Fonctions, limites et continuité en prépa ECS, ECG et ECT : bijection, dichotomie, exercices

Q: Le théorème des valeurs intermédiaires donne-t-il une solution unique ?

Non. Si f est continue sur [a, b] et si c est compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = c a au moins une solution dans [a, b], mais il peut y en avoir plusieurs. Exemple : f(x) = x^(15) - x^(11) - 2 est continue sur [1, 2], avec f(1) = -2 0, donc f s'annule dans ]1, 2[. Pour l'unicité, il faut la stricte monotonie et le théorème de la bijection.

Q: Combien de tours fait une dichotomie en Python ?

Après n tours, l'intervalle a pour longueur (b - a)/(2^n) ; la boucle `while b - a > eps` s'arrête au premier n tel que (b - a)/(2^n) leqslant ε. Exemple : pour x^3 + x - 1 = 0 sur [0, 1] avec ε = 10^(-6), il faut 2^n geqslant 10^6 ; comme 2^(19) = 524 288 et 2^(20) = 1 048 576, le programme fait 20 tours et donne α ≈ 0,68233. À chaque tour, on garde la moitié où f change de signe.

Q: Comment montrer qu'une droite est asymptote oblique ?

On montre que f(x) - (mx + p) → 0 en +∞ ou en -∞, et le signe de cette différence donne la position de la courbe. Exemple : (x^2 + x - 1)/(x - 1) = x + 2 + (1)/(x - 1), donc la droite y = x + 2 est asymptote en ±∞ ; la courbe est au-dessus pour x > 1 et au-dessous pour x < 1, et la droite x = 1 est asymptote verticale.

Fonctions d'une variable réelle : ensemble de définition, opérations, fonctions usuelles, parité, monotonie, bornes ; limites en un point et à l'infini, opérations, comparaison et encadrement, limite monotone ; continuité, théorème des valeurs intermédiaires, image d'un segment, bijection continue strictement monotone ; suites u(n+1) = f(u(n)) et point fixe ; applications économiques.

22méthodes
56exercices corrigés
7problèmes
27pièges
42figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une fonction $f$ a pour limite $\ell$ en $a$ quand $f(x)$ est aussi proche que l'on veut de $\ell$ dès que $x$ est assez proche de $a$ . Les limites se calculent par les opérations et la composition, en levant les quatre formes indéterminées : terme de plus haut degré à l'infini, factorisation par $x - a$ , quantité conjuguée, même dénominateur. Elles se lisent sur la courbe comme des asymptotes horizontales, verticales ou obliques. Une fonction est continue en $a$ quand $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ; en un point de raccord, on compare la limite à gauche, la valeur et la limite à droite. Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une solution de $f(x) = c$ ; le théorème de la bijection, pour une fonction continue et strictement monotone, en donne l'unicité, et la dichotomie en Python l'approche. Le chapitre traite aussi l'encadrement, la limite monotone, l'image d'un segment, les points fixes, les suites définies par une équation, le coût moyen et le prix d'équilibre. Il suit le programme de première année ECS1 et ECT1 au Maroc et sert en ECG et en ECT en France ; ces théorèmes reviennent dans les sujets du CNAEM, de l'ISCAE, de la BCE et d'ECRICOME.

Ce que tu sauras faire

Un coût qui dépend de la quantité produite, une demande qui dépend du prix, un bénéfice qui change de signe : en économie, presque toutes les grandeurs se lisent sur la courbe d'une fonction. Ce chapitre donne le vocabulaire des fonctions, le calcul des limites, la continuité, puis les théorèmes qui permettent de dire qu'une équation a une solution, une seule, et de la calculer à la précision voulue. À la fin, tu dois savoir :

déterminer un ensemble de définition, étudier la parité, la monotonie et les bornes d'une fonction sans dérivée ;
calculer une limite par les opérations et lever une forme indéterminée ;
lire et justifier une asymptote, et placer la courbe par rapport à elle ;
étudier la continuité en un point et sur un intervalle ;
conclure par encadrement ou par le théorème de la limite monotone ;
montrer qu'une équation $f(x) = c$ a au moins une solution, ou une seule, et l'encadrer ;
approcher cette solution par dichotomie en Python ;
étudier un point fixe, une suite définie implicitement, et interpréter un coût moyen ou un prix d'équilibre.

S'ajoutent les fonctions exponentielle, logarithme, puissances et partie entière, les croissances comparées, la définition quantifiée de la limite, le prolongement par continuité et le théorème qui donne la limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ .

L'essentiel : Limites Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Opérations et formes indéterminées

Les limites se combinent par somme, produit, quotient et composition, sauf dans les quatre formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac00$ . $\frac{0}{\infty}$ et $\frac{\ell}{\infty}$ donnent $0$ , $\frac{\ell}{0^+}$ ( $\ell > 0$ ) donne $+\infty$ .

