Probabilités sur un univers fini en prépa ECS, ECG et ECT : probabilités totales, Bayes, exercices

Q: À quoi sert la formule de Bayes ?

Elle remonte du résultat à la cause : on connaît P_(A_i)(B) et l'on cherche P_B(A_j) = (P(A_j)P_(A_j)(B))/(P(B)), avec P(B) obtenu par les probabilités totales. Exemple : avec les trois fournisseurs précédents, une pièce défectueuse vient du troisième avec la probabilité frac0,2 × 0,050,029 = (10)/(29) ≈ 0,34, alors qu'il ne livre que 20 \% des pièces. Le numérateur est toujours l'un des termes du dénominateur.

Q: Pourquoi un test positif ne signifie-t-il pas forcément qu'on est malade ?

Parce que P_T(M) n'est pas P_M(T). Exemple : une maladie touche 1 \% d'une population, le test est positif chez 99 \% des malades et chez 2 \% des personnes saines. Par les probabilités totales, P(T) = 0,0297, et par la formule de Bayes, P_T(M) = frac0,01 × 0,990,0297 = frac 13. La maladie est rare, et les faux positifs portent sur une population saine bien plus nombreuse : un premier test positif est donc suivi d'un second examen.

Q: Quelle différence entre P_B(A) et P(A ∩ B) ?

P(A ∩ B) est la probabilité que A et B se réalisent ensemble ; P_B(A) est la probabilité de A quand on sait déjà que B s'est réalisé, et P_B(A) = (P(A ∩ B))/(P(B)). Exemple : dans une coopérative de 80 adhérents, 50 cultivent des agrumes, dont 20 en bio ; la probabilité qu'un adhérent soit en bio sachant qu'il cultive des agrumes est (20)/(50) = frac 25, alors que la probabilité qu'il cultive des agrumes et soit en bio est (20)/(80) = frac 14.

Expérience aléatoire, univers fini, événements ; probabilité sur un univers fini, équiprobabilité et dénombrement des tirages ; probabilités conditionnelles, formules des probabilités composées et des probabilités totales, formule de Bayes ; indépendance d'événements ; modélisation de situations d'entreprise.

15méthodes
50exercices corrigés
8problèmes
21pièges
33figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une probabilité sur un univers fini $\Omega$ associe à chaque événement un nombre de $[0, 1]$ , vaut $1$ sur $\Omega$ et s'ajoute pour deux événements incompatibles ; en situation d'équiprobabilité, $P(A) = \frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)}$ . On traduit « au moins un », « aucun », « exactement un » par des réunions, des intersections et des contraires, et l'on calcule avec la formule du crible. La probabilité conditionnelle $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ conduit à trois formules : les probabilités composées pour une suite de tirages, les probabilités totales pour une expérience en deux temps, en citant le système complet d'événements, et la formule de Bayes pour remonter du résultat à la cause. L'indépendance de deux ou de plusieurs événements se démontre par le calcul, et ne se confond pas avec l'incompatibilité. Le chapitre traite aussi les épreuves indépendantes, la fiabilité d'un système en série ou en parallèle, les relations de récurrence entre probabilités, la simulation en Python et, en ECS et en ECG, les modèles de tirage. Il suit le programme de première année ECS1 et ECT1 au Maroc et sert en ECG et en ECT en France ; ces formules reviennent dans les sujets du CNAEM, de l'ISCAE, de la BCE et d'ECRICOME.

