Compléments d'intégration : cours, méthodes et exercices corrigés

• ECT 2
• Offert à l'essai

Primitives usuelles, intégrale d'une fonction continue, relation de Chasles, linéarité, intégration par parties, positivité et comparaison d'intégrales, encadrements, suites d'intégrales et fonctions définies par une intégrale, applications économiques et probabilistes, calcul approché par les rectangles et les trapèzes en Python.

• 11méthodes
• 39exercices corrigés
• 7problèmes
• 28pièges
• 3figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

L'intégrale sert partout en deuxième année : pour calculer une probabilité avec une densité, une espérance, un coût total à partir d'un coût marginal, un surplus économique. Ce chapitre reprend les calculs de première année (primitives, intégrale, intégration par parties) et ajoute ce qui permet de raisonner sans tout calculer : le signe d'une intégrale, la comparaison de deux intégrales, l'encadrement. À la fin, tu dois savoir :

• calculer une primitive dans les cas usuels, y compris pour une fraction rationnelle simple ;
• calculer une intégrale, avec la relation de Chasles et la linéarité ;
• intégrer par parties, une ou plusieurs fois, et en tirer une relation de récurrence ;
• déterminer le signe d'une intégrale, comparer deux intégrales, encadrer une intégrale et en déduire une limite ;
• étudier une suite d'intégrales et une fonction définie par une intégrale ;
• calculer une valeur approchée d'une intégrale par la méthode des rectangles ou des trapèzes, en Python.

Plan du cours

• 1. Primitives et intégrale
  • 1.1 Primitives
  • 1.2 Intégrale
  • 1.3 Fonction définie par une intégrale
• 2. Intégration par parties
• 3. Positivité et comparaison
• 4. Suites d'intégrales
• 5. Applications
  • 5.1 Économie : du marginal au total
  • 5.2 Probabilités : densité
• 6. Calcul approché d'une intégrale
  • 6.1 Rectangles et trapèzes
  • 6.2 Programmer les méthodes en Python

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Calculer une primitive
2. Calculer une intégrale
3. Intégrer une fraction rationnelle simple
4. Intégrer par parties
5. Établir une relation de récurrence
6. Déterminer le signe d'une intégrale, comparer deux intégrales
7. Encadrer une intégrale et en déduire une limite
8. Étudier une fonction définie par une intégrale
9. Comparer une somme et une intégrale
10. Utiliser l'intégrale en économie et en probabilités
11. Approcher une intégrale par les rectangles ou les trapèzes

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

• Primitives usuelles
• Formes composées
• Intégrales simples
• Relation de Chasles
• Fractions rationnelles
• Une intégration par parties
• Logarithmes
• Signe sans calcul
• Comparer deux intégrales
• Encadrements
• Aires
• Variations d'une fonction définie par une intégrale
• Aire entre deux exponentielles
• Rectangles et trapèzes à la main

Entraînement (19)

• Deux intégrations par parties
• Puissances du logarithme
• Fractions rationnelles, suite
• La suite $\int_0^1 x^ne^x\,dx$
• La suite $\int_0^1\frac{x^n}{1 + x}\,dx$
• La suite $\int_1^e(\ln x)^n\,dx$
• Une inégalité intégrée
• Une fonction sans primitive explicite
• Somme et intégrale
• Coût marginal et coût total
• Densités
• La suite $\int_0^1 x^n\ln(1 + x)\,dx$
• Surplus
• Une densité affine sur un segment
• Une densité sur $[1, e]$
• Le volume d'une rampe
• Aire entre une courbe et son asymptote
• Comparer $\ln(n!)$ et $n\ln n$
• Rectangles et trapèzes en Python

Approfondissement (6)

• La suite $\int_0^1(1 - x^2)^n\,dx$
• La suite $\int_0^1 t^n\sqrt{1 + t}\,dt$
• La suite $\int_1^e x(\ln x)^n\,dx$
• Bornes variables
• Une limite d'intégrales
• La suite $\int_0^1\frac{x^n}{1 + x + x^2}\,dx$

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Une suite d'intégrales et le nombre $\ln 2$
  CNAEM 2014, filière ECT, exercice 2
• Une suite d'intégrales qui mène au nombre $e$
  BCE 2024, BSB, voie technologique, exercice 4
• Une fonction définie par une intégrale
  BCE 2020, ESCP, voie technologique, exercice 3
• Fractions rationnelles et somme d'intégrales
  BCE 2008, ESCP, voie technologique, exercice 1
• Une densité construite à partir d'une suite d'intégrales
  BCE 2020, BSB, voie technologique, exercice 4
• Somme des inverses des entiers et constante d'Euler
  BCE 2026, ESCP, voie technologique, exercice 2
• Une suite d'intégrales et sa valeur approchée en Python
  ECRICOME 2023, voie technologique, exercice 2

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie des chapitres offerts : il s'ouvre en entier avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter.