Suites réelles en prépa ECS, ECG et ECT : limites, suites récurrentes, limite monotone, exercices

Q: Comment calculer la limite d'une suite arithmético-géométrique ?

On cherche la solution constante ell = aell + b, puis on montre que (u_n - ell) est géométrique de raison a, d'où u_n = ell + a^n(u_0 - ell). Exemple : pour u_0 = 2 et u_(n+1) = (1)/(2)u_n + 3, on trouve ell = 6 et u_n = 6 - 4 ((1)/(2) )^n, donc u_n → 6. Si lvert a rvert 1, elle tend vers ±∞ selon le signe de u_0 - ell ; si a leqslant -1, elle n'a pas de limite, sauf si u_0 = ell.

Q: Comment étudier une suite définie par u(n+1) = f(u(n)) ?

On montre qu'un intervalle est stable par f, puis, par récurrence, que tous les termes y restent. Le signe de f(x) - x donne la monotonie, et le théorème de la limite monotone donne la convergence. On trouve enfin la limite en passant à la limite dans la relation, par les opérations quand f est un polynôme ou une fraction. Exemple : avec u_0 = (1)/(2) et u_(n+1) = u_n - u_n^2, on a 0 leqslant u_n leqslant 1, u_(n+1) - u_n = -u_n^2 leqslant 0, puis ell = ell - ell^2, donc la limite vaut 0.

Q: Quelle est la limite de q puissance n ?

Si -1 1, q^n → +∞ ; si q leqslant -1, la suite n'a pas de limite. Les inégalités sont strictes dans le premier cas : écrire « -1 leqslant (1)/(4) leqslant 1, donc ((1)/(4) )^n → 0 » est une justification fausse, puisque q = 1 et q = -1 vérifient aussi l'encadrement large.

Suites réelles : modes de définition, monotonie, suites usuelles (arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, récurrentes linéaires d'ordre 2), limites, opérations, théorèmes de comparaison et d'encadrement, limite monotone, suites adjacentes, suites définies par u(n+1) = f(u(n)), applications économiques.

21méthodes
52exercices corrigés
8problèmes
25pièges
27figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ quand tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous ses termes, sauf un nombre fini. Les limites se calculent par les opérations, en levant les formes indéterminées, par encadrement ou par comparaison. La suite $q^n$ tend vers $0$ si $-1 < q < 1$ et vers $+\infty$ si $q > 1$ ; elle n'a pas de limite si $q \leqslant -1$ . Une suite arithmético-géométrique $u_{n+1} = au_n + b$ s'écrit $u_n = \ell + a^n(u_0 - \ell)$ et converge vers $\ell$ quand $\lvert a \rvert < 1$ . Le théorème de la limite monotone assure qu'une suite croissante et majorée converge. Pour une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ , on cherche un intervalle stable, on étudie le signe de $f(x) - x$ , puis on passe à la limite dans la relation. Le chapitre couvre aussi les suites couplées, des modèles économiques (population, multiplicateur, prix agricoles, parts de marché) et le rang d'arrêt en Python. Il suit le programme de première année ECS1 et ECT1 au Maroc et sert en ECG et en ECT en France ; les suites reviennent dans presque tous les sujets du CNAEM, de l'ISCAE, de la BCE et d'ECRICOME.

Ce que tu sauras faire

Une suite décrit une grandeur qui change d'une période à l'autre : un effectif, un stock, un prix, une part de marché, une valeur approchée qui se précise à chaque étape. Le chapitre 2 a donné les formes explicites des suites usuelles ; celui-ci étudie leur comportement : la suite monte-t-elle, reste-t-elle bornée, se stabilise-t-elle, et vers quelle valeur ? Ce sont les questions de presque tous les exercices de suites des concours. À la fin, tu dois savoir :

étudier la monotonie d'une suite et montrer qu'elle est majorée, minorée ou bornée ;
calculer une limite par les opérations et lever une forme indéterminée ;
utiliser les limites des suites usuelles : $q^n$ , suites géométriques, arithmético-géométriques, sommes géométriques ;
conclure par encadrement, par majoration de l'écart à la limite ou par minoration ;
utiliser le théorème de la limite monotone et montrer une divergence par l'absurde ;
étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ sur un exemple, ramener une suite à une suite usuelle, traiter deux ou trois suites définies ensemble ;
interpréter la limite d'un modèle économique ;
calculer, représenter et approcher une limite en Python, avec un rang d'arrêt justifié.

S'ajoutent la définition quantifiée de la limite, les suites adjacentes, les suites extraites, les récurrences linéaires d'ordre 2 et les croissances comparées.

L'essentiel : Suites définies par récurrence Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Plan pour

u_{n+1} = f(u_n)

Résoudre $f(x) = x$ : ce sont les seules limites finies possibles.
Intervalle stable $I$ contenant $u_0$ , par récurrence : la suite est bien définie, et bornée si $I$ l'est.
Monotonie : signe de $f(x) - x$ , ou récurrence si $f$ est croissante.
Limite monotone, puis $\ell = f(\ell)$ par les opérations sur les limites.
Choisir la solution avec les inégalités passées à la limite.

À retenir Suites auxiliaires et couplées

Une suite auxiliaire donnée se calcule en fonction d'elle-même, sans repasser par $n$ . Deux suites couplées : chercher une combinaison constante et une combinaison géométrique ; ou écrire $X_{n+1} = AX_n$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Étudier une suite

u_{n+1} = f(u_n)

sur un exemple

Quand l’utiliser

Une suite donnée par $u_0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ , avec $f$ polynôme ou quotient de polynômes ; questions « montrer que pour tout $n$ , $u_n \in I$ », « étudier les variations », « montrer que la suite converge et déterminer sa limite ».

Rappel de cours

Si $u_n \to \ell$ , alors $u_{n+1} \to \ell$ et, par les opérations, $f(u_n) \to f(\ell)$ : $\ell = f(\ell)$ . Les limites finies possibles sont les solutions de $f(x) = x$ .

Démarche

Résoudre $f(x) = x$ et factoriser $f(x) - x$ .
Trouver un intervalle $I$ stable par $f$ qui contient $u_0$ ; montrer par récurrence que $u_n \in I$ pour tout $n$ : la suite est bien définie et bornée.
Monotonie : signe de $f(x) - x$ sur $I$ ; ou, si $f$ est croissante sur $I$ , récurrence à partir du sens de $u_1 - u_0$ .
Limite monotone : la suite converge vers $\ell$ , et $\ell = f(\ell)$ par passage à la limite dans la relation, au moyen des opérations.
Choisir la solution compatible avec les inégalités : $\ell \in I$ , $\ell \geqslant u_0$ si la suite croît.

Rédaction type

« Montrons par récurrence que, pour tout $n$ , $0 \leqslant u_n \leqslant 2$ . […] Pour tout $n$ , $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n = \frac{(u_n - 2)(u_n - 3)}{5} \geqslant 0$ , car $u_n \leqslant 2 < 3$ : la suite est croissante. Croissante et majorée par $2$ , elle converge vers un réel $\ell$ . Comme $u_{n+1} = \frac{u_n^2 + 6}{5}$ , par opérations sur les limites, $\ell = \frac{\ell^2 + 6}{5}$ , donc $\ell = 2$ ou $\ell = 3$ ; comme $u_n \leqslant 2$ pour tout $n$ , $\ell \leqslant 2$ , donc $\ell = 2$ . »

Exemple traité

$u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n^2 + 6}{5}$ . $f(x) = x$ équivaut à $x^2 - 5x + 6 = 0$ , soit $x \in \{2, 3\}$ , et $f(x) - x = \frac{(x - 2)(x - 3)}{5}$ . $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$ , $f(0) = \frac65$ et $f(2) = 2$ : si $0 \leqslant u_n \leqslant 2$ , alors $\frac65 \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$ . Par récurrence, $0 \leqslant u_n \leqslant 2$ pour tout $n$ . La rédaction type conclut : $u_n \to 2$ , en croissant ( $1$ ; $1{,}4$ ; $1{,}592$ ; $1{,}707$ …).

