Binôme de Newton et sommes : formules et exercices corrigés

La formule du binôme de Newton donne le développement d'une puissance d'une somme : pour tous nombres réels ou complexes $a$ et $b$ et tout entier $n \geq 0$,

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$

Elle reste vraie pour deux matrices qui commutent, et peut être fausse sinon. En première année, elle sert surtout à calculer des sommes, à côté des sommes géométriques et des télescopages.

Que dit exactement la formule ?

Le développement de $(a + b)^n$ compte $n + 1$ termes. Le coefficient de $a^kb^{n-k}$ est $\binom{n}{k}$, le nombre de façons de choisir $k$ facteurs parmi les $n$ facteurs $(a + b)$ pour y prendre $a$. Trois propriétés suffisent pour calculer ces coefficients :

• symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ ;
• formule de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$, qui construit le triangle de Pascal ligne par ligne ;
• formule du pion : $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$ pour $1 \leq k \leq n$.

Exemple : la ligne $n = 4$ du triangle est $1, 4, 6, 4, 1$, donc

$(x + 2)^4 = x^4 + 4 \cdot 2\, x^3 + 6 \cdot 4\, x^2 + 4 \cdot 8\, x + 16 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16.$

Contrôle : en $x = 1$, on trouve $1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81 = 3^4$.

Quelles sommes faut-il connaître ?

Une somme $\sum_{k=p}^{n}$ compte $n - p + 1$ termes, et non $n - p$. C'est la première chose à vérifier dans un calcul.

Méthode : calculer une somme qui contient des coefficients binomiaux

1. Écrire le terme général et repérer la forme $\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$ : quels sont $a$ et $b$, et l'exposant de chacun est-il bien $k$ et $n - k$ ?
2. Si un facteur $k$ gêne, utiliser la formule du pion pour le faire disparaître, puis changer d'indice.
3. Vérifier les bornes : la somme du binôme va de $k = 0$ à $k = n$. Ajouter ou retirer les termes manquants.
4. Appliquer la formule et contrôler le résultat sur $n = 1$ ou $n = 2$.

Exercice 1 : deux sommes binomiales

Pour $n \geq 1$, calculer $S_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}3^k$ et $T_n = \sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k}$.

Calcul de $S_n$. Le terme général est $\binom{n}{k}3^k1^{n-k}$ : c'est le binôme avec $a = 3$ et $b = 1$.

$S_n = (3 + 1)^n = 4^n.$

Contrôle pour $n = 1$ : $1 + 3 = 4$.

Calcul de $T_n$. Le terme $k = 0$ est nul. Pour $1 \leq k \leq n$, la formule du pion donne $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$, donc

$T_n = n\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1} = n\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j} = n\,2^{n-1},$

avec le changement d'indice $j = k - 1$. Contrôle pour $n = 2$ : $0 + 1 \times 2 + 2 \times 1 = 4 = 2 \times 2^1$.

Une autre voie consiste à dériver $x \mapsto (1 + x)^n = \sum \binom{n}{k}x^k$, puis à prendre $x = 1$ : on retrouve $n(1 + 1)^{n-1}$.

Exercice 2 : un coefficient dans un développement

Déterminer le coefficient de $x^5$ dans le développement de $(2x - 1)^8$.

On écrit $(2x - 1)^8 = \sum_{k=0}^{8}\binom{8}{k}(2x)^k(-1)^{8-k}$. Le terme en $x^5$ correspond à $k = 5$ :

$\binom{8}{5}\, 2^5\, (-1)^3 = 56 \times 32 \times (-1) = -1792.$

Le signe vient de $(-1)^{8-k}$ et non de $(-1)^k$ : c'est le nombre $-1$ qui porte l'exposant $8 - k$. Ici $8 - 5 = 3$ est impair, d'où le signe moins.

Exercice 3 : télescopage et somme géométrique

Calculer $U_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$ et $V_n = \sum_{k=2}^{n}3^k$ pour $n \geq 2$.

Télescopage. Pour $k \geq 1$, $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ (on le vérifie en réduisant au même dénominateur). Les termes se simplifient deux à deux :

$U_n = \left(1 - \frac12\right) + \left(\frac12 - \frac13\right) + \cdots + \left(\frac1n - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}.$

Somme géométrique qui ne commence pas à $0$. On met le premier terme en facteur. La somme compte $n - 1$ termes :

$V_n = 3^2\sum_{j=0}^{n-2}3^j = 9 \cdot \frac{3^{n-1} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{n+1} - 9}{2}.$

Contrôle pour $n = 3$ : $9 + 27 = 36$, et $\frac{81 - 9}{2} = 36$.

Quelles sont les erreurs classiques ?

• $(a + b)^n = a^n + b^n$. Faux dès $n = 2$ : il manque tous les termes croisés. Sur $(1 + 1)^2$, on obtiendrait $2$ au lieu de $4$.
• Le binôme sans ses coefficients. Écrire $(a + b)^n = \sum a^kb^{n-k}$ revient à oublier les $\binom{n}{k}$.
• Le signe dans $(a - b)^n$. Le facteur $(-1)$ porte l'exposant de $b$. Mieux vaut écrire $(a + (-b))^n$ avant de développer.
• La raison $1$. La formule $\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ ne s'applique pas pour $q = 1$, où la somme vaut le nombre de termes.
• Un facteur dépendant de l'indice sorti de la somme. $\sum k\, a_k \neq k\sum a_k$ : seule une constante sort du symbole.
• La formule du pion en $k = 0$. $\binom{n-1}{-1}$ vaut $0$ par convention, mais le plus sûr est d'isoler le terme $k = 0$ avant d'appliquer la formule.
• Deux matrices qui ne commutent pas. Pour des matrices $A$ et $B$ telles que $AB \neq BA$, $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$, et non $A^2 + 2AB + B^2$.

Questions fréquentes

Comment démontrer la formule du binôme ?

Par récurrence sur $n$ : on écrit $(a + b)^{n+1} = (a + b)(a + b)^n$, on développe, on décale l'indice dans l'une des deux sommes et l'on regroupe les coefficients par la formule de Pascal.

Comment calculer $\binom{n}{k}$ rapidement à la main ?

Par la forme simplifiée $\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$, en choisissant le plus petit de $k$ et $n - k$ grâce à la symétrie : $\binom{8}{5} = \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$.

Quand utiliser un télescopage ?

Dès que le terme général s'écrit comme une différence $u_{k+1} - u_k$ : fractions rationnelles décomposées en éléments simples, logarithmes $\ln(k+1) - \ln k$, ou quotients dans un produit.

Pour aller plus loin

Le chapitre « Calcul algébrique » de maths sup traite aussi les produits, les sommes doubles et les systèmes linéaires, avec ses méthodes, ses pièges et une quarantaine d'exercices corrigés. Sa page publique montre un extrait et le plan complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière s'ouvrent en entier avec l'essai gratuit. Pour une question sur un exercice ou pour demander l'accès complet, tu peux écrire sur WhatsApp.