Dynamique des solides et des systèmes en génie mécanique TSI : principe fondamental, stratégie d'isolement et équilibrage dynamique, cours et exercices corrigés

TSI 2
Offert à l'essai

Principe fondamental de la dynamique d'un solide et d'un ensemble dans un référentiel galiléen, graphe de structure et d'analyse, choix des isolements et des équations, couple moteur quand le mouvement est imposé, loi du mouvement quand les efforts sont connus, actions dans les liaisons, résolution numérique, adhérence et basculement, efforts tournants d'un rotor et équilibrage dynamique traité comme application du principe fondamental, sur des systèmes réels des sujets CNC TSI génie mécanique.

19méthodes
33exercices corrigés
7problèmes
27pièges
133figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Le principe fondamental de la dynamique relie, dans un référentiel galiléen, les actions extérieures à un ensemble de solides à son torseur dynamique : il donne le théorème de la résultante dynamique et le théorème du moment dynamique. Le chapitre apprend surtout à choisir : tracer le graphe de structure et d'analyse, choisir l'isolement et l'équation qui donnent le couple moteur sans les inconnues des liaisons, puis les actions dans les liaisons ou la loi du mouvement, résolue à la main ou par simulation numérique. Il traite aussi les limites du contact (adhérence, report de charge, basculement) et l'équilibrage dynamique d'un rotor, présenté comme une application du principe fondamental. Il suit le programme de génie mécanique de la TSI2 marocaine et prépare l'épreuve de génie mécanique du CNC, dont les sujets posent presque chaque année une question de démarche, de basculement, d'adhérence ou d'équilibrage. Chaque méthode est rédigée pas à pas, et les exercices et problèmes corrigés partent de sujets réels du CNC.

Ce que tu sauras faire

Quel couple faut-il pour lancer le bol d'un décanteur en quelques secondes, quel effort supporte la tige d'un vérin qui soulève une charge en accélérant, jusqu'à quelle accélération un chariot élévateur reste-t-il sur ses quatre roues, pourquoi les paliers d'un rotor mal équilibré s'usent-ils si vite ? Ces questions demandent les actions mécaniques qui produisent un mouvement, et non plus seulement celles qui maintiennent un équilibre. C'est l'objet de la dynamique : le principe fondamental relie les actions extérieures au torseur dynamique calculé au chapitre « Grandeurs inertielles et cinétiques ». Les sujets du CNC de génie mécanique en posent presque chaque année, avec des questions de démarche, de basculement, d'adhérence et d'équilibrage. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

écrire le principe fondamental de la dynamique pour un solide ou un ensemble de solides, dans un référentiel galiléen ;
tracer le graphe de structure et d'analyse d'un mécanisme, compter équations et inconnues, et choisir l'isolement, le théorème, le point et l'axe qui donnent l'inconnue cherchée sans les autres ;
trouver un couple ou un effort moteur quand le mouvement est imposé, puis les actions dans les liaisons ;
établir la loi du mouvement quand les efforts extérieurs sont connus, la résoudre à la main dans les cas simples, ou par une simulation numérique ;
vérifier qu'un contact tient : pas de glissement, pas de décollement, pas de basculement ;
écrire les actions des paliers d'un rotor, reconnaître les efforts qui tournent avec lui et l'équilibrer, comme application du principe fondamental ;
contrôler un résultat et conclure sur l'exigence du cahier des charges.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Le principe fondamental de la dynamique

