Résistance des matériaux en génie mécanique TSI : torseur de cohésion, sollicitations simples, contraintes et coefficient de sécurité, cours et exercices corrigés

Q: Qu'est-ce que le torseur de cohésion d'une poutre ?

On coupe la poutre en la section de centre G d'abscisse x : la partie gauche I est du côté des x plus petits, la partie droite II de l'autre. Le torseur de cohésion est l'action de II sur I, écrite en G dans la base locale : il est égal à l'opposé du torseur des actions extérieures sur I, ou au torseur des actions extérieures sur II. Ses composantes sont l'effort normal N, les efforts tranchants T_y et T_z, le moment de torsion M_t et les moments de flexion M_(fy) et M_(fz). On isole la partie qui reçoit le moins d'actions, et l'on n'oublie pas le signe moins quand c'est la partie gauche.

Q: Comment tracer les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant ?

On s'appuie sur (dT_y)/(dx) = -p et (dM_(fz))/(dx) = -T_y, avec p la charge linéique portée par y⃗. Sans charge répartie, T_y est constant et M_(fz) affine ; sous charge uniforme, T_y est affine et M_(fz) parabolique. Au droit d'une force F_y y⃗, T_y saute de -F_y. Le moment est extrémal là où T_y change de signe : avec un porte-à-faux, la section la plus sollicitée est souvent sur l'appui et non sous une charge.

Q: Quelle contrainte pour chaque sollicitation simple ?

En traction-compression, σ = N/S, uniforme. En cisaillement, τ_(moy) = T/S par section cisaillée ; un axe en chape travaille en double cisaillement, chaque section reprend la moitié de l'effort. En torsion d'un arbre circulaire, τ = M_t r/I_0, maximale à la périphérie. En flexion, avec la convention du chapitre, σ = -M_(fz) y/I_(Gz) et |σ|_(max) = |M_(fz)|_(max) v/I_(Gz). Un sujet qui prend l'action de I sur II change tous les signes et écrit σ = +M_f y/I_(Gz) : les contraintes restent les mêmes. Les sollicitations sont étudiées une par une, et la contrainte tangentielle due à l'effort tranchant est négligée en flexion simple.

Q: Comment dimensionner un arbre en torsion ?

On calcule d'abord le couple de torsion à partir de la puissance, M_t = P/ω avec ω = 2π N/60, N en tr/min. La condition de résistance, τ_(max) = 16 M_t/(π d^3) ≤ τ_e/s pour un arbre plein, donne un diamètre minimal par une racine cubique. La condition de rigidité, θ = M_t/(G I_0) ≤ θ_(lim), donne un diamètre minimal par une racine quatrième, après avoir converti θ_(lim) de degrés par mètre en radians par millimètre. On garde le plus grand des deux diamètres, arrondi au-dessus.

Q: Comment calculer le coefficient de sécurité d'une pièce ?

On calcule la contrainte maximale dans la section la plus sollicitée, puis s = R_e/σ_(max), ou τ_e/τ_(max) en cisaillement et en torsion, et on le compare à l'exigence du cahier des charges. S'il y a un changement de section, la contrainte maximale vaut K_t σ_(nom), la contrainte nominale étant calculée dans la plus petite section. On conclut par une phrase du type « s = 2,1 ≥ 2 : l'exigence est respectée », ou l'on dit ce qu'il faut changer. On calcule en N, mm et MPa, en convertissant d'abord les daN en N.

Q: Qu'est-ce qui est au programme de résistance des matériaux en TSI ?

Le programme de génie mécanique de TSI2 demande d'associer un modèle poutre à une pièce, de déterminer le torseur de cohésion, de déterminer la répartition des contraintes dans une section pour les sollicitations simples, de vérifier la résistance d'une poutre droite et de calculer le coefficient de sécurité, en tenant compte d'un coefficient de concentration de contraintes. Les hypothèses de la résistance des matériaux sont présentées sans être exigibles ; les poutres hyperstatiques, les sollicitations combinées et l'effet du cisaillement en flexion ne sont pas au programme. La flèche et l'angle de torsion sur plusieurs tronçons relèvent du chapitre « Déformations des poutres : flèche en flexion, angle de torsion, simulation par éléments finis ».

