Approche énergétique en génie mécanique TSI : puissances, théorème de l'énergie cinétique, rendement et choix d'un moteur, cours et exercices corrigés

Q: Que dit le théorème de l'énergie cinétique ?

Dans un référentiel galiléen R_0, celui du sol en génie mécanique, pour un ensemble de solides Σ : (dE_c(Σ/R_0))/(dt) = P(Σ̅ → Σ/R_0) + P_(int)(Σ), la puissance des actions extérieures dans le mouvement par rapport à R_0 plus la puissance des inter-efforts. Sa forme intégrée est E_c(t_2) - E_c(t_1) = W_(ext) + W_(int). C'est une seule équation scalaire, conséquence du principe fondamental de la dynamique : elle n'apporte jamais d'information nouvelle et ne donne jamais une action de liaison.

Q: Comment calculer la puissance d'une action mécanique ?

La puissance d'une action extérieure à un solide S est le comoment de son torseur et du torseur cinématique, écrits au même point A : P = R⃗·V⃗(A ∈ S/R) + M⃗_A·Ω⃗(S/R). Cas usuels : une force F⃗·V⃗(A), un couple C ω, le poids -m g z'_G avec z⃗ vers le haut, un vérin F λ'. La puissance des inter-efforts entre deux solides ne dépend pas du repère : elle est nulle pour une liaison parfaite ou sans mouvement relatif, négative pour un frottement, de signe quelconque pour un moteur, un vérin ou un ressort intérieurs.

Q: Comment appliquer le théorème de l'énergie cinétique pour trouver l'équation de mouvement ?

On suit la méthodologie du programme. On isole tous les solides en mouvement, jamais le bâti, en disant le référentiel galiléen et en situant le stator du moteur ou le corps du vérin. On dresse le bilan des puissances, une ligne par action, chaque puissance nulle justifiée. On écrit l'énergie cinétique E_c = (1)/(2) J_(éq) ω_m^2, chaque puissance sous la forme d'un couple ramené fois ω_m, puis le théorème ; en divisant par ω_m, qu'on dit non nul, on obtient J_(éq) ω'_m = C_m - C_(r,éq). On intègre à la main si le couple est constant, sinon par la méthode d'Euler ou un logiciel de simulation.

Q: Comment calculer le couple moteur quand le mouvement est imposé ?

On lit le couple dans l'équation de mouvement : C_m = J_(éq) ω'_m + C_(r,éq), une partie dynamique, nulle à vitesse constante, plus une partie statique. Pour un profil de vitesse en trapèze, on traite chaque phase à accélération constante : le couple le plus grand est celui de l'accélération à la montée d'une charge, et la puissance C_m ω_m est maximale à la fin de l'accélération. On choisit ensuite le plus petit moteur du tableau fourni dont le couple nominal couvre le régime établi et le couple maximal couvre l'accélération, avec une marge réelle.

Q: Comment calculer le rendement global d'une chaîne de transmission ?

Le rendement est défini en régime permanent, à un point de fonctionnement : η = |P_s|/P_e, et la puissance perdue vaut (1 - η) P_e. Pour des transmetteurs en série, on multiplie les rendements, on ne les additionne pas : η = η_1η_2…η_n, inférieur au plus faible d'entre eux. Avec un rapport k = ω_s/ω_e, quand le moteur entraîne, le couple d'entrée vaut C_e = k C_s/η. Le rendement n'entre jamais dans un rapport de vitesses.

Q: Pourquoi le rendement ne s'écrit-il pas de la même façon à la descente d'une charge ?

Le rendement porte sur la puissance qui entre dans la transmission. À la montée, le moteur entraîne : on divise par η, C_e = k C_s/η. À la descente retenue ou au freinage, c'est la charge qui entraîne : on multiplie, C_e = η k C_s. On repère donc le sens du flux par le signe de C_m ω_m dans le plan couple-vitesse : positif, le moteur fournit de la puissance ; négatif, il fonctionne en générateur ou en frein. Un rendement constant dans le théorème de l'énergie cinétique est une hypothèse de modèle, à écrire, fausse dans une phase où le flux change de sens.

TSI 2

Puissance d'une action mécanique extérieure et des inter-efforts dans les liaisons parfaites et réelles, énergie potentielle de pesanteur et des ressorts, méthodologie du programme (isolement, bilan des puissances, théorème de l'énergie cinétique galiléenne, résolution), actions motrices quand le mouvement est imposé et loi de mouvement quand les efforts sont connus, pertes et rendement global en un point de fonctionnement, choix d'un moteur, sens du flux de puissance, paramétrage d'un modèle de simulation dynamique.

