Matrices carrées : inverse et puissances : cours, méthodes et exercices corrigés

• ECT 2
• Offert à l'essai

Matrices carrées réelles, matrices particulières, inverse par le pivot ou par un système, puissances par récurrence, matrice diagonale ou formule du binôme, écriture matricielle d'un système.

• 12méthodes
• 41exercices corrigés
• 7problèmes
• 35pièges
• 2figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

En première année, tu as appris à résoudre un système linéaire par la méthode de Gauss, à calculer avec des matrices (somme, produit, transposée) et à écrire un système sous la forme $AX = B$. Ce chapitre se concentre sur les matrices carrées, celles qui ont autant de lignes que de colonnes, et sur les deux questions que les concours posent sans cesse : une matrice est-elle inversible, et comment calcule-t-on ses puissances ? À la fin, tu dois savoir :

• reconnaître les matrices particulières (identité, diagonales, triangulaires, symétriques) et savoir ce qu'elles donnent par produit ;
• décider si une matrice est inversible, par le critère $ad - bc \neq 0$ en ordre $2$, par la diagonale pour une matrice triangulaire, par le pivot de Gauss en ordre $3$ ;
• calculer un inverse de trois façons : formule en ordre $2$, résolution du système $AX = Y$, pivot sur la matrice $(A \mid I_n)$ ;
• calculer $A^n$ quand $A$ est diagonale, quand une conjecture se démontre par récurrence, quand $A = \lambda I_n + N$ avec $N$ nilpotente (formule du binôme), quand $A$ vérifie une relation du second degré, quand l'énoncé fournit $A = PDP^{-1}$ ;
• écrire un système ou un problème de suites sous forme matricielle, et en tirer la solution.

Plan du cours

• 1. Matrices carrées : rappels et matrices particulières
  • 1.1 Calculs dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$
  • 1.2 Matrices particulières
• 2. Matrices inversibles
  • 2.1 Définition et propriétés
  • 2.2 Critères d'inversibilité
  • 2.3 Systèmes linéaires et inverse
  • 2.4 Le pivot de Gauss sur $(A \mid I_n)$
• 3. Puissances d'une matrice carrée
  • 3.1 Définition et premières règles
  • 3.2 Conjecture et récurrence
  • 3.3 Formule du binôme et matrices nilpotentes
  • 3.4 Puissances à partir d'une relation du second degré
• 4. Applications : systèmes et suites
  • 4.1 Suites récurrentes couplées
  • 4.2 Une suite définie par ses deux termes précédents
  • 4.3 Un mot sur l'outil informatique

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Calculer un produit et savoir s'il commute
2. Reconnaître une matrice non inversible
3. Inverser une matrice d'ordre 2
4. Inverser en résolvant le système $AX = Y$
5. Inverser par le pivot de Gauss sur $(A \mid I_n)$
6. Tirer l'inverse d'une relation polynomiale
7. Discuter l'inversibilité selon un paramètre et résoudre $AX = B$
8. Conjecturer $A^k$ et le démontrer par récurrence
9. Puissances par la formule du binôme avec une nilpotente
10. Puissances à partir de $A^2 = \alpha A + \beta I_n$
11. Exploiter une égalité $A = P D P^{-1}$ donnée par l'énoncé
12. Traduire des suites en $X_{k+1} = A X_k$

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

• Produits et non-commutativité
• Matrices particulières
• Inverses d'ordre 2
• Matrices triangulaires : inversible ou non
• Inverse par résolution d'un système
• Inverse par le pivot
• Une relation donne l'inverse
• Puissances par récurrence
• Formule du binôme avec une nilpotente
• La matrice $J$
• Un système de production
• Inversible ou non, et pourquoi
• Une nilpotente et des limites
• Une récurrence sans binôme
• Non inversible sans calcul

Entraînement (19)

• Matrice à paramètre
• Relation du second degré, inverse et puissances
• Parts de marché
• Une suite définie par ses deux termes précédents
• Une égalité $A = P D P^{-1}$ donnée
• Inverse de $I_n - N$ pour $N$ nilpotente
• Une matrice colonne fois ligne
• Les matrices $aI_3 + bJ$
• Un système sans inverse
• Matrices qui commutent avec une matrice donnée
• La famille $M(a, b) = aI_2 + bK$
• Équations matricielles
• Trois ateliers
• Une relation et deux suites géométriques
• Des coefficients imposés
• Quand $PQ$ vaut $2I_3$
• Suites couplées et binôme
• Une matrice de transition et son état stable
• Deux matrices qui se partagent le travail

Approfondissement (7)

• Une relation du troisième degré
• Trois suites couplées
• Une famille à un paramètre
• Toute matrice d'ordre 2 vérifie une relation du second degré
• Polynôme passant par trois points
• Suites couplées avec second membre
• Une famille de matrices de transition

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Le temps qu'il fera demain
  ECRICOME 2023, maths technologiques, exercice 1
• Une triangulaire et trois suites
  CNAEM 2014, filière ECT, exercice 1
• Binôme, relation et système affine
  CNAEM 2020, filière ECT, exercice 1
• Un mobile sur trois positions
  CNAEM 2018, filière ECT, exercice 3
• Une suite périodique et une racine cubique
  CNAEM 2019, filière ECT, exercice 1
• Une relation du second degré et deux suites
  ECRICOME 2021, ECT, exercice 1
• Quand le binôme ne s'applique pas
  BCE 2024, BSB, voie technologique, exercice 1

Comment y accéder

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