Nombres complexes MPSI : exercices corrigés pas à pas

En MPSI, un nombre complexe s'écrit sous deux formes : la forme algébrique $z = a + ib$, avec $a$ et $b$ réels, qui sert aux sommes, aux conjugués et aux identifications, et la forme exponentielle $z = re^{i\theta}$, avec $r = |z| > 0$ et $\theta$ un argument, qui sert aux produits, aux puissances et aux racines. Presque tous les exercices de DS sur ce chapitre se ramènent à choisir la bonne forme au bon moment, puis à vérifier le résultat sur un calcul simple.

Quelle forme choisir selon la question ?

Deux identités reviennent sans cesse : $|z|^2 = z\bar z$ (et non $z^2$), et $\frac{1}{z} = \frac{\bar z}{|z|^2}$ pour $z \neq 0$.

Comment trouver le module et l'argument ?

1. Calculer $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
2. Mettre $r$ en facteur : $z = r\left(\frac{a}{r} + i\frac{b}{r}\right)$.
3. Chercher l'angle $\theta$ tel que $\cos\theta = \frac{a}{r}$ et $\sin\theta = \frac{b}{r}$, en regardant les deux signes.
4. Écrire $z = re^{i\theta}$ et contrôler sur un dessin que le point est dans le bon quadrant.

La tangente seule ne suffit pas : $1 + i$ et $-1 - i$ ont la même valeur de $\frac{b}{a}$, mais des arguments qui diffèrent de $\pi$.

Exercice 1 : une puissance par la forme exponentielle

Calculer $(1 - i\sqrt 3)^{10}$ sous forme algébrique.

Développer par le binôme serait long. On passe à la forme exponentielle.

Module. $|1 - i\sqrt 3| = \sqrt{1 + 3} = 2$.

Argument. $1 - i\sqrt 3 = 2\left(\frac12 - i\frac{\sqrt 3}{2}\right)$. Le cosinus vaut $\frac12$, le sinus $-\frac{\sqrt 3}{2}$ : l'angle est $-\frac{\pi}{3}$. Donc $1 - i\sqrt 3 = 2e^{-i\pi/3}$.

Puissance.

$(1 - i\sqrt 3)^{10} = 2^{10}e^{-10i\pi/3} = 1024\, e^{2i\pi/3},$

car $-\frac{10\pi}{3} + 4\pi = \frac{2\pi}{3}$. Enfin $e^{2i\pi/3} = -\frac12 + i\frac{\sqrt 3}{2}$, d'où

$(1 - i\sqrt 3)^{10} = -512 + 512\sqrt 3\, i.$

Contrôle. Le module du résultat vaut $\sqrt{512^2 + 3 \times 512^2} = 512 \times 2 = 1024 = 2^{10}$ : c'est cohérent.

Exercice 2 : une équation du second degré à coefficients complexes

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - (3 + 2i)z + 5 + 5i = 0$.

Discriminant.

$\Delta = (3 + 2i)^2 - 4(5 + 5i) = 9 + 12i - 4 - 20 - 20i = -15 - 8i.$

Racine carrée de $\Delta$. On cherche $\delta = x + iy$, avec $x$ et $y$ réels, tel que $\delta^2 = \Delta$. En identifiant les parties réelles et les modules :

$x^2 - y^2 = -15, \qquad x^2 + y^2 = |\Delta| = \sqrt{225 + 64} = 17.$

D'où $x^2 = 1$ et $y^2 = 16$. La partie imaginaire $2xy = -8$ est négative : $x$ et $y$ sont de signes contraires. On prend $\delta = 1 - 4i$, et l'on vérifie : $(1 - 4i)^2 = 1 - 8i - 16 = -15 - 8i$.

Solutions.

$z_1 = \frac{3 + 2i + (1 - 4i)}{2} = 2 - i, \qquad z_2 = \frac{3 + 2i - (1 - 4i)}{2} = 1 + 3i.$

Contrôle par la somme et le produit. $z_1 + z_2 = 3 + 2i$, et $z_1z_2 = (2 - i)(1 + 3i) = 2 + 6i - i + 3 = 5 + 5i$. Les deux relations entre coefficients et racines sont vérifiées.