Erreurs fréquentes

Affirmer que la limite est une solution de $f(x) = x$ sans avoir prouvé la convergence.
Croire que $f$ croissante rend la suite croissante : elle la rend monotone, et le sens dépend de $u_1 - u_0$ .
Oublier de montrer que la suite est bien définie.
Écrire « par continuité de $f$ » : dans ce chapitre, on passe à la limite par les opérations sur les limites.

Pour s’entraîner

Exercices 16, 19, 20, 34, 35, 38 et 40.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Passage à la limite par les opérations ★★☆

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = \frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = u_n - u_n^2$ .

Montrer que $0 \leqslant u_n \leqslant 1$ pour tout $n$ .
Étudier la monotonie de $(u_n)$ .
Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite, en justifiant chaque étape.

Indications

1. Pour $x \in [0, 1]$ , $x - x^2 = x(1 - x)$ est un produit de deux nombres positifs, majoré par $\frac{1}{4}$ .
1. La suite $(u_{n+1})$ a la même limite que $(u_n)$ .

Analyse : comment trouver l’idée

La démarche suit le plan d'étude d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ : intervalle stable, monotonie, limite monotone, puis valeur de la limite. Le passage à la limite dans la relation se justifie par les opérations sur les limites, car $f(x) = x - x^2$ est un polynôme.

Correction détaillée

1. $u_0 = \frac{1}{2} \in [0, 1]$ . Si $0 \leqslant u_n \leqslant 1$ , alors $u_{n+1} = u_n(1 - u_n)$ est le produit de deux réels positifs, donc $u_{n+1} \geqslant 0$ ; et $u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1$ car $u_n^2 \geqslant 0$ . Par récurrence, $0 \leqslant u_n \leqslant 1$ pour tout $n$ .

2. $u_{n+1} - u_n = -u_n^2 \leqslant 0$ : la suite est décroissante.

3. Décroissante et minorée par $0$ , la suite converge, d'après le théorème de la limite monotone, vers un réel $\ell \geqslant 0$ . Par les opérations sur les limites, $u_n - u_n^2 \to \ell - \ell^2$ ; et $u_{n+1} \to \ell$ . Par unicité de la limite, $\ell = \ell - \ell^2$ , soit $\ell^2 = 0$ et $\ell = 0$ .

Contrôle : $u_1 = \frac{1}{4}$ , $u_2 = \frac{3}{16}$ , $u_3 = \frac{39}{256}$ : les termes décroissent vers $0$ , lentement.

Méthodes à retenir

On écrit toujours l'existence de la limite avant l'équation $\ell = f(\ell)$ , et l'on justifie le passage à la limite par les opérations ( $f$ polynôme ou fraction rationnelle). Voir la méthode 9.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 21 méthodes, 25 pièges corrigés, la carte mentale, 52 exercices corrigés, 8 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Suites réelles : rappels et vocabulaire
- 1.1 Trois façons de définir une suite
- 1.2 Suites majorées, minorées, bornées
- 1.3 Monotonie
- 1.4 Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
2. Limite d'une suite
- 2.1 Limite finie
- 2.2 Limites infinies
- 2.3 Convergente donc bornée
3. Calcul de limites
- 3.1 Limites usuelles
- 3.2 Opérations sur les limites
- 3.3 Suite bornée fois suite de limite nulle
- 3.4 Limites des suites usuelles
- 3.5 Croissances comparées
4. Limites et inégalités
- 4.1 Passage à la limite dans une inégalité large
- 4.2 Signe à partir d'un certain rang
- 4.3 Théorème d'encadrement
- 4.4 Divergence par minoration ou majoration
5. Suites monotones
- 5.1 Théorème de la limite monotone
- 5.2 Divergence par l'absurde
- 5.3 Suites adjacentes
- 5.4 Suites extraites d'indices pairs et impairs
6. Suites définies par une relation $u_{n+1} = f(u_n)$
- 6.1 Une suite bien définie : l'intervalle stable
- 6.2 Monotonie
- 6.3 Limite
- 6.4 Suites auxiliaires
- 6.5 Suites couplées
7. Applications économiques
- 7.1 Un effectif avec un renouvellement constant
- 7.2 Le multiplicateur keynésien
- 7.3 Les prix agricoles et le modèle du « cobweb »
- 7.4 Parts de marché
8. Suites et Python
- 8.1 Calculer des termes
- 8.2 Représenter les termes
- 8.3 Rang d'arrêt avec while
- 8.4 Valeur approchée d'une constante
- 8.5 Représenter $u_{n+1} = f(u_n)$ à partir du graphe de $f$