Méthode Lever une forme indéterminée

En $\pm\infty$ : polynôme comme son terme de plus haut degré ; fraction comme le quotient des termes de plus haut degré.
En un point fini $a$ où l'on trouve $\frac00$ : factoriser par $x - a$ .
Différence de racines : quantité conjuguée.
Différence de fractions : même dénominateur.

Définition Asymptotes

$f(x) \to \ell$ en $\pm\infty$ : asymptote horizontale $y = \ell$ . $f(x) \to \pm\infty$ en un réel $a$ : asymptote verticale $x = a$ . $f(x) - (mx + p) \to 0$ en $\pm\infty$ : asymptote oblique $y = mx + p$ . Position : signe de $f(x) - (mx + p)$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Lever une forme indéterminée

Quand l’utiliser

Les opérations donnent $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac\infty\infty$ ou $\frac00$ .

Rappel de cours

En $\pm\infty$ , un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré, une fraction comme le quotient des termes de plus haut degré. En un réel $a$ racine du numérateur et du dénominateur, les deux se factorisent par $x - a$ . $(\sqrt A - \sqrt B)(\sqrt A + \sqrt B) = A - B$ .

Démarche

Reconnaître la forme et le point ( $\pm\infty$ ou réel).
En $\pm\infty$ : factoriser en haut et en bas par le terme de plus haut degré.
En un réel $a$ avec $\frac00$ : factoriser par $x - a$ et simplifier.
Différence de racines : multiplier et diviser par la quantité conjuguée.
Différence de fractions : réduire au même dénominateur, puis factoriser.
Recalculer la limite de l'expression transformée.

Rédaction type

« Pour $x \neq 1$ et $x \neq -2$ ,

\frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{x + 1}{x + 2},

donc la limite en $1$ est $\frac23$ . »

Exemple traité

En $1$ , forme $\frac00$ : $1$ est racine de $x^2 - 1$ et de $x^2 + x - 2$ , d'où la rédaction type.
En $0$ , forme $\frac00$ : pour $x \neq 0$ , $x \geqslant -4$ ,

\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \frac{(x + 4) - 4}{x\left(\sqrt{x + 4} + 2\right)} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2} \xrightarrow[x \to 0]{} \frac14.

Erreurs fréquentes

Simplifier par $x - a$ sans dire $x \neq a$ .
Factoriser par le terme dominant en un point fini.
Conclure « $\infty - \infty = 0$ ».

Pour s’entraîner

Exercices 8, 9, 10, 20 et 21.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice La quantité conjuguée ★☆☆

Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x + 1} - x\right)$ .
Calculer $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{2}}$ .

Indications

Multiplier et diviser par la quantité conjuguée, puis utiliser $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ .
1. Au dénominateur, factoriser $x$ et utiliser $\sqrt{x^2} = x$ pour $x > 0$ .

Correction détaillée

1. Forme $+\infty - \infty$ . Pour $x > 0$ ,

\sqrt{x^2 + x + 1} - x = \frac{(x^2 + x + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} = \frac{x + 1}{x\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1\right)} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1}.

Le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $2$ : la limite vaut $\frac{1}{2}$ .

2. Forme $\frac{0}{0}$ . Pour $x$ proche de $1$ et $x \neq 1$ ,

\frac{x - 1}{\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{2}} = \frac{(x - 1)\left(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{2}\right)}{x^2 + 1 - 2} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{2}}{x + 1},

car $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ . Cette expression tend vers $\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ .

Méthodes à retenir

Une différence de deux quantités dont l'une est une racine carrée se traite par la quantité conjuguée ; en $+\infty$ , on factorise ensuite le terme dominant sous la racine. Voir la méthode 7.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 22 méthodes, 27 pièges corrigés, la carte mentale, 56 exercices corrigés, 7 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

