Liaisons normalisées, graphe des liaisons et schéma cinématique : cours et exercices corrigés

Q: Comment compter les cycles d'un graphe des liaisons ?

Le nombre de cycles indépendants vaut γ = N_(liaisons) - N_(classes) + 1. Une chaîne ouverte, comme un robot série, a γ = 0 ; une chaîne fermée a au moins une boucle. Exemple : une table élévatrice à quatre classes et quatre pivots donne γ = 4 - 4 + 1 = 1, une seule boucle, qui lie entre eux les quatre angles.

Q: Pivot glissant ou sphère-cylindre : comment choisir la liaison ?

On regarde la longueur du centrage L rapportée au diamètre D. Un centrage long, avec L/D de l'ordre de 1,5 ou plus, se modélise par une pivot glissant. Un centrage court, avec L/D de l'ordre de 0,8 ou moins, se modélise par une sphère-cylindre. Ce sont des ordres de grandeur, et la liaison se justifie toujours par les surfaces en contact.

MPSI
PCSI
MP2I
PTSI
TSI 1
Offert à l'essai

Solide indéformable et classes d'équivalence, degrés de liberté, liaisons normalisées (contacts, mobilités, symboles), graphe des liaisons, schéma cinématique minimal plan et spatial, passage du dessin d'ensemble ou de la maquette numérique au modèle.

19méthodes
35exercices corrigés
5problèmes
14pièges
220figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Le schéma cinématique est un modèle simplifié d'un mécanisme : chaque classe d'équivalence y devient un trait de couleur, et chaque contact une liaison normalisée dessinée par son symbole. Il sert à étudier les mouvements, puis les efforts, sans le détail des pièces. Ce chapitre fait partie du programme de sciences industrielles de MPSI et PCSI au Maroc, et de MPSI, PCSI, MP2I, PTSI et TSI en France ; les sujets du CNC, de Mines-Ponts et de la Banque PT demandent de tracer ou de compléter un graphe des liaisons et un schéma. On y suit la démarche complète : classes d'équivalence en partant du bâti, géométrie des contacts, onze liaisons et leurs degrés de liberté, puis des exercices corrigés de schéma cinématique, en plan et en perspective.

Ce que tu sauras faire

Un portail qui s'ouvre, un portique qui charge un navire, une barrière qui se lève : avant de calculer une vitesse ou un effort, l'ingénieur décrit comment les pièces bougent les unes par rapport aux autres. Ce chapitre construit ce modèle, qui sert ensuite à toute la mécanique. Les sujets de concours le demandent presque toujours dans les premières questions, souvent sur un document réponse. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

passer d'un système réel, d'une photo ou d'une vue de sujet à un modèle, en choisissant ce qu'on modélise selon l'étude ;
repérer les classes d'équivalence cinématique d'un mécanisme ;
reconnaître une liaison normalisée à partir de la géométrie du contact, dire ses degrés de liberté et ses caractéristiques géométriques ;
tracer et lire le graphe des liaisons ;
dessiner le schéma cinématique minimal, en perspective ou dans un plan, avec les symboles normalisés ;
compléter un graphe ou un schéma sur un document réponse.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir La démarche

Objectif de l'étude et phase étudiée.
Classes d'équivalence, en partant du bâti 0 ; une couleur et un numéro par classe.
Contacts entre classes : géométrie (point, ligne, surface ; plan, cylindre, sphère) et normales.
Liaisons normalisées : nom et caractéristique géométrique.
Graphe des liaisons, puis schéma cinématique, en perspective ou plan.

À retenir Classes d'équivalence

Classe : pièces sans mouvement relatif pendant la phase étudiée ; un seul solide indéformable.
Hors classes : ressorts, courroies, câbles, chaînes, joints, billes et rouleaux des roulements.
Rattachées : visserie, bagues de roulement, pièces de réglage immobiles pendant le fonctionnement.