Dans un référentiel $R_0$ galiléen (le sol, supposé galiléen), pour tout ensemble $\Sigma$ :
$\{\mathcal T(\bar \Sigma \to \Sigma)\} = \{\mathcal D(\Sigma/R_0)\} = \sum_i \{\mathcal D(S_i/R_0)\},$
tous les torseurs écrits au même point.
Théorème de la résultante dynamique : $\vec R(\bar \Sigma \to \Sigma) = \sum_i m_i\,\vec a(G_i/R_0)$ . Exigible sans réserve.
Théorème du moment dynamique, en un point $A$ quelconque : $\vec M_A(\bar \Sigma \to \Sigma) = \sum_i \vec\delta(A,S_i/R_0)$ .
Cas simples du moment dynamique (les seuls à savoir, ni exigibles ni évalués au-delà) : rotation autour d'un axe fixe, $\vec\delta(O)\cdot\vec z = J\,\ddot\theta$ ; translation, $\vec\delta(G) = \vec 0$ et $\vec\delta(A) = \overrightarrow{AG} \wedge m\,\vec a(G)$ ailleurs ; masse ponctuelle ; en $G$ ou en un point fixe sur un axe fixe, la dérivée du scalaire $\vec\sigma\cdot\vec u$ . Tout autre cas est donné par l'énoncé.
Le principe fondamental de la statique en est le cas particulier où le torseur dynamique est nul ; la réciproque est fausse.
Ensemble de solides : un torseur dynamique par solide, au même point, puis la somme ; jamais de torseur « équivalent ».

À retenir La stratégie d'isolement

Référentiel galiléen dit ; graphe de structure (solides, liaisons), puis graphe d'analyse (pesanteur, actionneurs, inconnues, frontières).
Compter : 6 équations par solide isolé (3 en plan), inconnues de liaison et motrices ; autant d'équations de mouvement que de paramètres de mouvement.
Chaîne ouverte : isoler tout l'aval de la liaison cherchée ; jamais le bâti ; une seule liaison coupée.
Chaîne fermée : d'abord les solides à deux actions (glisseur de direction connue), puis la liaison à beaucoup de zéros, puis des isolements successifs.
Choisir l'équation par les zéros de la liaison coupée :

La règle des zéros : pivot d'axe (A,\vec z), TMD en A sur \vec z ; glissière de direction \vec x, TRD sur \vec x ; sphérique de centre A, TMD en A. — La règle des zéros : pivot d'axe $(A,\vec z)$ , TMD en $A$ sur $\vec z$ ; glissière de direction $\vec x$ , TRD sur $\vec x$ ; sphérique de centre $A$ , TMD en $A$ .

Une composante non recherchée se marque d'un tiret, jamais d'un zéro.
Une question de démarche se répond par un tableau : ensemble isolé, théorème, point et axe, inconnues évitées.

À retenir Les deux problèmes types

Ce qui est connu	Ce qu'on cherche	Équation
le mouvement (loi imposée)	le couple ou l'effort moteur	celle qui élimine les inconnues de liaison
le mouvement	les actions dans les liaisons	les autres équations de l'isolement
les efforts extérieurs	la loi de mouvement	une équation de mouvement, sans inconnue de liaison
les efforts, un paramètre constant	une position d'équilibre relatif	équation de mouvement avec dérivées nulles

On n'impose jamais à la fois l'effort et le mouvement dans la même liaison.
Loi en trapèze : accélération pendant $V/a$ sur $V^2/(2a)$ ; durée totale $L/V + V/a$ .
Transmission parfaite de rapport $k = \omega_s/\omega_e$ : $C_e = k\,C_s$ ; on remonte de la charge vers le moteur, en ajoutant sur chaque arbre $J\,\dot\omega$ . Le rendement est au chapitre « Approche énergétique ».
Levage : $T = m(g + \ddot z)$ , avec $\ddot z$ algébrique sur la verticale ascendante.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Choisir le théorème, le point et l'axe par les zéros, et rédiger la stratégie en tableau

Quand l’utiliser

Une fois l'isolement choisi (compétence : analyser), pour écrire l'équation qui donne l'inconnue cherchée sans les inconnues de la liaison coupée ; et pour toute question « sans calcul, préciser le système isolé et l'équation » (compétence : communiquer).

Rappel de cours

Pivot d'axe $(A,\vec z)$ : TMD en $A$ sur $\vec z$ ; glissière de direction $\vec x$ : TRD sur $\vec x$ ; pivot glissant d'axe $(A,\vec z)$ : TRD ou TMD en $A$ sur $\vec z$ ; sphérique de centre $A$ : TMD en $A$ ; appui plan de normale $\vec z$ : TRD sur $\vec x$ ou $\vec y$ , TMD sur $\vec z$ . Une démarche se décrit par l'ensemble isolé, le théorème, le point et l'axe, les inconnues évitées.

