Modélisation cinématique des systèmes : liaisons, graphe et schéma cinématique : cours, méthodes et exercices corrigés

• TSI 1
• Offert à l'essai

Contacts entre solides, classes d'équivalence, degrés de liberté, liaisons normalisées et leurs symboles, graphe des liaisons, schéma cinématique minimal et schéma d'architecture, plan ou en perspective, lecture d'un dessin d'ensemble et d'une maquette numérique, modélisation des montages de roulements, sur des mécanismes réels de la TSI marocaine.

• 19méthodes
• 34exercices corrigés
• 4problèmes
• 20pièges
• 225figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Un portail qui s'ouvre, un portique qui charge un navire, un réducteur qui transmet la puissance d'un moteur : avant de calculer une vitesse ou un effort, l'ingénieur décrit comment les pièces bougent les unes par rapport aux autres, et comment chaque liaison est réalisée. Ce chapitre construit ces modèles, qui servent ensuite à toute la mécanique. Les sujets du CNC les demandent presque toujours dans les premières questions, souvent sur un document réponse. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

• passer d'un système réel, d'une maquette numérique ou d'un dessin d'ensemble à un modèle, en choisissant ce qu'on modélise selon l'étude ;
• repérer les classes d'équivalence cinématique d'un mécanisme, en lisant les encastrements sur un dessin d'ensemble ;
• reconnaître une liaison normalisée à partir de la géométrie du contact, dire ses degrés de liberté et ses caractéristiques géométriques ;
• tracer et lire le graphe des liaisons (graphe de structure) ;
• dessiner le schéma cinématique minimal, en perspective ou dans un plan, avec les symboles normalisés ;
• dessiner le schéma d'architecture d'un guidage à partir des arrêts de ses roulements, puis passer au schéma minimal ;
• compléter un graphe ou un schéma sur un document réponse.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir La démarche

1. Objectif de l'étude (mouvements ou efforts) et phase étudiée.
2. Classes d'équivalence, en partant du bâti 0 ; une couleur et un numéro par classe.
3. Contacts entre classes : géométrie (point, ligne, surface ; plan, cylindre, sphère) et normales.
4. Liaisons normalisées : nom et caractéristique géométrique.
5. Graphe des liaisons, puis schéma minimal ou schéma d'architecture, en perspective ou plan.

À retenir Classes d'équivalence

• Classe : pièces sans mouvement relatif pendant la phase étudiée ; un seul solide indéformable.
• Hors classes : ressorts, courroies, câbles, chaînes, joints, billes et rouleaux des roulements.
• Rattachées à la pièce qu'elles serrent ou immobilisent : visserie, bagues de roulement, clavettes, anneaux élastiques, écrous à encoches, entretoises, pieds de centrage, pièces de réglage immobiles en fonctionnement.
• Encastrement sur un dessin : mise en position (épaulement, centrage, pieds) et maintien en position (vis, écrou, anneau, clavette).

À retenir Degrés de liberté

• Deux solides libres : 6 degrés de liberté ($T_x$, $T_y$, $T_z$, $R_x$, $R_y$, $R_z$).
• Une liaison laisse $n_c$ degrés de liberté et empêche $n_s = 6 - n_c$ mouvements.
• Un degré de liberté n'est pas une inconnue d'effort.
• Torseur cinématique d'une liaison : au chapitre « Cinématique des solides et des systèmes » ; ses composantes non nulles sont les mouvements de la grille.

À retenir Les onze liaisons usuelles (dix normalisées et la linéaire rectiligne)

Liaison	Caractéristique	$n_c$	Mouvements
encastrement	aucune	0	aucun
pivot	axe $(A, \vec{x})$	1	$R_x$
glissière	direction $\vec{x}$	1	$T_x$
hélicoïdale	axe $(A, \vec{x})$, pas $p$	1	$T_x$ et $R_x$ liés
pivot glissant	axe $(A, \vec{x})$	2	$T_x$, $R_x$
sphérique à doigt	centre $A$, doigt $\vec{z}$, rainure de normale $\vec{x}$	2	$R_x$, $R_z$
sphérique (rotule)	centre $A$	3	$R_x$, $R_y$, $R_z$
appui plan	normale $\vec{z}$	3	$T_x$, $T_y$, $R_z$
sphère-cylindre (linéaire annulaire)	centre $A$, axe $(A, \vec{x})$	4	$T_x$, $R_x$, $R_y$, $R_z$
linéaire rectiligne ou cylindre-plan	droite $(A, \vec{x})$, normale $\vec{z}$	4	$T_x$, $T_y$, $R_x$, $R_z$
sphère-plan (ponctuelle)	point $A$, normale $(A, \vec{z})$	5	tous sauf $T_z$