Partie A : fonctions, limites, continuité
1. Généralités sur les fonctions
- 1.1 Ensemble de définition, image, courbe
- 1.2 Opérations et composée
- 1.3 Parité
- 1.4 Monotonie
- 1.5 Fonctions bornées
- 1.6 Bijection et réciproque
- 1.7 Fonctions de référence en ECS et en ECG
- 1.8 Trigonométrie circulaire
2. Limites
- 2.1 Limite finie en un point
- 2.2 Limites en l'infini, limites infinies
- 2.3 Opérations sur les limites
- 2.4 Polynômes, fractions rationnelles et formes indéterminées
- 2.5 Limite d'une fonction composée
- 2.6 Interprétation graphique : asymptotes
- 2.7 Tracer une courbe avec Python
- 2.8 Compléments en ECS et en ECG
3. Continuité
- 3.1 Continuité en un point
- 3.2 Continuité sur un intervalle
- 3.3 Prolongement par continuité et fonctions usuelles
Partie B : théorèmes sur les limites et les fonctions continues
4. Limites et inégalités
- 4.1 Passage à la limite dans une inégalité
- 4.2 Encadrement, minoration, majoration
- 4.3 Théorème de la limite monotone
5. Fonctions continues sur un intervalle
- 5.1 Théorème des valeurs intermédiaires
- 5.2 Image d'un segment
- 5.3 Théorème de la bijection
- 5.4 Résoudre une équation $f(x) = c$
- 5.5 Approcher une solution par dichotomie
6. Points fixes, suites récurrentes, suites implicites
- 6.1 Point fixe d'une fonction
- 6.2 Suites $u_{n+1} = f(u_n)$
- 6.3 Suites définies implicitement
7. Applications économiques
- 7.1 Le prix d'équilibre
- 7.2 Le seuil de rentabilité

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction
Étudier la parité d'une fonction et réduire l'étude
Obtenir la monotonie d'une fonction sans dérivée
Montrer qu'une fonction est majorée, minorée ou bornée
Montrer qu'une fonction est bijective et expliciter sa réciproque
Calculer une limite par les opérations et la composition
Lever une forme indéterminée
Étudier les asymptotes et la position d'une courbe
Tracer une courbe avec Python et conjecturer
Étudier la continuité en un point
Justifier la continuité sur un intervalle
Calculer une limite par encadrement, minoration ou majoration
Utiliser le théorème de la limite monotone
Montrer qu'une équation a au moins une solution
Montrer qu'une équation a une unique solution et l'encadrer
Approcher une solution par dichotomie en Python
Étudier un point fixe et une suite $u_{n+1} = f(u_n)$
Étudier une suite définie implicitement
Utiliser les croissances comparées et les limites usuelles
Prolonger une fonction par continuité ; la partie entière
Revenir à la définition quantifiée d'une limite
Calculer avec la trigonométrie et résoudre au cercle

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (23)

Ensembles de définition
Parité et parties paire et impaire
Monotonie sans dérivée
Fonctions majorées, minorées, bornées
Une bijection et sa réciproque
Limites de polynômes et de fractions à l'infini
Limites à gauche et à droite en une valeur interdite
La forme 0/0 par factorisation
La quantité conjuguée
Réduire au même dénominateur
Asymptotes et position d'une courbe
Choisir un paramètre pour la continuité
Continuité par les opérations
Python : tracer une courbe et conjecturer ses asymptotes
Une fonction bornée dans des limites
L'équation x^15 = x^11 + 2
L'équation x^6 + x^4 = 810
Croissances comparées
Des formes puissances
Limites usuelles en 0
Prolongements par continuité
Revenir à la définition quantifiée
Valeurs et formules de trigonométrie

Entraînement (25)

Variations et bornes d'un inverse de trinôme
Une fonction homographique bijective
Retrouver une fraction à partir de son asymptote
Deux asymptotes obliques pour une racine
Continue à droite, pas à gauche
Une fonction en trois morceaux
Encadrement et minoration
Limite monotone et inégalité stricte
Deux courbes qui se coupent
Une fonction continue dont le carré vaut 1
Un polynôme de degré impair a une racine réelle
Images d'intervalles
Factoriser ou appliquer le théorème de la bijection
Python : dichotomie pour x^3 + x - 1 = 0
Toute fonction continue de [0, 1] dans [0, 1] a un point fixe
Un point fixe et une suite qui s'en approche
Une suite définie par une équation polynomiale
Coût moyen et économies d'échelle
Un prix d'équilibre entre offre et demande
La partie entière
Continuité en 1 selon un entier k
Une équation avec un logarithme
Un point fixe par la fonction f(x) - x
Python : comparer les fonctions de référence
Équations et inéquations au cercle

Approfondissement (8)

Une suite de solutions qui tend vers 1
Une corde horizontale de longueur 1/2
Nombre de solutions de x^3 - 3x = m
La réciproque de x^3 + 3x
Deux seuils de rentabilité
Une fonction continue avec des limites finies est bornée
La limite ln 2 annoncée au chapitre 5
La suite des solutions de x + e^x = n