Démarche

Écrire le torseur de la liaison coupée dans son repère privilégié, avec ses zéros.
Choisir l'équation qui correspond à un zéro : elle ne contient aucune inconnue de cette liaison.
Vérifier que les autres actions de l'équation sont connues, sauf l'inconnue cherchée.
Pour une question de démarche, une ligne de tableau par inconnue, sans calcul ; sinon, la phrase type, puis l'équation, puis le résultat littéral et numérique.

Rédaction type

« On isole le plateau 1. On écrit le TMD en $O$ en projection sur $\vec z_0$ , dans $R_0$ supposé galiléen, pour éliminer les cinq inconnues de la liaison pivot d'axe $(O,\vec z_0)$ : $C_m - C_r = J\,\ddot\theta$ . »

Inconnue	Ensemble isolé	Théorème	Point, axe	Inconnues évitées
$F_z$	{3}	TRD	sur $\vec z_0$	glissière 2-3

Exemple traité

Le plateau tournant d'une banderoleuse de palettes : plateau et palette ont un moment d'inertie $J = 60\ \text{kg.m}^2$ sur l'axe vertical, centre d'inertie sur l'axe. On veut atteindre 12 tr/min en 2 s. Valeurs choisies pour l'exemple. On isole {plateau, palette} ; la liaison avec le bâti est une pivot d'axe $(O,\vec z_0)$ : TMD en $O$ sur $\vec z_0$ . Le poids, sur l'axe, n'y a pas de moment. $\ddot\theta = (12 \times 2\pi/60)/2 = 0{,}628\ \text{rad.s}^{-2}$ , et le couple vaut $J\,\ddot\theta \approx 37{,}7$ N.m, sans aucune inconnue de liaison.

Le robot cartésien de dépose d'une presse à injection : le chariot 1 coulisse sur le bâti selon $\vec x_0$ (moteur $F_x$ ), le coulisseau 2 sur le chariot selon $\vec y_0$ (moteur $F_y$ ), le bras vertical 3 sur le coulisseau selon $\vec z_0$ (moteur $F_z$ ). Démarche : pour $F_z$ , {3}, TRD sur $\vec z_0$ ; pour $F_y$ , {2, 3}, TRD sur $\vec y_0$ ; pour $F_x$ , {1, 2, 3}, TRD sur $\vec x_0$ . Chaque frontière ne coupe qu'une glissière, et chaque projection est le zéro de cette glissière.

Erreurs fréquentes

Écrire le TMD en un point qui n'est pas sur l'axe de la pivot : ses inconnues de résultante y ont un moment.
Écrire le TRD pour un couple moteur : la résultante ne contient pas les couples.
Écrire des calculs quand le sujet demande une démarche, ou oublier le point et l'axe du TMD dans le tableau.

Pour s’entraîner

Exercices 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16 et 29 ; problème 3.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Le carton sur un convoyeur qui accélère : glisse-t-il ou bascule-t-il ? ★☆☆

Un convoyeur de centre logistique : une bande inclinée, puis des rouleaux en courbe ; les cartons attendent à droite.

Un convoyeur à bande transporte des cartons vers un poste d'emballage. En marche normale, la bande avance à vitesse constante et les cartons suivent par adhérence ; le démarrage et l'arrêt peuvent les faire glisser ou basculer. On étudie un carton 2, homogène, de largeur $a$ (dans le sens du mouvement), de hauteur $h$ , de masse $m$ et de centre d'inertie $G$ , posé sur la bande 1. La bande est en translation rectiligne de direction $\vec x_0$ par rapport au bâti 0, à la vitesse $v_{10}(t)$ ; le repère $R_0(O,\vec x_0,\vec y_0,\vec z_0)$ du bâti est galiléen, $\vec y_0$ vertical ascendant. Le frottement au contact est caractérisé par le coefficient $f$ . Le problème est plan, dans $(\vec x_0,\vec y_0)$ .

