Calcul matriciel et systèmes linéaires en prépa ECS, ECG et ECT : pivot de Gauss, inverse, exercices

Q: Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?

On garde une équation dont le coefficient de x vaut 1 ou -1, on élimine x des autres équations par des opérations L_i arrow L_i + λ L_j, puis on élimine y de la dernière, et l'on remonte. Exemple : pour x + y + z = 2, 2x - y + z = 3, x + 2y - 3z = 11, les opérations L_2 arrow L_2 - 2L_1, L_3 arrow L_3 - L_1, L_2 rightarrow L_3, L_3 arrow L_3 + 3L_2 donnent -13z = 26, puis z = -2, y = 1, x = 3. On contrôle toujours dans le système de départ.

Q: Comment calculer l'inverse d'une matrice 2x2 ?

La matrice ( a , b ; c , d ) est inversible si et seulement si ad - bc ≠ 0, et son inverse est (1)/(ad - bc)( d , -b ; -c , a ). Exemple : pour ( 2 , 1 ; 5 , 3 ), ad - bc = 1 et l'inverse vaut ( 3 , -1 ; -5 , 2 ). On contrôle par le produit, qui doit donner I_2.

Q: Comment montrer qu'une matrice est inversible à partir d'un produit ?

Pour une matrice carrée, il suffit de trouver B telle que AB = I_n. Si l'énoncé donne PQ = kI_n avec k ≠ 0, alors P^(-1) = (1)/(k)Q ; par exemple PQ = -6I_3 donne P^(-1) = -(1)/(6)Q. Une relation donnée se traite de la même façon : A^2 - A - 2I = 0 s'écrit (-(1)/(2)A )(I - A) = I, donc I - A est inversible d'inverse -(1)/(2)A.

Q: Comment calculer la puissance n-ième d'une matrice ?

On calcule A^2 et A^3, on conjecture une forme, puis on la démontre par récurrence, sans jamais élever les coefficients à la puissance n, sauf pour une matrice diagonale. Exemple : pour la matrice J d'ordre 3 dont tous les coefficients valent 1, J^2 = 3J et J^n = 3^(n-1)J pour n geqslant 1. Si AP = PD avec P inversible et D diagonale, alors A^n = PD^nP^(-1).

Q: Pourquoi AB n'est-il pas égal à BA pour des matrices ?

Le coefficient (i, j) de AB combine la ligne i de A et la colonne j de B ; échanger les facteurs change le calcul. Avec A = ( 1 , 1 ; 0 , 0 ) et B = ( 1 , 0 ; 0 , 0 ), AB = ( 1 , 0 ; 0 , 0 ) et BA = ( 1 , 1 ; 0 , 0 ). En conséquence, (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2, qui n'est égal à A^2 + 2AB + B^2 que si AB = BA, et un produit AB peut être nul sans que A ou B le soit.

Matrices, opérations, produit, transposée, matrices carrées et puissances, matrices inversibles et calcul de l'inverse, systèmes linéaires et méthode du pivot de Gauss, écriture matricielle, applications économiques.

22méthodes
49exercices corrigés
8problèmes
26pièges
27figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une matrice de taille $n \times p$ est un tableau de réels ; le produit $AB$ existe quand $A$ a autant de colonnes que $B$ a de lignes, et son coefficient $(i, j)$ vaut $\sum_{k} a_{i,k} b_{k,j}$ . Ce produit n'est pas commutatif : en général $AB \neq BA$ . Une matrice carrée $A$ est inversible s'il existe $B$ telle que $AB = I_n$ ; en ordre $2$ , c'est le cas si et seulement si $ad - bc \neq 0$ . Un système linéaire s'écrit $AX = B$ et se résout par la méthode du pivot de Gauss : il a une solution, aucune ou une infinité. Le chapitre couvre aussi les puissances par récurrence, la relation $AP = PD$ , les suites $X_{n+1} = AX_n + B$ et le tableau entrée-sortie $(I - A)X = D$ . Il suit le programme de première année ECS1 et ECT1 au Maroc et sert aussi en ECG et en ECT en France ; ces calculs ouvrent la plupart des sujets du CNAEM, de l'ISCAE, de la BCE et d'ECRICOME.