À retenir Degrés de liberté

Deux solides libres : 6 degrés de liberté ( $T_x$ , $T_y$ , $T_z$ , $R_x$ , $R_y$ , $R_z$ ).
Une liaison laisse $n_c$ degrés de liberté et empêche $n_s = 6 - n_c$ mouvements.
Un degré de liberté n'est pas une inconnue d'effort.

À retenir Les onze liaisons normalisées

Liaison	Caractéristique	$n_c$	Mouvements
encastrement	aucune	0	aucun
pivot	axe $(A, \vec{x})$	1	$R_x$
glissière	direction $\vec{x}$	1	$T_x$
hélicoïdale	axe $(A, \vec{x})$ , pas $p$	1	$T_x$ et $R_x$ liés
pivot glissant	axe $(A, \vec{x})$	2	$T_x$ , $R_x$
sphérique à doigt	centre $A$ , doigt $\vec{z}$ , rainure de normale $\vec{x}$	2	$R_x$ , $R_z$
sphérique (rotule)	centre $A$	3	$R_x$ , $R_y$ , $R_z$
appui plan	normale $\vec{z}$	3	$T_x$ , $T_y$ , $R_z$
sphère-cylindre (linéaire annulaire)	centre $A$ , axe $(A, \vec{x})$	4	$T_x$ , $R_x$ , $R_y$ , $R_z$
linéaire rectiligne ou cylindre-plan	droite $(A, \vec{x})$ , normale $\vec{z}$	4	$T_x$ , $T_y$ , $R_x$ , $R_z$
sphère-plan (ponctuelle)	point $A$ , normale $(A, \vec{z})$	5	tous sauf $T_z$

Symboles des liaisons à 0 et 1 degré de liberté.

Symboles des liaisons à 2 et 3 degrés de liberté.

Symboles des liaisons à 4 et 5 degrés de liberté.

À retenir Caractéristiques et placement des symboles

Axe = point + vecteur ; direction = vecteur seul ; centre = point ; normale : vecteur (appui plan) ou droite (sphère-plan).
À direction (glissière, appui plan) : symbole n'importe où, bien orienté.
À axe (pivot, pivot glissant, hélicoïdale ; sphère-plan) : sur l'axe (sur la normale pour la sphère-plan).
À centre (sphérique, sphère-cylindre, sphérique à doigt) : au centre, nulle part ailleurs.
Linéaire rectiligne : dans le plan de sa droite de contact et de sa normale.
Hélicoïdale de pas $p$ (mm par tour), pas à droite : $\lambda = \dfrac{p\,\theta}{2\pi}$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Tracer le graphe des liaisons

Quand l’utiliser

Quand le sujet demande le graphe des liaisons (ou graphe de structure), et avant toute étude d'un mécanisme fermé.

Rappel de cours

Un sommet par classe, bâti marqué une fois ; un arc par liaison, avec nom et caractéristique ; arcs sans croisement ; deux liaisons entre deux classes donnent deux arcs.

Démarche

Placer les sommets : bâti 0 en bas ou à gauche, les autres classes autour, pour que les arcs ne se croisent pas.
Pour chaque contact identifié, tracer un arc entre les deux classes.
Écrire sur l'arc le nom et la caractéristique de la liaison.
Vérifier : autant d'arcs que de liaisons, aucune classe isolée, bâti hachuré.

Rédaction type

« Graphe des liaisons : classes 0 à ..., liaisons : 1/0 ..., 2/1 ..., ... » puis le graphe tracé, chaque arc étiqueté.

Exemple traité

Nacelle élévatrice : trois sommets 0 (châssis), 1 (bras), 2 (flèche) ; arc 0-1 « pivot d'axe $(O, \vec{x})$ », arc 1-2 « glissière de direction $\vec{y}_1$ ».

Graphe des liaisons de la nacelle élévatrice.

Erreurs fréquentes

Écrire seulement « pivot » sur un arc.
Mettre des mouvements ou des dimensions sur le graphe.
Fusionner deux liaisons entre les mêmes classes sans le dire.