Ce que tu sauras faire

Une entreprise ne contrôle pas chaque pièce qu'elle reçoit, un laboratoire sait qu'un test se trompe parfois, une machine tombe en panne sans prévenir : dans tous ces cas, on raisonne sur des chances. Ce chapitre donne le cadre des probabilités sur un univers fini, puis les trois formules qui reviennent dans presque tous les sujets de concours : probabilités composées, probabilités totales et formule de Bayes. À la fin, tu dois savoir :

décrire l'univers d'une expérience et nommer ses événements ;
traduire une phrase (« au moins un », « aucun », « exactement un ») par des réunions, des intersections et des contraires ;
calculer une probabilité par les issues, par l'équiprobabilité, par le contraire ou par la formule du crible ;
calculer et lire une probabilité conditionnelle ;
utiliser les formules des probabilités composées, des probabilités totales et de Bayes, en citant le système complet d'événements ;
démontrer ou réfuter l'indépendance de deux ou de plusieurs événements ;
modéliser des épreuves indépendantes et la fiabilité d'un système ;
établir une relation de récurrence entre des probabilités ;
simuler une expérience aléatoire en Python et comparer une fréquence à une probabilité.

S'ajoute le calcul de probabilités dans les modèles de tirage (avec remise, sans remise, simultané) à l'aide du dénombrement.

L'essentiel : Probabilités totales et Bayes Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

Théorème Formule des probabilités totales

$A_1, \dots, A_n$ système complet : $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i \cap B)$ ; si les $P(A_i)$ sont non nulles, $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P_{A_i}(B)$ . On cite toujours le système complet.

Théorème Formule de Bayes

Système complet de probabilités non nulles, $P(B) \neq 0$ :

P_B(A_j) = \frac{P(A_j)P_{A_j}(B)}{\sum_{i} P(A_i)P_{A_i}(B)}.

Elle remonte du résultat à la cause ; le numérateur est un terme du dénominateur.

À retenir Récurrences

Avec le système complet $(A_n, \overline{A_n})$ de l'étape $n$ , la formule des probabilités totales donne souvent $p_{n+1} = ap_n + b$ : suite arithmético-géométrique, point fixe $\frac{b}{1 - a}$ . Avec trois états, la somme des trois probabilités vaut $1$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Appliquer la formule des probabilités totales

Quand l’utiliser

L'expérience se fait en deux temps (une cause, puis un résultat), et l'on demande la probabilité du résultat : « calculer $P(D)$ », « la probabilité que la pièce soit défectueuse ».

Rappel de cours

Si $A_1, \dots, A_n$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles, $P(B) = \sum_{i} P(A_i)P_{A_i}(B)$ ; dans tous les cas, $P(B) = \sum_i P(A_i \cap B)$ .

Démarche

Citer le système complet : en général, les résultats du premier temps.
Vérifier que ses événements ont des probabilités non nulles (sinon, les retirer ou utiliser la version « intersections »).
Écrire la formule avec les événements, avant les nombres.
Lire les $P(A_i)$ et les $P_{A_i}(B)$ dans l'énoncé, puis calculer.

Rédaction type

$(L_1, L_2)$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles. D'après la formule des probabilités totales,

P(D) = P(L_1)P_{L_1}(D) + P(L_2)P_{L_2}(D) = 0{,}7 \times 0{,}03 + 0{,}3 \times 0{,}06 = 0{,}039.

Exemple traité

Données construites pour l'exemple : deux ateliers fabriquent $70\,\%$ et $30\,\%$ de la production d'une usine, avec $3\,\%$ et $6\,\%$ de pièces défectueuses. On prend une pièce au hasard ; $L_i$ : « elle vient de l'atelier $i$ », $D$ : « elle est défectueuse ». La rédaction type donne $P(D) = 0{,}039$ : environ $4$ pièces sur $100$ sont défectueuses.

Erreurs fréquentes

Ne pas citer le système complet : les jurys le demandent explicitement.
« Trahir » la formule : $P(D) = P_{L_1}(D) + P_{L_2}(D)$ , sans les poids $P(L_i)$ .
Prendre un système qui n'est pas complet (deux ateliers sur trois).