Ce que tu sauras faire

Un tableau de nombres rangés en lignes et en colonnes est une matrice : quantités livrées à des clients, composition de plusieurs produits, échanges entre les branches d'une économie. Le calcul matriciel permet de traiter ces tableaux d'un seul coup, et il donne l'écriture la plus commode d'un système d'équations linéaires. Ce chapitre est l'outil de presque tous les exercices d'algèbre des concours de la voie économique. À la fin, tu dois savoir :

additionner, multiplier des matrices, transposer, en contrôlant les tailles ;
reconnaître les matrices carrées particulières et calculer des puissances par conjecture et récurrence, ou à partir d'une relation $AP = PD$ ;
montrer qu'une matrice est inversible à partir d'un produit, et inverser une matrice d'ordre 2 ou diagonale ;
résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss et décrire l'ensemble de ses solutions, y compris quand il dépend d'un paramètre ;
passer d'un système à l'écriture $AX = B$ , traiter une suite de vecteurs $X_{n+1} = AX_n + B$ et un tableau entrée-sortie ;
calculer avec des matrices en Python.

En ECS et en ECG s'ajoutent la transposée et l'inverse d'un produit, les matrices triangulaires inversibles, l'inverse par la résolution d'un système, la formule du binôme et les polynômes annulateurs ; en ECS, la méthode de Gauss-Jordan.

L'essentiel : Systèmes linéaires Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

Propriété Opérations élémentaires

$L_i \leftrightarrow L_j$ ; $L_i \leftarrow \alpha L_i$ avec $\alpha \neq 0$ ; $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ avec $i \neq j$ . Elles donnent un système équivalent.

Théorème Nombre de solutions

Une seule solution, aucune, ou une infinité. Sur le système échelonné : une ligne $0 = \beta$ avec $\beta \neq 0$ , aucune solution ; sinon, autant d'équations utiles que d'inconnues, une seule ; moins, une infinité, décrite par les inconnues secondaires. Un système homogène a toujours la solution nulle.

À retenir Système à paramètre

On ne divise jamais par une expression du paramètre sans traiter à part le cas où elle s'annule ; on nomme le système échelonné (★) et on discute sur lui.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Résoudre un système par le pivot de Gauss

Quand l’utiliser

Tout système de deux ou trois équations qui n'est pas triangulaire, avec ou sans second membre.

Rappel de cours

Opérations permises : $L_i \leftrightarrow L_j$ , $L_i \leftarrow \alpha L_i$ ( $\alpha \neq 0$ ), $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ ( $i \neq j$ ). Elles donnent un système équivalent. Quand une équation contient très peu d'inconnues, la substitution (exprimer une inconnue et la reporter, comme au chapitre 2 pour deux équations) est aussi rapide et reste permise.

Démarche

Choisir un pivot égal à $1$ ou $-1$ si possible, le placer en première ligne.
Éliminer la première inconnue des lignes suivantes ; noter chaque opération à côté de la ligne qu'elle modifie.
Recommencer avec les lignes restantes et l'inconnue suivante.
Lire le système échelonné (méthode 11) et remonter.
Reporter la solution dans les équations de départ.

Rédaction type

« $(S) \iff$ [système] ( $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$ ) $\iff$ [système] ( $L_3 \leftarrow L_3 + 3L_2$ ). Le système est triangulaire de coefficients diagonaux non nuls ; on obtient $\mathcal{S} = \{(\dots)\}$ . »

Exemple traité

\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 2x + 3y + z = 11 \\ -x + y + 2z = 7 \end{cases}.

$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$ donnent $-y + 3z = 7$ et $3y + z = 9$ ; puis $L_3 \leftarrow L_3 + 3L_2$ donne $10z = 30$ . Donc $z = 3$ , $y = 3z - 7 = 2$ , $x = 2 - 4 + 3 = 1$ . Contrôle dans la troisième équation de départ : $-1 + 2 + 6 = 7$ . $\mathcal{S} = \{(1, 2, 3)\}$ .