18méthodes
34exercices corrigés
7problèmes
31pièges
134figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Le théorème de l'énergie cinétique relie, dans un référentiel galiléen, la dérivée de l'énergie cinétique d'un ensemble de solides à la puissance des actions extérieures et à celle des inter-efforts : $\frac{\mathrm{d}E_c}{\mathrm{d}t} = \mathcal P_{ext} + \mathcal P_{int}$ . Pour une chaîne à un paramètre, il donne en une équation la loi de mouvement quand les efforts sont connus, ou le couple moteur quand le mouvement est imposé, sous la forme $J_{\text{éq}}\,\dot\omega_m = C_m - C_{r,\text{éq}}$ . Le chapitre suit la méthodologie du programme : isolement, bilan des puissances (actions extérieures, liaisons parfaites et réelles, frottements, énergie potentielle de pesanteur et des ressorts), théorème, résolution. Il traite aussi les pertes et le rendement global en un point de fonctionnement, le sens du flux de puissance à la descente d'une charge ou au freinage, le choix d'un moteur et le paramétrage d'un modèle de simulation dynamique. Il suit le programme de génie mécanique de la TSI2 marocaine et prépare l'épreuve de génie mécanique du CNC, dont les sujets demandent presque chaque année un couple moteur, une puissance ou un rendement. Chaque méthode est rédigée pas à pas, et la plupart des exercices et problèmes corrigés partent de sujets réels du CNC.

Ce que tu sauras faire

Combien d'énergie faut-il pour lancer le bol d'un décanteur, où part cette énergie quand on le freine, quel couple le moteur d'un palan doit-il fournir à la montée et à la descente, quel moteur choisir pour un malaxeur, et que vérifier quand un logiciel de simulation rend une courbe de couple ? Ces questions ne demandent pas les actions dans les liaisons, seulement le bilan des échanges d'énergie. L'approche énergétique y répond en une équation : le théorème de l'énergie cinétique relie la dérivée de l'énergie cinétique, calculée au chapitre « Grandeurs inertielles et cinétiques », aux puissances des actions mécaniques. Elle explique aussi les pertes et le rendement d'une transmission. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

calculer la puissance d'une action mécanique extérieure à un solide ou à un ensemble de solides, et donner son signe ;
calculer la puissance des inter-efforts, nulle pour une liaison parfaite, négative pour un frottement ;
rappeler la définition de l'énergie potentielle de pesanteur et des ressorts, et s'en servir ;
suivre la méthodologie du programme : isolement, bilan des puissances, théorème de l'énergie cinétique galiléenne, résolution ;
déterminer la loi de mouvement quand les efforts extérieurs sont connus, et les actions motrices quand le mouvement est imposé ;
écrire les pertes et le rendement global en un point de fonctionnement, et choisir ou vérifier un moteur ;
repérer le sens du flux de puissance avant d'écrire les pertes, en particulier à la descente d'une charge et au freinage ;
paramétrer un modèle d'étude dynamique dans un logiciel de simulation et contrôler ses résultats.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Les puissances

Puissance d'une action extérieure à un solide $S$ , dans son mouvement par rapport à $R$ : comoment des deux torseurs, écrits au même point $A$ (n'importe lequel) :
$\mathcal P(\bar S \to S/R) = \vec R\cdot\vec V(A \in S/R) + \vec M_A\cdot\vec\Omega(S/R) .$
Cas usuels : force $\vec F\cdot\vec V(A)$ (glisseur en $A$ seulement) ; couple $C\,\omega$ ; poids $-m g\,\dot z_G$ ( $\vec z$ vers le haut) ; ressort $-k_r\,x\,\dot x$ ; vérin $F\,\dot\lambda$ .
La puissance dépend du repère : le programme la demande dans le mouvement par rapport au référentiel galiléen.
Puissance des inter-efforts, indépendante du repère :
$\mathcal P(1 \leftrightarrow 2) = \{\mathcal T(1 \to 2)\}\otimes\{\mathcal V(2/1)\} .$
Nulle sans mouvement relatif et pour une liaison parfaite ; négative pour un frottement ; de signe quelconque pour un moteur, un vérin ou un ressort intérieurs.
Puissance intérieure : $\mathcal P_{int}(\Sigma) = \sum_{i < j} \mathcal P(i \leftrightarrow j)$ , chaque paire une seule fois.
Stator ou corps de vérin hors de l'ensemble isolé : puissance extérieure ; dedans : intérieure.

