Grandeurs inertielles et cinétiques en génie mécanique TSI : matrice d'inertie, Huygens, énergie cinétique et inertie équivalente, cours et exercices corrigés

Q: Quel est le moment d'inertie d'un cylindre creux ?

Autour de son axe, C = frac 12 m(R_e^2 + R_i^2), avec un signe plus. Contrôle : quand le rayon intérieur tend vers le rayon extérieur, on retrouve le tube mince mR^2. Autour d'un axe perpendiculaire passant par G, A = m ((R_e^2 + R_i^2)/(4) + (h^2)/(12) ) ; le cylindre plein, le disque et la tige en sont des cas limites.

Q: Comment calculer le moment cinétique en un point qui n'est pas le centre d'inertie ?

Pour un point A lié au solide, vecσ (A) = barbar I(A,S) vecΩ + m overrightarrowAG wedge vec V(A ∈ S), la matrice et le vecteur rotation étant écrits dans la même base. Le second terme est nul si A est le centre d'inertie ou un point du solide de vitesse nulle, par exemple un point de l'axe fixe de rotation. Sinon, on peut aussi calculer en G et transporter : vecσ (A) = vecσ (G) + overrightarrowAG wedge m vec V(G).

TSI 2
Offert à l'essai

Masse, volume et centre d'inertie, matrice d'inertie et sa forme selon les symétries, théorème de Huygens pour un moment d'inertie, caractéristiques obtenues avec un modeleur volumique ; torseurs cinétique et dynamique d'un solide et d'un ensemble, moment dynamique dans des cas simples, énergie cinétique, inertie et masse équivalentes ramenées à un arbre ou à une translation, sur des systèmes réels des sujets CNC TSI génie mécanique.

20méthodes
31exercices corrigés
7problèmes
33pièges
128figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Pour dimensionner le moteur d'une chaîne de transmission ou comprendre pourquoi un rotor vibre, il faut savoir où est la masse : masse, volume et centre d'inertie, matrice d'inertie et sa forme selon les symétries de la pièce, théorème de Huygens pour transporter un moment d'inertie, valeurs obtenues avec un modeleur volumique. Le chapitre en tire les grandeurs cinétiques : torseur cinétique, résultante dynamique d'un ensemble de solides, moment dynamique dans les cas posés par les sujets, énergie cinétique, puis inertie et masse équivalentes ramenées à l'arbre moteur. Il suit le programme de génie mécanique de la TSI2 marocaine et prépare l'épreuve de génie mécanique du CNC, dont les sujets posent ces questions presque chaque année, souvent dès l'exercice préliminaire. Chaque méthode est rédigée pas à pas, et les exercices corrigés partent de sujets réels du CNC.

Ce que tu sauras faire

Un volant de presse, un tambour de convoyeur, le bras d'un robot de stockage, un chariot élévateur qui démarre : pour savoir quel couple il faut pour les lancer, quelle énergie il faut pour les arrêter et pourquoi leurs paliers vibrent, la masse ne suffit pas. Il faut savoir où elle est, puis ce que le mouvement « emporte ». Ce chapitre ouvre la mécanique de deuxième année en deux parties. La première (sections 1 à 14) décrit la répartition des masses : masse, volume, centre d'inertie, matrice d'inertie. La seconde (sections 15 à 26) en tire les grandeurs cinétiques : torseur cinétique, torseur dynamique, énergie cinétique, inertie et masse équivalentes. Le principe fondamental de la dynamique et le théorème de l'énergie cinétique, aux deux chapitres suivants, s'en servent à chaque ligne. Les sujets du CNC de génie mécanique posent ces questions presque chaque année, souvent dès l'exercice préliminaire. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

calculer le volume et la masse d'une pièce dessinée, et trouver le centre d'inertie d'un solide ou d'un ensemble de solides ;
écrire la matrice d'inertie d'un solide en un point et dans une base, et justifier sa forme par les symétries de la pièce, en les nommant ;
utiliser le tableau des solides usuels et transporter un moment d'inertie avec le théorème de Huygens ;
obtenir ces caractéristiques avec un modeleur volumique et contrôler ce qu'il affiche ;
écrire le torseur cinétique d'un solide ou d'un ensemble de solides, et la résultante dynamique d'un ensemble projetée sur un axe ;
calculer le moment dynamique dans les cas simples que posent les sujets ;
calculer l'énergie cinétique d'un solide et d'un ensemble de solides ;
ramener toutes les inerties d'une chaîne de transmission à un seul arbre ou à une seule translation (inertie et masse équivalentes) ;
contrôler un résultat, mesurer une inertie et comparer au modèle.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Masse, volume, centre d'inertie

