Variables aléatoires finies en prépa ECS, ECG et ECT : loi, espérance, variance, lois usuelles

Q: Comment déterminer la loi d'une variable aléatoire ?

On donne d'abord le support X(Ω), en justifiant la plus petite et la plus grande valeur, puis on calcule chaque P(X = x) en écrivant [X = x] avec des événements simples, et l'on vérifie que la somme vaut 1. Exemple : un lot de 6 pièces contient 2 défectueuses, on en prélève 2 sans remise ; le nombre X de défectueuses prend les valeurs 0, 1, 2 avec les probabilités frac 25, (8)/(15), (1)/(15).

Q: Faut-il l'indépendance pour écrire E(X + Y) = E(X) + E(Y) ?

Non. C'est la linéarité de l'espérance, vraie pour toutes variables sur le même univers. Les rapports de jury reprochent justement d'écrire « car les variables sont indépendantes ». L'indépendance sert pour E(XY) = E(X)E(Y) et pour la variance d'une somme, pas pour l'espérance d'une somme.

Q: Quelle est la différence entre E(X²) et V(X) ?

E(X^2) est le moment d'ordre 2, calculé par le théorème de transfert ; la variance est V(X) = E(X^2) - E(X)^2 (formule de Koenig-Huygens). Exemple : si E(X) = 1,7 et E(X^2) = 3,7, alors V(X) = 3,7 - 2,89 = 0,81 et l'écart type vaut 0,9. Une variance négative signale toujours une erreur.

Q: Comment justifier qu'une variable suit une loi binomiale ?

Par une phrase qui nomme l'épreuve, le succès et sa probabilité p, le nombre n de répétitions et leur indépendance : « on répète n fois, de façon indépendante, la même épreuve dont le succès a la probabilité p ; X compte les succès, donc X suit B(n, p), X(Ω) = [ [0, n] ] ». Pour des tirages sans remise, les épreuves ne sont pas indépendantes : la loi n'est pas binomiale.

Q: Combien de pièces défectueuses trouve-t-on en moyenne dans un lot ?

Si chacune des 100 pièces d'un lot est défectueuse avec la probabilité 0,03, indépendamment des autres, le nombre X de défectueuses suit B(100 ; 0,03) : E(X) = 100 × 0,03 = 3 pièces en moyenne, avec un écart type d'environ 1,7. La probabilité qu'un lot soit sans défaut est 0,97^(100) ≈ 0,048.

Q: Comment simuler une loi binomiale en Python ?

Avec `import numpy.random as rd`, une boucle de n épreuves et un compteur : à chaque tour, si `rd.random() < p`, on ajoute 1. Pour un entier uniforme de 1 à n, on écrit `rd.randint(1, n + 1)`, car la borne haute est exclue. La moyenne de nombreuses simulations est proche de l'espérance np, sans lui être égale.

Variable aléatoire sur un univers fini, loi et fonction de répartition ; espérance, linéarité, théorème de transfert, variance et écart type ; lois usuelles finies : certaine, uniforme, de Bernoulli, binomiale ; modélisation de situations d'entreprise et simulation.

16méthodes
53exercices corrigés
7problèmes
21pièges
33figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience : nombre de pièces défectueuses d'un lot, résultat d'un dé, coût d'un contrôle. Sur un univers fini, sa loi est la donnée de son support $X(\Omega)$ et des probabilités $P(X = x)$ , positives et de somme $1$ . L'espérance $E(X) = \sum x\,P(X = x)$ est la moyenne pondérée des valeurs ; elle est linéaire, sans hypothèse d'indépendance, et le théorème de transfert donne $E(f(X)) = \sum f(x)P(X = x)$ . La variance $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ mesure la dispersion, et $V(aX + b) = a^2V(X)$ . Quatre lois usuelles reviennent sans cesse : la loi certaine, la loi uniforme sur $[\![1, n]\!]$ d'espérance $\frac{n + 1}{2}$ , la loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ et la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ , nombre de succès en $n$ épreuves indépendantes, d'espérance $np$ et de variance $np(1 - p)$ . Le chapitre traite aussi la loi d'un maximum, la formule $E(X) = \sum P(X > k)$ , la comparaison de deux options d'entreprise par l'espérance et l'écart type, et la simulation en Python ; en ECS et en ECT, la fonction de répartition ; en ECS, l'espérance d'un produit de variables indépendantes ; en ECT, les coefficients binomiaux et la formule du binôme. Il suit le programme de première année ECS1 et ECT1 au Maroc et sert en ECG et en ECT en France ; ces notions reviennent dans les sujets du CNAEM, de l'ISCAE, de la BCE et d'ECRICOME.

