Séries de Fourier en TSI et TPC : cours, méthodes et exercices corrigés

Q: Qu'est-ce qu'une série de Fourier ?

C'est la série associée à une fonction f de période T, continue par morceaux : a_0 + Σ_(n≥ 1)(a_ncos (nω t) + b_nsin (nω t)), avec ω = (2π)/(T). Ses sommes partielles approchent f en moyenne quadratique, et, si f est de classe C^1 par morceaux, en chaque point, au milieu des sauts près.

Q: Comment calculer les coefficients de Fourier ?

Avec la convention du programme, a_0 = (1)/(T)∫_0^Tf est la valeur moyenne, a_n = (2)/(T)∫_0^Tf(t)cos (nω t) dt et b_n = (2)/(T)∫_0^Tf(t)sin (nω t) dt. On intègre sur la période où f est donnée par une formule, on exploite la parité (une fonction paire a ses b_n nuls, une fonction impaire ses a_n), et l'on traite à part les indices qui annulent un dénominateur.

Q: Que dit le théorème de Dirichlet ?

Si f est T-périodique et de classe C^1 par morceaux, sa série de Fourier converge en tout point t vers (f(t^+) + f(t^-))/(2), la demi-somme des limites à droite et à gauche. Si f est de plus continue, la somme vaut f(t) partout. Pour une fonction seulement continue, le théorème ne s'applique pas.

Q: Que dit la formule de Parseval ?

Si f est T-périodique et continue par morceaux, (1)/(T)∫_0^Tf^2 = a_0^2 + (1)/(2)Σ_(n≥ 1)(a_n^2 + b_n^2). Elle sert à calculer des sommes de carrés de coefficients, comme Σ (1)/(n^4), et montre que les coefficients tendent vers 0. Le (1)/(2) vient de ce que les cosinus et les sinus ont pour norme (1)/(√(2)).

Q: Pourquoi la somme partielle est-elle une projection orthogonale ?

Pour une fonction continue et T-périodique, avec le produit scalaire ⟨f, g⟩ = (1)/(T)∫_0^Tfg, la famille formée de 1, des cos (kω t) et des sin (kω t) est orthogonale. La formule du projeté sur cette famille redonne exactement S_n(f) : c'est le polynôme trigonométrique de degré au plus n le plus proche de f en moyenne quadratique.

Fonctions périodiques, coefficients de Fourier, somme partielle comme projection orthogonale, théorème de Dirichlet, formule de Parseval, applications au calcul de sommes et en physique.

16méthodes
28exercices corrigés
7problèmes
19pièges
47figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une fonction périodique se décompose en une somme de cosinus et de sinus dont les fréquences sont des multiples de la sienne. On étudie les fonctions continues ou de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux, on calcule leurs coefficients de Fourier avec la convention du programme ( $a_0$ est la valeur moyenne), en exploitant la parité, et l'on interprète la somme partielle comme une projection orthogonale. Le théorème de Parseval et le théorème de Dirichlet, admis, s'appliquent après vérification de leurs hypothèses ; ils donnent la valeur de sommes classiques comme $\sum\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ ou $\sum\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ . Au Maroc, le programme de TSI ajoute la symétrie de glissement, le lien entre régularité et décroissance des coefficients, et l'interprétation en physique et en sciences industrielles : harmoniques, valeur efficace, taux de distorsion. Ce chapitre suit le programme de TSI au Maroc et de TSI et TPC en France, pour le CNC et les concours français.

Ce que tu sauras faire

Un signal périodique, une tension, un mouvement, un motif qui se répète, se décompose en une somme de cosinus et de sinus dont les fréquences sont des multiples de la sienne. Ce chapitre dit comment calculer les coefficients de cette somme, en quel sens elle approche la fonction, et ce qu'elle permet de calculer. À la fin, tu dois savoir :

exprimer le développement en série de Fourier d'une fonction périodique, en exploitant sa parité ;
interpréter la somme partielle comme une projection orthogonale, et la formule de Parseval comme un théorème de Pythagore ;
appliquer le théorème de Dirichlet et la formule de Parseval, hypothèses vérifiées, au calcul de sommes de séries numériques ;
tracer la fonction avant de calculer, choisir l'intervalle d'intégration, traiter à part les indices qui annulent un dénominateur.

L'essentiel : Démonstrations à savoir refaire Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

L'intégrale sur une période ne dépend pas de l'origine (Chasles et $t = u + T$ ).
Les coefficients d'une fonction paire ou impaire (changement de variable $u = -t$ ).
Les coefficients d'une dérivée (intégration par parties sur chaque morceau, continuité).
La somme partielle est le projeté orthogonal (formule du projeté sur une base orthogonale).
L'unicité des coefficients pour les fonctions continues (Parseval appliqué à $f - g$ ).