TSI 2

Hypothèses de la résistance des matériaux, modèle poutre, torseur de cohésion et diagrammes des efforts, sollicitations simples (traction-compression, cisaillement, torsion, flexion), contraintes normales et tangentielles, loi de Hooke, condition de résistance, coefficient de sécurité et concentration de contraintes.

17méthodes
32exercices corrigés
7problèmes
20pièges
127figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

La résistance des matériaux dit si une pièce supporte les actions que la statique ou la dynamique ont calculées. On remplace la pièce par une poutre, on coupe en chaque section et l'on écrit le torseur de cohésion, action de la partie droite sur la partie gauche, égal à l'opposé des actions extérieures sur la partie gauche ; on en tire les contraintes, puis on les compare à la résistance du matériau divisée par le coefficient de sécurité. Le chapitre traite le modèle poutre et l'isostatisme, le découpage en tronçons, les diagrammes de l'effort tranchant et du moment de flexion, les quatre sollicitations simples (traction-compression, cisaillement, torsion, flexion) avec leurs contraintes, la loi de Hooke, la vérification et le dimensionnement d'un bras, d'un axe ou d'un arbre, et la concentration de contraintes. Il suit le programme de génie mécanique de la TSI2 marocaine et prépare l'épreuve de génie mécanique du CNC, dont les sujets posent presque chaque année une question de résistance sur un bras, un axe, un arbre ou une plateforme. Chaque méthode est rédigée pas à pas, et la plupart des exercices et problèmes corrigés partent de sujets réels du CNC.

Ce que tu sauras faire

Le bras d'une pince de récolte tient-il l'effort qu'on lui demande, de quel diamètre faut-il faire l'arbre d'un malaxeur, combien de sections cisaillées faut-il à l'axe d'une chape, l'arbre d'un broyeur se tord-il trop ? La statique et la dynamique donnent les actions mécaniques sur une pièce ; elles ne disent pas si la pièce les supporte. La résistance des matériaux répond : elle remplace la pièce par une poutre, calcule les efforts intérieurs qui s'exercent dans chaque section, en déduit les contraintes, et les compare à ce que le matériau peut supporter avec une marge, le coefficient de sécurité. Les sujets du CNC de génie mécanique en posent presque chaque année, sur un bras, un axe, un arbre ou une plateforme. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

associer un modèle poutre à une pièce et dire si ce modèle est raisonnable ;
vérifier qu'une poutre plane est isostatique et calculer ses actions de liaison ;
découper la poutre en tronçons, écrire le torseur de cohésion dans chacun, tracer les diagrammes des efforts intérieurs et trouver la section la plus sollicitée ;
reconnaître la sollicitation simple et écrire la répartition des contraintes dans la section ;
vérifier ou dimensionner une pièce en traction-compression, en cisaillement, en torsion (résistance et rigidité) et en flexion ;
calculer le coefficient de sécurité et conclure face à l'exigence du cahier des charges, en tenant compte d'une concentration de contraintes.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Le modèle poutre

Poutre : solide long devant les dimensions de sa section ; ligne moyenne (lieu des centres $G$ ), section droite, fibre neutre.
Appuis plans : appui simple (1 inconnue), articulation (2), encastrement (3). Problème plan : 3 équations ; isostatique avec exactement 3 inconnues qui interdisent tout mouvement ; au-delà, la poutre est hyperstatique, hors programme.
Charge répartie uniforme $q$ sur $\ell$ : résultante $q\,\ell$ au milieu de la zone ; dans une coupure, seulement la partie isolée, $q\,(x - a)$ au milieu de cette partie.
Hypothèses (continuité, homogénéité, isotropie, élasticité, petites perturbations, Navier-Bernoulli, Saint-Venant) : présentées, non exigibles.