Ce que tu sauras faire

Le chapitre « Probabilités sur un univers fini » s'est arrêté sur une question : combien de pièces défectueuses trouve-t-on en moyenne dans un lot de cent pièces ? Pour y répondre, on associe un nombre à chaque issue de l'expérience : c'est une variable aléatoire. On décrit ensuite sa loi, on calcule sa moyenne, l'espérance, et sa dispersion, la variance. Quelques lois reviennent sans cesse, dans les entreprises comme dans les sujets de concours : la loi uniforme, la loi de Bernoulli et la loi binomiale. À la fin, tu dois savoir :

définir une variable aléatoire sur un univers fini et écrire les événements qu'elle définit ;
déterminer son support et sa loi, la loi d'une fonction de cette variable et la loi d'un maximum ;
calculer une espérance par la définition, par la linéarité et par le théorème de transfert ;
calculer une variance et un écart type, centrer et réduire une variable ;
reconnaître les lois certaine, uniforme, de Bernoulli et binomiale, et donner leur espérance et leur variance ;
comparer deux situations d'entreprise par l'espérance et l'écart type ;
simuler une variable aléatoire en Python et comparer des fréquences à une loi.

S'ajoute la fonction de répartition, qui résume la loi en une fonction en escalier.

L'essentiel : Lois usuelles Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

Loi	Situation	Support	$P(X = k)$	$E(X)$	$V(X)$
certaine	valeur fixée $a$	$\{a\}$	$1$	$a$	$0$
$\mathcal{U}([\![1, n]\!])$	numéro au hasard parmi $n$	$[\![1, n]\!]$	$\frac1n$	$\frac{n + 1}{2}$	$\frac{n^2 - 1}{12}$
$\mathcal{B}(p)$	une épreuve, succès de probabilité $p$	$\{0, 1\}$ (si $0 < p < 1$ )	$P(X = 1) = p$	$p$	$pq$
$\mathcal{B}(n, p)$	nombre de succès en $n$ épreuves indépendantes	$[\![0, n]\!]$	$\binom nk p^kq^{n-k}$	$np$	$npq$

À retenir Justifier une loi binomiale

« On répète $n$ fois, de façon indépendante, la même épreuve, dont le succès … a la probabilité $p$ ; $X$ compte les succès : $X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p)$ . » Aucun succès : $q^n$ ; au moins un : $1 - q^n$ . Tirages sans remise : pas de binomiale. « Au hasard » ne donne pas une loi uniforme si les valeurs ne sont pas équiprobables.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Reconnaître une loi usuelle

Quand l’utiliser

« Reconnaître la loi de $X$ », « justifier que $X$ suit une loi … », « préciser ses paramètres ».

Rappel de cours

Certaine : une seule valeur. Uniforme sur $[\![1, n]\!]$ : un numéro au hasard parmi $n$ équiprobables. Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : une épreuve à deux issues, $X$ vaut $1$ en cas de succès. Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : nombre de succès en $n$ épreuves identiques et indépendantes.

Démarche

Décrire l'expérience : une seule épreuve ou $n$ répétitions ?
Nommer l'épreuve, le succès et sa probabilité $p$ .
Vérifier les hypothèses : épreuves identiques, indépendantes (avec remise, ou hypothèse de l'énoncé), et $X$ compte les succès.
Donner la loi avec ses paramètres et son support.
Si une hypothèse manque (sans remise, valeurs non équiprobables), ne pas nommer de loi usuelle : calculer la loi directement.

Rédaction type

« On répète $n$ fois, de façon indépendante, l'épreuve … , dont le succès « … » a la probabilité $p$ . $X$ compte le nombre de succès : $X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p)$ , $X(\Omega) = [\![0, n]\!]$ et $P(X = k) = \binom nk p^k(1 - p)^{n-k}$ . »

Exemple traité

On interroge $12$ clients, indépendamment les uns des autres ; chacun se déclare satisfait avec la probabilité $0{,}85$ . L'épreuve est « interroger un client », le succès « il est satisfait », de probabilité $0{,}85$ ; les $12$ épreuves sont identiques et indépendantes, et $X$ compte les satisfaits : $X \hookrightarrow \mathcal{B}(12 ; 0{,}85)$ , et $E(X) = 10{,}2$ . En revanche, si l'enquête est terminée, que l'on sait que $10$ des $12$ fiches sont celles de clients satisfaits, et que l'on choisit $3$ fiches sans remise parmi elles en comptant les satisfaites, les tirages ne sont pas indépendants : la probabilité de tirer une fiche satisfaite dépend des fiches déjà tirées, et la loi n'est pas binomiale.

Erreurs fréquentes

Nommer une loi sans phrase de justification.
Prendre une loi uniforme parce que « c'est au hasard ».
Annoncer une binomiale pour des tirages sans remise, ou oublier un paramètre.

Pour s’entraîner

Exercices 8, 9, 11, 12, 13, 18, 23, 28, 30, 32 et 38.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Crayons commercialisables ★☆☆

On reprend l'exercice 33 du chapitre « Probabilités sur un univers fini » : un crayon de l'entreprise est commercialisable (événement $C$ ) avec la probabilité $P(C) = 0{,}97$ . On prélève, successivement, indépendamment et avec remise, dix crayons du stock de l'entreprise. On appelle $X$ le nombre de crayons commercialisables de ce prélèvement. On donne $0{,}97^9 \simeq 0{,}760$ .

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Déterminer la probabilité que ce prélèvement ne contienne que des crayons commercialisables.
Déterminer la probabilité que ce prélèvement contienne au plus un crayon non commercialisable.
On suppose la bibliothèque importée par import numpy.random as rd. Écrire une fonction Python simul_crayons(n) qui renvoie une liste de $n$ simulations de la variable $X$ .

Indications

1. « Au plus un non commercialisable » se lit $[X \geqslant 9] = [X = 9] \cup [X = 10]$ .
1. Un crayon commercialisable se simule par rd.random() < 0.97.

Correction détaillée

1. On répète dix fois la même épreuve, le prélèvement d'un crayon, avec remise et de façon indépendante ; le succès « le crayon est commercialisable » a la probabilité $0{,}97$ ; $X$ compte les succès. Donc $X \hookrightarrow \mathcal{B}(10 ; 0{,}97)$ , de support $[\![0, 10]\!]$ , et pour $k \in [\![0, 10]\!]$ , $P(X = k) = \binom{10}{k}0{,}97^k\,0{,}03^{10-k}$ .

P(X = 10) = 0{,}97^{10} = 0{,}97 \times 0{,}97^9 \simeq 0{,}97 \times 0{,}760 \approx 0{,}737.

3. $[X \geqslant 9]$ est la réunion des événements incompatibles $[X = 9]$ et $[X = 10]$ :

P(X \geqslant 9) = 10 \times 0{,}03 \times 0{,}97^9 + 0{,}97^{10} = 0{,}97^9\,(0{,}3 + 0{,}97) = 1{,}27 \times 0{,}97^9 \simeq 1{,}27 \times 0{,}760 \approx 0{,}965.

Interprétation : dans environ $96{,}5\,\%$ des prélèvements de dix crayons, on trouve au plus un crayon non commercialisable.

import numpy.random as rd

def simul_crayons(n):
    L = []
    for i in range(n):
        x = 0                         # nombre de crayons commercialisables
        for j in range(10):
            if rd.random() < 0.97:    # le j-ième crayon est commercialisable
                x = x + 1
        L.append(x)
    return L

Exécutée avec $n = 20\,000$ , cette fonction donne une moyenne voisine de $9{,}7 = 10 \times 0{,}97$ et une fréquence de la valeur $10$ voisine de $0{,}737$ : la simulation confirme les calculs sans les remplacer.