Les théorèmes de Dirichlet et de Parseval sont admis : on les énonce exactement, on n'en donne pas de démonstration.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Appliquer le théorème de Dirichlet

Quand l’utiliser

On demande la somme de la série de Fourier en un point, l'égalité « $f(t) = a_0 + \sum\ldots$ », ou une somme de série numérique qui ressemble aux coefficients eux-mêmes.

Rappel de cours

Si $f$ est $T$ -périodique et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux, sa série de Fourier converge en tout $t$ vers $\tilde f(t) = \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$ . Si de plus $f$ est continue, elle converge vers $f(t)$ en tout point.

Démarche

Énoncer le théorème avec son hypothèse.
Vérifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux (méthode 1).
Au point choisi, dire si $f$ est continue ; sinon, calculer la demi-somme des limites à droite et à gauche.
Écrire l'égalité au point, puis isoler la somme cherchée.

Rédaction type

La fonction $f$ est $T$ -périodique et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$ . D'après le théorème de Dirichlet, sa série de Fourier converge en tout point $t$ vers $\frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$ . En $t = [\ldots]$ , $f$ est continue (ou : $f(t^+) = [\ldots]$ et $f(t^-) = [\ldots]$ ), donc $[\ldots] = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}[\ldots]$ .

Exemple traité

La demi-dent $d$ de la méthode 2 est de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux. En $t = \pi$ , $d(\pi^-) = \pi$ et $d(\pi^+) = d(-\pi^+) = 0$ : la série converge vers $\frac\pi2$ . Comme $\cos(n\pi) = (-1)^n$ et $\sin(n\pi) = 0$ ,

\frac\pi2 = \frac\pi4 + \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n - 1}{\pi n^2}(-1)^n = \frac\pi4 + \frac2\pi\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{1}{(2p + 1)^2} ,

d'où $\sum_{p\geq0}\frac{1}{(2p + 1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ . En $t = 0$ , $d$ est continue ( $d(0^-) = d(0^+) = 0$ ), et l'égalité $0 = \frac\pi4 - \frac2\pi\sum\frac{1}{(2p + 1)^2}$ redonne la même valeur : deux points, une vérification.

Erreurs fréquentes

Citer le théorème pour une fonction seulement continue.
Écrire $f(t)$ au lieu de la demi-somme en un point de saut.
Confondre ce théorème avec la formule de Parseval, ou avec la règle de d'Alembert.

Pour s’entraîner

Exercices 4, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 14, 15, 16, 20 et 22.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Le créneau impair et la série de Leibniz ★☆☆

Soit $f$ la fonction $2\pi$ -périodique et impaire telle que $f(t) = 1$ pour $t \in\ ]0, \pi[$ , $f(0) = 0$ et $f(\pi) = 0$ .

Représenter $f$ sur $[-2\pi, 2\pi]$ .
Déterminer la série de Fourier de $f$ .
Étudier la convergence de cette série.
En déduire la valeur de $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{2k + 1}$ .
Énoncer le théorème de Parseval avec ses hypothèses et en déduire la valeur de $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k + 1)^2}$ .

Indications

Méthodes 3, 8, 9 et 10. $f$ est impaire : seuls les $b_n$ restent, et l'on intègre sur $[0, \pi]$ . Pour 3, comparer $f(0)$ et $f(\pi)$ aux demi-sommes des limites. Pour 4, choisir $t = \frac\pi2$ .

Correction détaillée

1. Sur $]-\pi, 0[$ , $f = -1$ par imparité ; $f$ vaut $0$ aux points $k\pi$ .

Le créneau impair f, avec ses valeurs 0 aux points k\pi (ronds pleins), et les sommes partielles S_1(f), S_5(f), S_{25}(f) : elles passent par 0 aux sauts et oscillent de plus en plus près des sauts. — Le créneau impair $f$ , avec ses valeurs $0$ aux points $k\pi$ (ronds pleins), et les sommes partielles $S_1(f)$ , $S_5(f)$ , $S_{25}(f)$ : elles passent par $0$ aux sauts et oscillent de plus en plus près des sauts.

2. $f$ est impaire : $a_n = 0$ pour tout $n \in \mathbb N$ . Pour $n \geq 1$ ,

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin(nt)\,dt = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1 - \cos(n\pi)}{n} = \frac{2(1 - (-1)^n)}{n\pi} ,

soit $b_{2k} = 0$ et $b_{2k+1} = \frac{4}{(2k + 1)\pi}$ . La série de Fourier de $f$ est $\displaystyle\frac4\pi\sum_{k\geq0}\frac{\sin((2k + 1)t)}{2k + 1}$ .

3. $f$ est $2\pi$ -périodique et de classe $\mathcal C^1$ par morceaux (constante sur chaque morceau). D'après le théorème de Dirichlet, sa série de Fourier converge en tout point $t$ vers $\frac12\big(f(t^+) + f(t^-)\big)$ . En un point $t \notin \pi\mathbb Z$ , $f$ est continue et cette demi-somme vaut $f(t)$ ; en $t = k\pi$ , elle vaut $\frac12(1 + (-1)) = 0 = f(k\pi)$ . Donc, pour tout réel $t$ ,

f(t) = \frac4\pi\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\sin((2k + 1)t)}{2k + 1} .

Le choix $f(0) = f(\pi) = 0$ rend $f$ égale à sa régularisée : l'égalité vaut partout.

4. En $t = \frac\pi2$ , $\sin\big((2k + 1)\frac\pi2\big) = (-1)^k$ et $f\big(\frac\pi2\big) = 1$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{2k + 1} = \frac\pi4$ .

5. Théorème de Parseval : si $f$ est $T$ -périodique et continue par morceaux sur $\mathbb R$ , les séries $\sum a_n^2$ et $\sum b_n^2$ convergent et $\frac1T\int_0^Tf(t)^2\,dt = a_0^2 + \frac12\sum_{n\geq1}(a_n^2 + b_n^2)$ . Ici $f^2 = 1$ sauf en un nombre fini de points par période, donc le membre de gauche vaut $1$ :

1 = \frac12\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{16}{\pi^2(2k + 1)^2}, \qquad \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k + 1)^2} = \frac{\pi^2}{8} .

Méthodes à retenir

La parité réduit le calcul à une seule famille de coefficients. Dirichlet s'énonce avec son hypothèse (classe $\mathcal C^1$ par morceaux) et se conclut par la régularisée ; la valeur choisie aux sauts décide si l'égalité vaut partout. Les coefficients donnent une somme par Dirichlet, leurs carrés par Parseval. Voir les méthodes 3, 8, 9 et 10.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 16 méthodes, 19 pièges corrigés, la carte mentale, 28 exercices corrigés, 7 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Fonctions périodiques continues par morceaux
- 1.1 Fonctions continues, de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur un segment
- 1.2 Fonctions $T$ -périodiques continues ou de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux
- 1.3 Intégrale sur une période
2. Coefficients et série de Fourier
- 2.1 Coefficients de Fourier
- 2.2 Fonctions paires, fonctions impaires
- 2.3 Coefficients d'une dérivée
- 2.4 Sommes partielles et série de Fourier
- 2.5 Symétrie de glissement
3. La somme partielle comme projection orthogonale
- 3.1 Le produit scalaire et la famille trigonométrique
- 3.2 Projection orthogonale et meilleure approximation
4. Le théorème de Parseval
- 4.1 Énoncé et interprétation géométrique
- 4.2 Conséquences : coefficients et unicité
- 4.3 Calculer des sommes par Parseval
- 4.4 Puissance, valeur efficace, taux de distorsion
5. Le théorème de Dirichlet
- 5.1 Régularisée et énoncé
- 5.2 Calculer des sommes par Dirichlet
- 5.3 Régularité et décroissance des coefficients
- 5.4 Harmoniques, spectre, tracé des sommes partielles
6. Une application : chercher une solution périodique

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Lire une fonction périodique : période, graphe, régularité par morceaux
Calculer les coefficients d'une fonction quelconque
Exploiter la parité, et démontrer une parité
Traiter à part les indices qui annulent un dénominateur
Reconnaître un polynôme trigonométrique
Obtenir des coefficients par une dérivée ou une primitive
Écrire une somme partielle et l'interpréter comme une meilleure approximation
Appliquer le théorème de Dirichlet
Appliquer la formule de Parseval
Calculer la somme d'une série numérique par une série de Fourier
Travailler avec une période $T$ quelconque
Chercher une solution périodique d'une équation différentielle (analyse)
Exploiter une symétrie de glissement
Relier régularité et décroissance des coefficients
Interpréter en physique et en sciences industrielles
Tracer des sommes partielles en Python

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (12)

Période, parité, régularité par morceaux
Intégrales sur une période
Coefficients sans intégrale
Le créneau impair et la série de Leibniz
Le redressé simple alternance
Valeurs de la somme aux points de saut
Choisir le bon théorème
Reconnaître un développement sans calcul
Séparer termes pairs et impairs
Harmoniques d'un créneau de période T
Valeur efficace et taux de distorsion d'un créneau
Tracer des sommes partielles en Python

Entraînement (12)