$m = \int_S \mathrm{d}m = \rho\,V$ pour un solide homogène ; masse et volume additifs ; un évidement compte en négatif (volume et masse).
$1\ \text{mm}^3 = 10^{-9}\ \text{m}^3$ ; acier $\rho \approx 7\,850\ \text{kg/m}^3$ , aluminium $\approx 2\,700\ \text{kg/m}^3$ .
$\int_S \overrightarrow{GP}\,\mathrm{d}m = \vec 0$ , soit $m\,\overrightarrow{OG} = \int_S \overrightarrow{OP}\,\mathrm{d}m$ .
Ensemble : $\big(\sum m_i\big)\,\overrightarrow{OG} = \sum m_i\,\overrightarrow{OG_i}$ , en divisant par la masse totale ; avec les masses données, pas les aires.
$G$ est dans tout plan, sur tout axe, en tout centre de symétrie matérielle.
Demi-disque : $\frac{4R}{3\pi}$ du diamètre ; demi-boule : $\frac{3R}{8}$ ; cône plein : $\frac{3h}{4}$ du sommet.

À retenir Matrice d'inertie

\bar{\bar I}(O,S) = \begin{bmatrix} A & -F & -E \\ -F & B & -D \\ -E & -D & C \end{bmatrix}_{(\vec x,\vec y,\vec z)}

$A = \int (y^2 + z^2)\,\mathrm{d}m$ (on enlève la coordonnée de la ligne) ; $D = \int yz\,\mathrm{d}m$ , $E = \int xz\,\mathrm{d}m$ , $F = \int xy\,\mathrm{d}m$ (ligne × colonne).
Matrice symétrique, toujours écrite avec son point et sa base, liée au solide ; unité $\text{kg.m}^2$ .
Moments : répartition de la masse autour d'un axe ; produits : défaut de symétrie, balourds.
$\vec z$ direction principale si $D = E = 0$ .
Moment autour d'un axe incliné $(O, \vec u)$ , $\vec u = (\alpha, \beta, \gamma)$ , matrice diagonale : $I = A\alpha^2 + B\beta^2 + C\gamma^2$ .

À retenir Formes selon les symétries (exigible)

Symétrie (au point $O$ choisi sur elle)	Effet sur la matrice
plan de normale $\vec z$	$D = E = 0$
plan de normale $\vec x$	$E = F = 0$
plan de normale $\vec y$	$D = F = 0$
deux plans orthogonaux	diagonale, en un point de leur intersection
axe de symétrie d'ordre 2 selon $\vec z$	$D = E = 0$ seulement
révolution, ou ordre $n \geq 3$ , autour de $\vec z$	diagonale, $A = B$ , dans toute base contenant $\vec z$
plaque dans $(O, \vec x, \vec y)$	$D = E = 0$ et $C = A + B$
sphère	$A = B = C$ , dans toute base

Justifier : « le plan … est plan de symétrie matérielle, de normale … : les produits qui contiennent … sont nuls ».

À retenir Solides usuels (en G, axe de révolution

\vec z

)

Cylindre creux : $A = m\left(\frac{R_e^2 + R_i^2}{4} + \frac{h^2}{12}\right)$ , $C = m\,\frac{R_e^2 + R_i^2}{2}$ (signe plus) ; en déduire cylindre plein ( $R_i = 0$ ), tube ( $R_i = R_e$ ), disque ( $h = 0$ ), tige ( $R_e = R_i = 0$ ).
Pavé $a$ , $b$ , $c$ : $\frac{m}{12}\,\mathrm{diag}(b^2 + c^2,\ a^2 + c^2,\ a^2 + b^2)$ .
Tige : $\frac{mL^2}{12}$ au centre, $\frac{mL^2}{3}$ en bout. Sphère pleine $\frac25 mR^2$ , creuse $\frac23 mR^2$ .
Axe de révolution selon $\vec x$ ou $\vec y$ : permuter les termes.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Transporter un moment d'inertie avec le théorème de Huygens

Quand l’utiliser

Quand on veut le moment autour d'un axe qui ne passe pas par $G$ , connaissant le moment autour de l'axe parallèle passant par $G$ . C'est l'usage pratique du théorème que le programme demande.

Rappel de cours

$I_\Delta = I_{\Delta_G} + m\,d^2$ , avec $d$ la distance entre les deux axes parallèles. Le transport part toujours de l'axe passant par $G$ . Avec $\overrightarrow{AG} = (a, b, c)$ : $A_A = A_G + m(b^2 + c^2)$ , $B_A = B_G + m(a^2 + c^2)$ , $C_A = C_G + m(a^2 + b^2)$ .

Démarche

Repérer l'axe $\Delta_G$ parallèle à $\Delta$ et passant par $G$ .
Lire ou calculer $I_{\Delta_G}$ .
Mesurer la distance $d$ entre les axes (distance de $G$ à $\Delta$ , perpendiculairement) ; si $\overrightarrow{AG}$ a deux composantes perpendiculaires à l'axe, $d^2$ est la somme de leurs carrés.
Ajouter $m\,d^2$ ; contrôler que le résultat est plus grand que $I_{\Delta_G}$ .

Rédaction type

« D'après le théorème de Huygens, l'axe $\Delta_G$ passant par $G$ étant parallèle à $\Delta$ et à la distance $d$ : $I_\Delta = I_{\Delta_G} + m\,d^2$ . »

Exemple traité

Une pale de petite éolienne, tige de 1,5 m et de 4 kg, part de l'axe de rotation. Autour de l'axe parallèle par son centre : $\frac{1}{12} \times 4 \times 1{,}5^2 = 0{,}75\ \text{kg.m}^2$ . Distance de son centre à l'axe : 0,75 m. Donc $I = 0{,}75 + 4 \times 0{,}75^2 = 3{,}0\ \text{kg.m}^2$ , qu'on retrouve par la formule de la tige en bout, $\frac13 mL^2$ . Le moment au moyeu est quatre fois le moment propre : l'éloignement l'emporte.

Erreurs fréquentes

Oublier la masse : écrire $I_{\Delta_G} + d^2$ (un corrigé de référence du CNC l'a fait ; contrôle par l'unité).
Prendre pour $d$ une demi-longueur de pièce au lieu de la distance entre les deux axes.
Partir d'un axe qui ne passe pas par $G$ .
Donner le moment en $G$ alors que la question demande le moment autour de l'axe de rotation (rapport du CCINP 2020, filière PSI).

Pour s’entraîner

Exercices 1, 2, 20 et 21 ; problèmes 1 et 5.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice La tige du bras d'un déambulateur ★☆☆

Un déambulateur à roues : cadre, poignées, siège et quatre roues. Celui de l'exercice est robotisé : un bras mû par un vérin aide la personne à se lever.

Un déambulateur robotisé aide une personne à passer de la position assise à la position debout. Il avance en translation rectiligne uniforme sur un sol horizontal ; on étudie son bras inférieur 3, en liaison pivot d'axe $(O,\vec z_0)$ avec le châssis 1. Le repère $R_3 = (O,\vec x_3,\vec y_3,\vec z_0)$ est lié au bras, avec $\alpha(t) = (\vec x_0,\vec x_3)$ . Le bras est assimilé à une tige homogène de masse $m_3$ et de longueur $c$ , de centre d'inertie $G_3$ tel que $\overrightarrow{OG_3} = \dfrac{c}{2}\,\vec x_3$ , de moment d'inertie $I_{(G_3,\vec z_0)} = \dfrac{m_3c^2}{12}$ . Le vérin agit sur le bras au point $E$ , avec $\overrightarrow{OE} = a\,\vec x_3$ ; on donne $c = 0{,}55$ m et $a = 0{,}115$ m.

Le bras 3 en liaison pivot avec le châssis en O ; le vérin agit en E ; la poignée est articulée en D. — Le bras 3 en liaison pivot avec le châssis en $O$ ; le vérin agit en $E$ ; la poignée est articulée en $D$ .

À l'aide du théorème de Huygens, déterminer le moment d'inertie $I_{(O,\vec z_0)}$ du bras par rapport à l'axe $(O,\vec z_0)$ .
Déterminer l'énergie cinétique $T(3/1)$ du bras dans son mouvement par rapport au châssis.
La tige du vérin sort à 18 mm/s, ce qui donne $\lVert\vec V(E\in 3/1)\rVert = 18$ mm/s. En déduire $\dot\alpha$ , puis, question ajoutée, l'énergie cinétique du bras par kilogramme de bras.

