Trous d'Young : différence de marche et interfrange en prépa

Publié le 31 octobre 2026 · 8 min de lecture

Dans le dispositif des trous d'Young, avec la source sur la médiatrice des trous, dans l'air, un écran à la distance $D$ grande devant l'écart $a$ des trous et devant les coordonnées du point $M$ , la différence de marche vaut $\delta = (SS_2M) - (SS_1M) \approx \dfrac{ax}{D}$ , où $x$ est l'abscisse de $M$ comptée de $S_2$ vers $S_1$ . Les franges sont des droites perpendiculaires à $S_1S_2$ , équidistantes de l'interfrange $i = \dfrac{\lambda_0 D}{a}$ , et la frange centrale ( $x = 0$ ) est brillante.

Ce socle est commun à la MP, la MPI, la PC, la PT, la TSI et la TPC en France, et à la MP, la PSI et la TSI au Maroc. Le réseau est au programme de toutes ces classes sauf la MPI.

Les formules à connaître

Notations : $p = \frac{\delta}{\lambda_0}$ est l'ordre d'interférence, $\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\delta$ le déphasage.

Grandeur ou modification	Formule	Ordre de grandeur ou effet
Différence de marche (écran à distance $D$ )	$\delta \approx \frac{ax}{D}$	$a = 0{,}5\ \text{mm}$ , $D = 1\ \text{m}$ , $x = 1\ \text{mm}$ : $\delta = 0{,}5\ \mu\text{m}$
Interfrange	$i = \frac{\lambda_0 D}{a}$	$633\ \text{nm}$ , $a = 0{,}50\ \text{mm}$ , $D = 1{,}0\ \text{m}$ : $i \approx 1{,}3\ \text{mm}$
Éclairement, intensités égales $I_0$	$I = 2I_0\left(1 + \cos\frac{2\pi x}{i}\right)$	entre $0$ et $4I_0$
Dispositif dans un milieu d'indice $n$	$i = \frac{\lambda_0 D}{na}$	interfrange divisé par $n$
Observation dans le plan focal d'une lentille $f'$	$\delta = a\sin\theta \approx \frac{ax}{f'}$ , $i = \frac{\lambda_0 f'}{a}$	la lentille n'ajoute aucune différence de marche
Lame ( $e$ , $n$ ) devant $S_1$	$\delta = \frac{ax}{D} - (n-1)e$	figure translatée de $\frac{(n-1)e}{\lambda_0}$ interfranges, du côté de la lame
Source décalée de $x_S$ , à la distance $d$ des trous	$\delta \approx \frac{a x_S}{d} + \frac{ax}{D}$	frange centrale en $-\frac{D}{d}x_S$ , du côté opposé à la source
Réseau de pas $a$ , incidence $i$	$\sin\theta_p - \sin i = p\frac{\lambda_0}{a}$	$600$ traits par mm : $a \approx 1{,}67\ \mu\text{m}$

Dans les deux cas de translation, l'interfrange ne change pas : seule la position de la frange d'ordre nul bouge.

Méthode en quatre étapes

Différence de marche. Écrire $\delta = (SS_2M) - (SS_1M)$ et la couper en deux : la partie avant les trous, $(SS_2) - (SS_1)$ , nulle si la source est sur la médiatrice ; la partie après, $S_2M - S_1M$ . À distance finie, passer par la différence des carrés : $S_2M^2 - S_1M^2 = 2ax$ , donc $S_2M - S_1M = \frac{2ax}{S_1M + S_2M} \approx \frac{ax}{D}$ . Ajouter $(n-1)e$ au chemin qui traverse une lame, en suivant le rayon.
Ordre d'interférence. Calculer $p = \frac{\delta}{\lambda_0}$ : entier, frange brillante ; demi-entier, frange sombre. L'interfrange est la distance dont il faut se déplacer pour que $p$ varie de $1$ .
Éclairement. Vérifier que les deux ondes sont cohérentes (même source ponctuelle, division du front d'onde), puis appliquer la formule de Fresnel : $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos\frac{2\pi\delta}{\lambda_0}$ , soit $2I_0(1 + \cos\Delta\varphi)$ pour des intensités égales.
Contrôle. Vérifier l'ordre de grandeur de $i$ (le millimètre en général) et le sens d'un éventuel déplacement : vers la lame, à l'opposé de la source.