À retenir Les puissances perdues

Phénomène	Puissance des inter-efforts
glissement, coefficient $f$	$-f\,N\,\lvert v_g\rvert$
frottement visqueux	$-\mu\,\omega_{21}^2$
résistance au roulement	$-\delta\,N\,\lvert\omega_r\rvert$
roulement sans glissement, sans résistance	$0$
liaison parfaite	$0$

À retenir L'énergie potentielle (définition à rappeler)

Pesanteur, $\vec z$ vers le haut : $E_p = m g\,z_G$ .
Ressort de traction ou de compression : $E_p = \frac12 k_r (L - L_0)^2$ ; ressort de torsion : $E_p = \frac12 k_t (\theta - \theta_0)^2$ .
Puissance : $\mathcal P = -\mathrm{d}E_p/\mathrm{d}t$ .
Si seuls le poids et des ressorts travaillent, liaisons parfaites : $E_c + E_p$ constante (intégrale première), à justifier avant de l'écrire.

À retenir La méthodologie du programme et le théorème

Isolement : référentiel galiléen dit, tous les solides en mouvement, jamais le bâti ; stator et corps de vérin situés.
Bilan des puissances : une ligne par action, chaque zéro justifié, les solides identiques comptés.
Théorème de l'énergie cinétique, dans $R_0$ galiléen, pour un ensemble $\Sigma$ :
$\frac{\mathrm{d}E_c(\Sigma/R_0)}{\mathrm{d}t} = \mathcal P(\bar\Sigma \to \Sigma/R_0) + \mathcal P_{int}(\Sigma) .$
Forme intégrée : $E_c(t_2) - E_c(t_1) = W_{ext} + W_{int}$ .
Résolution, puis contrôle et retour à l'exigence.
Une seule équation scalaire, conséquence du principe fondamental : jamais d'information nouvelle, jamais une action de liaison.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Appliquer le théorème de l'énergie cinétique selon la méthodologie du programme et en tirer l'équation de mouvement

Quand l’utiliser

Quand on cherche la loi de mouvement d'une chaîne à un paramètre, les efforts extérieurs étant connus (compétence : résoudre).

Rappel de cours

$\dfrac{\mathrm{d}E_c}{\mathrm{d}t} = \mathcal P_{ext} + \mathcal P_{int}$ ; avec $E_c = \frac12 J_{\acute eq}\omega_m^2$ , on obtient $J_{\acute eq}\,\omega_m\,\dot\omega_m = \mathcal P_{ext} + \mathcal P_{int}$ , puis, en divisant par $\omega_m$ , $J_{\acute eq}\,\dot\omega_m = C_m - C_{r,\acute eq}$ .

Démarche

Isolement et référentiel (méthode 1) ; bilan des puissances (méthode 2).
Énergie cinétique et $J_{\acute eq}$ (méthode 4).
Écrire chaque puissance sous la forme (couple ramené) × $\omega_m$ .
Écrire le théorème, dériver $E_c$ , diviser par $\omega_m$ en disant qu'il n'est pas nul.
Identifier $C_{r,\acute eq}$ ; intégrer si le cas est élémentaire, sinon simuler (méthode 17).

Rédaction type

Théorème de l'énergie cinétique appliqué à $\Sigma$ dans $R_0$ galiléen :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac12 J_{\acute eq}\omega_m^2\right) = C_m\,\omega_m - k\,(C_0 + f k\,\omega_m)\,\omega_m ,

d'où, pour $\omega_m \ne 0$ , $J_{\acute eq}\,\dot\omega_m = C_m - k\,C_0 - f k^2\,\omega_m$ . En régime établi, $C_m \approx 0{,}128$ N.m, sous les 0,2 N.m de couple nominal du moteur prévu : l'exigence est tenue.

