Polynômes : cours, méthodes et exercices corrigés

• ECS 1
• ECT 1
• Offert à l'essai

Second degré (discriminant, signe, factorisation, somme et produit des racines) et applications économiques ; polynômes à coefficients réels, degré, opérations, racines, factorisation par X - a, division euclidienne, équations et inéquations polynomiales ; en ECS, dérivation formelle, ordre de multiplicité, formule de Taylor et factorisation dans R[X].

• 20méthodes
• 53exercices corrigés
• 10problèmes
• 26pièges
• 9figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Les fonctions polynomiales prolongent les fonctions affines et le second degré du lycée : on sait calculer leurs valeurs, chercher leurs racines et étudier leur signe. Elles modélisent un coût de production, une recette, un bénéfice, et elles reviennent dans tout le programme (fonctions, intégrales, algèbre linéaire). Ce chapitre reprend le second degré en le rendant sûr, puis met en place le vocabulaire général : degré, racines, factorisation, division. À la fin, tu dois savoir :

• étudier complètement un trinôme du second degré : racines, factorisation, signe, extremum, somme et produit des racines, discussion selon un paramètre ;
• calculer le degré et le coefficient dominant d'une somme et d'un produit de polynômes, identifier des coefficients ;
• reconnaître une racine, factoriser par $X - a$, poser une division euclidienne ;
• résoudre une équation ou une inéquation polynomiale par factorisation et tableau de signes, et lire le résultat sur un graphique ;
• traduire une situation économique (coût, recette, bénéfice, seuil de rentabilité) par un polynôme.

En ECS s'ajoutent la dérivation formelle, l'ordre de multiplicité d'une racine, la formule de Taylor et la factorisation dans $\mathbb{R}[X]$.

Plan du cours

• 1. Premier et second degré
  • 1.1 Le premier degré
  • 1.2 Forme canonique, discriminant, racines
  • 1.3 Signe, parabole, extremum
  • 1.4 Somme et produit des racines
  • 1.5 Trinôme dépendant d'un paramètre
  • 1.6 Coût, recette, bénéfice
• 2. Polynômes
  • 2.1 Définitions
  • 2.2 Degré
  • 2.3 Dérivation formelle
• 3. Racines et factorisation
  • 3.1 Racine et factorisation par $X - a$
  • 3.2 Nombre de racines
  • 3.3 Division euclidienne
  • 3.4 Équations et inéquations polynomiales
• 4. Multiplicité, formule de Taylor, factorisation
  • 4.1 Ordre de multiplicité
  • 4.2 Formule de Taylor
  • 4.3 Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Résoudre une équation du second degré et factoriser un trinôme
2. Mettre un trinôme sous forme canonique, trouver un extremum
3. Étudier le signe d'un trinôme, résoudre une inéquation du second degré
4. Discuter selon un paramètre
5. Utiliser la somme et le produit des racines
6. Calculer un degré et un coefficient dominant
7. Identifier des coefficients
8. Trouver un polynôme connaissant ses racines ou ses valeurs
9. Trouver une racine évidente et factoriser par $X - a$
10. Poser une division euclidienne
11. Trouver un reste ou tester une divisibilité sans poser la division
12. Résoudre une équation par changement de variable
13. Résoudre une inéquation polynomiale de degré 3 ou 4
14. Étudier la position relative de deux courbes, lire un graphique
15. Résoudre un problème économique avec un polynôme
16. Dériver un polynôme, travailler dans $\mathbb{R}_n[X]$
17. Déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine
18. Utiliser la formule de Taylor
19. Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$
20. Résoudre une équation dont l'inconnue est un polynôme

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (20)

• Premier degré et tableau de signes
• Équations du second degré
• Factoriser des trinômes
• Signe d'un trinôme et inéquations
• Forme canonique et extremum
• Somme et produit
• Lire une parabole
• Opérations, degré, coefficient dominant
• Identifier des coefficients
• Tester des racines
• Racines évidentes et factorisation
• Poser des divisions euclidiennes
• Équations polynomiales
• Signe d'un polynôme de degré 3
• Produits remarquables et degré
• Des entiers aux polynômes : la division
• Une allée autour d'un jardin
• Dériver des polynômes
• Ordre de multiplicité
• Formule de Taylor

Entraînement (24)

• Seuil de rentabilité et coût moyen
• Trinômes à paramètre
• Expressions symétriques des racines
• Équations qui se ramènent au second degré
• Inéquations de degré 3 ou 4
• Inéquations avec un quotient
• Divisibilité et restes
• Un seul point commun
• Factoriser par changement de variable
• Position d'une courbe et d'une droite
• Systèmes somme et produit
• Offre et demande
• Une famille de trinômes
• Trouver un polynôme
• Deux racines connues
• Un polynôme de degré 3 étudié de bout en bout
• Recette et prix
• Degrés, différences et sommes
• Restes de divisions de $X^n$
• Racine double et paramètres
• Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$
• Équations avec le polynôme dérivé
• Polynômes invariants par translation
• Racines d'un polynôme de degré 3

Approfondissement (9)

• Taux actuariel
• Inéquations avec une racine carrée
• Deux trinômes qui ont une racine commune
• Une équation réciproque
• Un équilibre entre deux courbes du second degré
• Une équation fonctionnelle
• Polynômes d'interpolation
• Divisibilité par $(X - 1)^2$
• Reste de la division de $X^n$ par $(X - 1)^2(X - 2)$

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Racines d'un polynôme de degré 3
  CNAEM 2021, filière ECT, Mathématiques, problème 1, questions 1.2.1 à 1.2.3
• Une famille de polynômes dépendant d'un paramètre
  BSB 2025, voie T, Mathématiques, exercice 2, questions 1, 4, 7 à 9, 11, 12, 14 et 15
• Deux suites liées et un trinôme
  BSB 2026, voie T, Mathématiques, exercice 2, parties I à III
• Une récurrence d'ordre 2 et son équation du second degré
  CNAEM 2021, filière ECT, Mathématiques, problème 2, questions 1.1 à 1.4.2
• Deux trinômes dont les coefficients contiennent une constante
  ESC 2011, voie T, Mathématiques, exercice 2, question 1
• Croissance d'une population : un modèle du second degré
  ESCP 2025, voie T, Mathématiques, exercice 1, partie II, questions 6(a)i, 6(b)i, 6(b)ii et 6(d)i
• Coût, coût moyen et bénéfice
  Problème de synthèse
• Reste de la division de $x^n$ par un polynôme de degré 3
  CNAEM 2017, filière ECS, Mathématiques, problème 2, questions 1.2 et 2.1 à 2.2.3
• Un opérateur de différence et deux factorisations
  CNAEM 2016, filière ECS, Mathématiques, problème 2, questions 4.1.2 à 4.1.4, 5.4.5 et 5.9
• Une suite de polynômes définie par récurrence
  emlyon 2005, voie S, Mathématiques, problème 1, partie I, questions 1 à 3

Comment y accéder

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