Sommes finies et séries numériques : cours, méthodes et exercices corrigés

• ECT 2
• Offert à l'essai

Rappels sur les sommes finies (linéarité, décalage d'indice, télescopage, sommes usuelles) et les produits, séries numériques, sommes partielles, condition nécessaire de convergence, séries géométrique et exponentielle, convergence absolue, applications aux probabilités et à l'économie, sommes partielles et rang d'arrêt en Python.

• 10méthodes
• 33exercices corrigés
• 7problèmes
• 28pièges
• 1figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Une variable aléatoire peut prendre une infinité de valeurs : le nombre de lancers avant le premier pile, le nombre de clients d'une journée. Calculer sa loi, son espérance ou une probabilité demande alors d'additionner une infinité de termes. Ce chapitre donne un sens à ces sommes infinies, les séries, après avoir repris les calculs de sommes finies de première année. À la fin, tu dois savoir :

• calculer une somme finie par linéarité, décalage d'indice, télescopage ou avec les sommes usuelles, et calculer un produit ;
• étudier la convergence d'une série à l'aide de ses sommes partielles, et reconnaître une série divergente par la condition nécessaire ;
• reconnaître et sommer une série géométrique et une série exponentielle ;
• reconnaître une série absolument convergente ;
• utiliser les séries pour une loi de probabilité, une rente perpétuelle ou un multiplicateur ;
• calculer en Python une somme partielle et un rang d'arrêt.

Plan du cours

• 1. Rappels sur les sommes finies
  • 1.1 Notations et règles de calcul
  • 1.2 Produits
  • 1.3 Décalage d'indice et télescopage
• 2. Séries numériques
  • 2.1 Définitions
  • 2.2 Condition nécessaire de convergence
• 3. Séries de référence
  • 3.1 Série géométrique
  • 3.2 Série exponentielle
• 4. Convergence absolue
• 5. Applications
  • 5.1 Probabilités
  • 5.2 Économie
• 6. Sommes partielles en Python
  • 6.1 Calculer une somme partielle
  • 6.2 Déterminer un rang d'arrêt
  • 6.3 Visualiser la convergence

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Calculer une somme finie
2. Décaler un indice, télescoper
3. Calculer un produit
4. Étudier une série par ses sommes partielles
5. Montrer qu'une série diverge
6. Sommer une série géométrique
7. Utiliser la série exponentielle
8. Montrer qu'une série est absolument convergente
9. Modéliser par une série
10. Calculer une somme partielle et un rang d'arrêt en Python

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

• Sommes finies
• Calculer, si elles existent
• Décalages d'indice
• Télescopages
• Produits
• Sommes partielles
• Divergence grossière
• Séries géométriques
• Séries exponentielles
• Séries télescopiques
• Convergence absolue
• Développements décimaux périodiques
• Restes d'une série géométrique
• Jusqu'au premier 1 ou 6

Entraînement (15)

• La série harmonique sans intégrale
• Linéarité
• Exponentielle avec facteurs
• Loi de Poisson
• Loi géométrique
• Rentes perpétuelles
• Le multiplicateur
• Séries à paramètre
• Termes pairs et impairs
• La somme des cubes et une fraction à trois termes
• Un produit télescopique et une série de logarithmes
• Convergente, absolument ou non
• Approcher $e$
• Une série majorée par une série géométrique
• Sommes partielles et rang d'arrêt en Python

Approfondissement (4)

• Une expérience aléatoire à rallonge
• Pile ou face alterné
• Épuisement d'une ressource
• Valeur d'une entreprise

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Deux pièces et le premier face
  CNAEM 2020, filière ECT, exercice 3
• Une suite qui se télescope
  BCE 2023, ESCP, voie technologique, exercice 4
• Deux suites couplées et une loi géométrique
  BCE 2019, ESCP, voie technologique, exercice 1
• Une récurrence d'ordre deux par des sommes géométriques
  ECRICOME 2020, voie technologique, exercice 1, partie A
• Valeur actualisée nette d'un investissement
  BCE 2005, ESCP, voie technologique, épreuve de mathématiques II, exercice 2
• Une suite encadrée par des sommes géométriques, puis une inégalité exponentielle
  CNAEM 2016, filière ECT, exercice 2 et problème 2, questions 4.3
• Durée de vie d'un composant
  ECRICOME 2021, voie technologique, exercice 3

Comment y accéder

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