À retenir Le torseur de cohésion

Définition (convention du chapitre) : action de la partie droite II sur la partie gauche I, en $G$ , base locale :
$\{\mathcal T_{coh}\} = -\{\text{actions extérieures sur I}\}_G = +\{\text{actions extérieures sur II}\}_G = \begin{Bmatrix} N & M_t \\ T_y & M_{fy} \\ T_z & M_{fz} \end{Bmatrix}_{G,(\vec x,\vec y,\vec z)} .$
Un tronçon par zone : appuis, charges et couples concentrés, bornes des charges réparties ; une coupure par tronçon.
$\dfrac{\mathrm dT_y}{\mathrm dx} = -p$ ; $\dfrac{\mathrm dM_{fz}}{\mathrm dx} = -T_y$ ; saut de $T_y$ de $-F_y$ sous une force $F_y\,\vec y$ ; $M_{fz}$ extrémal où $T_y$ change de signe.
Autre convention (action de I sur II) : tous les signes changent (en traction, $N < 0$ ), $\sigma = +M_f\,y/I_{Gz}$ ; les contraintes sont les mêmes.

À retenir Sollicitations simples : contraintes, déformation d'un tronçon, condition

Sollicitation	Contrainte	Déformation d'un tronçon	Condition de résistance
traction, compression ( $N$ )	$\sigma = N/S$ , uniforme	$\Delta L = N L/(E S)$	$\lvert\sigma\rvert \leq R_e/s$
cisaillement ( $T$ )	$\tau_{moy} = T/S$ par section cisaillée	glissement $\gamma = \tau/G$	$\tau_{moy} \leq \tau_e/s$
torsion ( $M_t$ )	$\tau = M_t\,r/I_0$ , $\tau_{max} = M_t R/I_0$	$\theta = M_t/(G I_0)$ , $\alpha = \theta L$	$\tau_{max} \leq \tau_e/s$ et $\theta \leq \theta_{lim}$
flexion ( $M_{fz}$ )	$\sigma = -M_{fz}\,y/I_{Gz}$ , $\lvert\sigma\rvert_{max} = \lvert M_{fz}\rvert_{max}\,v/I_{Gz}$	courbure (au chapitre suivant)	$\lvert\sigma\rvert_{max} \leq R_e/s$

Les sollicitations ne sont pas combinées : une par une. En flexion simple, la contrainte tangentielle due à $T_y$ est négligée (effet du cisaillement hors programme).
Loi de Hooke : $\sigma = E\,\varepsilon$ ; $\tau = G\,\gamma$ ; $G = E/(2(1 + \nu))$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Écrire le torseur de cohésion sur un tronçon

Quand l’utiliser

Quand le sujet demande le torseur de cohésion, les efforts intérieurs, ou « les composantes non nulles » le long de la poutre (compétence : résoudre). C'est la compétence « Déterminer le torseur de cohésion » du programme.

Rappel de cours

En $G$ , dans la base locale : $\{\mathcal T_{coh}\} = \{\mathcal T(\mathrm{II} \to \mathrm{I})\}_G = -\{\text{actions sur I}\}_G = +\{\text{actions sur II}\}_G .$ Une charge répartie agit sur une portion isolée par la seule partie qui la touche, remplacée par sa résultante au milieu de cette partie. Le moment en $G$ d'une force $F_y\,\vec y$ appliquée à l'abscisse $a$ vaut $(a - x)\,F_y\,\vec z$ .

Démarche

Couper en $G$ d'abscisse $x$ , dans le tronçon étudié ; choisir la partie qui reçoit le moins d'actions.
Faire le bilan des actions extérieures sur cette partie, charges réparties ramenées à leur résultante sur la portion isolée.
Calculer leur résultante et leur moment en $G$ .
Appliquer le signe : moins pour la partie gauche, plus pour la partie droite.
Écrire le torseur en colonnes, avec le point $G$ et la base ; nommer les composantes non nulles.

Rédaction type

« Pour $x \in\ ]0 ; 2[$ , on isole la partie gauche $AG$ : elle reçoit $Y_A\,\vec y$ en $A$ et la charge $-q\,x\,\vec y$ au milieu de $AG$ . Le torseur de cohésion est l'opposé de leur torseur en $G$ :

\{\mathcal T_{coh}\} = \begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ q\,x - Y_A & 0 \\ 0 & Y_A\,x - q\,x^2/2 \end{Bmatrix}_{G,(\vec x,\vec y,\vec z)}

Exemple traité

Passerelle, $q = 2$ kN/m, $Y_A = 2{,}917$ kN, $Y_B = 2{,}583$ kN, charge de 1,5 kN en $E$ .

$]AD[$ , partie gauche : $T_y = 2\,x - 2{,}917$ ; $M_{fz} = 2{,}917\,x - x^2$ (kN, kN.m, $x$ en m).
$]DE[$ , partie gauche, charge répartie entière (4 kN à 1 m de $A$ ) : $T_y = 4 - 2{,}917 = 1{,}083$ kN ; $M_{fz} = 2{,}917\,x - 4\,(x - 1)$ .
$]EB[$ , partie droite : elle reçoit $Y_B\,\vec y$ en $B$ , d'où, avec le signe plus, $T_y = 2{,}583$ kN et $M_{fz} = 2{,}583\,(3 - x)$ .

En $x = 2{,}5$ m, les deux dernières expressions donnent $M_{fz} = 1{,}292$ kN.m : les calculs par la gauche et par la droite se raccordent.

Erreurs fréquentes

Mettre toute la charge répartie de la poutre dans une coupure qui n'en isole qu'une partie.
Oublier le signe moins quand on isole la partie gauche.
Écrire le torseur sans point ni base, ou en un autre point que $G$ .

Pour s’entraîner

Exercices 12, 13, 16, 17, 21, 23, 26, 28, 29 et 30 ; problèmes 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Une poutre à porte-à-faux chargée en deux points ★☆☆

Une poutre $AD$ repose sur une articulation en $A$ et un appui simple en $B$ . Elle porte deux charges concentrées verticales : $F_1 = 300$ daN en $C$ et $F_2 = 200$ daN à l'extrémité $D$ . Les abscisses sont $x_A = 0$ , $x_C = 2$ m, $x_E = 3$ m, $x_B = 4$ m, $x_G = 5$ m et $x_D = 6$ m. Le poids de la poutre est négligé.

La poutre sur ses deux appuis, avec le porte-à-faux BD. — La poutre sur ses deux appuis, avec le porte-à-faux $BD$ .

Déterminer les actions des appuis en $A$ et $B$ , en newtons.
Découper la poutre en tronçons et écrire le torseur de cohésion dans chacun.
Donner les éléments de réduction du torseur de cohésion dans les sections $E$ et $G$ .
Tracer les diagrammes de $T_y$ et de $M_{fz}$ ; où est la section la plus sollicitée ?

Indications

Méthodes 2, 3, 4, 5 et 16 : convertir les daN en N avant tout. Trois tronçons : $AC$ , $CB$ , $BD$ . Pour le porte-à-faux, couper du côté droit.

Correction détaillée

1. $F_1 = 3\,000$ N et $F_2 = 2\,000$ N. Moments en $A$ : $4\,Y_B = 3\,000\times 2 + 2\,000\times 6$ , donc $Y_B = 4\,500$ N ; résultante : $Y_A = 5\,000 - 4\,500 = 500$ N (vers le haut tous les deux).