Exemple traité

Le plateau tournant d'un four de boulangerie industrielle porte les pains : $J = 120\ \text{kg.m}^2$ autour de son axe vertical ; il est entraîné par un moteur ( $J_m = 5\cdot10^{-3}\ \text{kg.m}^2$ ) et un réducteur de rapport $k = 1/150$ ; ses galets d'appui exercent un couple de frottement sec $C_0 = 15$ N.m et un frottement visqueux $f = 20$ N.m.s. Valeurs choisies pour l'exemple. On isole {rotor, réducteur, plateau, pains}. Inertie équivalente : $J_{\acute eq} = J_m + J k^2 \approx 1{,}033\cdot10^{-2}\ \text{kg.m}^2$ . Le théorème donne l'équation de la ligne de rédaction. En régime établi, à 2 tr/min ( $0{,}209$ rad/s pour le plateau, $31{,}4$ rad/s pour le moteur), $\dot\omega_m = 0$ et $C_m = k(C_0 + f\,\omega_p) \approx 0{,}128$ N.m : un très petit couple, grâce au réducteur. Le moteur prévu a un couple nominal de 0,2 N.m.

Erreurs fréquentes

Diviser par $\omega_m$ sans dire qu'il n'est pas nul.
Oublier le rapport $k$ dans un couple ramené, ou le mettre au carré dans un terme qui ne l'est pas.
Écrire une équation entre couples et inerties sans passer par les puissances : le rapport du CCINP 2019 (filière PSI) relève des candidats qui « se contentent d'écrire une relation (fausse) entre des couples et des moments d'inertie ».

Pour s’entraîner

Exercices 3, 9, 13, 14, 15, 20, 25, 26, 28 et 32 ; problèmes 1 et 3.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Rendement d'une chaîne et couples d'entrée et de sortie ★☆☆

La table tournante d'un poste de contrôle de pièces est entraînée par un moteur électrique à travers quatre étages, dans cet ordre : une courroie ( $k_1 = 1/2$ , $\eta_1 = 0{,}95$ ), deux étages d'engrenages ( $k_2 = k_3 = 1/5$ , $\eta_2 = \eta_3 = 0{,}97$ ), une roue et vis sans fin ( $k_4 = 1/30$ , $\eta_4 = 0{,}70$ ). Les rendements sont des ordres de grandeur usuels, choisis pour l'exercice. Le moteur tourne à 1 450 tr/min ; en régime permanent, la table oppose un couple résistant de 600 N.m.

La chaîne : quatre transmetteurs en série entre le moteur et la table, avec leur rapport et leur rendement.

Calculer le rapport global $k = \omega_s/\omega_e$ , la vitesse de la table et le rendement global $\eta$ .
Calculer la puissance utile $\mathcal P_s$ cédée à la table, la puissance $\mathcal P_e$ fournie par le moteur et la puissance dissipée $\mathcal P_d$ .
En déduire le couple du moteur, de deux façons.
Le moteur a un rendement de 0,80. Quelle puissance électrique absorbe-t-il ?
Un élève additionne les pertes : « 5 % + 3 % + 3 % + 30 % = 41 %, donc $\eta = 0{,}59$ ». Que penser de ce calcul ? Comparer le rendement global au plus faible des rendements.

Indications

Méthodes 12 et 11. Les rendements d'une chaîne se multiplient, les rapports aussi ; le rendement n'entre jamais dans un rapport de vitesses.

Correction détaillée

1. $k = \frac12\times\frac15\times\frac15\times\frac1{30} = \frac1{1\,500}$ ; $\omega_e = 1\,450\times 2\pi/60 = 151{,}8$ rad/s, donc $\omega_s = 0{,}101$ rad/s (0,97 tr/min). Rendement global :

\eta = 0{,}95\times 0{,}97^2\times 0{,}70 = 0{,}626 .

2. $\mathcal P_s = 600\times 0{,}101 = 60{,}7$ W ; le moteur entraîne, $\mathcal P_e = \mathcal P_s/\eta = 97{,}1$ W ; $\mathcal P_d = (1 - \eta)\,\mathcal P_e = 36{,}3$ W, et $\mathcal P_e = \mathcal P_s + \mathcal P_d$ .

3. Par la puissance : $C_e = \mathcal P_e/\omega_e = 97{,}1/151{,}8 = 0{,}639$ N.m. Par la relation des couples transmis quand le moteur entraîne :

C_e = \frac{k\,C_s}{\eta} = \frac{600}{1\,500\times 0{,}626} = 0{,}639\ \text{N.m}.

4. $\mathcal P_{\acute el} = 97{,}1/0{,}80 = 121$ W.