Exercice 1 : interfrange, puis lame de verre devant un trou

Deux trous d'Young distants de $a = 0{,}40\ \text{mm}$ sont éclairés par un laser de longueur d'onde $\lambda_0 = 532\ \text{nm}$ placé sur leur médiatrice. L'écran est à $D = 1{,}20\ \text{m}$ . Les deux ondes ont la même intensité $I_0$ en $M$ .

1. Calculer l'interfrange, puis l'ordre d'interférence en $x = 2{,}4\ \text{mm}$ .

2. On place devant $S_1$ une lame de verre d'épaisseur $e = 5{,}0\ \mu\text{m}$ et d'indice $n = 1{,}52$ . Où passe la frange centrale ? Combien de franges défilent devant un point fixe ?

3. Quel est alors l'éclairement en $x = 0$ ?

1. $i = \frac{\lambda_0 D}{a} = \frac{532 \cdot 10^{-9} \times 1{,}20}{0{,}40 \cdot 10^{-3}} \approx 1{,}60\ \text{mm}$ . En $x = 2{,}4\ \text{mm}$ , $\delta = \frac{0{,}40 \cdot 10^{-3} \times 2{,}4 \cdot 10^{-3}}{1{,}20} = 0{,}80\ \mu\text{m}, \qquad p = \frac{0{,}80}{0{,}532} \approx 1{,}50 :$ c'est une frange sombre, à une interfrange et demie de la frange centrale ( $2{,}4 = 1{,}5 \times 1{,}6$ ).

2. La lame allonge le chemin $(SS_1M)$ de $(n-1)e = 0{,}52 \times 5{,}0 = 2{,}6\ \mu\text{m}$ , donc $\delta = \frac{ax}{D} - (n-1)e.$ La frange centrale ( $\delta = 0$ ) passe en $x_0 = \frac{(n-1)eD}{a} = \frac{2{,}6 \cdot 10^{-6} \times 1{,}20}{0{,}40 \cdot 10^{-3}} = 7{,}8\ \text{mm}$ , du côté de $S_1$ , donc de la lame. Devant un point fixe défilent $\frac{(n-1)e}{\lambda_0} = \frac{2{,}6}{0{,}532} \approx 4{,}9$ franges, ce qui correspond bien à $\frac{7{,}8}{1{,}60} \approx 4{,}9$ interfranges.

3. En $x = 0$ , $\delta = -2{,}6\ \mu\text{m}$ et $p \approx -4{,}89$ . Alors $I = 2I_0\left(1 + \cos(2\pi p)\right) \approx 2I_0(1 + 0{,}76) \approx 3{,}5\,I_0,$ un point proche d'une frange brillante (le maximum vaut $4I_0$ ).

Exercice 2 : réseau et nombre d'ordres visibles

Un réseau par transmission de $400$ traits par millimètre est éclairé sous incidence normale.

1. Avec un laser de longueur d'onde $\lambda_0 = 633\ \text{nm}$ , combien de maxima observe-t-on ? Donner leurs directions.

2. En lumière blanche (de $400$ à $750\ \text{nm}$ ), les spectres d'ordres $1$ et $2$ se recouvrent-ils ? Et ceux d'ordres $2$ et $3$ ?

1. Le pas vaut $a = \frac{1}{400}\ \text{mm} = 2{,}5\ \mu\text{m}$ . Entre deux traits consécutifs, $\delta = a\sin\theta$ ; les $N$ ondes sont en phase si $\delta = p\lambda_0$ , soit $\sin\theta_p = p\frac{\lambda_0}{a}$ avec $\frac{\lambda_0}{a} = 0{,}2532$ . La condition $|\sin\theta_p| \leq 1$ impose $|p| \leq \frac{a}{\lambda_0} \approx 3{,}9$ : $p$ va de $-3$ à $3$ , soit sept maxima.

Ordre $p$	$\sin\theta_p$	$\theta_p$
$0$	$0$	$0°$
$\pm 1$	$0{,}253$	$\pm 14{,}7°$
$\pm 2$	$0{,}506$	$\pm 30{,}4°$
$\pm 3$	$0{,}760$	$\pm 49{,}4°$

L'approximation des petits angles donnerait $43{,}5°$ pour l'ordre $3$ : on garde l'arc sinus.