Le carton 2 sur la bande 1 qui accélère : largeur a, hauteur h, centre d'inertie G ; I et J sont les arêtes arrière et avant du contact. — Le carton 2 sur la bande 1 qui accélère : largeur $a$ , hauteur $h$ , centre d'inertie $G$ ; $I$ et $J$ sont les arêtes arrière et avant du contact.

Caractériser le mouvement de la bande par rapport au bâti, et le mouvement souhaité du carton par rapport à la bande.
Tracer le graphe de structure du problème, avec les actions extérieures au carton.
Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué au carton dans son mouvement par rapport au bâti, quand il ne glisse pas.
Déterminer l'accélération maximale de la bande sans glissement du carton.
Autour de quelle arête le carton bascule-t-il quand la bande accélère ? Exprimer la condition de non-basculement.
Avec $f = 0{,}5$ et un carton de $a = 0{,}2$ m, $h = 0{,}5$ m (valeurs choisies), posé debout puis couché ( $a = 0{,}5$ m, $h = 0{,}2$ m), dire ce qui se produit en premier et calculer l'accélération limite.

Indications

Méthodes 1, 15 et 16. Sans glissement, le carton est en translation avec la bande : son moment dynamique est nul en $G$ , et seulement en $G$ . L'action de la bande est répartie sur toute la face d'appui : son point d'application $P$ doit rester entre $I$ et $J$ .

Correction détaillée

1. La bande est en translation rectiligne de direction $\vec x_0$ ; on souhaite que le carton reste immobile par rapport à elle : il a alors le même mouvement, d'accélération $\dot v_{10}\,\vec x_0$ .

2. Graphe : bâti 0, bande 1 (glissière de direction $\vec x_0$ avec 0, mouvement imposé), carton 2 (appui plan avec frottement sur 1), pesanteur sur 2. On isole le carton : ses actions extérieures sont la pesanteur et l'action de la bande, rien d'autre.

Le graphe de structure : le bâti 0, la bande 1 au mouvement imposé, le carton 2 isolé (frontière en pointillés) ; ses actions extérieures sont la pesanteur et l'action de la bande.

3. L'action de la bande se réduit à une force $T\,\vec x_0 + N\,\vec y_0$ appliquée en un point $P$ de la face d'appui, d'abscisse $u$ par rapport à la verticale de $G$ ( $-a/2 \le u \le a/2$ ). En translation, $\vec\delta(G) = \vec 0$ . Le principe fondamental en $G$ donne

T = m\dot v_{10},\qquad N - mg = 0,\qquad uN + \frac h2\,T = 0,

la troisième équation étant le théorème du moment dynamique en $G$ sur $\vec z_0$ .

4. Coulomb : pas de glissement tant que $\lvert T\rvert \le fN$ , soit $\lvert\dot v_{10}\rvert \le f\,g$ .

5. $u = -\dfrac{h\,\dot v_{10}}{2g}$ : quand la bande accélère, le point d'application recule vers l'arête arrière $I$ . Le carton bascule autour de $I$ quand $P$ atteint $I$ . Non-basculement : $\lvert u\rvert \le a/2$ , soit $\lvert\dot v_{10}\rvert \le g\,\dfrac ah$ . Au freinage, il basculerait vers l'avant, autour de $J$ . Les deux conditions ensemble :

\lvert\dot v_{10}\rvert \le g\,\min\left(f,\ \frac ah\right).

6. Debout : $a/h = 0{,}4 < f$ , le carton bascule le premier, dès $0{,}4\times 9{,}81 = 3{,}92\ \text{m.s}^{-2}$ (il ne glisserait qu'à $4{,}91$ ). Couché : $a/h = 2{,}5 > f$ , il glisse le premier, à $4{,}91\ \text{m.s}^{-2}$ , loin du basculement ( $24{,}5$ ). Pour les deux positions, l'accélération de la bande doit rester sous $3{,}92\ \text{m.s}^{-2}$ . L'expérience se fait à la maison avec une boîte posée debout puis couchée sur un livre qu'on tire d'un coup sec.

