Schéma cinématique : liaisons et exercice corrigé MPSI PCSI

Publié le 31 octobre 2026 · 8 min de lecture

Pour obtenir le schéma cinématique d'un mécanisme, tu regroupes d'abord les pièces sans mouvement relatif en classes d'équivalence, en partant du bâti 0. Tu nommes ensuite chaque liaison d'après la géométrie du contact (plan, cylindre, sphère), avec sa caractéristique géométrique, et tu les ranges dans le graphe des liaisons. Le schéma dessine enfin les symboles normalisés à leur place et avec leur orientation, reliés par les barres de chaque classe.

La démarche vaut en MPSI et PCSI au Maroc, en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI et TSI en France. Au Maroc, on dit aussi « graphe de structure », et le schéma à réaliser entièrement se limite à quatre solides ; compléter un schéma plus gros reste demandé.

Les onze liaisons normalisées

Une liaison laisse $n_c$ degrés de liberté et empêche $n_s = 6 - n_c$ mouvements, lus dans la base de la liaison. L'ancien nom est entre parenthèses.

Liaison	Contact	Caractéristique	Rotations	Translations	$n_c$
encastrement	pièces fixées	aucune	aucune	aucune	0
pivot	cylindre long, arrêté en translation	axe $(A, \vec{x})$	$R_x$	aucune	1
glissière	forme non cylindrique	direction $\vec{x}$	aucune	$T_x$	1
hélicoïdale	hélice (vis, écrou)	axe $(A, \vec{x})$ , pas $p$	$R_x$	$T_x$ , liée à $R_x$	1
pivot glissant	cylindres coaxiaux, centrage long	axe $(A, \vec{x})$	$R_x$	$T_x$	2
sphérique à doigt	sphère, doigt dans une rainure	centre $A$ , doigt $\vec{z}$ , rainure de normale $\vec{x}$	$R_x$ , $R_z$	aucune	2
sphérique (rotule)	sphère dans sphère	centre $A$	$R_x$ , $R_y$ , $R_z$	aucune	3
appui plan	plan sur plan	normale $\vec{z}$	$R_z$	$T_x$ , $T_y$	3
sphère-cylindre (linéaire annulaire)	sphère dans cylindre, centrage court	centre $A$ , axe $(A, \vec{x})$	$R_x$ , $R_y$ , $R_z$	$T_x$	4
linéaire rectiligne ou cylindre-plan	cylindre sur plan	droite $(A, \vec{x})$ , normale $\vec{z}$	$R_x$ , $R_z$	$T_x$ , $T_y$	4
sphère-plan (ponctuelle)	sphère sur plan	point $A$ , normale $(A, \vec{z})$	$R_x$ , $R_y$ , $R_z$	$T_x$ , $T_y$	5

Pour un pas à droite, l'hélicoïdale lie translation et rotation par $\lambda = \dfrac{p\,\theta}{2\pi}$ ( $p$ en mm par tour). Pour un arbre dans un alésage, $L/D$ de l'ordre de 1,5 ou plus donne une pivot glissant, de l'ordre de 0,8 ou moins une sphère-cylindre : des ordres de grandeur, pas des seuils exacts. Les torseurs cinématiques s'écrivent au chapitre « Cinématique du solide ».

Méthode en six étapes

Délimiter l'étude : le mouvement étudié et la phase (une vis de réglage serrée ne bouge pas en fonctionnement).
Former les classes : le bâti 0 et tout ce qui lui est fixé, puis chaque pièce mobile avec les pièces fixées à elle. Écarter, en le disant, ressorts, courroies, câbles, joints, billes et rouleaux ; rattacher visserie et bagues de roulement à leur pièce.
Lire les contacts : surfaces, forme du contact, $L/D$ d'un guidage cylindrique.
Nommer les liaisons : nom actuel et « d'axe », « de direction », « de centre » ou « de normale ». Un arbre sur deux roulements forme une seule pivot.
Tracer le graphe : un sommet par classe, bâti hachuré, un arc étiqueté par liaison. Compter $\gamma = N_{\text{liaisons}} - N_{\text{classes}} + 1$ .
Dessiner le schéma : points et axes, puis symboles en deux couleurs, puis barres. Une liaison à centre se dessine en son centre, une liaison à axe sur son axe. Schéma plan si les mouvements ont lieu dans des plans parallèles, à justifier.

Exercice 1 : un compresseur bielle-manivelle

Un compresseur monocylindre comprend un carter, un cylindre et une culasse vissés ensemble ; un vilebrequin d'axe $(O, \vec{z})$ , porté par deux roulements à billes ; une bielle dont la tête tourne sur le maneton d'axe $(A, \vec{z})$ , sur une bague longue entre deux épaulements ; un piston dont l'axe $(B, \vec{z})$ , fixé au piston, porte le pied de bielle avec un jeu axial. Le piston coulisse dans le cylindre d'axe $(C, \vec{y})$ , qui coupe l'axe du vilebrequin, sur une longueur supérieure à 1,5 fois son diamètre. Donner les classes, le graphe et le schéma.

Classes. 0 : carter, cylindre, culasse, bagues extérieures des roulements. 1 : vilebrequin et bagues intérieures. 2 : bielle et sa bague. 3 : piston et son axe. Les billes ne forment pas de classe.

Liaisons.