5. Additionner les pertes donne 0,59 au lieu de 0,626 : l'écart reste modéré ici, mais la règle est fausse. Chaque étage perd une fraction de ce qu'il reçoit, pas de ce que reçoit le premier : le produit s'impose. Le rendement global, 0,626, est inférieur au plus faible des rendements, 0,70 : la roue et vis fixe la performance de toute la chaîne.

Méthodes à retenir

Une chaîne : un produit, jamais une somme ; le rendement global est inférieur au plus faible (méthode 12). Quand le moteur entraîne, $C_e = k\,C_s/\eta$ (méthode 11).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 18 méthodes, 31 pièges corrigés, la carte mentale, 34 exercices corrigés, 7 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Pourquoi l'énergétique
2. Énergie, travail, puissance
3. Énergie cinétique : rappel
4. Puissance d'une action mécanique extérieure
- 4.1 Définition
- 4.2 Cas à connaître
5. Puissance des inter-efforts
- 5.1 Définition et propriété
- 5.2 Les liaisons réelles
- 5.3 Où est le stator, où est le corps du vérin ?
6. Énergie potentielle de pesanteur et des ressorts
7. La méthodologie du programme
8. Théorème de l'énergie cinétique
9. Loi de mouvement quand les efforts sont connus
10. Actions motrices quand le mouvement est imposé
11. TEC ou PFD
12. Pertes et rendement global en un point de fonctionnement
- 12.1 Bilan des puissances d'un constituant
- 12.2 Rendement d'un transmetteur
- 12.3 Rendement d'une chaîne, puissance absorbée, énergie consommée
- 12.4 Effort et flux, point de fonctionnement
13. Choisir ou vérifier un moteur au point de fonctionnement
14. Sens du flux de puissance, réversibilité, quadrants
- 14.1 Qui fournit la puissance ?
- 14.2 Réversibilité
- 14.3 Les quatre quadrants
15. Le rendement en régime variable
16. Paramétrer un modèle d'étude dynamique dans un logiciel de simulation
- 16.1 Ce qu'on entre
- 16.2 Le solveur : durée, pas, tolérance
- 16.3 Contrôler une simulation
17. Contrôler un résultat d'énergétique
18. Mesurer une puissance
19. Histoire de la notion
20. Expériences sans achat
21. Sur le sujet : l'épreuve de génie mécanique du CNC
22. Ce qui vient ensuite

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Choisir le système isolé et dire le référentiel galiléen
Dresser le bilan des puissances et le présenter sur le document réponse
Exprimer toutes les vitesses en fonction d'un seul paramètre
Calculer l'énergie cinétique et lire l'inertie ou la masse équivalente
Calculer la puissance d'une action extérieure et donner son signe
Calculer la puissance d'une liaison réelle, d'un frottement et d'un actionneur intérieur
Rappeler l'énergie potentielle de pesanteur et d'un ressort, et utiliser l'intégrale première
Appliquer le théorème de l'énergie cinétique selon la méthodologie du programme et en tirer l'équation de mouvement
Trouver un couple ou un effort moteur en mouvement imposé, et séparer partie dynamique et partie statique
Identifier les termes d'une forme imposée par l'énoncé et dire l'hypothèse qu'elle contient
Écrire un bilan de puissances en régime permanent avec un rendement
Calculer le rendement d'une chaîne, la puissance absorbée et l'énergie d'un cycle
Repérer le sens du flux de puissance avant d'écrire les pertes
Choisir entre théorème de l'énergie cinétique et principe fondamental, ou les combiner
Choisir ou justifier un moteur ou un motoréducteur au point de fonctionnement
Comparer deux solutions techniques par le théorème de l'énergie cinétique
Paramétrer un modèle d'étude dynamique dans un logiciel de simulation et contrôler ses résultats
Contrôler un résultat d'énergétique et conclure sur l'exigence

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

Le frein du treuil d'une grue à tour : quelle couche de câble est la plus défavorable ?
Le pont roulant : puissance des motoréducteurs de translation
La grue de prise de vue d'un reportage : couple du moteur du contrepoids
La pompe péristaltique d'une imprimante de béton : pression atteinte
Le vérin électrique du bras d'un déambulateur : couple moteur
Monter un escalier : énergie et puissance
Rendement d'une chaîne et couples d'entrée et de sortie
Les puissances dissipées dans un contact ponctuel
Barrière simple et barrière à parallélogramme : quel couple pour lever la lisse ?
La vis d'Archimède d'une station d'épuration : couple et puissance
Effort et flux : la puissance d'un vérin, d'une pompe et d'un moteur
Le robot delta : couple du motoréducteur
Le siège pivotant d'aide aux personnes à mobilité réduite : durée de rotation
Le freinage d'un avion de ligne : énergie à dissiper