Indications

Méthodes 5, 16 et 19. Huygens se pratique entre l'axe qui passe par $G_3$ et un axe parallèle : la distance à prendre est celle qui sépare les deux axes. Le châssis est en translation uniforme : le bras tourne autour d'un axe fixe dans le repère du châssis.

Correction détaillée

1. Les axes $(G_3,\vec z_0)$ et $(O,\vec z_0)$ sont parallèles, séparés de $OG_3 = c/2$ :

I_{(O,\vec z_0)} = I_{(G_3,\vec z_0)} + m_3\left(\frac{c}{2}\right)^2 = \frac{m_3c^2}{12} + \frac{m_3c^2}{4} = \frac{m_3c^2}{3}.

On retrouve le moment d'une tige autour de l'une de ses extrémités, quatre fois celui autour de son milieu.

2. Le bras tourne autour de l'axe $(O,\vec z_0)$ , fixe dans le repère du châssis, à la vitesse $\dot\alpha$ :

T(3/1) = \frac12\,I_{(O,\vec z_0)}\,\dot\alpha^2 = \frac{m_3c^2\dot\alpha^2}{6}.

3. $E$ décrit un cercle de rayon $a$ autour de $O$ : $\lVert\vec V(E\in 3/1)\rVert = a\,\lvert\dot\alpha\rvert$ , d'où $\lvert\dot\alpha\rvert = \dfrac{0{,}018}{0{,}115} \approx 0{,}157$ rad/s. Puis

\frac{T}{m_3} = \frac{0{,}55^2\times 0{,}157^2}{6} \approx 1{,}24\cdot10^{-3}\ \text{J/kg}.

Un bras de quelques kilogrammes emporte quelques millijoules. L'énergie cinétique du bras est très faible : ce sont le poids de la personne et du bras qui dimensionneront le vérin, au chapitre « Approche énergétique ».

Méthodes à retenir

Une tige en rotation autour d'une extrémité : $\dfrac{mL^2}{3}$ , par Huygens depuis le milieu, avec la distance entre les deux axes (méthode 5). Rotation autour d'un axe fixe : $T = \frac12 I_\Delta\,\dot\theta^2$ (méthode 16).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 20 méthodes, 33 pièges corrigés, la carte mentale, 31 exercices corrigés, 7 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Ce chapitre est offert : il s’ouvre en entier avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Pourquoi la répartition des masses compte
2. Solide indéformable et repère lié
3. Volume et masse
4. Centre d'inertie
- 4.1 Définition
- 4.2 Symétries matérielles et centre d'inertie
- 4.3 Ensemble de solides et solides évidés
- 4.4 Positions usuelles
5. Moment d'inertie par rapport à un axe
6. Opérateur et matrice d'inertie en un point
- 6.1 Définition
- 6.2 Lire la matrice
- 6.3 Ce que disent les produits d'inertie
7. Moment d'inertie autour d'un axe incliné
8. Directions principales
9. Forme de la matrice et géométrie de la pièce
- 9.1 Un plan de symétrie
- 9.2 Deux plans de symétrie orthogonaux
- 9.3 Axe de révolution, symétrie d'ordre n, axe d'ordre 2
- 9.4 Cas particuliers : plaque, tige, sphère
10. Solides usuels : une formule mère et ses cas limites
11. Théorème de Huygens
- 11.1 L'énoncé vectoriel
- 11.2 L'usage pratique : transporter un moment
- 11.3 Entre deux axes dont aucun ne passe par G
12. Solides composés, évidés, masses ponctuelles
13. Obtenir les caractéristiques avec un modeleur volumique
14. Mesurer un moment d'inertie
15. Pourquoi la cinétique
16. Rappels utiles
17. Quantité de mouvement
18. Torseur cinétique
- 18.1 Définition et changement de point
- 18.2 Calcul pratique du moment cinétique
- 18.3 Ensemble de solides
19. Mouvements élémentaires à reconnaître
20. Torseur dynamique
- 20.1 Définition et résultante dynamique
- 20.2 Le moment dynamique dans des cas simples
- 20.3 Ce que le moment dynamique annonce
21. Énergie cinétique
- 21.1 Définition et calcul
- 21.2 Ensemble de solides et termes croisés
22. Inertie équivalente et masse équivalente
- 22.1 Définition et convention
- 22.2 La méthode en quatre étapes
- 22.3 La part de chaque terme
- 22.4 Véhicules et nombre de chaînes
- 22.5 Une inertie équivalente qui dépend de la position
- 22.6 Pas de rendement ici
23. Contrôler un résultat d'inertie ou de cinétique
24. Mesurer une inertie équivalente
25. Sur le sujet : l'épreuve de génie mécanique du CNC
26. Ce qui vient ensuite

