Logique, ensembles et applications : cours, méthodes et exercices corrigés

• ECS 1
• ECT 1
• Offert à l'essai

Raisonner et rédiger : énoncés, quantificateurs, types de raisonnement, récurrence, ensembles et cardinal, applications, injections et bijections.

• 21méthodes
• 42exercices corrigés
• 5problèmes
• 36pièges
• 8figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Ce chapitre fixe le langage de toute l'année de prépa : la façon d'écrire un énoncé, de le nier, de le démontrer, et le vocabulaire des ensembles et des applications que tu retrouveras en analyse, en algèbre linéaire et surtout en probabilités. Rien ici n'est difficile en soi ; ce qui est exigé, c'est une rédaction précise. À la fin, tu dois savoir :

• écrire et nier un énoncé qui contient des connecteurs et des quantificateurs, et distinguer une implication, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ;
• choisir et rédiger un raisonnement : direct, par disjonction de cas, par contraposée, par l'absurde, par récurrence ;
• manipuler les ensembles, démontrer une inclusion ou une égalité, et compter les éléments d'un ensemble fini dans les cas simples ;
• lire une image directe et une image réciproque, et montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective.

Plan du cours

• 1. Énoncés et connecteurs logiques
  • 1.1 Assertions
  • 1.2 Négation, conjonction, disjonction
  • 1.3 Implication
  • 1.4 Équivalence
  • 1.5 Règles de calcul
• 2. Quantificateurs
  • 2.1 Les deux quantificateurs
  • 2.2 Quantification implicite
  • 2.3 Négation d'une assertion quantifiée
  • 2.4 Ordre des quantificateurs
• 3. Méthodes de raisonnement
  • 3.1 Raisonnement direct
  • 3.2 Disjonction de cas
  • 3.3 Raisonnement par contraposée
  • 3.4 Raisonnement par l'absurde
  • 3.5 Raisonnement par analyse-synthèse
  • 3.6 Raisonnement par récurrence
• 4. Ensembles
  • 4.1 Appartenance, inclusion, égalité
  • 4.2 Ensemble des parties
  • 4.3 Opérations sur les parties d'un ensemble
  • 4.4 Produit cartésien
  • 4.5 Familles de parties
  • 4.6 Ensembles finis et cardinal
• 5. Applications
  • 5.1 Définitions
  • 5.2 Image directe, image réciproque
  • 5.3 Composition
  • 5.4 Injections, surjections, bijections
  • 5.5 Composition et bijectivité

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Nier une assertion
2. Utiliser « il faut », « il suffit », condition nécessaire et suffisante
3. Démontrer une implication par contraposée
4. Raisonner par l'absurde
5. Raisonner par disjonction de cas
6. Infirmer une assertion par un contre-exemple
7. Raisonner par analyse-synthèse
8. Rédiger une récurrence simple
9. Étudier une suite définie par récurrence : définie, encadrée, monotone
10. Démontrer une inclusion
11. Démontrer une égalité d'ensembles
12. Démontrer une équivalence
13. Lire une application sur un tableau, un diagramme ou une courbe
14. Déterminer une image directe
15. Déterminer une image réciproque
16. Calculer une composée
17. Étudier l'injectivité d'une application
18. Étudier la surjectivité d'une application
19. Montrer qu'une application est bijective et déterminer sa réciproque
20. Compter avec les cardinaux
21. Choisir le type de récurrence

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (16)

• Traduire avec des quantificateurs
• Nier une assertion
• Ordre des quantificateurs
• Réciproque, contraposée, négation
• Un raisonnement par contraposée
• Une disjonction de cas
• Inégalité de Bernoulli
• Opérations sur des ensembles finis
• Cardinal et sondage
• Image directe et image réciproque
• Injectivité et surjectivité
• Phrases, connecteurs et négations
• Il faut, il suffit
• Trois récurrences pour se régler
• Appartenance, inclusion, parties et couples
• Applications données par un tableau

Entraînement (18)

• Un nombre irrationnel
• Une suite définie par récurrence
• Deux descriptions d'une même droite
• Une identité à trois parties
• Simplifier par une partie
• Trois options : compter avec un diagramme
• Une bijection et sa réciproque
• Calculer avec les fonctions indicatrices
• Composer des applications
• Une récurrence qui ne commence pas au rang 0
• Héréditaire ne veut pas dire vraie
• Par l'absurde, par contraposée
• Conjecturer, puis démontrer
• Deux équations avec une racine carrée
• Une récurrence sur deux rangs, avec une récurrence simple
• Récurrence forte : décomposition d'un entier
• Une majoration de la suite de Fibonacci
• Formule de Poincaré pour trois ensembles

Approfondissement (8)

• Une équation fonctionnelle
• Injectivité et image d'une intersection
• Composition, injectivité, surjectivité
• Une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-1, 1[$
• Théorème de Cantor
• Caractériser l'injectivité et la surjectivité par les images
• Une application entre ensembles de parties
• Une injection qui ne dépasse jamais l'identité

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Deux suites liées
  ECRICOME 2026, voie T, Mathématiques, exercice 1, partie 1, questions 1 à 3a
• Une suite définie par récurrence, selon son premier terme
  CNAEM 2017, filière ECT, Mathématiques, exercice 2, questions 1.1, 1.2 et 2.2 à 2.5
• Une bijection, sa réciproque, une image réciproque
  ECRICOME 2024, voie T, Mathématiques, exercice 2, questions 6 et 7a
• Autour de la suite de Fibonacci et du nombre d'or
  ECRICOME 2018, voie S, Mathématiques, exercice 2, questions 1, 3 et 4b
• Une suite définie par la somme de ses termes précédents
  EDHEC 2006, voie S, Mathématiques, exercice 2, questions 1, 3a et 4a

Comment y accéder

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