Nombres complexes et trigonométrie : cours, méthodes et exercices corrigés

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TPC 1
Offert à l'essai

Forme algébrique et conjugaison, module et inégalité triangulaire, exponentielle d'un imaginaire pur et formules de trigonométrie, forme trigonométrique, équations du second degré et racines n-ièmes, exponentielle complexe, interprétation géométrique.

21méthodes
48exercices corrigés
3problèmes
32pièges
5figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Les nombres complexes servent partout en prépa : pour résoudre les équations algébriques, pour faire de la trigonométrie sans apprendre de formules, pour écrire les solutions des équations différentielles et des circuits en régime sinusoïdal, pour traiter la géométrie plane par le calcul. Ce chapitre reprend les acquis de terminale et les complète. À la fin, tu dois savoir :

calculer avec la forme algébrique et le conjugué, reconnaître un réel ou un imaginaire pur ;
utiliser le module et l'inégalité triangulaire, interpréter $|z - a|$ comme une distance ;
manier $e^{i\theta}$ : formules d'Euler et de Moivre, technique de l'angle moitié, linéarisation, expression de $\cos(n\theta)$ ;
écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique et en tirer modules, arguments et puissances ;
résoudre une équation du second degré à coefficients complexes et une équation $z^n = a$ ;
utiliser l'exponentielle complexe $e^z$ ;
traduire une propriété géométrique (distance, angle, alignement, orthogonalité) en calcul sur les affixes.

Plan du cours

1. Forme algébrique et conjugaison
- 1.1 Forme algébrique
- 1.2 Conjugaison
- 1.3 Affixes
2. Module
- 2.1 Définition et propriétés
- 2.2 Inégalité triangulaire
- 2.3 Interprétation géométrique
3. Nombres complexes de module 1 et trigonométrie
- 3.1 Le cercle trigonométrique et $e^{i\theta}$
- 3.2 Formules de trigonométrie
- 3.3 Formules d'Euler et linéarisation
- 3.4 Technique de l'angle moitié
- 3.5 Formule de Moivre et expression de $\cos(n\theta)$
- 3.6 Sommes de cosinus et de sinus
4. Forme trigonométrique
5. Équations algébriques
- 5.1 Racines carrées d'un nombre complexe
- 5.2 Équation du second degré
- 5.3 Racines $n$ -ièmes de l'unité
- 5.4 Racines $n$ -ièmes d'un nombre complexe
6. Exponentielle complexe
7. Interprétation géométrique
- 7.1 Ce qui vaut dans toutes les classes
- 7.2 Angles, alignement, orthogonalité
- 7.3 Les applications $z \mapsto az + b$
- 7.4 Cocyclicité

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Mettre un nombre complexe sous forme algébrique
Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur
Calculer un module et un argument
Majorer ou minorer avec l'inégalité triangulaire
Linéariser
Exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$
Utiliser l'angle moitié
Résoudre une équation trigonométrique
Calculer les racines carrées d'un nombre complexe
Résoudre une équation du second degré dans $\mathbb{C}$
Résoudre $z^n = a$ et utiliser les racines de l'unité
Calculer avec l'exponentielle complexe
Déterminer un ensemble de points
Transformer $a\cos t + b\sin t$
Factoriser un polynôme dont on connaît une racine
Calculer une somme de cosinus ou de sinus
Traduire angles, alignement et orthogonalité
Reconnaître l'application $z \mapsto az + b$
Résoudre $e^z = a$
Caractériser une similitude directe
Montrer que quatre points sont cocycliques

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

Formes algébriques
Réel ou imaginaire pur
Modules et arguments
Équations du premier degré
Inégalité triangulaire
Linéarisation
Formule de Moivre
Angle moitié
Équations et inéquations trigonométriques
Racines carrées
Équations du second degré
Racines $n$ -ièmes
Amplitude et phase
Linéariser pour intégrer

Entraînement (27)

Ensembles de points
Le nombre $j$
Puissances par la forme exponentielle
Équations bicarrées et au-delà
Factorisation de $z^{2n} - 2z^n\cos(n\theta) + 1$
Somme et produit
Factoriser connaissant une racine
Exponentielle complexe
Sur le cercle unité
Identités de modules
Cosinus de $2\pi/5$
L'équation $z^n = \bar z$
L'équation $(z + 1)^n = (z - 1)^n$
Valeurs exactes
Équations par factorisation
Sommes sur les racines de l'unité
Racines réelles, racines imaginaires pures
Le système $z^n = 1$ et $(z - 1)^n = 1$
Une somme d'arctangentes par un argument
Puissances de $\sin t + \cos t$
Sommes trigonométriques
Triangles et alignement
Translations, homothéties, rotations
Résoudre $e^z = a$
Similitudes directes
Paramétrer le cercle unité par $\frac{1 + ix}{1 - ix}$
Cocyclicité

Approfondissement (7)

Sommes binomiales de cosinus
Inégalités
Produit des $1 - \omega^k$
Un triangle équilatéral avec l'origine
Une somme de racines septièmes de l'unité
Caractérisation des triangles équilatéraux
L'équation $\tan 3x = \tan 3a$ résolue de deux façons

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Étude d'une fonction de la variable complexe
Concours commun Sup 2006 (écoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes), épreuve commune à toutes les filières, premier problème, questions 1 à 7
Triangles emboîtés et centre de gravité
Concours commun Sup 2008 (écoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes), filière MPSI, premier problème, questions 1 à 11 et question 14 reformulée sans matrices
Le manège : rotations, trigonométrie et une courbe
Banque PT 2021, Mathématiques B, deuxième partie, questions 1, 2, 3 a, 3 b, 3 d, 3 e et 4 b

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