Méthodes à retenir

Un contact se vérifie après coup : on calcule les actions avec le mouvement supposé, puis on teste l'adhérence et la position du point d'application (méthodes 15 et 16). En translation, le moment dynamique n'est nul qu'en $G$ (méthode 7).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 19 méthodes, 27 pièges corrigés, la carte mentale, 33 exercices corrigés, 7 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Ce chapitre est offert : il s’ouvre en entier avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Pourquoi la dynamique
2. Référentiel galiléen
3. Actions mécaniques extérieures : rappel
4. Principe fondamental de la dynamique
5. Théorèmes généraux
6. Graphe de structure et d'analyse
7. Compter équations et inconnues
8. Choix des isolements et des équations
- 8.1 Chaîne ouverte
- 8.2 Chaîne fermée
- 8.3 La règle des zéros
- 8.4 Problème plan et composantes non recherchées
- 8.5 Un exemple complet : le couple de lancement d'un bol de décanteur
- 8.6 La stratégie en tableau
9. Les deux problèmes types
- 9.1 Le mouvement est imposé : actions et couple moteur
- 9.2 Les efforts extérieurs sont connus : loi du mouvement
- 9.3 À travers une transmission
10. Actions dans les liaisons
11. Résoudre : à la main ou par simulation numérique
- 11.1 Ce que fait un logiciel de simulation
- 11.2 Le même travail en quelques lignes : la méthode d'Euler
- 11.3 Lire une courbe de simulation
12. Équilibre relatif et petits mouvements
13. Limites de validité : rester en contact, ne pas glisser, ne pas basculer
- 13.1 Adhérence au démarrage et au freinage
- 13.2 Basculement d'un solide en translation
- 13.3 Glissement ou basculement : lequel d'abord ?
14. Solide en rotation autour d'un axe fixe
15. Les efforts qui tournent
16. L'équilibrage dynamique, application du principe fondamental
- 16.1 Ce qu'on veut
- 16.2 Ce que le principe fondamental impose
- 16.3 Réaliser l'équilibrage
- 16.4 Les machines d'équilibrage
- 16.5 Ce que l'équilibrage ne peut pas faire
17. Contrôler un résultat de dynamique
18. Mesurer et comparer
19. Sur le sujet : l'épreuve de génie mécanique du CNC
20. Ce qui vient ensuite

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Choisir le référentiel galiléen et écrire le principe fondamental
Tracer le graphe de structure, puis le graphe d'analyse et la frontière
Reconnaître le problème : mouvement imposé ou efforts connus
Compter équations et inconnues avant de calculer
Choisir l'isolement : chaîne ouverte, chaîne fermée, jamais le bâti
Choisir le théorème, le point et l'axe par les zéros, et rédiger la stratégie en tableau
Écrire les quantités d'accélération du programme
Répondre à une question guidée de moment dynamique
Trouver un couple ou un effort moteur quand le mouvement est imposé
Enchaîner les isolements à travers une transmission
Déterminer les actions dans les liaisons
Établir l'équation de mouvement et la résoudre dans les cas simples
Résoudre numériquement une équation de mouvement ou exploiter une simulation
Trouver une position d'équilibre relatif
Vérifier le non-glissement au démarrage ou au freinage
Vérifier le non-basculement, et comparer avec le glissement
Écrire les actions des paliers d'un rotor et reconnaître les termes tournants
Équilibrer un rotor : conditions déduites du principe fondamental, puis deux masses dans deux plans
Contrôler un résultat et répondre sur le document réponse de l'épreuve de génie mécanique

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (12)

Le balourd d'une broche de soudage par friction
La démarche sans calcul : le portique d'impression 3D
Le tambour d'un convoyeur de bouteilles : couple transmis par adhérence
Le carton sur un convoyeur qui accélère : glisse-t-il ou bascule-t-il ?
Le couple pour lever une lisse de barrière
Une loi de vitesse en trapèze : durée, accélération et effort moteur
Le miroir orienté par un vérin : équation de mouvement
La masse au bout d'un bras sans masse : actions de la liaison
Le bras d'orientation d'un chargeur de bobines : couple moteur
La démarche sans calcul : tableau des isolements d'un robot à trois axes
Le rotor à matrice pleine : six équations, équation de mouvement et équilibrage
Classer des rotors, et le porte-outil d'un centre d'usinage