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Une fonction continue par morceaux et l'équation de sa médiane
CNAEM 2015, filière ECT, Mathématiques, exercice 4, questions 1.a à 1.d, 4.b et 4.c (questions 2, 3 et 4.a omises, stricte décroissance de g admise en 4.b, question 4.d ajoutée)
Deux zéros, un point fixe et une suite qui s'en approche
BCE 2014, ESC, voie technologique, Mathématiques, exercice 2, questions 1, 3, 4, 5.a, 5.b et 5.e (questions 2, 5.c et 5.d admises, question 5.b réécrite sans dérivée)
Une courbe entre deux asymptotes
ECRICOME 2023, voie technologique, Mathématiques, exercice 2, partie 1, questions 1, 3, 4, 6.a et 6.b (questions 2 et 5 omises, question 6.a réécrite sans dérivée)
Deux asymptotes obliques et une dichotomie
BCE 2022, BSB, voie technologique, Mathématiques, exercice 2, questions 2, 3.a, 3.b, 3.d et 4 (question 1 admise, question 3.c omise, question 4.c réécrite en Python)
Une suite implicite approchée par dichotomie
ECRICOME 2025, voie technologique, Mathématiques, exercice 2, questions 2.a et 10 à 14 (question 2.b réécrite sans dérivée, question 5.c admise, autres questions de la partie 1 omises, question 15 ajoutée)
Une suite de solutions qui tend vers l'infini
ECRICOME 2026, voie technologique, Mathématiques, exercice 2, questions 1.a, 1.b, 11.a, 11.c, 12, 13 et 14 (question 11.b admise, questions 2 à 10 omises)
Les sommes partielles de l'exponentielle et une suite implicite
ECRICOME 2022, voie S, Mathématiques, exercice 1, questions 1 à 4 (question 1.b réécrite en Python, limite de 3.a admise, questions 5 à 7 omises)

Questions fréquentes

Le théorème des valeurs intermédiaires donne-t-il une solution unique ?

Non. Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $c$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l'équation $f(x) = c$ a au moins une solution dans $[a, b]$ , mais il peut y en avoir plusieurs. Exemple : $f(x) = x^{15} - x^{11} - 2$ est continue sur $[1, 2]$ , avec $f(1) = -2 < 0$ et $f(2) = 30\,718 > 0$ , donc $f$ s'annule dans $]1, 2[$ . Pour l'unicité, il faut la stricte monotonie et le théorème de la bijection.

Comment rédiger le théorème de la bijection ?

On écrit les deux hypothèses, puis l'intervalle image, puis l'appartenance de la valeur cherchée. Exemple : $f(x) = x^6 + x^4$ est continue et strictement croissante sur $[0, +\infty[$ , avec $f(0) = 0$ et $f(x) \to +\infty$ ; elle réalise donc une bijection de $[0, +\infty[$ sur $[0, +\infty[$ . Comme $810 \in [0, +\infty[$ , l'équation $f(x) = 810$ a une unique solution, et $f(3) = 729 + 81 = 810$ montre que c'est $3$ . Une borne non atteinte de l'intervalle image s'écrit avec un crochet ouvert.

Combien de tours fait une dichotomie en Python ?

Après $n$ tours, l'intervalle a pour longueur $\frac{b - a}{2^n}$ ; la boucle while b - a > eps s'arrête au premier $n$ tel que $\frac{b - a}{2^n} \leqslant \varepsilon$ . Exemple : pour $x^3 + x - 1 = 0$ sur $[0, 1]$ avec $\varepsilon = 10^{-6}$ , il faut $2^n \geqslant 10^6$ ; comme $2^{19} = 524\,288$ et $2^{20} = 1\,048\,576$ , le programme fait $20$ tours et donne $\alpha \approx 0{,}68233$ . À chaque tour, on garde la moitié où $f$ change de signe.

Comment calculer une limite avec la quantité conjuguée ?

On multiplie et on divise par la quantité conjuguée, puis on utilise $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ . Exemple : pour $x > 0$ , $\sqrt{x^2 + x + 1} - x = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x}$ ; en factorisant $x$ en haut et en bas, cette expression tend vers $\frac{1}{2}$ en $+\infty$ . La forme de départ, $+\infty - \infty$ , est indéterminée : on ne conclut jamais « $\infty - \infty = 0$ ».

Comment étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux ?

Sur chaque intervalle ouvert, la fonction est continue par les opérations ; au point de raccord, on compare la limite à gauche, la valeur et la limite à droite. Exemple : avec $f(x) = x^2 - 1$ pour $x < 2$ et $f(x) = ax + 1$ pour $x \geqslant 2$ , la limite à gauche vaut $3$ et la valeur $2a + 1$ ; $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $a = 1$ .

Comment montrer qu'une droite est asymptote oblique ?

On montre que $f(x) - (mx + p) \to 0$ en $+\infty$ ou en $-\infty$ , et le signe de cette différence donne la position de la courbe. Exemple : $\frac{x^2 + x - 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{1}{x - 1}$ , donc la droite $y = x + 2$ est asymptote en $\pm\infty$ ; la courbe est au-dessus pour $x > 1$ et au-dessous pour $x < 1$ , et la droite $x = 1$ est asymptote verticale.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.