Compléments d'algèbre linéaire : cours, méthodes et exercices corrigés

• ECS 2
• Offert à l'essai

Sommes directes d'une famille de sous-espaces, bases adaptées, changement de base, matrices semblables et trace : les outils qui préparent la réduction.

• 13méthodes
• 38exercices corrigés
• 7problèmes
• 32pièges
• 3figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

En première année, tu as appris à décrire un espace vectoriel par une base, à représenter une application linéaire par une matrice, et à décomposer un espace en deux sous-espaces supplémentaires. Ce chapitre prolonge ces idées dans une direction précise : préparer la réduction des endomorphismes, c'est-à-dire l'art de choisir une base dans laquelle la matrice d'un endomorphisme devient diagonale. Pour cela, il faut savoir découper un espace en plusieurs morceaux (sommes directes d'une famille de sous-espaces), changer de base sans se tromper de sens, reconnaître que deux matrices représentent le même endomorphisme (matrices semblables), et disposer d'un nombre facile à calculer qui ne change pas quand on change de base (la trace). À la fin, tu dois savoir :

• montrer qu'une somme de plusieurs sous-espaces est directe, que des sous-espaces sont supplémentaires, et construire une base adaptée à une décomposition ;
• écrire une matrice de passage, l'inverser, et appliquer les formules de changement de base dans le bon sens ;
• montrer que deux matrices sont semblables, ou qu'elles ne le sont pas ;
• calculer avec la trace et l'utiliser comme invariant ;
• calculer les puissances d'une matrice de la forme $PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale, et en tirer le terme général de suites récurrentes couplées.

Plan du cours

• 1. Ce que la première année a mis en place
• 2. Somme d'une famille finie de sous-espaces
  • 2.1 Définition et premières propriétés
  • 2.2 Sommes directes
  • 2.3 Dimension d'une somme et bases adaptées
  • 2.4 Projecteurs associés à une décomposition
• 3. Changement de base
  • 3.1 Matrice de passage
  • 3.2 Formules de changement de base
• 4. Matrices semblables
  • 4.1 Définition et interprétation
  • 4.2 Ce que deux matrices semblables ont en commun
  • 4.3 Matrices semblables à une matrice diagonale
• 5. Trace
  • 5.1 Trace d'une matrice carrée
  • 5.2 Trace d'un endomorphisme
  • 5.3 Ce que le chapitre prépare

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Montrer qu'une somme de sous-espaces est directe
2. Montrer que des sous-espaces sont supplémentaires
3. Décomposer un vecteur suivant une somme directe
4. Construire une base adaptée et lire une matrice dedans
5. Utiliser les projecteurs associés à une décomposition
6. Écrire et inverser une matrice de passage
7. Appliquer la formule de changement de base
8. Montrer que deux matrices sont semblables
9. Montrer que deux matrices ne sont pas semblables
10. Calculer les puissances d'une matrice par changement de base
11. Résoudre un système de suites récurrentes couplées
12. Calculer et utiliser la trace
13. Calculer la trace d'un endomorphisme sans écrire sa matrice

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

• Sommes directes ou non ?
• Trois droites supplémentaires de $\mathbb{R}^3$
• Découpages de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$
• Matrice de passage dans le plan
• Matrice de passage dans $\mathbb{R}^3$
• Changement de base pour un endomorphisme du plan
• Semblables ou non ?
• Calculs de trace
• Puissances par changement de base
• Un projecteur de $\mathbb{R}^3$
• Traces sans matrice
• Une symétrie de $\mathbb{R}_3[X]$ et sa base adaptée
• Puissances par une base adaptée
• Projection sur un plan parallèlement à une droite

Entraînement (17)

• Décomposition associée à une symétrie
• Sommes directes de noyaux
• Projecteurs associés à une décomposition de $\mathbb{R}^3$
• Deux projecteurs qui s'annulent
• L'hyperplan des matrices de trace nulle
• Changement de base dans $\mathbb{R}_2[X]$
• Exhiber une matrice de passage
• Matrices de rang 1
• Commutateurs et trace
• Parts de marché
• Récurrence d'ordre 2 par matrice
• Multiplication à gauche par une matrice
• Noyau et image supplémentaires
• Quatre sous-espaces
• L'endomorphisme $X \mapsto -X + \operatorname{tr}(X)A$
• Une symétrie de $\mathbb{R}^n$
• Suites couplées sans base diagonale

Approfondissement (7)

• Les formes linéaires qui ressemblent à la trace
• Projecteurs de somme identité
• Les matrices de carré nul en dimension 2
• Un endomorphisme vérifiant $u^2 = u + 2\,\mathrm{id}$
• Matrices idempotentes
• Noyaux itérés
• Les matrices de carré nul en dimension 3

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Puissances par changement de base et mobile sur un carré
  CNAEM 2019, filière ECS, problème 1
• Une même base pour toute une famille de matrices
  CNAEM 2020, filière ECS, problème 1
• Une matrice qui n'est semblable à aucune diagonale
  CNAEM 2012, filière ECS, problème I
• Suites récurrentes linéaires et opérateur de différence
  CNAEM 2016, filière ECS, problème 2
• Matrices magiques d'ordre 3
  ECRICOME 2021, ECS, exercice 1
• Une décomposition par projecteurs
  ECRICOME 2022, ECS, exercice 2
• Bases de Lagrange et de Newton
  ECRICOME 2024, maths approfondies, exercice 2

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie des chapitres offerts : il s'ouvre en entier avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter.