Cinématique des solides et des systèmes : torseur cinématique, lois d'entrée-sortie, cours et exercices corrigés (TSI1 Maroc)

Q: Quel est le rapport de vitesses d'un engrenage ?

Un engrenage est une paire de roues dentées dont les cercles primitifs roulent sans glisser l'un sur l'autre. Contact extérieur : (ω_2)/(ω_1) = -(R_1)/(R_2) = -(Z_1)/(Z_2), les roues tournent en sens opposés. Contact intérieur (pignon dans une couronne) : (ω_2)/(ω_1) = +(Z_1)/(Z_2), elles tournent dans le même sens. Un pignon de 20 dents à 1 500 tr/min qui entraîne une roue de 60 dents la fait tourner à 500 tr/min, en sens inverse (valeurs choisies).

Q: Qu'est-ce que la formule de Willis d'un train épicycloïdal ?

Vu du porte-satellite 4, le train est simple : (ω_(3/4))/(ω_(1/4)) = -(Z_1)/(Z_3) pour un planétaire 1 et une couronne 3. Avec ω_(i/4) = ω_(i/0) - ω_(4/0) : formule de Willis, Z_1 ω_(1/0) + Z_3 ω_(3/0) = (Z_1 + Z_3) ω_(4/0). Z_1 = 20, Z_3 = 60, couronne fixe (valeurs choisies) : rapport (20)/(80) = (1)/(4) ; 1 500 tr/min sur le planétaire donnent 375 tr/min sur le porte-satellite, dans le même sens.

Q: Comment écrire le torseur cinématique d'une liaison pivot ?

Son torseur cinématique, écrit dans son repère privilégié (celui du tableau des liaisons du chapitre « Modélisation cinématique des systèmes », section 5), a une composante non nulle par degré de liberté. L'hélicoïdale fait exception : un degré de liberté, deux composantes liées par le pas. Pourquoi « en tout point de l'axe » pour la pivot : le changement de point donne V⃗(P) = PA⃗∧ω_xx⃗, nul si P est sur l'axe, non nul ailleurs. Pour une pivot, l'axe central est l'axe de la liaison, et le moment y est nul : le torseur est un glisseur.

TSI 1

Paramétrage d'un mécanisme, dérivation vectorielle, vitesse et accélération d'un point, champ des vitesses et torseur cinématique, composition des mouvements, roulement sans glissement, fermetures géométrique et cinématique, lois entrée-sortie des mécanismes et des transmetteurs, construction graphique des vitesses sur document réponse, sur des systèmes réels de la TSI marocaine.

22méthodes
38exercices corrigés
5problèmes
21pièges
179figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Le chapitre « Modélisation cinématique des systèmes » a dit quels mouvements les liaisons permettent ; celui-ci dit à quelle vitesse bouge chaque point, et comment le mouvement d'entrée d'un mécanisme devient son mouvement de sortie. C'est le plus gros chapitre de l'année en génie mécanique, et les sujets du concours marocain s'ouvrent presque toujours sur ces calculs, dans l'exercice préliminaire noté sur 4 points, puis les reprennent dans les parties du problème. Une vitesse s'écrit toujours avec trois informations : le point, le solide auquel on le rattache, le référentiel. La relation de changement de point montre que le champ des vitesses d'un solide est entièrement connu par deux vecteurs : $\vec\Omega(2/1)$ et la vitesse d'un point. On les range dans un torseur. Le point de réduction et la base s'écrivent toujours : un même torseur a des moments différents en deux points, et des composantes différentes dans deux bases.

Ce que tu sauras faire

Le plateau de la presse descend, le vantail d'un portail s'ouvre, le piston d'un petit moteur va et vient, une roue roule sur le sol. Le chapitre « Modélisation cinématique des systèmes » a dit quels mouvements les liaisons permettent ; celui-ci dit à quelle vitesse bouge chaque point, et comment le mouvement d'entrée d'un mécanisme devient son mouvement de sortie. C'est le plus gros chapitre de l'année en génie mécanique, et les sujets du concours marocain s'ouvrent presque toujours sur ces calculs, dans l'exercice préliminaire noté sur 4 points, puis les reprennent dans les parties du problème. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

paramétrer un mécanisme, ou lire le paramétrage donné, et tracer les figures de changement de base ;
écrire un vecteur taux de rotation, dériver un vecteur dans une base qui tourne ;
calculer la vitesse et l'accélération d'un point d'un solide, passer d'un point à un autre ;
écrire, transporter et lire un torseur cinématique, dont ceux des liaisons normalisées ;
composer les mouvements, calculer une vitesse de glissement, traduire le roulement sans glissement ;
écrire une fermeture géométrique ou cinématique et en tirer la loi d'entrée-sortie d'un mécanisme ;
écrire la loi d'entrée-sortie d'un transmetteur : engrenage, train simple ou épicycloïdal, poulies et courroie, pignon-crémaillère, vis-écrou, roue et vis sans fin ;
construire des vitesses à l'échelle sur un document réponse ;
exploiter une loi, vérifier un résultat et conclure sur une exigence du cahier des charges.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Paramétrer et dériver

Trois gestes : un repère par classe, les constantes, un paramètre variable par mobilité de liaison. Dans un sujet, le paramétrage est donné : on le lit.
Figure de changement de base : vecteur commun vers le lecteur, angle dessiné positif et petit, $\vec\Omega$ écrit à côté. $\vec x_1 = \cos\theta\,\vec x_0 + \sin\theta\,\vec y_0$ , $\vec y_1 = -\sin\theta\,\vec x_0 + \cos\theta\,\vec y_0$ .
Taux de rotation : $\vec\Omega(1/0) = \dot\theta\,\vec z_0$ pour une rotation ; $\vec 0$ pour une translation ; $\vec\Omega(2/0) = \vec\Omega(2/1) + \vec\Omega(1/0)$ .
Formule de Bour : la dérivée de $\vec u$ dans $R_0$ est sa dérivée dans $R_1$ plus $\vec\Omega(1/0)\wedge\vec u$ . Vecteur fixe dans $R_1$ : il reste $\vec\Omega(1/0)\wedge\vec u$ . Vecteur $\lambda\,\vec u$ : $\dot\lambda\,\vec u$ plus $\lambda$ fois la dérivée de $\vec u$ .
Base de dérivation (qui observe) et base d'expression (comment on écrit) ne se confondent pas.

À retenir Vitesse, accélération, champ des vitesses

$\vec V(P \in 2/1)$ : dérivée dans $R_1$ de $\overrightarrow{O_1P}$ , $O_1$ fixe dans 1, $P$ lié à 2. Toujours le point, le solide, le référentiel.
$\vec a(P \in 2/1)$ : dérivée dans $R_1$ de la vitesse. Rotation : $R\ddot\theta\,\vec y_1 - R\dot\theta^2\,\vec x_1$ . Jamais de composition des accélérations.
Changement de point, pour deux points du solide 2 dans le mouvement 2/1 : $\vec V(B) = \vec V(A) + \overrightarrow{BA}\wedge\vec\Omega(2/1)$ .
Équiprojectivité : $\vec V(A)\cdot\overrightarrow{AB} = \vec V(B)\cdot\overrightarrow{AB}$ , pour deux points d'un même solide.

À retenir Torseur cinématique

$\{\mathcal V(2/1)\} = \{\vec\Omega(2/1) \;;\; \vec V(A \in 2/1)\}_A$ : résultante $\vec\Omega$ , moment la vitesse du point ; point et base toujours écrits.
Invariants : la résultante et l'automoment $\vec\Omega\cdot\vec V$ .
Couple : $\vec\Omega = \vec 0$ , translation. Glisseur : automoment nul, rotation autour d'un axe. Axe central : points où le moment est colinéaire à la résultante.
On n'additionne deux torseurs qu'au même point.

À retenir Torseurs cinématiques des liaisons (repère privilégié)

