Éléments propres et réduction : cours, méthodes et exercices corrigés

• ECS 2
• Offert à l'essai

Valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres d'un endomorphisme ou d'une matrice, recherche par le rang ou par un polynôme annulateur, diagonalisation et calcul des puissances, sans déterminant.

• 12méthodes
• 39exercices corrigés
• 7problèmes
• 29pièges
• 2figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Le chapitre précédent a posé la question : existe-t-il une base dans laquelle la matrice d'un endomorphisme est diagonale ? Ce chapitre y répond. Les vecteurs dont l'image est colinéaire à eux-mêmes, les vecteurs propres, sont les briques d'une telle base ; les coefficients de colinéarité, les valeurs propres, sont les coefficients diagonaux. Une fois une matrice diagonalisée, ses puissances se calculent sans effort, et avec elles les suites récurrentes couplées et les chaînes de Markov qui reviennent dans tous les sujets de concours. À la fin, tu dois savoir :

• vérifier qu'un vecteur est propre, déterminer les valeurs propres d'une matrice par le rang de $A - \lambda I_n$, par un polynôme annulateur ou par une forme triangulaire ;
• déterminer les sous-espaces propres et leurs dimensions ;
• décider si un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable, et le diagonaliser ;
• calculer les puissances d'une matrice diagonalisable et en déduire le terme général de suites récurrentes.

Plan du cours

• 1. Éléments propres
  • 1.1 Définitions
  • 1.2 Caractérisations d'une valeur propre
  • 1.3 Matrices triangulaires
  • 1.4 Éléments propres d'un polynôme d'endomorphisme
• 2. Polynômes annulateurs
  • 2.1 Définition et existence
  • 2.2 Localiser les valeurs propres
• 3. Propriétés générales
• 4. Diagonalisation
  • 4.1 Définitions et critères
  • 4.2 Matrices diagonalisables
  • 4.3 Matrices non diagonalisables
  • 4.4 Diagonaliser en pratique
• 5. Applications
  • 5.1 Puissances
  • 5.2 Suites récurrentes
  • 5.3 Chaînes de Markov

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Vérifier qu'un vecteur est propre
2. Déterminer les valeurs propres par le rang
3. Localiser les valeurs propres avec un polynôme annulateur
4. Déterminer un sous-espace propre et sa dimension
5. Éléments propres d'un endomorphisme d'un espace de polynômes ou de matrices
6. Montrer qu'une matrice est diagonalisable, ou ne l'est pas
7. Diagonaliser et calculer les puissances
8. Réduire une matrice de rang 1
9. Résoudre des suites récurrentes par la réduction
10. Utiliser la trace pour trouver ou contrôler une valeur propre
11. Exploiter un polynôme annulateur pour les puissances et l'inverse
12. Exploiter la commutation

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

• Vecteurs propres proposés
• Matrices triangulaires
• Valeurs propres d'ordre 2 par le rang
• La matrice $J$
• Un polynôme annulateur
• Projecteurs et symétries
• Matrices nilpotentes
• Éléments propres de $P(A)$
• Diagonaliser une matrice d'ordre 2
• Matrices non diagonalisables
• Trace et dernière valeur propre
• Un endomorphisme de polynômes
• Une matrice d'ordre 2 à paramètre
• Un projecteur de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$

Entraînement (18)

• Deux matrices d'ordre 3 par le pivot
• Matrices de rang 1
• Matrices $aI_n + bJ_n$
• La transposition
• Translation et dérivation
• Suites couplées
• Récurrence linéaire d'ordre 2
• Une relation $A^3 = A + I_n$
• Spectres de $AB$ et $BA$
• Diagonalisabilité selon un paramètre
• Matrices qui commutent
• Matrice de transition à deux états
• Projecteurs diagonalisables
• Annulateur à racine double et puissances
• Spectre fixe, diagonalisabilité variable
• Deux valeurs propres, non diagonalisable
• L'endomorphisme $M \mapsto M + M^{\top}$
• Marche aléatoire sur trois points

Approfondissement (7)

• Un endomorphisme diagonalisable de $\mathbb{R}_n[X]$
• Racines carrées d'une matrice diagonale
• Deux racines simples donnent la diagonalisabilité
• Récurrence linéaire d'ordre 3
• Fidélité à trois marques
• Une matrice et sa transposée
• Un annulateur sans relation plus courte

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Un mobile sur les sommets d'un triangle
  CNAEM 2018, filière ECS, problème 1
• Un polynôme annulateur pour une matrice non diagonalisable
  CNAEM 2017, filière ECS, problème 2
• Matrices de rang 1 selon un paramètre
  CNAEM 2016, filière ECS, problème 1
• Annulateurs et un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$
  ECRICOME 2025, maths approfondies, exercice 2 (partie 1) et EDHEC 2014, ECS, exercice 2
• Un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[x]$ et ses polynômes propres
  ECRICOME 2026, maths approfondies, exercice 2 (questions 1 à 5)
• Échanges de boules entre deux urnes
  EDHEC 2016, ECS, exercice 3
• Nombre de numéros distincts tirés
  EML 2018, ECS, problème 2

Comment y accéder

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