Erreurs fréquentes

Faire deux opérations simultanées qui utilisent une ligne déjà modifiée.
Remplacer une ligne par une combinaison où elle ne figure pas.
Conclure sans contrôle : une erreur de signe ne se voit qu'au report.

Pour s’entraîner

Exercices 12 et 28.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Pivot de Gauss : une, aucune ou une infinité de solutions ★☆☆

Résoudre par la méthode du pivot de Gauss :

(a)\ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - 3z = 11 \end{cases} \qquad (b)\ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 2 \\ 2x + 3y + 4z = 4 \end{cases} \qquad (c)\ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 2 \\ 2x + 3y + 4z = 3 \end{cases}

Indications

On garde la première ligne, qui a un coefficient $1$ en $x$ , et l'on élimine $x$ des deux autres ; puis on élimine $y$ de la troisième. Écrire chaque opération en marge.

Correction détaillée

(a) $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ donnent

\begin{cases} x + y + z = 2 \\ -3y - z = -1 \\ y - 4z = 9 \end{cases}

On échange $L_2 \leftrightarrow L_3$ pour avoir un pivot égal à $1$ , puis $L_3 \leftarrow L_3 + 3L_2$ :

\begin{cases} x + y + z = 2 \\ y - 4z = 9 \\ -13z = 26 \end{cases}

Donc $z = -2$ , $y = 9 + 4z = 1$ , $x = 2 - y - z = 3$ . $\mathcal{S} = \{(3, 1, -2)\}$ . Contrôle dans le système de départ : $6 - 1 - 2 = 3$ et $3 + 2 + 6 = 11$ .

(b) $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ donnent $y + 2z = 1$ et $y + 2z = 2$ . Puis $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ : $0 = 1$ , ce qui est impossible. Le système n'a aucune solution : $\mathcal{S} = \varnothing$ .

(c) Les mêmes opérations donnent $y + 2z = 1$ deux fois, puis $0 = 0$ . Il reste

\begin{cases} x + y + z = 1 \\ y + 2z = 1 \end{cases}

deux équations utiles pour trois inconnues. Avec $z$ comme inconnue secondaire : $y = 1 - 2z$ et $x = 1 - y - z = z$ . Ainsi $\mathcal{S} = \{(z, 1 - 2z, z),\ z \in \mathbb{R}\}$ : une infinité de solutions.

Les systèmes (b) et (c) ont la même partie gauche : seul le second membre décide entre « aucune solution » et « une infinité ».

Méthodes à retenir

Après le pivot, une ligne $0 = \beta$ avec $\beta \neq 0$ signale un système impossible ; une ligne $0 = 0$ et moins d'équations utiles que d'inconnues signalent une infinité de solutions, décrite par des inconnues secondaires. Voir les méthodes 10 et 11.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 22 méthodes, 26 pièges corrigés, la carte mentale, 49 exercices corrigés, 8 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Matrices et opérations
- 1.1 Définitions
- 1.2 Somme et produit par un réel
- 1.3 Produit de deux matrices
- 1.4 Un produit qui a un sens
- 1.5 Transposée
2. Matrices carrées
- 2.1 Matrices carrées particulières
- 2.2 Puissances d'une matrice carrée
- 2.3 Puissances par une relation $AP = PD$
- 2.4 Matrices inversibles
- 2.5 Formule du binôme et polynômes annulateurs
3. Systèmes linéaires
- 3.1 Définitions
- 3.2 Opérations élémentaires
- 3.3 Systèmes triangulaires
- 3.4 Méthode du pivot de Gauss
- 3.5 Inconnues principales et inconnues secondaires
- 3.6 Systèmes à paramètre
4. Écriture matricielle d'un système
- 4.1 Le système $AX = B$
- 4.2 Résolution par l'inverse
- 4.3 L'équation $X = AX + B$ et les suites de vecteurs
- 4.4 Inversibilité et systèmes
- 4.5 Méthode de Gauss-Jordan
5. Applications économiques
- 5.1 Recettes, coûts, compositions
- 5.2 Production et mélange
- 5.3 Tableau entrée-sortie
6. Calcul matriciel en Python
- 6.1 Créer et multiplier des matrices
- 6.2 La bibliothèque numpy.linalg