Liaison	Contact	Nom et caractéristique	$n_c$
1/0	deux roulements de même axe	pivot d'axe $(O, \vec{z})$	1
2/1	cylindre long, deux épaulements	pivot d'axe $(A, \vec{z})$	1
3/2	cylindre, jeu axial, sans arrêt	pivot glissant d'axe $(B, \vec{z})$	2
3/0	cylindre, $L/D > 1{,}5$	pivot glissant d'axe $(C, \vec{y})$	2

Rien n'empêche le piston de tourner sur lui-même : pivot glissant, pas glissière.

Graphe. Quatre classes, quatre liaisons : $\gamma = 4 - 4 + 1 = 1$ , la boucle 0, 1, 2, 3, 0 du système bielle-manivelle. Les liaisons laissent $1 + 1 + 2 + 2 = 6$ degrés de liberté, que la boucle lie entre eux (chapitre « Cinématique des mécanismes »).

Schéma. Les axes des pivots sont parallèles à $\vec{z}$ , l'axe du cylindre est perpendiculaire à $\vec{z}$ : les mouvements ont lieu dans des plans parallèles à $(\vec{x}, \vec{y})$ , schéma plan. En $O$ et $A$ , des pivots vues de bout. En $B$ , la translation selon $\vec{z}$ sort du plan : pivot vue de bout. Pour le piston, la rotation autour de $\vec{y}$ sort du plan : glissière de direction $\vec{y}$ . On dessine $O$ , $A$ , $B$ non alignés, pour ne cacher aucun mouvement.

Exercice 2 : le vérin d'une benne basculante

La benne 1 d'un camion tourne par rapport au châssis 0 autour de $(O, \vec{x})$ , sur deux paliers. Le corps 2 d'un vérin est articulé sur le châssis autour de $(A, \vec{x})$ , sa tige 3 sur la benne autour de $(B, \vec{x})$ ; la tige coulisse dans le corps par un cylindre long d'axe $(AB)$ , sans arrêt en rotation.

Classes. 0 châssis, 1 benne, 2 corps, 3 tige : un vérin compte pour deux classes.

Liaisons. 1/0 pivot d'axe $(O, \vec{x})$ , une seule pour les deux paliers ; 2/0 pivot d'axe $(A, \vec{x})$ ; 3/1 pivot d'axe $(B, \vec{x})$ ; 3/2 pivot glissant d'axe $(AB)$ , la tige pouvant coulisser et tourner sur elle-même.

Graphe. $\gamma = 4 - 4 + 1 = 1$ , boucle 0, 2, 3, 1, 0 ; en tout $1 + 1 + 1 + 2 = 5$ degrés de liberté de liaisons.

Schéma. Axes des pivots parallèles à $\vec{x}$ , $(AB)$ perpendiculaire à $\vec{x}$ : schéma plan dans $(\vec{y}, \vec{z})$ , trois pivots vues de bout et une glissière de direction $\overrightarrow{AB}$ .

Variante. Monté entre deux sphériques de centres $A$ et $B$ , le vérin garde quatre classes et une boucle, mais $1 + 3 + 3 + 2 = 9$ degrés de liberté : il a une rotation propre autour de son axe, sans effet sur la benne.

Quelles sont les erreurs classiques ?

« Pivot » sans axe. Écrire « pivot d'axe $(A, \vec{z})$ ».
Une glissière « d'axe ». Elle a une direction, un vecteur seul.
Une tige de vérin en glissière. Un cylindre dans un cylindre sans rainure ni clavette laisse tourner : pivot glissant.
La liaison déduite du mouvement supposé. On part des surfaces de contact.
Un ressort, une courroie ou des billes comptés comme classes.
Deux pivots pour deux roulements au lieu d'une seule.
Graphe et schéma confondus, ou des symboles plans sur une épure en perspective.
Un cycle dans le graphe d'un robot série, chaîne ouverte où $\gamma = 0$ .

Questions fréquentes

Combien de degrés de liberté a une liaison pivot glissant ?

Deux : la rotation autour de son axe et la translation le long de cet axe. Elle empêche $6 - 2 = 4$ mouvements.

Quelle différence entre graphe des liaisons et schéma cinématique ?

Le graphe a un sommet par classe et un arc par liaison, avec nom et caractéristique, sans disposition ni dimension. Le schéma dessine les symboles normalisés à leur place et relie par des barres les éléments de chaque classe.

Une liaison hélicoïdale a-t-elle un ou deux degrés de liberté ?

Un seul : rotation et translation sont liées par le pas.

Quand faire un schéma cinématique plan ?

Quand tous les mouvements ont lieu dans des plans parallèles. Il reste quatre liaisons planes : encastrement, glissière, pivot, sphère-plan ; une pivot glissant d'axe dans le plan se dessine en glissière, et une liaison qui laisse les trois mouvements plans ne se dessine pas.

Pour aller plus loin

Le chapitre « Modélisation des liaisons, graphe des liaisons et schéma cinématique » de SI de première année donne les symboles plans et en perspective, seize méthodes et des exercices sur trois niveaux ; sa page publique montre un extrait et le plan. Il suit le chapitre sur les chaînes d'information et de puissance. Il fait partie des chapitres offerts, qui s'ouvrent en entier avec l'essai gratuit. Pour une question sur un exercice, tu peux écrire sur WhatsApp.