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Étudier la monotonie d'une suite
Montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée
Calculer une limite par les opérations, lever une forme indéterminée
Trouver la limite d'une suite géométrique, arithmético-géométrique ou d'une somme géométrique
Conclure par encadrement ou par majoration de l'écart à la limite
Montrer qu'une suite tend vers plus ou moins l'infini par comparaison
Utiliser le théorème de la limite monotone
Passer à la limite dans une égalité ou une inégalité
Étudier une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ sur un exemple
Montrer qu'une suite diverge par l'absurde
Ramener une suite à une suite usuelle par une suite auxiliaire
Étudier deux ou trois suites couplées
Modéliser une situation par une suite et interpréter sa limite
Calculer et représenter les termes d'une suite en Python
Déterminer un rang d'arrêt avec while et approcher une limite
Revenir à la définition quantifiée de la limite
Montrer que deux suites sont adjacentes et encadrer leur limite
Utiliser les suites extraites d'indices pairs et impairs
Résoudre une récurrence linéaire d'ordre 2
Utiliser les croissances comparées
Représenter une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ à partir du graphe de $f$ en Python

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (21)

Monotonie par le signe de la différence
Monotonie par le quotient
Majorée, minorée, bornée
Limites par les opérations et formes indéterminées
Suites géométriques : la raison décide
Limites de trois suites arithmético-géométriques
Encadrements
Une suite bornée multipliée par une suite de limite nulle
Divergence par minoration
Une somme croissante et majorée
Passer à la limite dans une inégalité
Une population avec un solde migratoire constant
Le multiplicateur comme limite d'une suite de sommes
Python : un terme, une liste, un graphique
Python : un rang d'arrêt avec while
Un intervalle stable
Revenir à la définition quantifiée
Croissances comparées
Deux suites adjacentes et le nombre e
Termes pairs, termes impairs
Deux récurrences linéaires d'ordre 2

Entraînement (23)

Une suite homographique ramenée à une suite géométrique
Inverser pour linéariser
Passage à la limite par les opérations
Deux solutions constantes, trois comportements
Une suite croissante qui ne peut pas converger
Convergente sans connaître la limite
Encadrer une somme de n + 1 termes
Une somme qui tend vers l'infini
Terme dominant avec des puissances
Deux suites couplées : une combinaison constante
Deux suites et deux suites auxiliaires géométriques
Une suite de vecteurs et son point fixe
Prix agricoles : le modèle de la toile d'araignée
Parts de marché de deux coopératives
Python : conjecturer avant de démontrer
Python : un rang d'arrêt justifié par l'étude
Une relation affine en n
Une suite auxiliaire arithmétique
Une récurrence d'ordre 2 et la limite d'un quotient
Deux moyennes pondérées
Une fonction décroissante et les termes de rangs pairs et impairs
Python : escalier et toile d'araignée
La série harmonique tend vers l'infini

Approfondissement (8)

Étude complète selon le premier terme
Une somme convergente par la limite monotone
La diffusion d'une technique d'irrigation
Valeur approchée de racine de 2
Un traitement par doses régulières
Une majoration géométrique de l'écart
La constante d'Euler
La moyenne arithmético-géométrique

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Une suite récurrente polynomiale : convergence, divergence, Python
CNAEM 2017, filière ECT, Mathématiques, exercice 2, questions 2.1, 2.2, 2.4 à 2.7, 3.1 et 3.2
Une suite qui ne peut pas converger
BCE 2026, EDHEC, voie générale, Mathématiques appliquées, exercice 1, questions 1 à 3
Deux suites de somme constante
ECRICOME 2006, voie technologique, Mathématiques, exercice 1, questions 1 et 2
Trois suites couplées et leurs limites
ECRICOME 2024, voie technologique, Mathématiques, exercice 3, partie 1, questions 1 à 6
Trois suites, une matrice et un rang d'arrêt
ECRICOME 2022, voie technologique, Mathématiques, exercice 1, partie A, questions 1, 2, 4c, 4d, 4e et 5 (question 4 réécrite)
Le nombre de numéros distincts
CNAEM 2014, filière ECT, Mathématiques, exercice 3, questions 4, 5d et 6
Le cas c = d = 0 par le logarithme
CNAEM 2017, filière ECT, Mathématiques, exercice 2, questions 1.2 à 1.5
La suite de Fibonacci : forme explicite et calcul
CNAEM 2021, filière ECS, Mathématiques et informatique, problème 1, questions 1.4, 1.5.1, 1.5.3, 1.6 et 1.7 (question 1.5.3 réécrite)

