Algèbre bilinéaire : cours, méthodes et exercices corrigés

• ECS 2
• Offert à l'essai

Produit scalaire et norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, bases orthonormées et matrices orthogonales, supplémentaire orthogonal, projection orthogonale et moindres carrés, endomorphismes et matrices symétriques, régression en Python.

• 15méthodes
• 36exercices corrigés
• 7problèmes
• 31pièges
• 2figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Dans le plan, on sait mesurer des longueurs et parler d'angle droit. Le produit scalaire étend ces notions à tout espace vectoriel réel : à $\mathbb{R}^n$ bien sûr, mais aussi aux polynômes, aux fonctions, aux matrices. Il donne l'inégalité de Cauchy-Schwarz, qui encadre une somme ou une intégrale, et la projection orthogonale, qui fournit la meilleure approximation d'un vecteur dans un sous-espace : c'est le principe des moindres carrés et de la régression linéaire. Le chapitre se termine par les endomorphismes symétriques, dont les matrices se diagonalisent dans une base orthonormée ; ce résultat servira pour les fonctions de plusieurs variables. À la fin, tu dois savoir :

• reconnaître un produit scalaire et calculer avec la norme associée ;
• utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité ;
• montrer que des vecteurs sont orthogonaux, déterminer l'orthogonal d'un sous-espace ;
• calculer dans une base orthonormée, orthonormaliser une petite famille, reconnaître une matrice orthogonale ;
• déterminer un projeté orthogonal, la matrice d'un projecteur orthogonal et la distance à un sous-espace ;
• résoudre un problème de moindres carrés et ajuster une droite de régression, à la main et en Python ;
• reconnaître un endomorphisme symétrique et diagonaliser une matrice symétrique dans une base orthonormée.

Plan du cours

• 1. Produit scalaire
  • 1.1 Définition et exemples
  • 1.2 Calculs avec la norme
• 2. Inégalité de Cauchy-Schwarz
• 3. Orthogonalité
• 4. Espaces euclidiens
  • 4.1 Bases orthonormées
  • 4.2 Changement de base orthonormée
• 5. Supplémentaire orthogonal et projection
  • 5.1 Supplémentaire orthogonal
  • 5.2 Projection orthogonale
  • 5.3 Moindres carrés
• 6. Endomorphismes et matrices symétriques
  • 6.1 Endomorphismes symétriques
  • 6.2 Théorème spectral
• 7. Régression linéaire en Python
  • 7.1 Produits scalaires, normes, projections
  • 7.2 Droite de régression

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Montrer qu'une application est un produit scalaire
2. Calculer avec la norme
3. Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz
4. Optimiser par Cauchy-Schwarz
5. Déterminer l'orthogonal d'un sous-espace
6. Calculer dans une base orthonormée
7. Orthonormaliser une famille libre
8. Reconnaître une matrice orthogonale
9. Compléter une famille orthonormée
10. Calculer un projeté orthogonal et une distance
11. Écrire la matrice d'un projecteur orthogonal
12. Résoudre un problème de moindres carrés
13. Montrer qu'un endomorphisme est symétrique
14. Diagonaliser une matrice symétrique dans une base orthonormée
15. Calculer en Python : produit scalaire, projection, régression

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

• Produit scalaire ou non
• Un produit scalaire intégral
• Calculs de normes
• Pythagore et parallélogramme
• Cauchy-Schwarz dans $\mathbb{R}^n$
• Maximum sur la sphère
• Orthogonaux dans $\mathbb{R}^3$
• Coordonnées en base orthonormée
• Procédé de Schmidt dans $\mathbb{R}^3$
• Matrices orthogonales
• Une base orthonormée de $\mathbb{R}^4$
• Projection sur une droite
• Un produit scalaire à poids
• Diagonalisation orthogonale par le rang

Entraînement (18)

• Un produit scalaire non canonique
• Un produit scalaire discret
• Cauchy-Schwarz intégral
• Somme et somme des inverses
• Coefficient de corrélation
• Propriétés de l'orthogonal
• Compléter en base orthonormée
• Distance à une droite de $\mathbb{R}^3$
• Projeté sur un sous-espace défini par deux équations
• Matrice d'un projecteur orthogonal sur un hyperplan de $\mathbb{R}^4$
• Orthogonalité dans un espace de matrices
• Meilleure approximation affine de l'exponentielle
• Une droite de demande
• Décomposition de la variance
• Régression sur des données réelles en Python
• Un endomorphisme symétrique de rang 2
• Décomposition spectrale et projecteurs orthogonaux
• $A^{\top}A$ et matrices symétriques positives

Approfondissement (4)

• Une inégalité intégrale
• Formes linéaires et vecteurs normaux
• Un projecteur orthogonal raccourcit les vecteurs
• Produit scalaire discret, covariance et régression

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Projections orthogonales sur une droite et sur un plan
  CNAEM 2018, filière ECS, problème 1 (partie 3)
• La droite des moindres carrés par deux méthodes
  CNAEM 2016, filière ECS, exercice 2
• Un produit scalaire défini par une intégrale sur $[0, +\infty[$
  CNAEM 2015, filière ECS, problème 1 (partie 4)
• Une matrice symétrique et sa forme quadratique
  CNAEM 2013, filière ECS, problème I (partie 1)
• La composée de deux projecteurs orthogonaux
  ECRICOME 2018, ECS, exercice 1
• Formes quadratiques sur la sphère et Cauchy-Schwarz
  ECRICOME 2017, ECS, exercice 2
• Polynômes orthonormés et matrice de Gram
  emlyon 2020, ECS, problème 2 (parties A et B)

Comment y accéder

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