Liaison	Composantes non nulles	Valable
pivot d'axe $(A, \vec x)$	$\omega_x$	sur l'axe
glissière de direction $\vec x$	$v_x$	partout
hélicoïdale d'axe $(A, \vec x)$	$\omega_x$ et $v_x = \frac{p}{2\pi}\omega_x$	sur l'axe
pivot glissant d'axe $(A, \vec x)$	$\omega_x$ , $v_x$	sur l'axe
sphérique de centre $A$	$\omega_x$ , $\omega_y$ , $\omega_z$	au centre
sphérique à doigt (doigt $\vec z$ , rainure de normale $\vec x$ )	$\omega_x$ , $\omega_z$	au centre
appui plan de normale $\vec z$	$\omega_z$ , $v_x$ , $v_y$	partout
sphère-cylindre d'axe $(A, \vec x)$	$\omega_x$ , $\omega_y$ , $\omega_z$ , $v_x$	au centre
linéaire rectiligne, droite $(A, \vec x)$ , normale $\vec z$	$\omega_x$ , $\omega_z$ , $v_x$ , $v_y$	dans le plan $(A, \vec x, \vec z)$
sphère-plan de normale $(A, \vec z)$	$\omega_x$ , $\omega_y$ , $\omega_z$ , $v_x$ , $v_y$	sur la normale

Une composante non nulle par degré de liberté, sauf l'hélicoïdale (deux composantes liées par le pas).

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Traduire le roulement sans glissement

Quand l’utiliser

Quand l'énoncé fait l'hypothèse du roulement sans glissement : roue sur le sol, roues de friction, engrenage, galet sur un rail, pignon sur une crémaillère.

Rappel de cours

$\vec V(I \in 2/1) = \vec 0$ . On part des deux côtés vers les centres des liaisons : $\vec V(I \in 2/0) = \vec V(I \in 1/0)$ , chaque terme par changement de point depuis l'axe de son solide.

Démarche

Écrire l'hypothèse en toutes lettres et en vecteurs, au bon point et entre les bons solides.
Écrire $\vec V(I \in 2/0) = \vec V(I \in 1/0)$ (ou $\vec V(I \in 1/0) = \vec 0$ si l'un des deux est le sol).
Transporter chaque terme vers le centre de la liaison de son solide.
Projeter, en déduire la relation entre paramètres, signe compris ; vérifier le signe sur la figure.

Rédaction type

« On suppose le roulement sans glissement en $I$ de la roue 1 sur le sol 0 : $\vec V(I \in 1/0) = \vec 0$ . Par changement de point,

\vec V(I \in 1/0) = \vec V(O \in 1/0) + \overrightarrow{IO}\wedge\vec\Omega(1/0) = (v + R\omega)\,\vec x_0 ,

d'où $v = -R\omega$ . »

Exemple traité

Roue de vélo de 0,35 m de rayon, vélo à 5 m/s : $\lvert\omega\rvert = 14{,}3$ rad/s (136 tr/min). Le signe moins dit que la roue tourne en sens horaire pour avancer selon $\vec x_0$ quand $\vec z_0$ est vers le lecteur. Le haut de la roue va à 10 m/s.

Erreurs fréquentes

« $V = R\omega$ » sans hypothèse, sans signe, ou en égalant un vecteur et un scalaire.
Roulement sans glissement écrit entre les mauvais solides.
Roue décalée du centre du virage : oublier de passer par le centre de la roue.

Pour s’entraîner

Exercices 13, 20, 21, 35 et 36 ; problème 5.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Des roues de friction à l'engrenage ★☆☆

Deux roues lisses 1 et 2, de centres $O_1$ et $O_2$ et de diamètres $D_1$ et $D_2$ , sont en liaison pivot d'axes $(O_1, \vec z_0)$ et $(O_2, \vec z_0)$ avec le bâti 0. Pressées l'une contre l'autre, elles se touchent au point $I$ de la droite $(O_1O_2)$ : ce sont des roues de friction. On note $\vec\Omega(1/0) = \omega_{1/0}\,\vec z_0$ et $\vec\Omega(2/0) = \omega_{2/0}\,\vec z_0$ ; « 1/0 » se lit « 1 par rapport à 0 ».

Les deux roues de friction 1 et 2 en pivot sur le bâti 0, tangentes en I, vues selon l'axe des pivots ; diamètres D_1 et D_2. — Les deux roues de friction 1 et 2 en pivot sur le bâti 0, tangentes en $I$ , vues selon l'axe des pivots ; diamètres $D_1$ et $D_2$ .