Pour s’entraîner

Exercices 4, 5, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 29 et 30 ; problèmes 1 à 4.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Un robot à quatre liaisons ★☆☆

Un manipulateur saisit une pièce 4. La colonne 1 tourne autour de l'axe vertical $(O,\vec{z}_0)$ par rapport au bâti 0, fixé au mur ; le bras 2 coulisse le long de la colonne ; la tige 3 tourne et coulisse dans un alésage du bras, d'axe $(O_2,\vec{x}_1)$ ; la pièce 4 est serrée dans la pince de la tige 3. Le schéma est dessiné dans la position où $\vec{x}_1 = \vec{x}_0$ .

Schéma spatial du manipulateur : bâti 0, colonne 1, bras 2, tige 3 et pièce 4 serrée dans la pince.

Un robot d'assemblage, dans sa cellule : la colonne porte deux bras qui tournent autour d'axes verticaux, et l'outil monte et descend au bout du second bras.

Compléter un tableau : solides en liaison, nature de la liaison et caractéristique, nombre de degrés de liberté, mouvements possibles. Lignes : 1-0, 2-1, 3-2, 4-3.
Tracer le graphe des liaisons. La chaîne est-elle ouverte ou fermée ?
Dessiner le schéma cinématique plan dans le plan $(\vec{x}_0,\vec{z}_0)$ .
Le robot de la photo a une autre structure. En supposant que ses deux articulations de bras sont des pivots d'axes verticaux et que l'outil monte, descend et tourne sur lui-même dans le second bras, donner son graphe des liaisons.

Indications

Méthodes 2, 5, 6, 7, 8, 12 et 16. Une pièce serrée dans une pince ne bouge pas par rapport à elle : deux solides encastrés forment une seule classe.

Correction détaillée

Solides	Liaison	$n_c$	Mouvements
1-0	pivot d'axe $(O,\vec{z}_0)$	1	rotation autour de $\vec{z}_0$
2-1	glissière de direction $\vec{z}_0$	1	translation selon $\vec{z}_0$
3-2	pivot glissant d'axe $(O_2,\vec{x}_1)$	2	translation selon $\vec{x}_1$ , rotation autour de $\vec{x}_1$
4-3	encastrement	0	aucun

2. L'encastrement réunit 3 et 4 dans une seule classe. Le graphe compte quatre sommets, 0, 1, 2 et « 3 et 4 », et trois liaisons en chaîne : la chaîne est ouverte. Les degrés de liberté s'ajoutent : $1 + 1 + 2 = 4$ mouvements indépendants pour la pièce, rotation de la colonne, montée du bras, sortie et rotation de la tige.

Graphe des liaisons du manipulateur : chaîne ouverte.

3. Dans le plan $(\vec{x}_0,\vec{z}_0)$ , la pivot d'axe $\vec{z}_0$ et la glissière de direction $\vec{z}_0$ sont vues de côté, le long de la colonne verticale ; la pivot glissant d'axe $\vec{x}_0$ est vue de côté elle aussi, le long de la tige horizontale.

Schéma cinématique plan du manipulateur dans le plan (\vec{x}_0,\vec{z}_0). — Schéma cinématique plan du manipulateur dans le plan $(\vec{x}_0,\vec{z}_0)$ .

4. Bâti, pivot d'axe vertical, premier bras, pivot d'axe vertical, second bras, pivot glissant d'axe vertical, outil : une chaîne ouverte de trois liaisons et quatre degrés de liberté, comme le manipulateur, mais deux rotations en série au lieu d'une rotation et d'une translation.