2. ( $x$ en m, efforts en N, moments en N.m)

$AC$ ( $0 < x < 2$ ), partie gauche : $T_y = -500$ , $M_{fz} = 500\,x$ ;
$CB$ ( $2 < x < 4$ ), partie gauche : $T_y = -(500 - 3\,000) = 2\,500$ , $M_{fz} = 500\,x - 3\,000\,(x - 2)$ ;
$BD$ ( $4 < x < 6$ ), partie droite : $T_y = -2\,000$ , $M_{fz} = -2\,000\,(6 - x)$ .

$N = 0$ partout. Contrôle : $\dfrac{\mathrm dM_{fz}}{\mathrm dx}$ vaut $500$ , $-2\,500$ et $2\,000$ , soit $-T_y$ dans chaque tronçon.

3. En $E$ ( $x = 3$ ) : $T_y = 2\,500$ N, $M_{fz} = 1\,500 - 3\,000 = -1\,500$ N.m. En $G$ ( $x = 5$ ) : $T_y = -2\,000$ N, $M_{fz} = -2\,000$ N.m.

4. $M_{fz}$ vaut $1\,000$ N.m en $C$ et $-4\,000$ N.m en $B$ . La section la plus sollicitée est sur l'appui $B$ , avec $\lvert M_{fz}\rvert_{max} = 4\,000$ N.m : c'est le porte-à-faux qui commande. Le moment change de signe entre $C$ et $B$ (en $x = 2{,}4$ m) : les fibres tendues passent du dessous au dessus.

Diagrammes de la poutre : effort tranchant et moment fléchissant.

Méthodes à retenir

Avec un porte-à-faux, le moment maximal est souvent sur l'appui et non sous une charge : il se lit sur le diagramme, jamais au jugé (méthodes 3 à 5).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 17 méthodes, 20 pièges corrigés, la carte mentale, 32 exercices corrigés, 7 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Du solide réel à la poutre
2. Hypothèses de la résistance des matériaux
3. Actions extérieures sur une poutre plane
- 3.1 Les appuis
- 3.2 Les charges
- 3.3 Vérifier d'abord que la poutre est isostatique
4. Le torseur de cohésion
- 4.1 La coupure fictive
- 4.2 Définition et calcul
- 4.3 Les six composantes
- 4.4 Lire un sujet qui prend l'autre convention
5. Tronçons et méthode des coupures
6. Diagrammes des efforts intérieurs
7. Les sollicitations simples
8. Les contraintes
9. Comportement du matériau
- 9.1 L'essai de traction
- 9.2 Lois de comportement élastique
10. Traction et compression
11. Cisaillement simple
12. Torsion des arbres circulaires
13. Flexion
- 13.1 Flexion pure, flexion simple, fibre neutre
- 13.2 Moments quadratiques
14. Résistance mécanique et coefficient de sécurité
15. Concentration de contraintes
16. Démarche d'étude d'une poutre
17. Mesurer et comparer
18. Sur le sujet : la résistance des matériaux dans l'épreuve de génie mécanique du CNC
19. Ce qui vient ensuite

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Associer un modèle poutre à une pièce
Vérifier l'isostatisme et calculer les actions de liaison d'une poutre plane
Découper la poutre en tronçons
Écrire le torseur de cohésion sur un tronçon
Tracer les diagrammes de l'effort tranchant et du moment de flexion
Identifier les sollicitations et la section la plus sollicitée
Calculer un moment quadratique et la distance à la fibre la plus éloignée
Vérifier ou dimensionner une pièce en traction ou en compression
Vérifier ou dimensionner un axe, une goupille ou un boulon en cisaillement
Dimensionner un arbre en torsion, plein ou creux
Vérifier la rigidité d'un arbre en torsion
Vérifier ou dimensionner une poutre en flexion
Calculer le coefficient de sécurité et conclure face au cahier des charges
Tenir compte d'un coefficient de concentration de contraintes
Passer de la puissance et de la vitesse au couple de torsion
Lire un sujet qui impose une autre convention ou d'autres unités
Contrôler un résultat et répondre sur le document réponse