Méthodes à retenir

« Au plus un échec » est l'événement « $n - 1$ ou $n$ succès » : on additionne deux probabilités et l'on factorise la plus petite puissance. Voir les méthodes 10, 11 et 13.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 16 méthodes, 21 pièges corrigés, la carte mentale, 53 exercices corrigés, 7 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Variable aléatoire réelle sur un univers fini
- 1.1 Définition
- 1.2 Événements définis par une variable
- 1.3 Opérations sur les variables
2. Loi d'une variable aléatoire
- 2.1 Définition
- 2.2 Déterminer une loi
- 2.3 Loi d'une fonction de la variable
- 2.4 Fonction de répartition
3. Espérance
- 3.1 Définition
- 3.2 Propriétés
- 3.3 Théorème de transfert
- 3.4 Une autre expression de l'espérance
- 3.5 Moments et indépendance de deux variables
4. Variance et écart type
- 4.1 Définition
- 4.2 Calcul de la variance
- 4.3 Variance nulle
5. Lois usuelles finies
- 5.1 Loi certaine
- 5.2 Loi uniforme
- 5.3 Loi de Bernoulli
- 5.4 Loi binomiale
- 5.5 Compléments
6. Simulation en Python
- 6.1 Simuler une variable aléatoire
- 6.2 Fréquences et moyenne d'un échantillon
7. Coefficients binomiaux et triangle de Pascal
- 7.1 Factorielle et coefficients binomiaux
- 7.2 Propriétés et triangle de Pascal

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Déterminer le support d'une variable aléatoire
Déterminer la loi d'une variable aléatoire
Déterminer la loi d'un maximum ou d'un minimum
Déterminer la loi d'une fonction de la variable
Calculer une espérance par la définition
Utiliser la linéarité de l'espérance
Calculer une espérance par le théorème de transfert
Calculer une espérance par les probabilités « strictement plus grand que »
Calculer une variance, centrer et réduire
Reconnaître une loi usuelle
Calculer avec une loi binomiale
Modéliser un coût ou une recette, comparer deux options
Simuler une variable aléatoire en Python
Écrire, tracer et utiliser la fonction de répartition
Étudier l'indépendance de deux variables, utiliser $E(XY)$
Calculer avec les coefficients binomiaux

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (21)

Compléter une loi
Espérance et variance de deux lois données
Nombre de boules rouges en deux tirages sans remise
Loi d'une fonction de la variable
Transformations affines
Dix démarches commerciales
Nombre de tirages pour reconnaître l'urne
Reconnaître une loi
Une indicatrice et une variable certaine
Trois piles en dix lancers
Crayons commercialisables
Le pêcheur bredouille
Score d'une épreuve de tirage
Trois fonctions de simulation
Lot de cinquante pièces
Écrire et tracer une fonction de répartition
Revenir de la fonction de répartition à la loi
Loi uniforme sur un intervalle d'entiers
Un dé et deux pièces
Le triangle de Pascal
Dénombrer

Entraînement (24)

Un dé truqué
Rang de la première boule blanche
Une seule boule blanche
Le plus petit de trois lancers
Somme de deux dés
Trois boules tirées ensemble
Deux fournisseurs
Quatre machines
Contrôle de réception
Un seuil de garantie
Retrouver les paramètres
Un sondage
Trois lancers, nombre de piles et rang du premier pile
Un ingénieur entre quatre sites, espérance
Restes d'un dé
Simuler un dé truqué
Simuler une loi et tracer son diagramme
Pannes journalières d'une machine
Le plus grand de k jetons tirés ensemble
Variance de la loi binomiale par le calcul
Simuler avec rd.binomial
Somme de deux binomiales indépendantes
Une ligne du triangle en Python
La formule du binôme par la loi binomiale

Approfondissement (8)

Le plus petit et le plus grand de deux numéros
Le stock de lait frais
Deux urnes et des points de qualité
La meilleure prévision
La valeur la plus probable d'une loi binomiale
Un contrôle en deux étapes
Moments de la loi binomiale par la formule du binôme
Une espérance de produit ne suffit pas

