Logique, ensembles et applications : cours, méthodes et exercices corrigés

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• PCSI
• MP2I
• PTSI
• TSI 1
• TPC 1
• Offert à l'essai

Raisonner et rédiger : assertions, quantificateurs, types de raisonnement, ensembles, applications, relations.

• 18méthodes
• 43exercices corrigés
• 3problèmes
• 39pièges
• 9figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Ce chapitre fixe le langage de toute l'année. À la fin, tu dois savoir :

• écrire et nier une assertion qui contient des connecteurs et des quantificateurs ;
• distinguer une implication, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ;
• choisir et rédiger un raisonnement : direct, par disjonction de cas, par contraposée, par l'absurde, par analyse-synthèse, par récurrence ;
• manipuler les ensembles et démontrer une inclusion ou une égalité ;
• calculer une image directe et une image réciproque ;
• montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque.

Plan du cours

• 1. Assertions et connecteurs logiques
  • 1.1 Assertions
  • 1.2 Négation, conjonction, disjonction
  • 1.3 Implication
  • 1.4 Équivalence
  • 1.5 Règles de calcul
• 2. Quantificateurs
  • 2.1 Les deux quantificateurs
  • 2.2 Quantification implicite
  • 2.3 Négation d'une assertion quantifiée
  • 2.4 Ordre des quantificateurs
• 3. Méthodes de raisonnement
  • 3.1 Raisonnement direct
  • 3.2 Disjonction de cas
  • 3.3 Raisonnement par contraposée
  • 3.4 Raisonnement par l'absurde
  • 3.5 Raisonnement par analyse-synthèse
  • 3.6 Raisonnement par récurrence
• 4. Ensembles
  • 4.1 Appartenance, inclusion, égalité
  • 4.2 Ensemble des parties
  • 4.3 Opérations sur les parties d'un ensemble
  • 4.4 Produit cartésien
  • 4.5 Familles de parties
• 5. Applications
  • 5.1 Définitions
  • 5.2 Image directe, image réciproque
  • 5.3 Composition
  • 5.4 Injections, surjections, bijections
  • 5.5 Composition et bijectivité
• 6. Relations binaires
  • 6.1 Définitions
  • 6.2 Relations d'équivalence
  • 6.3 Relations d'ordre

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Nier une assertion
2. Démontrer une implication par contraposée
3. Raisonner par l'absurde
4. Raisonner par disjonction de cas
5. Infirmer une assertion par un contre-exemple
6. Raisonner par analyse-synthèse
7. Rédiger une récurrence simple
8. Choisir le type de récurrence
9. Démontrer une inclusion
10. Démontrer une égalité d'ensembles
11. Démontrer une équivalence
12. Déterminer une image directe
13. Déterminer une image réciproque
14. Étudier l'injectivité d'une application
15. Étudier la surjectivité d'une application
16. Montrer qu'une application est bijective et déterminer sa réciproque
17. Montrer qu'une relation est une relation d'équivalence et déterminer ses classes
18. Montrer qu'une relation est une relation d'ordre

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (13)

• Traduire avec des quantificateurs
• Nier une assertion
• Ordre des quantificateurs
• Réciproque, contraposée, négation
• Un raisonnement par contraposée
• Une disjonction de cas
• Inégalité de Bernoulli
• Opérations sur des ensembles finis
• Image directe et image réciproque
• Injectivité et surjectivité
• Nier « exactement un » et « monotone »
• Une récurrence qui commence au rang 5
• Quantificateurs et connecteurs : ce qui se distribue

Entraînement (23)

• Un nombre irrationnel
• Une équation fonctionnelle
• Une majoration de la suite de Fibonacci
• Deux descriptions d'une même droite
• Une identité à trois parties
• Simplifier par une partie
• Injectivité et image d'une intersection
• Une bijection et sa réciproque
• Composition, injectivité, surjectivité
• La propriété « pour tout epsilon »
• Calculer avec les fonctions indicatrices
• Image directe et image réciproque : une équivalence
• Une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-1, 1[$
• Les applications telles que $f \circ f = f$
• Inverses à gauche, inverses à droite, involutions
• Une équation fonctionnelle par le choix d'une valeur
• L'ensemble des nombres premiers est infini
• Récurrence forte : décomposition d'un entier
• Une bijection de $\mathbb{N}^2$ sur $\mathbb{N}^*$
• Une relation d'équivalence sur les réels
• La divisibilité comme relation d'ordre
• Une partition définit une relation d'équivalence
• L'ordre lexicographique sur $\mathbb{R}^2$

Approfondissement (7)

• Théorème de Cantor
• Caractériser l'injectivité et la surjectivité par les images
• Une application entre ensembles de parties
• Une injection qui ne dépasse jamais l'identité
• La différence symétrique
• L'inégalité arithmético-géométrique par une récurrence de Cauchy
• Algèbres de Boole de parties

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Fonctions vérifiant l'équation de d'Alembert
  Concours commun Sup 2000 (écoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes), filière MPSI, problème d'analyse, partie I, questions 1 à 4, et partie III, questions A.1 et B.1
• Une tour de puissances
  Concours commun Sup 2008 (écoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes), filière MPSI, deuxième problème, questions 28 à 30 et 32 à 34
• Un polynôme à racines entières : une analyse-synthèse
  Concours commun Sup 2006 (écoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes), épreuve commune toutes filières, premier problème, questions 9 à 13

Comment y accéder

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