Entraînement (15)

Le scooter en montée : couple sur le vilebrequin
Le bras du déambulateur : effort du vérin par le théorème de l'énergie cinétique
Le chariot élévateur : effort du vérin de direction
Le convoyeur de bouteilles : couple moteur avec un rendement global
Le bras porte-scanners : trois chaînes en parallèle
La tête de vissage : mise en vitesse et rapport optimal
Le treuil de levage : couple de maintien et couple d'accélération, montée et descente
Le portique à conteneurs qui descend sa charge : le rendement dans le bon sens
Le pont de levage à moufle : la forme $\eta\,C_m - C_r$ et le signe du couple
Frottements sec et visqueux ramenés à l'arbre moteur
Le robot à quatre roues : bilan des puissances et équation de mouvement
L'ascenseur à contrepoids et volant d'inertie : volant minimal
Le tapis de course motorisé : justifier le choix du moteur
Le hayon électrique d'un coffre : ressorts, frottements et équation de mouvement
Le système de levage à engrenages et vis : rendement global et couple moteur

Approfondissement (5)

La pompe d'un distributeur automatique de barres : couple du motoréducteur
Le véhicule électrique urbain : énergie dépensée et récupérée sur un cycle
La scie d'élagage : une inertie qui dépend de la position
Le robot à deux mobilités : le théorème de l'énergie cinétique ne suffit plus
Le treuil simulé : démarrage, bilan d'énergie et pas de calcul

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le fouloir d'un broyeur d'encombrants : puissances, vérin et centrale hydraulique
CNC 2020, filière TSI, Génie mécanique, partie I « Modélisation dynamique du fouloir », questions Q1 à Q13, et partie II « Dimensionnement de l'arbre de coupe du broyeur », sous-partie 2.1 « Étude du réducteur », questions Q15 à Q18
Le robot enjambeur en pente : puissances, théorème de l'énergie cinétique et choix du motoréducteur
CNC 2025, filière TSI, Génie mécanique, partie 5 « Dimensionnement de la motorisation du robot », questions 27 à 32
L'arbre d'extraction de polyane : théorème de l'énergie cinétique et couple du moteur
CNC 2018, filière TSI, Génie mécanique, partie 3 « Motorisation du système de diminution du diamètre de l'arbre d'extraction », questions 3-2, 3-4 à 3-6, et partie 4 « Etude du réducteur- choix du moteur d'entraînement », questions 4-3 et 4-6
La pompe haute pression d'un moteur diesel : puissance absorbée par trois pistons
CNC 2008, filière TSI, Génie mécanique, partie C « ANALYSE MECANIQUE DE LA POMPE HAUTE PRESSION », section C.1.2 « Etude dynamique » et sous-partie C-2 « Puissance absorbée par la pompe due à l'action des 3 pistons », questions n°7 à n°12
Le bras d'un robot de stimulation magnétique transcrânienne : couple du moteur de l'axe 1 avec ressort de rappel
CNC 2016, filière MP, Sciences industrielles, partie I « Etude de l'axe 1 », questions 5 d et e, et 6 b
L'arceau de radiologie : couple et puissance du moteur sur un cycle, choix du moteur
CNC 2013, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie IV « FONCTION « ENTRAINER L'ARCEAU 3 PAR RAPPORT AU BRAS 2 » », sous-partie 4.1 « Choix du codeur et choix du moteur à courant continu », section 4.1.2 « CHOIX DU MOTEUR », questions 20 à 24
La nacelle d'observation levée par câbles et contrepoids : équation de mouvement et énergie d'un cycle
Centrale-Supélec 2026, filière MP, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie C « Modélisation de la dynamique de la nacelle », sous-parties II « Détermination d'une équation de mouvement de la nacelle » et III « Validation de l'équation de mouvement », questions 11 à 20, et partie E « Vérification de l'exigence liée à la consommation d'énergie et analyse d'une évolution structurelle de l'ouvrage », questions 31 à 33

Questions fréquentes

Que dit le théorème de l'énergie cinétique ?