2. On vérifie d'abord que les ordres existent : $\frac{3 \times 750}{2\,500} = 0{,}90 < 1$ , l'ordre $3$ existe pour tout le visible.

Ordres $1$ et $2$ : $1 \times 750 = 750 < 2 \times 400 = 800$ , pas de recouvrement. L'ordre $1$ s'étend de $9{,}2°$ à $17{,}5°$ , l'ordre $2$ de $18{,}7°$ à $36{,}9°$ .
Ordres $2$ et $3$ : $2 \times 750 = 1\,500 > 3 \times 400 = 1\,200$ , ils se recouvrent. L'ordre $3$ commence à $28{,}7°$ , avant la fin de l'ordre $2$ .

Quelles sont les erreurs classiques ?

Réciter $\delta = \frac{ax}{D}$ quand le dispositif change. Dès qu'une lame est ajoutée ou que la source est décalée, il faut repartir de $(SS_2M) - (SS_1M)$ .
Utiliser le théorème de Malus avec un écran à distance finie. Les rayons $S_1M$ et $S_2M$ ne sont pas parallèles : c'est la différence des carrés qui donne le résultat. Malus sert dans le plan focal d'une lentille.
Compter $ne$ pour une lame. Elle remplace une épaisseur $e$ d'air : le chemin augmente de $(n-1)e$ .
Se tromper de sens. La frange centrale va vers le trajet allongé par la lame, et à l'opposé du côté où l'on déplace la source.
Confondre l'interfrange et la distance brillante-sombre, qui vaut $\frac{i}{2}$ .
Pour un réseau, prendre $a$ égal au nombre de traits par millimètre, ou s'arrêter à $\delta = a(\sin\theta - \sin i)$ sans écrire $\delta = p\lambda_0$ .

Questions fréquentes

Quelle est la formule de l'interfrange des trous d'Young ?

$i = \frac{\lambda_0 D}{a}$ , pour une source sur la médiatrice des trous, dans l'air, avec $D$ grand devant $a$ et devant la zone observée. Dans un milieu d'indice $n$ , l'interfrange est divisé par $n$ ; dans le plan focal d'une lentille de focale $f'$ , il vaut $\frac{\lambda_0 f'}{a}$ .

Comment calculer la différence de marche dans les trous d'Young ?

Par la définition $\delta = (SS_2M) - (SS_1M)$ . Avec la source sur la médiatrice, il reste $S_2M - S_1M$ , que l'on obtient par la différence des carrés : $S_2M^2 - S_1M^2 = 2ax$ , puis division par $S_1M + S_2M \approx 2D$ .

Que se passe-t-il si on met une lame de verre devant un trou ?

La figure se translate sans changer d'interfrange, de $\frac{(n-1)e}{\lambda_0}$ interfranges, du côté de la lame. En comptant les franges qui défilent, on mesure l'indice ou l'épaisseur de la lame.

La largeur des fentes change-t-elle l'interfrange ?

Non. L'interfrange ne dépend que de $\lambda_0$ , $D$ et $a$ . La largeur de chaque fente règle la diffraction, donc l'étendue du champ d'interférences et le nombre de franges visibles.

Quelle est la différence entre les trous d'Young et un réseau ?

Les trous d'Young font interférer deux ondes, ce que décrit la formule de Fresnel. Un réseau en fait interférer un grand nombre $N$ : les maxima, dans les directions $\sin\theta_p - \sin i = p\frac{\lambda_0}{a}$ , sont très fins, et presque rien n'est éclairé entre eux.

Pour aller plus loin

Le chapitre « Superposition d'ondes lumineuses, trous d'Young et réseau » de physique spé va, selon la classe, jusqu'au brouillage par élargissement de la source (hors TSI en France), à la lumière blanche et à la finesse des pics du réseau ; le minimum de déviation et le pouvoir de résolution y sont traités pour les classes marocaines, dont le programme les prévoit. Sa page publique montre un extrait et le plan. Les notions de chemin optique et de théorème de Malus viennent du chapitre « Modèle scalaire des ondes lumineuses », et la division d'amplitude est traitée dans « Interféromètre de Michelson ». Tu peux ouvrir l'application avec l'essai gratuit, et pour une question sur un exercice ou pour demander l'accès complet, écrire sur WhatsApp.