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Les cartouches défectueuses
BCE 2020, BSB, voie technologique, Mathématiques, exercice 3, questions 1.a à 1.c, 2.a et 2.b (programme Scilab de la question 1.c réécrit en Python ; question 2.b reformulée sans le mot « estimateur », réservé à la deuxième année ; questions 2.c à 2.e omises)
Contrôle et prélèvement d'appareils électriques
ECRICOME 2013, voie technologique, Mathématiques, exercice 3, parties I et II (parties III et IV, sur une densité, omises ; une valeur numérique ajoutée)
Le chat et les trois maisons, suite
ECRICOME 2025, voie technologique, Mathématiques, exercice 1, partie 3, questions 8.b, 8.c et 11.a (suite du problème 2 du chapitre « Probabilités sur un univers fini » ; question 10, par les matrices, remplacée par le rappel des résultats du chapitre « Probabilités sur un univers fini » ; questions 9, 10 et 11.b omises)
L'espérance par les queues et le plus grand numéro
CNAEM 2024, filière ECT, Mathématiques, problème 1, questions 1.1 à 1.4, 2.1.1, 2.2 et 2.4 (questions 2.1.2 et 2.1.3 rappelées, traitées au chapitre « Probabilités sur un univers fini » ; question 2.3 omise ; question 1.4 guidée ; question 2.4 corrigée et complétée par une estimation de E(Y))
Combien de numéros différents
CNAEM 2014, filière ECT, Mathématiques, exercice 3, questions 4, 5.a à 5.c, 7 et 8 (questions 1 à 3 omises : la question 1, sur les nombres d'obtentions de chaque boule, ne sert pas la suite, et les questions 2 et 3, sur l'indépendance et la covariance, relèvent de la deuxième année ; questions 5.d et 6 traitées au chapitre « Suites réelles » ; questions 5.b et 8 complétées)
L'ascenseur et ses arrêts
BCE 2014, ESC, voie technologique, Mathématiques, exercice 3
Fonctions génératrices des lois de Bernoulli et binomiale
CNAEM 2020, filière ECS, Mathématiques et informatique, problème 3, partie 1, questions 2.a et 2.b (question 1, sur les séries, et question 2.c, loi géométrique, omises ; questions 3 à 5 ajoutées)

Questions fréquentes

Comment déterminer la loi d'une variable aléatoire ?

On donne d'abord le support $X(\Omega)$ , en justifiant la plus petite et la plus grande valeur, puis on calcule chaque $P(X = x)$ en écrivant $[X = x]$ avec des événements simples, et l'on vérifie que la somme vaut $1$ . Exemple : un lot de $6$ pièces contient $2$ défectueuses, on en prélève $2$ sans remise ; le nombre $X$ de défectueuses prend les valeurs $0$ , $1$ , $2$ avec les probabilités $\frac25$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{1}{15}$ .

Faut-il l'indépendance pour écrire E(X + Y) = E(X) + E(Y) ?

Non. C'est la linéarité de l'espérance, vraie pour toutes variables sur le même univers. Les rapports de jury reprochent justement d'écrire « car les variables sont indépendantes ». L'indépendance sert pour $E(XY) = E(X)E(Y)$ et pour la variance d'une somme, pas pour l'espérance d'une somme.

Quelle est la différence entre E(X²) et V(X) ?

$E(X^2)$ est le moment d'ordre 2, calculé par le théorème de transfert ; la variance est $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ (formule de Koenig-Huygens). Exemple : si $E(X) = 1{,}7$ et $E(X^2) = 3{,}7$ , alors $V(X) = 3{,}7 - 2{,}89 = 0{,}81$ et l'écart type vaut $0{,}9$ . Une variance négative signale toujours une erreur.

Comment justifier qu'une variable suit une loi binomiale ?

Par une phrase qui nomme l'épreuve, le succès et sa probabilité $p$ , le nombre $n$ de répétitions et leur indépendance : « on répète $n$ fois, de façon indépendante, la même épreuve dont le succès a la probabilité $p$ ; $X$ compte les succès, donc $X$ suit $\mathcal{B}(n, p)$ , $X(\Omega) = [\![0, n]\!]$ ». Pour des tirages sans remise, les épreuves ne sont pas indépendantes : la loi n'est pas binomiale.

Combien de pièces défectueuses trouve-t-on en moyenne dans un lot ?

Si chacune des $100$ pièces d'un lot est défectueuse avec la probabilité $0{,}03$ , indépendamment des autres, le nombre $X$ de défectueuses suit $\mathcal{B}(100 ; 0{,}03)$ : $E(X) = 100 \times 0{,}03 = 3$ pièces en moyenne, avec un écart type d'environ $1{,}7$ . La probabilité qu'un lot soit sans défaut est $0{,}97^{100} \approx 0{,}048$ .

Comment simuler une loi binomiale en Python ?

Avec import numpy.random as rd, une boucle de $n$ épreuves et un compteur : à chaque tour, si rd.random() < p, on ajoute $1$ . Pour un entier uniforme de $1$ à $n$ , on écrit rd.randint(1, n + 1), car la borne haute est exclue. La moyenne de nombreuses simulations est proche de l'espérance $np$ , sans lui être égale.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.