Méthodes à retenir

Encastrement : une seule classe, un seul sommet. Dans une chaîne ouverte, les degrés de liberté des liaisons s'ajoutent pour donner les mouvements de l'organe terminal (méthodes 2 et 8).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 19 méthodes, 14 pièges corrigés, la carte mentale, 35 exercices corrigés, 5 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Ce chapitre est offert : il s’ouvre en entier avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Du système réel au modèle
- 1.1 Pourquoi modéliser un mécanisme
- 1.2 Le solide indéformable
2. Classes d'équivalence cinématique
- 2.1 Définition
- 2.2 Ce qu'on écarte et ce qu'on rattache
- 2.3 Exemples
3. Degrés de liberté
- 3.1 Six mouvements élémentaires
- 3.2 Degrés de liberté d'une liaison
4. Géométrie des contacts
- 4.1 Types de contact
- 4.2 Des surfaces à la liaison
- 4.3 Centrage court et centrage long
5. Les liaisons normalisées
- 5.1 Liaison et liaison parfaite
- 5.2 Les onze liaisons normalisées
- 5.3 Caractéristiques géométriques et familles
6. Le graphe des liaisons
- 6.1 Règles de tracé
- 6.2 Chaînes ouvertes, fermées, complexes
- 6.3 Exemples
- 6.4 Le graphe dans un programme
7. Une liaison réalisée par plusieurs contacts
8. Le schéma cinématique
- 8.1 Rôle et règles
- 8.2 Où placer chaque symbole
- 8.3 Le schéma en perspective
- 8.4 Le schéma plan
- 8.5 Exemple complet : l'ouvre-portail
- 8.6 Les autres représentations
9. Repères attachés aux classes
10. Répondre sur un document réponse
11. Du système réel ou de sa maquette numérique au modèle, en travaux pratiques
12. Du plan d'ensemble au modèle
12. La maquette numérique volumique

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Délimiter l'étude et choisir le modèle selon l'objectif
Repérer les classes d'équivalence en partant du bâti
Lire une photo, une vue 3D ou une coupe de sujet pour colorier les classes
Identifier la géométrie d'un contact et ses normales
Nommer la liaison et compter ses degrés de liberté
Donner les caractéristiques géométriques complètes d'une liaison
Tracer le graphe des liaisons
Lire un graphe : chaîne ouverte, fermée, complexe ; compter les cycles
Nommer sans calcul la liaison équivalente à des liaisons en parallèle ou en série
Placer un symbole selon la famille de la liaison
Dessiner le schéma cinématique en perspective
Passer au schéma plan et justifier la modélisation plane
Compléter un graphe ou un schéma de sujet sur document réponse
Associer un repère à chaque classe et compter les paramètres de position
Décrire un graphe des liaisons en Python et compter ses cycles
Décoder un schéma cinématique de sujet
Construire le modèle cinématique d'un système réel ou de sa maquette numérique, en travaux pratiques
Lire un plan d'ensemble pour obtenir les classes et les liaisons
Passer des vues d'une maquette numérique volumique aux classes et aux liaisons

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (13)

Quatre liaisons dessinées en perspective
Six liaisons en vue plane
Le symbole spatial d'une pivot
Le graphe du fouloir d'un broyeur
Le graphe de l'axe d'un robot de stimulation
Classer les onze liaisons
Des points de contact à la liaison
Sphère, cylindre, plan
Les liaisons d'objets du quotidien
Le graphe d'une table élévatrice
Le correcteur d'assiette d'un phare
Un robot à quatre liaisons
Le micromoteur de modélisme

Entraînement (17)

Une bobine posée sur un vé
La pince d'un vibreur de tronc
La roue folle d'un déambulateur
L'essieu directeur d'un chariot élévateur
Un robot enjambeur de vigne
Le positionneur d'une table d'imagerie
Le bras d'un robot de pharmacie
Le guidage de la vitre d'une portière
La nacelle d'une caméra stabilisée
Le réglage d'un sismomètre
La presse à vis
Une pince de préhension pneumatique
Le vérin d'une caisse pendulaire
Un moteur thermique monocylindre
La charnière d'une porte de placard
Un banc d'épreuve de tubes
Le système de décharge d'un robot de rééducation à la marche

Approfondissement (5)

Le transpalette manuel
Le plateau cyclique d'un hélicoptère
La scie sauteuse
Un simulateur de conduite
Un graphe des liaisons en Python