Quelle hypothèse faut-il poser au point $I$ pour que la roue 1 entraîne la roue 2 sans perte de mouvement ? L'écrire avec un vecteur vitesse.
Exprimer $\vec V(I \in 1/0)$ et $\vec V(I \in 2/0)$ en fonction des diamètres et des vitesses angulaires.
En déduire le rapport $\dfrac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}}$ . Commenter son signe.
On taille maintenant des dents sur les deux roues : $D_1$ et $D_2$ deviennent les diamètres primitifs d'un engrenage de module $m$ , de nombres de dents $Z_1$ et $Z_2$ . Écrire le rapport avec les nombres de dents. Qu'a-t-on gagné ?
Application numérique, avec des valeurs choisies pour l'exercice : $D_1 = 40$ mm, $D_2 = 100$ mm, roue 1 à $1\,500$ tr/min, module $m = 2$ mm. Calculer la vitesse de rotation de la roue 2, la vitesse commune des deux roues au point $I$ et les nombres de dents.
Que devient le rapport si la roue 1 roule à l'intérieur d'une couronne 2 ?

Indications

Méthodes 14 et 18. Chaque vitesse se calcule de son côté, vers le centre de la liaison avec le bâti : $\vec V(I \in 1/0)$ depuis $O_1$ , $\vec V(I \in 2/0)$ depuis $O_2$ . Diamètre primitif d'une roue dentée : $d = mZ$ .

Correction détaillée

1. Hypothèse de roulement sans glissement en $I$ : $\vec V(I \in 2/1) = \vec 0$ . Par composition, $\vec V(I \in 2/0) = \vec V(I \in 2/1) + \vec V(I \in 1/0)$ , donc l'hypothèse revient à écrire $\vec V(I \in 2/0) = \vec V(I \in 1/0)$ : les deux points confondus en $I$ ont la même vitesse par rapport au bâti.

2. $O_1$ est sur l'axe de la pivot entre 1 et 0, sa vitesse est nulle, et $\overrightarrow{IO_1} = -\dfrac{D_1}{2}\,\vec y_0$ :

\vec V(I \in 1/0) = \overrightarrow{IO_1} \wedge \vec\Omega(1/0) = -\frac{D_1}{2}\,\vec y_0 \wedge \omega_{1/0}\,\vec z_0 = -\frac{D_1}{2}\,\omega_{1/0}\,\vec x_0.

De même, $O_2$ est fixe et $\overrightarrow{IO_2} = \dfrac{D_2}{2}\,\vec y_0$ :

\vec V(I \in 2/0) = \frac{D_2}{2}\,\vec y_0 \wedge \omega_{2/0}\,\vec z_0 = \frac{D_2}{2}\,\omega_{2/0}\,\vec x_0.

3. L'égalité des deux vitesses donne $\dfrac{D_2}{2}\,\omega_{2/0} = -\dfrac{D_1}{2}\,\omega_{1/0}$ , soit

\frac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}} = -\frac{D_1}{D_2}.

Le signe moins dit que les deux roues tournent en sens contraires, ce que montre la figure : au point $I$ , les deux jantes avancent dans le même sens, donc l'une tourne dans le sens direct et l'autre dans le sens indirect. La grande roue tourne le moins vite.

4. Avec $D_1 = mZ_1$ et $D_2 = mZ_2$ , le module étant le même pour deux roues qui engrènent :

\frac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}} = -\frac{Z_1}{Z_2}.

La loi est la même, mais elle ne repose plus sur une hypothèse. Entre deux roues lisses, le roulement sans glissement tient tant que l'adhérence suffit ; si la roue menée est trop chargée, elle patine et le rapport n'est plus assuré. Les dents transmettent le mouvement par obstacle : les cercles primitifs roulent l'un sur l'autre sans glisser quelle que soit la charge, et le rapport est exact puisque c'est un rapport de nombres entiers.

5. $\omega_{1/0} = \dfrac{2\pi \times 1\,500}{60} \approx 157{,}1$ rad/s. La roue 2 tourne à $-1\,500 \times \dfrac{40}{100} = -600$ tr/min, soit $-62{,}8$ rad/s. Au point $I$ , la norme de la vitesse commune vaut $0{,}020 \times 157{,}1 \approx 3{,}14$ m/s, et l'on retrouve la même valeur avec $0{,}050 \times 62{,}8$ . Nombres de dents : $Z_1 = 40/2 = 20$ et $Z_2 = 100/2 = 50$ ; l'entraxe vaut $\dfrac{D_1 + D_2}{2} = 70$ mm. Un glissement de $2$ % entre les roues lisses ferait tomber la roue 2 à $588$ tr/min : pour une transmission qui doit garder un rapport précis, c'est une raison suffisante de préférer l'engrenage.