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Calculer une combinaison de matrices, résoudre une équation matricielle simple
Calculer un produit de matrices
Transposer, reconnaître une matrice symétrique
Trouver les matrices qui commutent avec une matrice donnée
Calculer $A^n$ par conjecture et récurrence
Calculer $A^n$ à partir d'une relation $AP = PD$
Montrer qu'une matrice est inversible à partir d'un produit
Inverser une matrice d'ordre 2 ou une matrice diagonale
Résoudre un système triangulaire en remontant
Résoudre un système par le pivot de Gauss
Décrire l'ensemble des solutions d'un système
Discuter un système selon un paramètre
Passer d'un système à l'écriture $AX = B$ , résoudre avec un inverse
Traiter une suite de vecteurs $X_{n+1} = AX_n + B$
Modéliser une situation économique par des matrices
Calculer avec des matrices en Python
Étudier l'inversibilité par le pivot
Inverser une matrice en résolvant $AX = Y$
Calculer $A^n$ par la formule du binôme
Utiliser un polynôme annulateur
Résoudre et inverser avec numpy.linalg, programmer le pivot
Inverser une matrice par la méthode de Gauss-Jordan

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (20)

Égalité de matrices et équation matricielle simple
Quels produits existent ?
Calculer AB et BA
Les règles de calcul qui changent
La recette d'une coopérative
Transposées et matrices symétriques
Matrices diagonales et triangulaires
Puissances de la matrice de uns
Inverser des matrices d'ordre 2
Vérifier un inverse et calculer un produit
Systèmes triangulaires
Pivot de Gauss : une, aucune ou une infinité de solutions
Système homogène
Écriture matricielle et inverse d'ordre 2
Python : produit matriciel ou produit coefficient par coefficient
Transposée d'un produit, matrices symétriques et antisymétriques
Inverse d'un produit, d'une transposée, puissances négatives
Inverse d'une matrice triangulaire
Une colonne de l'inverse par résolution de AX = Y
Inverser par la méthode de Gauss-Jordan

Entraînement (22)

Les matrices qui commutent avec une matrice d'ordre 2
Puissances par conjecture et récurrence
Puissances de I + N avec N³ = 0
Python : vérifier une formule de puissance
Inverse à partir d'une relation donnée
Une relation du second degré et l'inverse
Une condition par le critère ad - bc
Un système homogène à paramètre
Un système à paramètre incompatible
Quatre équations, trois inconnues et un paramètre
Résoudre AX = λX en ordre 2
Une relation AP = PT et les puissances
Des palettes pour servir trois commandes
Un tableau entrée-sortie à deux branches
Deux suites liées et leur point fixe
Une relation du second degré et une matrice de passage
Inversibilité et inverse d'une matrice à paramètre
Puissances par la formule du binôme
Binôme avec la matrice de uns
Trouver un polynôme annulateur et inverser
Résoudre et inverser avec numpy.linalg
Opérations élémentaires et produits à gauche

Approfondissement (7)

Matrices à lignes de somme 1 et matrices qui commutent
Un système à paramètre : discussion complète
Une relation vérifiée par toute matrice d'ordre 2
Puissances d'une matrice de permutation circulaire
Un tableau entrée-sortie à trois branches
Une relation A² = αA + βI et deux suites
Inverse de la matrice triangulaire des coefficients binomiaux