Entraînement (14)

Le robot de stockage d'une unité de bouteilles : isolements et équations
La charge d'une grue à tour : quelle équation pour le mouvement ?
Le bras de transfert de tubes de sang : tableau des isolements et efforts des axes linéaires
Le centre d'usinage : couple de l'axe et effort du coulisseau
L'axe linéaire à vis à billes : couple moteur
La pompe à excentrique : couple moteur, puis sur un tour
L'excentrique d'un analyseur de sang : couple moteur et efforts du palier
Le chariot de transfert de moules : les galets moteurs glissent-ils ?
Le véhicule au freinage : répartition des charges et décollement de l'arrière
Le robot de service qui saisit un pot : bascule-t-il, glisse-t-il ?
Le robot à trois mobilités : compter, puis isoler
Le rotor d'une soufflante sur deux paliers : termes tournants, puis équilibrage
Une seule masselotte ne suffit pas : le rotor d'un broyeur
La roue et ses deux masselottes dans les gorges de jante

Approfondissement (7)

La pompe à pistons axiaux : le patin reste-t-il en contact ?
Le scooter de livraison dans un virage : inclinaison et vitesse limite
Le mandrin anti-centrifuge d'un tour : le serrage baisse quand la vitesse monte
La lisse de barrière à couple constant : mouvement et actions du pivot par simulation
La centrifugeuse humaine : contrepoids fixes et mobiles
Le treuil d'un pont roulant : montée, descente et quadrants du moteur
Les masses contrarotatives d'un vibreur de fonçage

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le chariot élévateur en marche arrière : basculement à l'accélération
CNC 2022, filière TSI, Génie mécanique, partie D « Etude du basculement sous l'effet dynamique en marche arrière », questions D1 à D4
Le robot enjambeur sur une pente et dans un virage
CNC 2025, filière TSI, Génie mécanique, partie 3 « Validation de la géométrie du robot à l'équilibre », questions 19 et 20, et partie 4 « Validation de la géométrie du robot en mouvement », questions 21 à 26
Le déambulateur robotisé dans une montée
CNC 2021, filière TSI, Génie mécanique, partie II « MODE ASSISTANCE A LA MARCHE », questions Q32 à Q37
Le scooter : équilibrage du monocylindre et embrayage centrifuge
CNC 2015, filière TSI, Génie mécanique, partie B « Equilibrage du système (piston, bielle, vilebrequin) », questions 4° à 9°, et partie C « Embrayage centrifuge », questions 10° à 14°
Le pont roulant : balancement de la charge
CNC 2013, filière TSI, Génie mécanique, partie B « Etude du balancement de la charge », questions B1 à B6
Le transpalette : test de basculement en virage
CNC 2011, filière TSI, Génie mécanique, partie VI « Aspects cinématiques et dynamiques du transpalette », questions 27° à 32°
La turbine d'une centrale osmotique : conditions d'équilibrage et masselottes
X-ENS 2017, filière PSI, épreuve de Modélisation, partie F « EQUILIBRAGE DE LA TURBINE », sous-parties I « Conditions d'équilibrage de la turbine », II « Equilibrage avec une masselotte » et III « Equilibrage avec deux masselottes », questions 43 à 48

Questions fréquentes

Que dit le principe fondamental de la dynamique ?

Dans un référentiel galiléen, celui du sol en génie mécanique, le torseur des actions mécaniques extérieures à un ensemble $\Sigma$ est égal à son torseur dynamique : $\{\mathcal T(\bar\Sigma \to \Sigma)\} = \{\mathcal D(\Sigma/R_0)\}$ , les deux torseurs étant écrits au même point. Pour un ensemble de solides, on calcule le torseur dynamique de chaque solide, on le transporte au même point, puis on fait la somme. On en tire le théorème de la résultante dynamique, $\vec R(\bar\Sigma \to \Sigma) = \sum_i m_i\,\vec a(G_i)$ , et le théorème du moment dynamique. Le principe fondamental de la statique en est le cas particulier où le torseur dynamique est nul.

