Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires : cours, méthodes et exercices corrigés

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• PCSI
• MP2I
• PTSI
• TSI 1
• TPC 1
• Offert à l'essai

Symboles somme et produit, changements d'indice et télescopages, sommes usuelles et géométriques, sommes doubles, factorielle et coefficients binomiaux, formule du binôme, résolution des petits systèmes linéaires par le pivot de Gauss.

• 14méthodes
• 45exercices corrigés
• 2problèmes
• 21pièges
• 2figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Ce chapitre est une boîte à outils : il fixe les notations et les réflexes de calcul dont toute la suite dépend, en analyse comme en algèbre et en probabilités. Rien n'y est difficile, mais tout doit devenir automatique. À la fin, tu dois savoir :

• lire et écrire une somme ou un produit avec les symboles $\sum$ et $\prod$, changer d'indice, découper, regrouper ;
• reconnaître et calculer une somme télescopique, une somme usuelle ($\sum k$, $\sum k^2$, $\sum k^3$, $\sum q^k$), une somme géométrique ;
• manipuler la factorielle et les coefficients binomiaux, et utiliser la formule du binôme dans les deux sens ;
• résoudre un système linéaire de deux ou trois équations par le pivot de Gauss, discuter un système à paramètre et interpréter géométriquement ses solutions ;
• pour les classes concernées, calculer une somme double ou triangulaire en choisissant l'ordre de sommation.

Plan du cours

• 1. Sommes et produits
  • 1.1 Notations
  • 1.2 Changements d'indice
  • 1.3 Sommes et produits télescopiques
• 2. Sommes usuelles
  • 2.1 Sommes de puissances d'entiers
  • 2.2 Suites arithmétiques et géométriques
• 3. Factorielle et formule du binôme
  • 3.1 Factorielle et coefficients binomiaux
  • 3.2 Formule du binôme
• 4. Systèmes linéaires en petite dimension
  • 4.1 Vocabulaire
  • 4.2 Opérations élémentaires et pivot de Gauss
  • 4.3 Systèmes à paramètre
• 5. Sommes doubles
  • 5.1 Sommes sur un rectangle
  • 5.2 Sommes triangulaires

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Manipuler le symbole $\sum$
2. Calculer une somme par télescopage
3. Calculer une somme polynomiale par linéarité
4. Sommes géométriques et sommes du type $\sum kq^k$
5. Démontrer une formule de somme par récurrence
6. Calculer un produit
7. Calculer avec les coefficients binomiaux
8. Utiliser la formule du binôme
9. Résoudre un système par le pivot de Gauss
10. Discuter un système à paramètre
11. Interpréter géométriquement un système
12. Calculer une somme double sur un rectangle
13. Calculer une somme triangulaire
14. Développer un produit de sommes

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

• Lire et écrire des sommes
• Changements d'indice
• Télescopages
• Sommes de puissances
• Sommes géométriques
• Suites arithmétiques et géométriques
• Factorielles
• Coefficients binomiaux
• Formule du binôme
• Systèmes de deux équations
• Systèmes de trois équations à solution unique
• Systèmes de trois équations : infinité ou aucune solution
• Une suite arithmético-géométrique et sa somme
• Une équation sur les coefficients binomiaux
• Des polynômes définis par des conditions

Entraînement (21)

• Sommes $\sum kq^k$
• Télescopages avec décomposition
• Sommes binomiales avec facteur $k$
• Sommes binomiales par évaluation
• Sommes alternées
• Systèmes à paramètre
• Système à paramètre avec second membre
• Position relative de trois plans
• Démonstration des sommes de puissances
• Produits
• Systèmes à coefficients complexes
• Sommes de sommes
• Inégalités par comparaison de sommes
• La somme des puissances quatrièmes
• Un produit télescopique de cosinus
• Minorer le coefficient binomial central
• La suite $\left(1 + \frac1n\right)^n$ par le binôme
• Sommes doubles sur un carré
• Sommes triangulaires
• Interversion de sommes
• Produits de sommes

Approfondissement (9)

• Formule de Vandermonde
• Le binôme et les racines de l'unité
• Un système à paramètre complet
• Sommes avec factorielles
• Droite commune à trois plans
• Reconstruire un polygone à partir des milieux
• Sommes de $|i - j|$ et de $\max(i, j)$
• La formule d'inversion de Pascal
• Identité de Lagrange et inégalité de Cauchy-Schwarz

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Différences finies et sommes de puissances
  CCINP 2022, filière TSI, Mathématiques, problème 1, questions 1 à 4, 9, 11 à 13 et 16 à 20, reformulées sans algèbre linéaire
• Coefficients binomiaux et nombres de Bernoulli en Python
  CCINP 2021, filière MP, Mathématiques 1, problème, partie I, questions 5 à 8

Comment y accéder

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