Réels, sommes et produits : cours, méthodes et exercices corrigés

• ECS 1
• ECT 1
• Offert à l'essai

Calcul dans R (puissances, inégalités, valeur absolue, partie entière, borne supérieure), sommes et produits, télescopage, sommes usuelles, suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques avec placements et emprunts ; en ECS, sommes doubles, coefficients binomiaux, formule du binôme et dénombrement ; en ECT, systèmes de deux équations.

• 22méthodes
• 56exercices corrigés
• 9problèmes
• 38pièges
• 9figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Ce chapitre rassemble les outils de calcul dont toute la suite dépend : calcul dans $\mathbb{R}$ (fractions, puissances, inégalités, valeur absolue), sommes et produits, suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques. Les suites servent aussitôt en économie : un capital placé à intérêts composés, un emprunt remboursé par annuités constantes, une population qui croît d'un pourcentage fixe sont des suites géométriques ou arithmético-géométriques. À la fin, tu dois savoir :

• calculer avec des fractions, des puissances, des racines et des parenthèses, résoudre une équation simple et une inéquation par un tableau de signes, utiliser la valeur absolue et la partie entière ;
• reconnaître un majorant, un maximum, une borne supérieure ;
• lire et écrire une somme ou un produit avec $\sum$ et $\prod$, changer d'indice, reconnaître un télescopage ;
• calculer les sommes usuelles, montrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique, trouver le terme général d'une suite arithmético-géométrique, et appliquer ces suites à un placement ou à un emprunt.

En ECS s'ajoutent les sommes doubles, la factorielle et les coefficients binomiaux, la formule du binôme et le dénombrement ; en ECT, les systèmes de deux équations à deux inconnues.

Plan du cours

• 1. Calcul dans $\mathbb{R}$
  • 1.1 Nombres, fractions, puissances
  • 1.2 Équations simples
  • 1.3 Inégalités et inéquations
  • 1.4 Valeur absolue
  • 1.5 Partie entière, majorants, intervalles
  • 1.6 Systèmes de deux équations à deux inconnues
• 2. Sommes et produits
  • 2.1 Notations
  • 2.2 Changements d'indice
  • 2.3 Sommes et produits télescopiques
  • 2.4 Sommes usuelles
• 3. Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques
  • 3.1 Suites arithmétiques et géométriques
  • 3.2 Suites arithmético-géométriques
  • 3.3 Placements et emprunts
• 4. Sommes doubles
  • 4.1 Sommes sur un rectangle
  • 4.2 Sommes triangulaires
• 5. Factorielle, coefficients binomiaux, dénombrement
  • 5.1 Factorielle et coefficients binomiaux
  • 5.2 Formule du binôme
  • 5.3 Dénombrement

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Calculer avec des fractions, des puissances et des parenthèses
2. Résoudre une équation simple
3. Résoudre une inéquation
4. Encadrer une expression
5. Utiliser la valeur absolue
6. Utiliser la partie entière
7. Trouver un majorant, un maximum, une borne supérieure
8. Calculer une somme par linéarité
9. Changer d'indice
10. Reconnaître et calculer une somme télescopique
11. Calculer une somme géométrique
12. Calculer un produit
13. Démontrer une formule de somme par récurrence
14. Montrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique
15. Trouver le terme général d'une suite arithmético-géométrique
16. Modéliser un placement, un emprunt, une population
17. Résoudre un système de deux équations
18. Calculer une somme double
19. Utiliser la formule du binôme
20. Simplifier des factorielles et des coefficients binomiaux
21. Dénombrer
22. Établir une identité en comptant de deux façons

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (22)

• Puissances et racines
• Calculer sans erreur : fractions, parenthèses, puissances
• Factorisations
• Équations simples
• Inéquations
• Encadrer une somme, une différence, un produit, un quotient
• Valeur absolue
• Partie entière
• Majorants et bornes
• Lire et calculer des sommes
• Sommes usuelles
• Décaler un indice
• Télescopages
• Sommes géométriques qui ne commencent pas à zéro
• Suites arithmétiques et géométriques
• Trois situations
• Une facture avec réductions successives
• Intérêts simples sur une durée en jours
• Factorielles
• Coefficients binomiaux
• Formule du binôme
• Mots, codes, classements

Entraînement (26)

• Inéquations : carrés, racine, valeur absolue
• Partie entière : équations et inégalités
• Inégalités classiques
• Inégalité triangulaire
• Encadrer une somme
• Sommes alternées et découpages
• Télescopages à préparer
• Produits
• Sommes géométriques à paramètre
• Formules démontrées par récurrence
• Arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre
• Suites arithmético-géométriques
• Intérêts simples et composés
• Un compte rémunéré avec frais
• Une somme télescopique de carrés
• Mises en équation
• Production et mélange
• Tableau d'amortissement : deux façons de rembourser
• Borne supérieure démontrée
• Sommes doubles
• Sommes doubles : inverses, écarts, maximum
• Sommation des colonnes du triangle de Pascal
• Indices pairs, indices impairs, signes alternés
• Comités
• Mains de huit cartes
• Applications et parties

Approfondissement (8)

• Plan d'épargne
• Population avec émigration
• Un crédit à mensualités fixes
• Sommation par parties et somme des $kq^k$
• Trois suites emboîtées
• Pions, sacs et surjections
• Couples de parties qui recouvrent un ensemble
• Deux inégalités sur les factorielles

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Une suite arithmético-géométrique et un déplacement aléatoire
  CNAEM 2013, filière ECT, Mathématiques, problème, questions 1 à 3, 6 et 7
• Une suite qui commence au rang 1, puis la météo
  ECRICOME 2023, voie T, Mathématiques, exercice 1, questions 2, 8 et 11
• Deux suites qui se rapprochent
  ESCP 2019, voie T, Mathématiques, exercice 1, questions 1, 3 et 4b
• Une suite auxiliaire et la somme des $k2^{k-1}$
  ESC 2013, voie T, Mathématiques, exercice 1, questions 2, 3 et 5
• Une suite définie par un quotient
  ESCP 2023, voie T, Mathématiques, exercice 4, questions 1a, 2, 3a, 4 et 5
• Valeur actualisée nette d'un investissement
  ESCP 2005, voie T, Mathématiques II, exercice 2, partie II, questions 1 et 2
• Emprunter : annuité, amortissement, durée
  Problème de synthèse
• Sommes de coefficients binomiaux et formule de Vandermonde
  ESCP 2005, voie T, Mathématiques II, exercice 1, partie I, questions 1 à 4c
• Moitié d'une ligne du triangle de Pascal et coefficient central
  CNAEM 2013, filière ECS, Mathématiques, problème II, questions 1, 2a et 2c

Comment y accéder

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