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le verrouillage de l'outil d'un centre d'usinage
CNC 2022, filière MP, Sciences industrielles, partie C « Étude du mécanisme de verrouillage et de déverrouillage de l'outil », sous-partie C.1 « Étude des chaînes des solides », questions Q14, Q16 a et Q17
La suspension d'un robot mobile
CNC 2011, filière MP, Sciences industrielles, partie IV « Étude mécanique du système de suspension », sous-partie IV-1 « Chaînes des solides », questions 12 et 13 f
La pompe à pistons axiaux à cylindrée auto-réglable
CNC 2016, filière TSI, Génie mécanique, partie IV « Étude de la pompe hydraulique à cylindrée auto-réglable », sous-partie 4-1 « Étude des liaisons », questions Q11 et Q15
La machine de gravure laser à deux axes
Mines-Ponts 2026, filière PSI, Sciences industrielles, partie 2 « Analyse géométrique partielle de la machine et précision des guidages (exigence 1.1) », questions 1, 2, 4 et 5
Les pentures de l'estrade modulable d'un amphithéâtre
Banque PT 2024, filière PT, Sciences industrielles A, partie II, sous-parties II.1.1 et II.2.1, questions 5 à 7 et question 8 (indication sans calcul)

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une classe d'équivalence en SI ?

Une classe d'équivalence regroupe les pièces qui n'ont aucun mouvement relatif pendant la phase étudiée : on la modélise par un seul solide indéformable. On les repère en partant du bâti 0, avec une couleur et un numéro par classe. La visserie, les bagues de roulement et les pièces de réglage immobiles se rattachent à une classe ; les ressorts, courroies, câbles, joints, billes et rouleaux restent hors classes.

Quelles sont les liaisons normalisées et leurs degrés de liberté ?

Il y en a onze. Encastrement : 0 degré de liberté. Pivot, glissière, hélicoïdale : 1. Pivot glissant, sphérique à doigt : 2. Sphérique (rotule), appui plan : 3. Sphère-cylindre (linéaire annulaire), linéaire rectiligne : 4. Sphère-plan (ponctuelle) : 5. Une liaison laisse $n_c$ degrés de liberté et empêche $6 - n_c$ mouvements. On donne toujours le nom et la caractéristique géométrique : axe, direction, centre ou normale.

Quelle différence entre graphe des liaisons et schéma cinématique ?

Ce sont deux documents différents. Le graphe des liaisons (ou graphe de structure) a un sommet par classe, le bâti hachuré, et un arc par liaison, étiqueté par son nom et sa caractéristique ; il ne porte ni mouvement ni dimension. Le schéma cinématique dessine les symboles des liaisons à leur place, en respectant positions relatives et orientations, puis relie par des barres les éléments de chaque classe.

Comment compter les cycles d'un graphe des liaisons ?

Le nombre de cycles indépendants vaut $\gamma = N_{\text{liaisons}} - N_{\text{classes}} + 1$ . Une chaîne ouverte, comme un robot série, a $\gamma = 0$ ; une chaîne fermée a au moins une boucle. Exemple : une table élévatrice à quatre classes et quatre pivots donne $\gamma = 4 - 4 + 1 = 1$ , une seule boucle, qui lie entre eux les quatre angles.

Quand peut-on dessiner un schéma cinématique plan ?

Quand tous les mouvements ont lieu dans des plans parallèles. On n'y garde que quatre liaisons planes : encastrement, glissière, pivot et sphère-plan ; une liaison qui laisse les trois mouvements plans ne se dessine pas. Une pivot glissant dont l'axe est dans le plan se dessine en glissière. À l'inverse, on ne met jamais de symboles plans sur une épure en perspective.

Pivot glissant ou sphère-cylindre : comment choisir la liaison ?

On regarde la longueur du centrage $L$ rapportée au diamètre $D$ . Un centrage long, avec $L/D$ de l'ordre de 1,5 ou plus, se modélise par une pivot glissant. Un centrage court, avec $L/D$ de l'ordre de 0,8 ou moins, se modélise par une sphère-cylindre. Ce sont des ordres de grandeur, et la liaison se justifie toujours par les surfaces en contact.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie des chapitres offerts : il s'ouvre en entier avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.