Un créneau de largeur réglable
Une impulsion triangulaire
Des coefficients par ceux de la dérivée
Le point de raccord d'une fonction prolongée
Le prolongement impair du cosinus
Une porteuse triangulaire asymétrique
Une fonction affine par morceaux
L'erreur quadratique d'une somme partielle
Une solution périodique du circuit RC
Un oscillateur amorti excité par un redressé
Prévoir la décroissance des coefficients
Le créneau filtré

Approfondissement (4)

Le développement de la cotangente
L'inégalité de Wirtinger
Les fonctions de Bessel et Parseval
L'onduleur à commande décalée

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Développement de ch(αx) et sommes de séries
CNC 2022, filière TSI, Mathématiques I, exercice 2, questions 2.1 à 2.7
Solutions périodiques de y'' + y = f
CNC 2023, filière TSI, Mathématiques I, problème, deuxième partie, questions 2.1 à 2.3 (résultats de la première partie rappelés)
L'équation de Kepler
CNC 2012, filière TSI, Mathématiques I, partie 4, questions 4.1 à 4.3 (définition de J_n rappelée de la partie 3 et étendue à tout réel)
Projection orthogonale, puis série de Fourier de la valeur absolue de sin(2x)
CCINP 2020, filière TSI, Mathématiques, problème 1, questions Q1 à Q13
La fonction x(π − x) prolongée par imparité
CCINP 2024, filière TPC, Mathématiques, exercice 2, questions Q6 à Q10 (valeur de S corrigée en Q10.b)
Calcul d'une intégrale par une série de Fourier
CCINP 2026, filière TSI, Mathématiques, problème 1, questions Q6 à Q19 (résultats des questions Q1 à Q5 rappelés)
Coefficients de Fourier et prolongement impair
Centrale-Supélec 2021, filière TSI, Mathématiques 1, partie II, sous-parties II.A et II.B, questions Q17 à Q28 (sous-partie II.C, sur l'équation de la chaleur, non reprise)

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une série de Fourier ?

C'est la série associée à une fonction $f$ de période $T$ , continue par morceaux : $a_0 + \sum_{n\geq1}\big(a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)\big)$ , avec $\omega = \frac{2\pi}{T}$ . Ses sommes partielles approchent $f$ en moyenne quadratique, et, si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux, en chaque point, au milieu des sauts près.

Comment calculer les coefficients de Fourier ?

Avec la convention du programme, $a_0 = \frac1T\int_0^Tf$ est la valeur moyenne, $a_n = \frac2T\int_0^Tf(t)\cos(n\omega t)\,dt$ et $b_n = \frac2T\int_0^Tf(t)\sin(n\omega t)\,dt$ . On intègre sur la période où $f$ est donnée par une formule, on exploite la parité (une fonction paire a ses $b_n$ nuls, une fonction impaire ses $a_n$ ), et l'on traite à part les indices qui annulent un dénominateur.

Que dit le théorème de Dirichlet ?

Si $f$ est $T$ -périodique et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux, sa série de Fourier converge en tout point $t$ vers $\frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$ , la demi-somme des limites à droite et à gauche. Si $f$ est de plus continue, la somme vaut $f(t)$ partout. Pour une fonction seulement continue, le théorème ne s'applique pas.

Que dit la formule de Parseval ?

Si $f$ est $T$ -périodique et continue par morceaux, $\frac1T\int_0^Tf^2 = a_0^2 + \frac12\sum_{n\geq1}(a_n^2 + b_n^2)$ . Elle sert à calculer des sommes de carrés de coefficients, comme $\sum\frac{1}{n^4}$ , et montre que les coefficients tendent vers $0$ . Le $\frac12$ vient de ce que les cosinus et les sinus ont pour norme $\frac{1}{\sqrt2}$ .

Comment calculer une somme de série avec une série de Fourier ?

On développe une fonction bien choisie, puis on regarde la forme du terme cherché : s'il ressemble aux coefficients, on applique le théorème de Dirichlet en un point comme $0$ , $\frac T4$ ou $\frac T2$ ; s'il ressemble à leurs carrés, on applique la formule de Parseval. On sépare au besoin les termes pairs et impairs, sur des sommes finies d'abord.

Pourquoi la somme partielle est-elle une projection orthogonale ?

Pour une fonction continue et $T$ -périodique, avec le produit scalaire $\langle f, g\rangle = \frac1T\int_0^Tfg$ , la famille formée de $1$ , des $\cos(k\omega t)$ et des $\sin(k\omega t)$ est orthogonale. La formule du projeté sur cette famille redonne exactement $S_n(f)$ : c'est le polynôme trigonométrique de degré au plus $n$ le plus proche de $f$ en moyenne quadratique.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet et les tarifs, vois les offres.