L'équation $x^2 + y^2 = |\Delta|$ est celle que l'on oublie le plus souvent. Sans elle, on tombe sur une équation de degré 4 en $x$, que l'on finit par résoudre, mais au prix de calculs bien plus longs.

Exercice 3 : les racines cubiques de $8i$

Résoudre $z^3 = 8i$ et placer les solutions dans le plan.

On écrit $8i = 8e^{i\pi/2}$ et l'on cherche $z = re^{i\theta}$ avec $r > 0$. L'équation équivaut à

$r^3 = 8 \quad \text{et} \quad 3\theta \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi], \qquad \text{soit} \quad r = 2 \quad \text{et} \quad \theta \equiv \frac{\pi}{6} \ \left[\frac{2\pi}{3}\right].$

Les trois solutions, pour $k = 0, 1, 2$, sont

$2e^{i\pi/6} = \sqrt 3 + i, \qquad 2e^{5i\pi/6} = -\sqrt 3 + i, \qquad 2e^{3i\pi/2} = -2i.$

Elles forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $2$, et leur somme est nulle. Contrôle rapide : $(-2i)^3 = -8i^3 = 8i$.

Le point délicat est la division de la congruence : $3\theta \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi]$ donne $\theta \equiv \frac{\pi}{6} \ \left[\frac{2\pi}{3}\right]$, et non $[2\pi]$. On divise aussi le modulo.

Quelles sont les erreurs classiques ?

• Le symbole $\sqrt{\ }$ sur un complexe. Écrire $\sqrt{-15 - 8i}$ n'a pas de sens : un complexe non nul a deux racines carrées opposées, et aucune n'est privilégiée. On écrit « soit $\delta$ une racine carrée de $\Delta$ ».
• « $\Delta < 0$, donc pas de solution ». Dans $\mathbb{C}$, une équation du second degré a toujours des solutions, et un $\Delta$ non réel n'a pas de signe.
• Un module qui contient encore $i$. $|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$, avec $a$ et $b$ réels. Écrire $|z|^2 = z^2$ est faux : c'est $z\bar z$.
• Un facteur négatif devant $e^{i\theta}$. $-3e^{i\pi/4}$ a pour module $3$ et pour argument $\frac{\pi}{4} + \pi$. Une écriture $re^{i\theta}$ n'est une forme exponentielle que si $r > 0$.
• Une seule racine $n$-ième. L'équation $z^n = a$, avec $a \neq 0$, a exactement $n$ solutions distinctes.
• Des inégalités entre complexes. Il n'y a pas d'ordre sur $\mathbb{C}$ : on compare des modules ou des parties réelles, jamais deux complexes.

Questions fréquentes

Quelle différence entre forme trigonométrique et forme exponentielle ?

C'est la même écriture : $r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$. La notation exponentielle rend les calculs de produits et de puissances immédiats, grâce à $e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$.

Comment linéariser $\cos^3\theta$ ?

Par les formules d'Euler et le binôme : $\cos^3\theta = \frac{(e^{i\theta} + e^{-i\theta})^3}{8}$, puis on regroupe les termes conjugués. On obtient $\cos^3\theta = \frac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}$.

Faut-il connaître par cœur les racines de l'unité ?

Il faut savoir que les racines $n$-ièmes de l'unité sont les $e^{2ik\pi/n}$, pour $k$ de $0$ à $n - 1$, que leur somme est nulle pour $n \geq 2$, et connaître $j = e^{2i\pi/3} = -\frac12 + i\frac{\sqrt 3}{2}$, avec $1 + j + j^2 = 0$.

Pour aller plus loin

Le chapitre « Nombres complexes et trigonométrie » de maths sup reprend chacune de ces méthodes avec une fiche, les pièges relevés sur les copies et une cinquantaine d'exercices corrigés, des applications directes aux sujets de concours. Sa page publique montre un extrait et le plan complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière s'ouvrent en entier avec l'essai gratuit. Pour une question sur un exercice ou pour demander l'accès complet, tu peux écrire sur WhatsApp.