Pour s’entraîner

Exercices 8, 9, 10, 17, 20, 28, 32, 33, 34 et 38.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Bouteilles de lait et bouchons ★☆☆

Une entreprise met du lait en bouteilles. Chaque bouteille passe dans une machine $M_1$ , qui la remplit, puis dans une machine $M_2$ , qui pose le bouchon. Une étude portant sur un grand nombre de bouteilles montre que $5\,\%$ des bouteilles ne sont pas correctement remplies et que, parmi elles, $8\,\%$ n'ont pas de bouchon. Par ailleurs, $4\,\%$ des bouteilles correctement remplies n'ont pas de bouchon. On choisit une bouteille au hasard à la fin de la chaîne et l'on note $R$ l'événement « la bouteille est correctement remplie » et $B$ l'événement « la bouteille a un bouchon ».

Donner $P(R)$ , $P(\overline{R})$ , $P_R(B)$ , $P_R(\overline{B})$ , $P_{\overline{R}}(B)$ et $P_{\overline{R}}(\overline{B})$ .
Calculer $P(B)$ .

Indications

1. « Parmi celles qui sont mal remplies, $8\,\%$ » est une probabilité conditionnelle sachant $\overline{R}$ .
1. Formule des probabilités totales avec le système complet $(R, \overline{R})$ .

Correction détaillée

1. $P(\overline{R}) = 0{,}05$ et $P(R) = 0{,}95$ . Les données sont des conditionnelles : $P_{\overline{R}}(\overline{B}) = 0{,}08$ , donc $P_{\overline{R}}(B) = 0{,}92$ ; $P_R(\overline{B}) = 0{,}04$ , donc $P_R(B) = 0{,}96$ (la probabilité conditionnelle $P_R$ est une probabilité, d'où $P_R(B) = 1 - P_R(\overline{B})$ ).

2. $(R, \overline{R})$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles. Par la formule des probabilités totales,

P(B) = P(R)P_R(B) + P(\overline{R})P_{\overline{R}}(B) = 0{,}95 \times 0{,}96 + 0{,}05 \times 0{,}92 = 0{,}912 + 0{,}046 = 0{,}958.

Environ $95{,}8\,\%$ des bouteilles ont un bouchon : $4{,}2\,\%$ sortent sans bouchon, un taux proche de celui des bouteilles bien remplies, puisqu'elles sont la grande majorité.

Méthodes à retenir

On traduit chaque pourcentage « parmi … » en probabilité conditionnelle avant de calculer ; puis on cite le système complet et la formule des probabilités totales. Voir la méthode 8.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 15 méthodes, 21 pièges corrigés, la carte mentale, 50 exercices corrigés, 8 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Expérience aléatoire et événements
- 1.1 Expérience aléatoire, univers
- 1.2 Événements
- 1.3 Opérations sur les événements
- 1.4 Événements incompatibles, système complet
2. Probabilité sur un univers fini
- 2.1 Définition
- 2.2 Propriétés
- 2.3 Probabilité définie par les probabilités des issues
- 2.4 Équiprobabilité
- 2.5 Formule du crible
- 2.6 Modèles de tirage et dénombrement
3. Probabilités conditionnelles
- 3.1 Définition
- 3.2 La probabilité conditionnelle est une probabilité
- 3.3 Formule des probabilités composées
- 3.4 Arbres pondérés
4. Formule des probabilités totales et formule de Bayes
- 4.1 Formule des probabilités totales
- 4.2 Formule de Bayes
- 4.3 Application : un test de dépistage
- 4.4 Expériences répétées et relations de récurrence
5. Indépendance
- 5.1 Deux événements indépendants
- 5.2 Indépendance mutuelle
- 5.3 Épreuves indépendantes
6. Simulation en Python
- 6.1 Simuler une expérience
- 6.2 Fréquence et probabilité

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Modéliser une expérience aléatoire
Traduire une phrase en événement
Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité
Utiliser le contraire, la différence et la formule du crible
Utiliser une probabilité définie par les probabilités des issues
Calculer une probabilité conditionnelle
Calculer la probabilité d'une intersection par les probabilités composées
Appliquer la formule des probabilités totales
Appliquer la formule de Bayes
Montrer que deux événements sont indépendants ou ne le sont pas
Utiliser l'indépendance mutuelle : épreuves indépendantes et fiabilité
Établir et résoudre une relation de récurrence entre probabilités
Simuler une expérience en Python et estimer une probabilité
Calculer une probabilité dans un modèle de tirage par dénombrement
Calculer la probabilité d'une intersection de $n$ événements, $n$ quelconque