Dans un référentiel galiléen $R_0$ , celui du sol en génie mécanique, pour un ensemble de solides $\Sigma$ : $\frac{\mathrm{d}E_c(\Sigma/R_0)}{\mathrm{d}t} = \mathcal P(\bar\Sigma \to \Sigma/R_0) + \mathcal P_{int}(\Sigma)$ , la puissance des actions extérieures dans le mouvement par rapport à $R_0$ plus la puissance des inter-efforts. Sa forme intégrée est $E_c(t_2) - E_c(t_1) = W_{ext} + W_{int}$ . C'est une seule équation scalaire, conséquence du principe fondamental de la dynamique : elle n'apporte jamais d'information nouvelle et ne donne jamais une action de liaison.

Comment calculer la puissance d'une action mécanique ?

La puissance d'une action extérieure à un solide $S$ est le comoment de son torseur et du torseur cinématique, écrits au même point $A$ : $\mathcal P = \vec R\cdot\vec V(A \in S/R) + \vec M_A\cdot\vec\Omega(S/R)$ . Cas usuels : une force $\vec F\cdot\vec V(A)$ , un couple $C\,\omega$ , le poids $-m g\,\dot z_G$ avec $\vec z$ vers le haut, un vérin $F\,\dot\lambda$ . La puissance des inter-efforts entre deux solides ne dépend pas du repère : elle est nulle pour une liaison parfaite ou sans mouvement relatif, négative pour un frottement, de signe quelconque pour un moteur, un vérin ou un ressort intérieurs.

Comment appliquer le théorème de l'énergie cinétique pour trouver l'équation de mouvement ?

On suit la méthodologie du programme. On isole tous les solides en mouvement, jamais le bâti, en disant le référentiel galiléen et en situant le stator du moteur ou le corps du vérin. On dresse le bilan des puissances, une ligne par action, chaque puissance nulle justifiée. On écrit l'énergie cinétique $E_c = \frac12 J_{\text{éq}}\,\omega_m^2$ , chaque puissance sous la forme d'un couple ramené fois $\omega_m$ , puis le théorème ; en divisant par $\omega_m$ , qu'on dit non nul, on obtient $J_{\text{éq}}\,\dot\omega_m = C_m - C_{r,\text{éq}}$ . On intègre à la main si le couple est constant, sinon par la méthode d'Euler ou un logiciel de simulation.

Comment calculer le couple moteur quand le mouvement est imposé ?

On lit le couple dans l'équation de mouvement : $C_m = J_{\text{éq}}\,\dot\omega_m + C_{r,\text{éq}}$ , une partie dynamique, nulle à vitesse constante, plus une partie statique. Pour un profil de vitesse en trapèze, on traite chaque phase à accélération constante : le couple le plus grand est celui de l'accélération à la montée d'une charge, et la puissance $C_m\,\omega_m$ est maximale à la fin de l'accélération. On choisit ensuite le plus petit moteur du tableau fourni dont le couple nominal couvre le régime établi et le couple maximal couvre l'accélération, avec une marge réelle.

Comment calculer le rendement global d'une chaîne de transmission ?

Le rendement est défini en régime permanent, à un point de fonctionnement : $\eta = \lvert\mathcal P_s\rvert/\mathcal P_e$ , et la puissance perdue vaut $(1 - \eta)\,\mathcal P_e$ . Pour des transmetteurs en série, on multiplie les rendements, on ne les additionne pas : $\eta = \eta_1\eta_2\cdots\eta_n$ , inférieur au plus faible d'entre eux. Avec un rapport $k = \omega_s/\omega_e$ , quand le moteur entraîne, le couple d'entrée vaut $C_e = k\,C_s/\eta$ . Le rendement n'entre jamais dans un rapport de vitesses.

Pourquoi le rendement ne s'écrit-il pas de la même façon à la descente d'une charge ?

Le rendement porte sur la puissance qui entre dans la transmission. À la montée, le moteur entraîne : on divise par $\eta$ , $C_e = k\,C_s/\eta$ . À la descente retenue ou au freinage, c'est la charge qui entraîne : on multiplie, $C_e = \eta\,k\,C_s$ . On repère donc le sens du flux par le signe de $C_m\,\omega_m$ dans le plan couple-vitesse : positif, le moteur fournit de la puissance ; négatif, il fonctionne en générateur ou en frein. Un rendement constant dans le théorème de l'énergie cinétique est une hypothèse de modèle, à écrire, fausse dans une phase où le flux change de sens.

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