Questions fréquentes

Comment calculer la limite d'une suite arithmético-géométrique ?

On cherche la solution constante $\ell = a\ell + b$ , puis on montre que $(u_n - \ell)$ est géométrique de raison $a$ , d'où $u_n = \ell + a^n(u_0 - \ell)$ . Exemple : pour $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$ , on trouve $\ell = 6$ et $u_n = 6 - 4\big(\frac{1}{2}\big)^n$ , donc $u_n \to 6$ . Si $\lvert a \rvert < 1$ , la suite converge vers $\ell$ ; si $a > 1$ , elle tend vers $\pm\infty$ selon le signe de $u_0 - \ell$ ; si $a \leqslant -1$ , elle n'a pas de limite, sauf si $u_0 = \ell$ .

Comment étudier une suite définie par u(n+1) = f(u(n)) ?

On montre qu'un intervalle est stable par $f$ , puis, par récurrence, que tous les termes y restent. Le signe de $f(x) - x$ donne la monotonie, et le théorème de la limite monotone donne la convergence. On trouve enfin la limite en passant à la limite dans la relation, par les opérations quand $f$ est un polynôme ou une fraction. Exemple : avec $u_0 = \frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = u_n - u_n^2$ , on a $0 \leqslant u_n \leqslant 1$ , $u_{n+1} - u_n = -u_n^2 \leqslant 0$ , puis $\ell = \ell - \ell^2$ , donc la limite vaut $0$ .

Quelle est la limite de q puissance n ?

Si $-1 < q < 1$ , $q^n \to 0$ ; si $q = 1$ , la suite est constante égale à $1$ ; si $q > 1$ , $q^n \to +\infty$ ; si $q \leqslant -1$ , la suite n'a pas de limite. Les inégalités sont strictes dans le premier cas : écrire « $-1 \leqslant \frac{1}{4} \leqslant 1$ , donc $\big(\frac{1}{4}\big)^n \to 0$ » est une justification fausse, puisque $q = 1$ et $q = -1$ vérifient aussi l'encadrement large.

Comment lever une forme indéterminée dans une limite de suite ?

Pour un quotient de polynômes ou de puissances, on factorise le terme dominant en haut et en bas. Exemple : $\frac{5n^2 + 2n - 1}{3n^2 + 4} = \frac{5 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}}{3 + \frac{4}{n^2}} \to \frac{5}{3}$ . Pour une différence de racines, on utilise la quantité conjuguée : $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \to 0$ . Les quatre formes indéterminées sont $+\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$ .

Une suite croissante et majorée converge-t-elle ?

Oui, c'est le théorème de la limite monotone ; une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ . Le théorème ne donne pas la valeur de la limite : un majorant n'est pas la limite, il la majore seulement. Exemple : $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ est croissante et vérifie $u_n \leqslant 2 - \frac{1}{n}$ , donc elle converge vers un réel $\ell \leqslant 2$ ; sa limite n'est pas $2$ .

Comment déterminer un rang d'arrêt avec une boucle while en Python ?

On initialise un compteur avant la boucle, on l'augmente d'une unité à chaque tour, et la condition du while est le contraire de ce que l'on cherche. Exemple : pour le plus petit $n$ tel que $0{,}9^n < 10^{-3}$ , la boucle tourne tant que $p \geqslant 0{,}001$ , en multipliant $p$ par $0{,}9$ à chaque tour ; le programme affiche $66$ . L'arrêt se justifie par la limite : $0{,}9^n \to 0$ car $-1 < 0{,}9 < 1$ .

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.