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (12)

L'arbre moteur d'une boîte à surmultiplication
L'axe d'articulation d'un vérin en double cisaillement
Le chariot élévateur : axes de pivot et arbre de transmission
Les galets d'un pont roulant
La pale d'un arbre d'extraction de film
Les câbles d'un ascenseur incliné
Un maillon de chaîne et un bloc de béton : unités et loi de Hooke
Les goupilles de sécurité d'un accouplement
Le tournevis tordu : contrainte et module de Coulomb
Arbre plein, arbre creux
Les moments quadratiques à connaître
Une poutre à porte-à-faux chargée en deux points

Entraînement (14)

L'arbre à excentrique d'une pompe haute pression
L'axe de roue arrière d'un scooter : flexion, puis torsion
L'attache d'un robot enjambeur : le bon plan de flexion
La plateforme de stockage d'une unité de bouteilles
L'outil d'un centre d'usinage : arbre creux et concentration de contraintes
L'arbre de coupe d'un broyeur : la rigidité commande
La dent d'une cloche de vissage
Le mât d'un aérogénérateur
La flèche d'une grue à tour : torseur de cohésion
L'arbre d'un banc d'essai de lames de tondeuse
L'axe support d'un télésiège
Un arbre à trois roues : moment de torsion par tronçon
Résistance et rigidité ; barre de torsion épaulée
Une canalisation coudée encastrée : torseur en trois dimensions

Approfondissement (6)

Plein ou creux : le rapport des masses
L'aube d'une turbine à gaz
Le crochet d'un pont roulant : deux sections
Bras de barrière : charge concentrée ou répartie
Le poinçonnage d'une tôle
De la puissance au couple : un arbre d'accouplement et un arbre de poulie

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le bras de pince d'un vibreur d'olivier : coefficient de sécurité
CNC 2014, filière TSI, Génie mécanique, partie 2.2 « VERIFICATION DU DIMENSIONNEMENT DE LA PINCE », questions Q6 à Q11
Le bras d'un déambulateur robotisé
CNC 2021, filière TSI, Génie mécanique, partie I « MODE ASSISTANCE A LA VERTICALISATION », sous-partie 1.2 « Etude de la résistance du bras (3) », questions Q20 à Q25
Les fourches d'un transpalette : section pleine ou section en U
CNC 2011, filière TSI, Génie mécanique, partie V « Etude de résistance des fourches du transpalette », questions 11° à 14°, 15° (en partie), 16° à 19° et 21°
Le télescope d'une grue de prise de vue : torseur de cohésion et section en caisson
CNC 2017, filière TSI, Génie mécanique, partie C « Déformation du télescope de la grue », questions 11° à 13°
Le portique d'une imprimante de maisons en béton
CNC 2019, filière TSI, Génie mécanique, partie 5 « Déformation du portique », questions 5-1 à 5-5
La colonne de guidage d'un scanner 3D
CNC 2024, filière TSI, Génie mécanique, partie E « étude de déformation de la colonne de guidage », questions 21 à 25
La dent d'un pignon d'une machine d'électro-érosion : module minimal
CCP 2018, filière TSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie IV « Détermination des caractéristiques de la motorisation afin de respecter l'exigence 1.1.2 », sous-partie IV.3 « Validation du dimensionnement du pignon », questions Q46 à Q53

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le torseur de cohésion d'une poutre ?

On coupe la poutre en la section de centre $G$ d'abscisse $x$ : la partie gauche I est du côté des $x$ plus petits, la partie droite II de l'autre. Le torseur de cohésion est l'action de II sur I, écrite en $G$ dans la base locale : il est égal à l'opposé du torseur des actions extérieures sur I, ou au torseur des actions extérieures sur II. Ses composantes sont l'effort normal $N$ , les efforts tranchants $T_y$ et $T_z$ , le moment de torsion $M_t$ et les moments de flexion $M_{fy}$ et $M_{fz}$ . On isole la partie qui reçoit le moins d'actions, et l'on n'oublie pas le signe moins quand c'est la partie gauche.