À retenir Caractéristiques et placement des symboles

• Axe = point + vecteur ; direction = vecteur seul ; centre = point ; normale : vecteur (appui plan) ou droite (sphère-plan).
• À direction (glissière, appui plan) : symbole n'importe où, bien orienté.
• À axe (pivot, pivot glissant, hélicoïdale ; sphère-plan) : sur l'axe (sur la normale pour la sphère-plan).
• À centre (sphérique, sphère-cylindre, sphérique à doigt) : au centre, nulle part ailleurs.
• Linéaire rectiligne : dans le plan de sa droite de contact et de sa normale.
• Hélicoïdale de pas $p$ (mm par tour), pas à droite : $\lambda = \dfrac{p\,\theta}{2\pi}$.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Quatre liaisons dessinées en perspective ★☆☆

Un exercice préliminaire de concours donne quatre liaisons entre un solide 0 et un solide 1, chacune dessinée en perspective avec son propre trièdre. Les trièdres ne sont pas tous orientés de la même façon.

Pour chacune des quatre liaisons :

1. donner son nom et sa caractéristique géométrique (axe, direction ou centre) ;
2. donner son nombre de degrés de liberté $n_c$ et écrire ses mouvements possibles dans une grille translations et rotations selon $\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$.

Indications

Méthodes 5, 6, 10 et 16. Regardez d'abord la forme de la pièce de 0 (cylindre, prisme, calotte), puis ce qui empêche ou non la tige de 1 de coulisser. Lisez ensuite l'axe sur le trièdre de la case, et non sur la verticale de la feuille.

Correction détaillée

Case A : un cylindre traversé par un arbre, sans aucun trait d'arrêt : l'arbre peut tourner et coulisser. Liaison pivot glissant d'axe $(A,\vec{x})$, $n_c = 2$ : translation selon $\vec{x}$ et rotation autour de $\vec{x}$.

Case C : un prisme rectangulaire traversé par une tige : la section non circulaire empêche toute rotation, il reste le coulissement. Liaison glissière de direction $\vec{z}$, $n_c = 1$ : translation selon $\vec{z}$ seulement.

Case D : une sphère tenue dans une calotte de même centre : les trois rotations autour de $D$ sont possibles, aucune translation. Liaison sphérique de centre $D$, $n_c = 3$.

Case B : un cylindre traversé par un arbre, avec un trait d'arrêt de chaque côté : le coulissement est empêché, la rotation reste. Liaison pivot d'axe $(B,\vec{y})$, $n_c = 1$.

Liaison	$T_x$	$T_y$	$T_z$	$R_x$	$R_y$	$R_z$	$n_c$
A, pivot glissant $(A,\vec{x})$	1	0	0	1	0	0	2
C, glissière de direction $\vec{z}$	0	0	1	0	0	0	1
D, sphérique de centre $D$	0	0	0	1	1	1	3
B, pivot $(B,\vec{y})$	0	0	0	0	1	0	1

Le piège est la case B : sa verticale est $\vec{x}$, et l'arbre est dessiné selon $\vec{y}$. Qui lit « axe vertical, donc $\vec{z}$ » se trompe d'axe. Le sujet demande aussi le torseur cinématique de chaque liaison : ses composantes non nulles sont celles de la grille, il s'écrira au chapitre « Cinématique des solides et des systèmes ».

Méthodes à retenir

Le nom d'une liaison se lit sur la forme du symbole (cylindre ou prisme, arrêts ou non), sa caractéristique sur le trièdre de la figure. La pivot et la pivot glissant ne diffèrent que par les traits d'arrêt (méthodes 5 et 6).

Plan du cours

• 1. Du système réel au modèle
  • 1.1 Pourquoi modéliser un mécanisme
  • 1.2 Observer, modéliser, analyser, valider
  • 1.3 Les deux fils rouges du chapitre
  • 1.4 Le solide indéformable
• 2. Classes d'équivalence cinématique
  • 2.1 Définition
  • 2.2 Ce qu'on écarte et ce qu'on rattache
  • 2.3 Lire les encastrements sur un dessin d'ensemble
  • 2.4 Exemples
• 3. Degrés de liberté
  • 3.1 Six mouvements élémentaires
  • 3.2 Degrés de liberté d'une liaison
• 4. Géométrie des contacts
  • 4.1 Types de contact
  • 4.2 Des surfaces à la liaison
  • 4.3 Centrage court et centrage long
• 5. Les liaisons normalisées
  • 5.1 Liaison et liaison parfaite
  • 5.2 Les onze liaisons usuelles (dix normalisées et la linéaire rectiligne)
  • 5.3 Caractéristiques géométriques et familles
• 6. Le graphe des liaisons (graphe de structure)
  • 6.1 Règles de tracé
  • 6.2 Chaînes ouvertes, fermées, complexes
  • 6.3 Exemples
  • 6.4 Le graphe dans un programme
• 7. Une liaison réalisée par plusieurs contacts
• 8. Le schéma cinématique minimal
  • 8.1 Rôle et règles
  • 8.2 Où placer chaque symbole
  • 8.3 Le schéma en perspective
  • 8.4 Le schéma plan
  • 8.5 Exemple complet : l'ouvre-portail
• 9. Le schéma d'architecture
  • 9.1 Définition et rôle
  • 9.2 Modéliser un roulement rigide à billes d'après ses arrêts
  • 9.3 Paliers lisses et centrages
  • 9.4 De l'architecture au minimal, sans calcul
  • 9.5 Exemple complet : le réducteur
• 10. Les représentations d'un mécanisme, et la lecture d'un dessin d'ensemble
  • 10.1 Plusieurs représentations, plusieurs usages
  • 10.2 Lire un dessin d'ensemble
  • 10.3 La maquette numérique
• 11. Repères attachés aux classes
• 12. Lire un schéma de sujet et répondre sur un document réponse
• 13. Du système réel ou de sa maquette numérique au modèle, en travaux pratiques

