuxième ordre, le produit $t_{r5\%}\,\omega_0$ ne dépend que de l'amortissement $\xi$ et se lit sur l'abaque fourni par les sujets : il est minimal, voisin de 3, pour $\xi$ voisin de 0,7, et vaut 4,75 pour $\xi = 1$ . On garde $\xi$ avec deux ou trois chiffres avant de lire l'abaque, qui fait des sauts près de 0,7, puis on divise par $\omega_0$ .

Qu'est-ce que le gain limite de stabilité et comment le calculer ?

C'est la plus grande valeur du gain de boucle pour laquelle le système bouclé reste stable. Multiplier la FTBO par $K$ translate sa courbe de gain de $20\log K$ décibels sans changer la phase. On écrit la FTBO $K\,G(p)$ , on cherche la pulsation $\omega_{-180}$ où la phase de $G$ vaut $-180^\circ$ , et $K_{\lim} = \frac{1}{\lvert G(j\omega_{-180})\rvert}$ . Pour $\frac{K}{p(1+0{,}1p)(1+0{,}5p)}$ , la phase vaut $-180^\circ$ en $\omega_{-180} = \sqrt{20} \approx 4{,}47$ rad/s, où $\lvert G\rvert = \frac{1}{12}$ : le système est stable pour $0 < K < 12$ . Une FTBO du premier ou du deuxième ordre n'a pas de gain limite : sa marge de gain est infinie.

Comment relier le dépassement à l'amortissement et à la marge de phase ?

Pour un deuxième ordre d'amortissement $\xi$ compris entre 0 et 1, le premier dépassement relatif vaut $D_1 = \exp\left(-\frac{\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\right)$ : 16,3 % pour $\xi = 0{,}5$ , 5 % pour $\xi = 0{,}69$ , aucun dépassement pour $\xi \ge 1$ . Pour une FTBO de la forme $\frac{K}{p(1+\tau p)}$ , l'amortissement de la boucle fermée vaut à peu près la marge de phase en degrés divisée par 100, jusqu'à 60 degrés environ : une marge de $45^\circ$ donne $\xi \approx 0{,}42$ et un dépassement d'environ 23 %. C'est un ordre de grandeur pour contrôler un résultat, pas une formule exacte, et c'est la marge de phase, pas la marge de gain, qui renseigne sur le dépassement.

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