6. Si la roue 1 roule à l'intérieur de la couronne 2, les centres $O_1$ et $O_2$ sont du même côté de $I$ : $\overrightarrow{IO_2}$ a le sens de $\overrightarrow{IO_1}$ , et le même calcul donne $\dfrac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}} = +\dfrac{D_1}{D_2} = +\dfrac{Z_1}{Z_2}$ . En contact intérieur, les deux roues tournent dans le même sens.

Méthodes à retenir

Roulement sans glissement en $I$ : hypothèse écrite, puis vitesse de $I$ calculée des deux côtés vers les centres des pivots. Contact extérieur : $\dfrac{\omega_2}{\omega_1} = -\dfrac{Z_1}{Z_2}$ ; contact intérieur : $+\dfrac{Z_1}{Z_2}$ ; $d = mZ$ . Méthodes 14 et 18, cours, sections 13 et 17.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 22 méthodes, 21 pièges corrigés, la carte mentale, 38 exercices corrigés, 5 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Du schéma cinématique au mouvement
2. Paramétrer un mécanisme
3. Figures de changement de base et calcul vectoriel
- 3.1 La figure de changement de base
- 3.2 Projections et produits
4. Position et trajectoire d'un point
5. Dérivée d'un vecteur et vecteur taux de rotation
- 5.1 Dériver un vecteur par rapport à une base
- 5.2 Le vecteur taux de rotation
- 5.3 Relation entre les dérivées par rapport à deux référentiels
- 5.4 Composition des taux de rotation
6. Vitesse d'un point d'un solide
7. Accélération d'un point d'un solide
8. Champ des vitesses d'un solide
- 8.1 Changer de point
- 8.2 Équiprojectivité
- 8.3 Profil des vitesses d'une rotation
9. Torseur cinématique, et l'essentiel sur les torseurs
- 9.1 Définition et écritures
- 9.2 Opérations
- 9.3 Invariants et torseurs particuliers
10. Mouvements particuliers
- 10.1 Translation
- 10.2 Rotation autour d'un axe fixe
- 10.3 Mouvement composé, mouvement plan
11. Torseurs cinématiques des liaisons normalisées
12. Composition des mouvements
- 12.1 Composition des vitesses
- 12.2 Composition des torseurs
- 12.3 Changer de pièce au centre d'une liaison
- 12.4 Choisir la méthode de calcul d'une vitesse
13. Contact ponctuel : roulement et glissement
- 13.1 Les trois points d'un contact
- 13.2 Vitesse de glissement et maintien du contact
- 13.3 Roulement sans glissement
14. Chaînes ouvertes, chaînes fermées, fermeture géométrique
- 14.1 Loi d'entrée-sortie
- 14.2 Écrire la fermeture
- 14.3 Projeter et éliminer
- 14.4 Résoudre et choisir la solution
15. Lois des mécanismes classiques
- 15.1 Le vérin dans un triangle articulé
- 15.2 La bielle-manivelle
- 15.3 L'excentrique et la came ronde
- 15.4 La coulisse
- 15.5 Le parallélogramme
16. Loi d'entrée-sortie en vitesse et fermeture cinématique
- 16.1 Dériver la loi géométrique
- 16.2 La fermeture cinématique
17. Lois d'entrée-sortie des transmetteurs
- 17.1 Roues de friction et engrenage
- 17.2 Train d'engrenages simple
- 17.3 Poulies et courroie, pignon et crémaillère
- 17.4 Vis et écrou, roue et vis sans fin
- 17.5 Train épicycloïdal
18. Méthode graphique : construire les vitesses à l'échelle
- 18.1 Les outils
- 18.2 La démarche
19. Lois horaires, unités et vérification d'un résultat
- 19.1 Mouvement uniforme, uniformément varié, loi en trapèze
- 19.2 Unités
- 19.3 Vérifier et conclure
20. Python : tracer et résoudre une loi d'entrée-sortie
21. Angles d'Euler, roulis, tangage, lacet