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (20)

Traduire des phrases en ensembles
Le premier et le deuxième 6
Trois lancers d'une pièce
Somme de deux dés
Deux jetons tirés ensemble
Une intersection et deux conditionnelles
Deux urnes choisies par une pièce
Bouteilles de lait et bouchons
Colis abîmés et appareils défectueux
Sacs de pommes et variétés mélangées
Indépendance sur un dé
Deux sites contrôlés
Au moins une rouge en trois tirages
Les retours de matériel informatique
Le colis en retard
Simuler trois lancers d'une pièce
Remplacer une rouge par une bleue
Trois tirages avec remise parmi dix numéros
Même parité, trois façons de tirer
Reconstituer une paire

Entraînement (23)

Un dé pipé
Les trois services d'une coopérative
La troisième boule est noire
Le gardien de but
Tabac et bronchite
Par quelle cible commencer
Deux couleurs et au plus une blanche
Trois fournisseurs et une pièce conforme
Deux chaînes de montage
Deux dés aux faces modifiées
Une alarme sur deux est fausse
Incompatibles ou indépendants
Indépendants deux à deux mais pas mutuellement
Deux composants en parallèle, un troisième en série
L'échange de jetons entre deux urnes
Crayons et machines
Un dé, puis une ou deux pièces
Simuler le contrôle automatique
Au moins un 6
Le problème des anniversaires
Trois lettres et trois enveloppes
Au moins un panier réussi
Cinq dés

Approfondissement (7)

Les trois desserts
Une urne qui perd ses blanches
Simuler les desserts sur dix semaines
Contrôle par prélèvement
Une indépendance qui dépend de la pièce
Un second contrôle
Une pièce choisit la couleur ajoutée

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le plus grand numéro tiré
CNAEM 2024, filière ECT, Mathématiques, problème 1, deuxième partie, questions 2.1.1 à 2.1.3 et 2.4 (variables aléatoires reformulées en événements, question 2.4 corrigée, une question ajoutée)
Le chat et les trois maisons
ECRICOME 2025, voie technologique, Mathématiques, exercice 1, partie 3, questions 8.a, 9.a et 9.b (variables aléatoires reformulées en événements ; question 10, par les matrices, remplacée par une suite arithmético-géométrique ; questions 8.b, 8.c et 11 omises)
Deux urnes choisies à pile ou face
BCE 2019, BSB, voie technologique, Mathématiques, exercice 3, questions 1 à 3 (question 3 reformulée en événements et corrigée, question 3.e omise)
Le service au badminton
BCE 2020, BSB, voie technologique, Mathématiques, exercice 1, questions 4.a à 4.c et 5 (questions 4.d à 4.f, par les matrices, remplacées par une suite arithmético-géométrique ; question 5, en Scilab, réécrite en Python ; prénoms changés)
Un ingénieur entre quatre sites
CNAEM 2013, filière ECT, Mathématiques, problème, deuxième partie, questions 4, 5, 8 et 10 (variables aléatoires reformulées en événements ; questions 6 et 7 rappelées, traitées au chapitre 2 ; question 9 omise)
Le pêcheur et les trois espèces
ECRICOME 2024, voie technologique, Mathématiques, exercice 3, partie 2, questions 7 à 10 (question 11, qui utilise la partie 1, remplacée par la résolution directe de deux suites)
Des urnes qui se transmettent leurs boules noires
BCE 2021, ESCP, voie technologique, Mathématiques, exercice 4, questions 1.a, 2 et 3 (variables aléatoires reformulées en événements ; questions 1.b et 4, des espérances, omises)
Une urne où l'on ajoute une boule de l'autre couleur
ECRICOME 2019, voie scientifique, Mathématiques, problème, partie A, questions 1 à 7 (variables aléatoires reformulées en événements ; espérance et variance de la question 1 omises)

Questions fréquentes

Comment appliquer la formule des probabilités totales ?