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Trouver un centre d'inertie
Calculer le volume et la masse d'une pièce dessinée
Justifier la forme d'une matrice par les symétries
Écrire la matrice d'un solide usuel, et permuter les axes
Transporter un moment d'inertie avec le théorème de Huygens
Passer d'un axe à un axe parallèle quand aucun ne passe par G
Calculer le moment autour d'un axe incliné
Assembler un solide composé ou évidé
Ajouter des masses ponctuelles
Obtenir et exploiter les caractéristiques d'un modeleur volumique
Choisir le point et la base, calculer un moment cinétique en G ou en un point fixe
Calculer un moment cinétique en un point lié au solide quelconque
Reconnaître un mouvement élémentaire avant tout calcul
Calculer la résultante dynamique d'un solide ou d'un ensemble et la projeter sur un axe
Calculer un moment dynamique : cas simples, puis point mobile par le centre d'inertie
Calculer une énergie cinétique
Déterminer une inertie équivalente ramenée sur un arbre
Déterminer une masse équivalente, ou une inertie équivalente qui dépend de la position
Contrôler un résultat et répondre sur le document réponse de l'épreuve de génie mécanique
Mesurer un moment d'inertie ou une inertie équivalente et comparer au modèle

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (12)

La tige du bras d'un déambulateur
Le bélier du fouloir d'un broyeur
Le parc échelle d'un camion de pompiers
L'arbre à excentrique d'une pompe haute pression
Une formule mère, six solides
La forme de la matrice de cinq pièces dessinées
La tête d'amarrage d'une éprouvette de traction
Trois véhicules en translation
Le réducteur à trois arbres
La vis à billes d'une porte coulissante
Le convoyeur d'une unité de bouteilles
La masse équivalente d'un scooter

Entraînement (14)

La tête de vissage d'une machine de remplissage
Le bras porte-scanners d'un système de numérisation 3D
Le porte-pièce d'un centre d'usinage cinq axes
Le volant d'une machine de soudage par friction
Le vilebrequin d'une scie d'élagage
Un disque percé : centre d'inertie et moment
Le rouleau et le bandeau d'un panneau d'affichage déroulant
Un étage d'optique décalé : un seul moment à transporter
Le pont roulant : une charge au bout du câble
Le rugosimètre et sa tête optique
Le véhicule autoguidé de livraison de médicaments
Le banc d'essai d'une transmission d'hélicoptère
Un élévateur à parallélogramme
Une trappe qui tourne autour de sa diagonale

Approfondissement (5)

La pompe d'un distributeur automatique de barres
Le vilebrequin et son contrepoids
La bielle d'un moteur deux temps
Le robot mobile : inertie de roue du modeleur, inertie mesurée
Le rotor d'une éolienne de 2 MW

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

L'impression 3D de maisons en béton
CNC 2019, filière TSI, Génie mécanique, partie 1 « Etude préliminaire », questions 1-10 et 1-11, et partie 3 « Choix des actionneurs du système », questions 3-1 à 3-6
L'arbre d'extraction de polyane
CNC 2018, filière TSI, Génie mécanique, partie 3 « Motorisation du système de diminution du diamètre de l'arbre d'extraction », questions 3-1 et 3-3, et partie 4 « Etude du réducteur- choix du moteur d'entraînement », questions 4-1, 4-2, 4-4 et 4-5
Le robot de stockage d'une unité de bouteilles
CNC 2026, filière TSI, Génie mécanique, partie 4 « Étude du robot de stockage », questions 4-2 à 4-6
Le robot enjambeur de désherbage
CNC 2025, filière TSI, Génie mécanique, partie 3 « Validation de la géométrie du robot à l'équilibre », questions 17 et 18, et partie 5 « Dimensionnement de la motorisation du robot », question 29
Le contrepoids d'une grue télescopique de prise de vue
CNC 2017, filière TSI, Génie mécanique, partie A « Position du contrepoids et sa mise en mouvement », questions 1° à 7°, et données de la partie B « Effort exercé par le machiniste pour changer la position du télescope »
La charge d'une grue à tour
CNC 2012, filière TSI, Génie mécanique, partie B « Etude dynamique de la grue », questions B2 à B4
Le réducteur et le lanceur d'une turbine à gaz
CCINP 2022, filière TSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie V « Démarrage de la turbine à gaz », sous-partie V.2 « Inertie équivalente du système », questions 18 à 20

Questions fréquentes

Comment justifier la forme d'une matrice d'inertie par les symétries ?