Comment choisir l'isolement et l'équation à écrire ?

On trace d'abord le graphe de structure et d'analyse : solides, liaisons, pesanteur, actionneurs et frontière d'isolement. Dans une chaîne ouverte, pour l'action ou le couple d'une liaison, on isole tout ce qui est après cette liaison en partant du bâti, jamais le bâti. On choisit ensuite l'équation par les zéros de la liaison coupée : pour une liaison pivot d'axe $(A,\vec z)$ , le théorème du moment dynamique en $A$ en projection sur $\vec z$ ; pour une liaison glissière de direction $\vec x$ , le théorème de la résultante dynamique en projection sur $\vec x$ . Une question de démarche se répond par un tableau : ensemble isolé, théorème, point et axe, inconnues évitées.

Le moment dynamique est-il au programme de génie mécanique TSI ?

Le programme dit que sa détermination peut être introduite sur quelques cas simples sans que sa maîtrise soit exigible ni évaluée. On retient les cas simples : rotation autour d'un axe fixe, $\vec\delta(O)\cdot\vec z = J\,\ddot\theta$ ; translation, moment dynamique nul en $G$ seulement et égal à $\overrightarrow{AG} \wedge m\,\vec a(G)$ en un autre point $A$ ; masse ponctuelle. Les autres moments dynamiques sont donnés par l'énoncé ou demandés par une question guidée.

Comment savoir si un solide glisse ou bascule quand il accélère ?

On isole le solide, en translation, dans le référentiel du sol. Le théorème de la résultante dynamique et le théorème du moment dynamique en $G$ donnent les actions de contact. Pour un bloc posé sur un plateau qui accélère de $a$ , avec $G$ à la hauteur $h$ et à la distance horizontale $d$ de l'arête de basculement, il glisse si $a > f\,g$ et bascule si $a > g\,d/h$ : la plus petite des deux limites décide. Pour un véhicule, l'accélération charge les roues arrière et décharge l'avant, ce qui change la limite d'adhérence des roues motrices.

Quand un rotor est-il équilibré dynamiquement ?

Le programme demande l'équilibrage dynamique comme application du principe fondamental. En écrivant le principe fondamental d'un rotor en liaison pivot, les actions des paliers ne dépendent plus de la vitesse ni de l'accélération si et seulement si deux conditions sont remplies : le centre d'inertie est sur l'axe (première condition, dite équilibrage statique) et l'axe est principal d'inertie, c'est-à-dire que les deux produits d'inertie qui contiennent la coordonnée de l'axe sont nuls ( $D = E = 0$ pour l'axe $\vec z$ ). Sinon, les paliers reçoivent des efforts qui tournent avec le rotor et croissent comme le carré de la vitesse.

Pourquoi faut-il deux masselottes dans deux plans pour équilibrer un rotor ?

L'équilibrage dynamique impose quatre équations : deux pour ramener le centre d'inertie sur l'axe, deux pour annuler les produits d'inertie. Une seule masse peut ramener le centre d'inertie sur l'axe, mais elle laisse en général les produits ; deux masses dans le même plan ne suffisent pas non plus. Deux masses dans deux plans différents suffisent : on choisit les plans et les rayons, on calcule les masses et les angles, et l'on place chaque angle par les signes de son cosinus et de son sinus, jamais par la seule tangente, qui le donne à 180° près.

Peut-on déterminer les actions mécaniques par simulation numérique ?

Oui, le programme de génie mécanique l'admet : la détermination des actions mécaniques inconnues peut être menée par un outil de simulation numérique. Un logiciel écrit le principe fondamental pour chaque solide à chaque pas de temps et rend le couple moteur et les actions des liaisons en fonction du temps. Le même travail se fait en quelques lignes de Python par la méthode d'Euler, qu'on valide d'abord sur un cas à solution exacte, puis en divisant le pas jusqu'à ce que le résultat ne change plus.

Comment y accéder

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