On cite d'abord un système complet d'événements, en général les résultats du premier temps de l'expérience, puis on écrit $P(B) = \sum_i P(A_i)P_{A_i}(B)$ avant de remplacer par les nombres. Exemple : trois fournisseurs livrent $50\,\%$ , $30\,\%$ et $20\,\%$ des pièces, avec $2\,\%$ , $3\,\%$ et $5\,\%$ de défauts ; la probabilité qu'une pièce soit défectueuse vaut $0{,}5 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}03 + 0{,}2 \times 0{,}05 = 0{,}029$ . Les jurys exigent que le système complet soit écrit.

À quoi sert la formule de Bayes ?

Elle remonte du résultat à la cause : on connaît $P_{A_i}(B)$ et l'on cherche $P_B(A_j) = \frac{P(A_j)P_{A_j}(B)}{P(B)}$ , avec $P(B)$ obtenu par les probabilités totales. Exemple : avec les trois fournisseurs précédents, une pièce défectueuse vient du troisième avec la probabilité $\frac{0{,}2 \times 0{,}05}{0{,}029} = \frac{10}{29} \approx 0{,}34$ , alors qu'il ne livre que $20\,\%$ des pièces. Le numérateur est toujours l'un des termes du dénominateur.

Pourquoi un test positif ne signifie-t-il pas forcément qu'on est malade ?

Parce que $P_T(M)$ n'est pas $P_M(T)$ . Exemple : une maladie touche $1\,\%$ d'une population, le test est positif chez $99\,\%$ des malades et chez $2\,\%$ des personnes saines. Par les probabilités totales, $P(T) = 0{,}0297$ , et par la formule de Bayes, $P_T(M) = \frac{0{,}01 \times 0{,}99}{0{,}0297} = \frac13$ . La maladie est rare, et les faux positifs portent sur une population saine bien plus nombreuse : un premier test positif est donc suivi d'un second examen.

Quelle différence entre

P_B(A)

P(A \cap B)

$P(A \cap B)$ est la probabilité que $A$ et $B$ se réalisent ensemble ; $P_B(A)$ est la probabilité de $A$ quand on sait déjà que $B$ s'est réalisé, et $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ . Exemple : dans une coopérative de $80$ adhérents, $50$ cultivent des agrumes, dont $20$ en bio ; la probabilité qu'un adhérent soit en bio sachant qu'il cultive des agrumes est $\frac{20}{50} = \frac25$ , alors que la probabilité qu'il cultive des agrumes et soit en bio est $\frac{20}{80} = \frac14$ .

Deux événements incompatibles sont-ils indépendants ?

Non, sauf si l'un des deux a une probabilité nulle. Incompatibles signifie $P(A \cap B) = 0$ ; indépendants signifie $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ . Si $P(A)$ et $P(B)$ sont non nulles, les deux égalités ne peuvent pas être vraies ensemble. Exemple d'indépendance : avec un dé équilibré, « le résultat est au moins $5$ » et « le résultat est impair » vérifient $P(A \cap B) = \frac16 = \frac13 \times \frac12$ . L'indépendance se démontre toujours par ce calcul.

Comment estimer une probabilité par une simulation en Python ?

On écrit une fonction qui simule une fois l'expérience, avec rd.random() < p pour un événement de probabilité $p$ et rd.randint(1, 7) pour un dé, la borne haute étant exclue. On la répète $N$ fois dans une boucle for, on compte les réalisations et l'on divise par $N$ . Exemple : pour deux lancers d'un dé, la fréquence de « somme au moins $10$ » est proche de $\frac{6}{36} = \frac16$ . La fréquence approche la probabilité ; elle ne la démontre pas.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.