Comment tracer les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant ?

On s'appuie sur $\frac{\mathrm dT_y}{\mathrm dx} = -p$ et $\frac{\mathrm dM_{fz}}{\mathrm dx} = -T_y$ , avec $p$ la charge linéique portée par $\vec y$ . Sans charge répartie, $T_y$ est constant et $M_{fz}$ affine ; sous charge uniforme, $T_y$ est affine et $M_{fz}$ parabolique. Au droit d'une force $F_y\,\vec y$ , $T_y$ saute de $-F_y$ . Le moment est extrémal là où $T_y$ change de signe : avec un porte-à-faux, la section la plus sollicitée est souvent sur l'appui et non sous une charge.

Quelle contrainte pour chaque sollicitation simple ?

En traction-compression, $\sigma = N/S$ , uniforme. En cisaillement, $\tau_{moy} = T/S$ par section cisaillée ; un axe en chape travaille en double cisaillement, chaque section reprend la moitié de l'effort. En torsion d'un arbre circulaire, $\tau = M_t\,r/I_0$ , maximale à la périphérie. En flexion, avec la convention du chapitre, $\sigma = -M_{fz}\,y/I_{Gz}$ et $\lvert\sigma\rvert_{max} = \lvert M_{fz}\rvert_{max}\,v/I_{Gz}$ . Un sujet qui prend l'action de I sur II change tous les signes et écrit $\sigma = +M_f\,y/I_{Gz}$ : les contraintes restent les mêmes. Les sollicitations sont étudiées une par une, et la contrainte tangentielle due à l'effort tranchant est négligée en flexion simple.

Comment dimensionner un arbre en torsion ?

On calcule d'abord le couple de torsion à partir de la puissance, $M_t = P/\omega$ avec $\omega = 2\pi N/60$ , $N$ en tr/min. La condition de résistance, $\tau_{max} = 16\,M_t/(\pi d^3) \leq \tau_e/s$ pour un arbre plein, donne un diamètre minimal par une racine cubique. La condition de rigidité, $\theta = M_t/(G\,I_0) \leq \theta_{lim}$ , donne un diamètre minimal par une racine quatrième, après avoir converti $\theta_{lim}$ de degrés par mètre en radians par millimètre. On garde le plus grand des deux diamètres, arrondi au-dessus.

Comment calculer le coefficient de sécurité d'une pièce ?

On calcule la contrainte maximale dans la section la plus sollicitée, puis $s = R_e/\sigma_{max}$ , ou $\tau_e/\tau_{max}$ en cisaillement et en torsion, et on le compare à l'exigence du cahier des charges. S'il y a un changement de section, la contrainte maximale vaut $K_t\,\sigma_{nom}$ , la contrainte nominale étant calculée dans la plus petite section. On conclut par une phrase du type « $s = 2{,}1 \geq 2$ : l'exigence est respectée », ou l'on dit ce qu'il faut changer. On calcule en N, mm et MPa, en convertissant d'abord les daN en N.

Qu'est-ce qui est au programme de résistance des matériaux en TSI ?

Le programme de génie mécanique de TSI2 demande d'associer un modèle poutre à une pièce, de déterminer le torseur de cohésion, de déterminer la répartition des contraintes dans une section pour les sollicitations simples, de vérifier la résistance d'une poutre droite et de calculer le coefficient de sécurité, en tenant compte d'un coefficient de concentration de contraintes. Les hypothèses de la résistance des matériaux sont présentées sans être exigibles ; les poutres hyperstatiques, les sollicitations combinées et l'effet du cisaillement en flexion ne sont pas au programme. La flèche et l'angle de torsion sur plusieurs tronçons relèvent du chapitre « Déformations des poutres : flèche en flexion, angle de torsion, simulation par éléments finis ».

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.