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Paramétrer un mécanisme en trois gestes, ou lire le paramétrage donné
Tracer une figure de changement de base et s'en servir
Écrire le vecteur taux de rotation d'un solide et composer les taux de rotation
Dériver un vecteur par la formule de Bour
Calculer la vitesse d'un point lié par dérivation de son vecteur position
Calculer l'accélération d'un point lié par dérivation de sa vitesse
Changer de point sur un même solide et contrôler par l'équiprojectivité
Écrire et transporter un torseur cinématique, en lire la nature
Écrire le torseur cinématique d'une liaison et répondre sur le document réponse
Reconnaître la nature d'un mouvement et les trajectoires
Composer les vitesses et les torseurs, changer de pièce au centre d'une liaison
Choisir la méthode de calcul d'une vitesse
Calculer une vitesse de glissement et traduire le maintien du contact
Traduire le roulement sans glissement
Écrire la fermeture géométrique d'une boucle et choisir les projections
Éliminer un paramètre jusqu'à la loi d'entrée-sortie et choisir la solution
Obtenir la loi en vitesse : dériver la loi géométrique, ou écrire une fermeture cinématique
Écrire la loi d'entrée-sortie d'un transmetteur à axes fixes
Établir la loi d'un train épicycloïdal
Construire les vitesses à l'échelle sur un document réponse
Exploiter une loi horaire, vérifier un résultat et conclure sur l'exigence
Tracer et résoudre une loi d'entrée-sortie en Python

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

Six liaisons en plan et leurs torseurs
Quatre liaisons en perspective et leurs torseurs
La tête d'une imprimante 3D de béton
Le bras d'un déambulateur robotisé
Le piston d'une pompe haute pression
Le robot de stockage d'une unité d'embouteillage
Le bras d'un portique d'impression de béton
La charge d'une grue à tour
L'arbre d'une machine de soudage par friction
L'aérogénérateur : trois figures et le vent apparent
Deux rotations : figures et produits
L'ascenseur d'un immeuble
Des roues de friction à l'engrenage
Un train simple et une courroie
Le portail coulissant et la table à vis

Entraînement (17)

Le fouloir d'un broyeur à cisailles
Les pales d'un arbre d'extraction
La bielle-manivelle d'un scooter
La vis à billes d'un scanner 3D
Le galet d'une antenne orientable
Le transpalette en virage
L'équilibreuse de roue
Le bout de pale d'un hélicoptère en vol
La pompe à pistons radiaux
Le bras de levage à vérin
La barrière à croisillon
Le module de transfert d'un distributeur de barres, sur document réponse
La plate-forme d'essai portée par un parallélogramme
La came ronde et son poussoir
Le train épicycloïdal d'un surmultiplicateur
Un train épicycloïdal à deux entrées
Le correcteur d'assiette d'un phare

Approfondissement (6)

La tête à polir
La jambe d'un exosquelette
Le boîtier de direction des roues arrière
Deux rotations pour une ligne droite
Le robot dont l'outil suit une droite
Une bielle-manivelle désaxée en Python

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le porte-outil d'un centre d'usinage
CNC 2010, filière TSI, Génie mécanique, partie I « étude du système porte outil », sous-partie 1.2 « Etude cinématique », questions 1.2.1 à 1.2.3
L'essieu de direction d'un chariot élévateur
CNC 2022, filière TSI, Génie mécanique, partie C « Effort du vérin hydraulique de l'essieu de direction », questions C1 à C4 (C41 à C45)
Le vibreur d'olivier : la pince et le bras
CNC 2014, filière TSI, Génie mécanique, partie II « Etude de la fonction FT 214 : serrer le tronc de l'olivier », sous-partie 2.3 « Etude de la vitesse d'impact entre le bras et l'arbre », questions 12 à 16, et partie IV « Etude mécanique du système buggy + arbre olivier », sous-partie 4.1 « Etude cinématique », questions 18 à 21
La pompe à pistons axiaux d'un distributeur de barres
CNC 2016, filière TSI, Génie mécanique, partie IV « Étude de la pompe hydraulique à cylindrée auto-réglable », sous-partie 4-1 « Étude des liaisons », questions Q12 et Q13, et sous-partie 4-2 « Étude géométrique », questions Q16 à Q18 ; questions 16 à 18, 21 et 22 de la version du sujet reproduite par les éléments de correction officiels
Un robot enjambeur de cultures en rangs, en virage
CNC 2025, filière TSI, Génie mécanique, partie 2 « Étude cinématique du robot en virage », questions Q2 à Q16, et partie 4 « Validation de la géométrie du robot en mouvement », question Q21

Questions fréquentes

Comment traduire le roulement sans glissement ?