On nomme chaque symétrie avec son point, son plan ou son axe, et les termes qu'elle annule. Un plan de symétrie de normale $\vec z$ annule les deux produits qui contiennent $z$ , $D = E = 0$ ; deux plans orthogonaux rendent la matrice diagonale en un point de leur intersection ; un axe de révolution, ou une symétrie d'ordre $n \geq 3$ comme un bloc à trois pales à 120°, donne une matrice diagonale avec deux moments égaux. Un axe d'ordre 2 n'annule que deux produits. Le programme de génie mécanique déclare cette relation entre la forme de la matrice et la géométrie de la pièce exigible.

Comment utiliser le théorème de Huygens en TSI ?

Le programme présente le théorème sous forme vectorielle mais limite son usage pratique au transport d'un seul moment d'inertie. On part toujours de l'axe parallèle passant par le centre d'inertie : $I_\Delta = I_{\Delta_G} + m\,d^2$ , avec $d$ la distance entre les deux axes. Un décalage le long de $\vec x$ change les moments autour de $\vec y$ et de $\vec z$ , pas celui autour de $\vec x$ . Entre deux axes dont aucun ne passe par $G$ , on revient d'abord à l'axe par $G$ .

Quel est le moment d'inertie d'un cylindre creux ?

Autour de son axe, $C = \frac12 m(R_e^2 + R_i^2)$ , avec un signe plus. Contrôle : quand le rayon intérieur tend vers le rayon extérieur, on retrouve le tube mince $mR^2$ . Autour d'un axe perpendiculaire passant par $G$ , $A = m\left(\frac{R_e^2 + R_i^2}{4} + \frac{h^2}{12}\right)$ ; le cylindre plein, le disque et la tige en sont des cas limites.

Comment calculer le moment cinétique en un point qui n'est pas le centre d'inertie ?

Pour un point $A$ lié au solide, $\vec\sigma(A) = \bar{\bar I}(A,S)\,\vec\Omega + m\,\overrightarrow{AG} \wedge \vec V(A \in S)$ , la matrice et le vecteur rotation étant écrits dans la même base. Le second terme est nul si $A$ est le centre d'inertie ou un point du solide de vitesse nulle, par exemple un point de l'axe fixe de rotation. Sinon, on peut aussi calculer en $G$ et transporter : $\vec\sigma(A) = \vec\sigma(G) + \overrightarrow{AG} \wedge m\,\vec V(G)$ .

Comment calculer une inertie équivalente ramenée à l'arbre moteur ?

On écrit l'énergie cinétique de chaque solide de la chaîne, puis toutes les vitesses en fonction de la vitesse du moteur par les rapports de transmission, et l'on identifie $E_c = \frac12 J_{\text{éq}}\,\omega_m^2$ . Avec un rapport $k = \omega_{\text{sortie}}/\omega_{\text{entrée}}$ , une inertie de sortie arrive au moteur multipliée par $k^2$ ; une masse entraînée par une vis de pas $p$ apporte $M\,q^2$ avec $q = p/(2\pi)$ . On ne met pas de rendement dans l'inertie équivalente, et une inertie déjà donnée ramenée au moteur ne se multiplie pas une seconde fois.

Le moment dynamique est-il au programme de génie mécanique TSI ?

Le programme dit qu'il peut être introduit sur quelques cas simples sans que sa maîtrise soit exigible ni évaluée. La résultante dynamique, elle, est exigible. Des sujets récents du CNC demandent pourtant un moment dynamique : on le calcule en $G$ ou en un point fixe en dérivant le moment cinétique, et en un point mobile $A$ on passe par $G$ avec $\vec\delta(A) = \vec\delta(G) + \overrightarrow{AG} \wedge m\,\vec a(G)$ .

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