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Délimiter l'étude et choisir le modèle selon l'objectif
2. Repérer les classes d'équivalence en partant du bâti
3. Lire une photo, une vue de maquette ou une coupe de sujet pour colorier les classes
4. Identifier la géométrie d'un contact et ses normales
5. Nommer la liaison et compter ses degrés de liberté
6. Donner les caractéristiques géométriques complètes d'une liaison
7. Tracer le graphe des liaisons (graphe de structure)
8. Lire un graphe : chaîne ouverte, fermée, complexe ; compter les cycles
9. Nommer sans calcul la liaison équivalente à des liaisons en parallèle ou en série
10. Placer un symbole selon la famille de la liaison
11. Dessiner le schéma cinématique en perspective
12. Passer au schéma plan et justifier la modélisation plane
13. Compléter un graphe ou un schéma de sujet sur document réponse
14. Associer un repère à chaque classe et compter les paramètres de position
15. Décrire un graphe des liaisons en Python et compter ses cycles
16. Décoder un schéma cinématique de sujet
17. Construire le modèle cinématique d'un système réel ou de sa maquette numérique
18. Dessiner le schéma d'architecture d'un guidage, puis le schéma minimal
19. Lire un dessin d'ensemble pour obtenir les classes et les liaisons

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

• Quatre liaisons dessinées en perspective
• Six liaisons en vue plane
• Le symbole spatial d'une pivot
• Le graphe du fouloir d'un broyeur
• Le graphe de l'axe d'un robot de stimulation
• Classer les onze liaisons
• Des points de contact à la liaison
• Les liaisons d'objets du quotidien
• Le graphe d'une table élévatrice
• Le correcteur d'assiette d'un phare
• Un robot à quatre liaisons
• Le micromoteur de modélisme
• Rotule ou sphère-cylindre : quatre montages de roulements
• Le capteur pneumatique de fin de course : du dessin d'ensemble au schéma

Entraînement (15)

• Une bobine posée sur un vé
• La pince d'un vibreur de tronc
• La roue folle d'un déambulateur
• Un robot enjambeur de vigne
• Le bras d'un robot de pharmacie
• Le réglage d'un sismomètre
• La presse à vis
• Une pince de préhension pneumatique
• Un moteur thermique monocylindre
• Le guidage de l'arbre d'entrée d'un réducteur
• L'axe de roue arrière d'un scooter
• La capsuleuse de bouteilles : graphe d'un mécanisme symétrique
• Un banc d'épreuve de tubes
• Le système de décharge d'un robot de rééducation : de la maquette au schéma
• La charnière d'une porte de placard (travaux pratiques)

Approfondissement (5)

• Le transpalette manuel
• La scie sauteuse
• Le réducteur d'un moteur : du plan d'ensemble au schéma d'architecture
• La tête à polir le marbre
• Un graphe des liaisons en Python

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Le scanner 3D de pièces
  CNC 2024, filière TSI, Génie mécanique, partie A « Etude cinématique du mécanisme de guidage », question 3, partie C « Etude statique de la solution de guidage en translation » (figure 10) et partie D « étude de la rigidité du mécanisme » (figure 12), questions ajoutées
• La pompe à pistons axiaux à cylindrée auto-réglable
  CNC 2016, filière TSI, Génie mécanique, partie IV « Étude de la pompe hydraulique à cylindrée auto-réglable », sous-partie 4-1 « Étude des liaisons », questions Q11 et Q15
• Le verrouillage de l'outil d'un centre d'usinage
  CNC 2022, filière MP, Sciences industrielles, partie C « Étude du mécanisme de verrouillage et de déverrouillage de l'outil », sous-partie C.1 « Étude des chaînes des solides », questions Q14, Q16 a et Q17
• Les pentures de l'estrade modulable d'un amphithéâtre
  Banque PT 2024, filière PT, Sciences industrielles A, partie II, sous-parties II.1.1 et II.2.1, questions 5 à 7 et question 8 (indication sans calcul)

Comment y accéder

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