C'est une hypothèse, qu'il faut écrire : elle dépend des efforts et de l'adhérence, que la cinématique ne garantit pas. Pour deux solides en mouvement, comme deux roues qui roulent l'une sur l'autre autour d'axes fixes, on écrit $\vec V(I \in 2/1) = \vec 0$ , puis on part des deux côtés vers les centres des liaisons : $\vec V(I \in 2/0) = \vec V(I \in 1/0)$ , chaque terme calculé par changement de point depuis l'axe de sa roue. Le point de la roue qui touche le sol est immobile à cet instant ; le sommet $T$ de la jante va à $2v$ . Pour un vélo à 5 m/s avec des roues de 0,35 m de rayon (valeurs choisies) : $\lvert\omega\rvert = 14{,}3$ rad/s, soit 136 tr/min, et le haut de la roue va à 10 m/s.

Quel est le rapport de vitesses d'un engrenage ?

Un engrenage est une paire de roues dentées dont les cercles primitifs roulent sans glisser l'un sur l'autre. Contact extérieur : $\dfrac{\omega_2}{\omega_1} = -\dfrac{R_1}{R_2} = -\dfrac{Z_1}{Z_2}$ , les roues tournent en sens opposés. Contact intérieur (pignon dans une couronne) : $\dfrac{\omega_2}{\omega_1} = +\dfrac{Z_1}{Z_2}$ , elles tournent dans le même sens. Un pignon de 20 dents à 1 500 tr/min qui entraîne une roue de 60 dents la fait tourner à 500 tr/min, en sens inverse (valeurs choisies).

Qu'est-ce que la formule de Willis d'un train épicycloïdal ?

Vu du porte-satellite 4, le train est simple : $\frac{\omega_{3/4}}{\omega_{1/4}} = -\frac{Z_1}{Z_3}$ pour un planétaire 1 et une couronne 3. Avec $\omega_{i/4} = \omega_{i/0} - \omega_{4/0}$ : formule de Willis, $Z_1\,\omega_{1/0} + Z_3\,\omega_{3/0} = (Z_1 + Z_3)\,\omega_{4/0}$ . $Z_1 = 20$ , $Z_3 = 60$ , couronne fixe (valeurs choisies) : rapport $\frac{20}{80} = \frac14$ ; 1 500 tr/min sur le planétaire donnent 375 tr/min sur le porte-satellite, dans le même sens.

Comment calculer l'accélération d'un point d'un solide en TSI ?

« La composition des vecteurs accélérations est hors programme. » On ne l'écrit jamais : l'accélération d'un point ne s'obtient pas en ajoutant les accélérations de deux mouvements. Les sujets du concours qui demandent une accélération (celle d'un piston, celle d'un centre d'inertie avant une étude de dynamique) se traitent tous de la même façon : on écrit la vitesse littérale du point lié, puis on la dérive dans la base du référentiel. Il n'existe pas non plus de « torseur des accélérations » : le champ des accélérations d'un solide n'a pas la structure du champ des vitesses.

Comment écrire le torseur cinématique d'une liaison pivot ?

Son torseur cinématique, écrit dans son repère privilégié (celui du tableau des liaisons du chapitre « Modélisation cinématique des systèmes », section 5), a une composante non nulle par degré de liberté. L'hélicoïdale fait exception : un degré de liberté, deux composantes liées par le pas. Pourquoi « en tout point de l'axe » pour la pivot : le changement de point donne $\vec V(P) = \overrightarrow{PA}\wedge\omega_x\vec x$ , nul si $P$ est sur l'axe, non nul ailleurs. Pour une pivot, l'axe central est l'axe de la liaison, et le moment y est nul : le torseur est un glisseur.

La méthode graphique des vitesses tombe-t-elle au CNC en TSI ?

Le programme écrit : « La méthode de résolution graphique étant imposée, l'élève doit être capable de déterminer les vecteurs vitesses demandées. Toutefois, la maitrise de ces méthodes ne devra donner lieu à aucune évaluation. » L'épreuve de génie mécanique du concours pose pourtant ces constructions, avec un document réponse, dans plusieurs sujets (2014, 2016, 2019, 2022) : on s'y entraîne ici.

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