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Une suite de vecteurs et son point fixe
CNAEM 2015, filière ECT, Mathématiques, exercice 1, parties I et II, questions I.1.a à I.2.d et II.1 à II.4
Puissances par une matrice diagonale et une récurrence d'ordre 3
CNAEM 2022, filière ECT, Mathématiques, exercice 1, partie 1, questions 1.a, 1.b, 2.a, 3.a, 3.c, 4.a et 4.b, partie 2, questions 1 à 4
Suites simultanées et racine cubique d'une matrice
CNAEM 2024, filière ECT, Mathématiques, problème 2, questions 1.1.1 à 2.3 et 3.1.1 à 3.2.5
Puissances de la matrice J + 3I par deux suites
CNAEM 2025, filière ECT, Mathématiques, problème 1, questions 1.1.1 à 1.2.1 et 1.3.1 à 1.3.4
Une marche au hasard entre trois pages
CNAEM 2017, filière ECT, Mathématiques, problème, questions 1.1.1, 1.1.2, 2.2.1 à 2.4.2, 3.1 et 3.5.1 à 3.5.3 (questions 2.1 et 3 réécrites)
Trois suites, une matrice nilpotente et un point fixe
ECRICOME 2024, voie technologique, Mathématiques, exercice 1, questions 1 à 4, 6 et 7
Puissances positives et négatives d'une matrice triangulaire
BCE 2026, ESCP, voie technologique, Mathématiques T, exercice 1, questions 3 et 6 à 19 (question 8 réécrite)
Suites récurrentes d'ordre 3 et une matrice compagnon
CNAEM 2023, filière ECS, Mathématiques et informatique, problème, questions 1.1.1 à 1.3, 2.1 à 2.6, 2.7.1 et 2.7.3

Questions fréquentes

Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?

On garde une équation dont le coefficient de $x$ vaut $1$ ou $-1$ , on élimine $x$ des autres équations par des opérations $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ , puis on élimine $y$ de la dernière, et l'on remonte. Exemple : pour $x + y + z = 2$ , $2x - y + z = 3$ , $x + 2y - 3z = 11$ , les opérations $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ , $L_2 \leftrightarrow L_3$ , $L_3 \leftarrow L_3 + 3L_2$ donnent $-13z = 26$ , puis $z = -2$ , $y = 1$ , $x = 3$ . On contrôle toujours dans le système de départ.

Comment savoir si un système a une solution, aucune ou une infinité ?

On lit la réponse sur le système échelonné obtenu par le pivot. Une ligne $0 = \beta$ avec $\beta \neq 0$ signale un système impossible. Une ligne $0 = 0$ , avec moins d'équations utiles que d'inconnues, signale une infinité de solutions, décrites par des inconnues secondaires, par exemple $\{(z, 1 - 2z, z),\ z \in \mathbb{R}\}$ . Sinon la solution est unique. Un système homogène a toujours la solution nulle.

Comment calculer l'inverse d'une matrice 2x2 ?

La matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad - bc \neq 0$ , et son inverse est $\frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ . Exemple : pour $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ , $ad - bc = 1$ et l'inverse vaut $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$ . On contrôle par le produit, qui doit donner $I_2$ .

Comment montrer qu'une matrice est inversible à partir d'un produit ?

Pour une matrice carrée, il suffit de trouver $B$ telle que $AB = I_n$ . Si l'énoncé donne $PQ = kI_n$ avec $k \neq 0$ , alors $P^{-1} = \frac{1}{k}Q$ ; par exemple $PQ = -6I_3$ donne $P^{-1} = -\frac{1}{6}Q$ . Une relation donnée se traite de la même façon : $A^2 - A - 2I = 0$ s'écrit $\big(-\frac{1}{2}A\big)(I - A) = I$ , donc $I - A$ est inversible d'inverse $-\frac{1}{2}A$ .

Comment calculer la puissance n-ième d'une matrice ?

On calcule $A^2$ et $A^3$ , on conjecture une forme, puis on la démontre par récurrence, sans jamais élever les coefficients à la puissance $n$ , sauf pour une matrice diagonale. Exemple : pour la matrice $J$ d'ordre $3$ dont tous les coefficients valent $1$ , $J^2 = 3J$ et $J^n = 3^{n-1}J$ pour $n \geqslant 1$ . Si $AP = PD$ avec $P$ inversible et $D$ diagonale, alors $A^n = PD^nP^{-1}$ .

Pourquoi AB n'est-il pas égal à BA pour des matrices ?

Le coefficient $(i, j)$ de $AB$ combine la ligne $i$ de $A$ et la colonne $j$ de $B$ ; échanger les facteurs change le calcul. Avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , $AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . En conséquence, $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ , qui n'est égal à $A^2 + 2AB + B^2$ que si $AB = BA$ , et un produit $AB$ peut être nul sans que $A$ ou $B$ le soit.

Comment y accéder

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