Dérivation en prépa ECS, ECG et ECT : tangente, variations, extremums, exercices

Q: Comment écrire l'équation de la tangente en un point ?

On calcule f(a) et f'(a), puis on écrit y = f(a) + f'(a)(x - a). Exemple : pour f(x) = x^3 - 2x en a = 1, f'(x) = 3x^2 - 2, donc f(1) = -1 et f'(1) = 1 ; la tangente est y = x - 2. On contrôle en remplaçant x par 1 : on retrouve -1. Une équation de droite commence toujours par « y = ».

Q: La valeur absolue est-elle dérivable en 0 ?

Non. Le taux d'accroissement (lvert x rvert)/(x) vaut 1 pour x > 0 et -1 pour x < 0 : la valeur absolue est dérivable à gauche et à droite en 0, avec des nombres dérivés -1 et 1 différents, donc elle n'est pas dérivable en 0. Elle y est pourtant continue : dérivable implique continue, mais la réciproque est fausse.

Q: Une fonction strictement croissante a-t-elle une dérivée strictement positive ?

Pas forcément. x ↦ x^3 est strictement croissante et sa dérivée 3x^2 s'annule en 0. Le théorème est une condition suffisante : si f' geqslant 0 sur un intervalle et ne s'annule qu'en un nombre fini de points, f est strictement croissante (principe de Lagrange). Exemple : f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1 a pour dérivée 3(x - 1)^2, nulle seulement en 1 ; f est strictement croissante sur R.

Q: Si f'(a) = 0, la fonction a-t-elle un extremum en a ?

Non : x^3 a une dérivée nulle en 0 sans y avoir d'extremum. Le sens vrai est l'inverse : si f admet un extremum local en un point intérieur où elle est dérivable, alors f'(a) = 0. Aux bornes de l'intervalle et aux points où f n'est pas dérivable, il faut comparer les valeurs : x ↦ x a sur [0, 1] son maximum en 1, où sa dérivée vaut 1.

Q: Comment dresser un tableau de variations ?

On justifie la dérivabilité, on calcule f'(x) sous forme factorisée, on étudie son signe facteur par facteur, puis on reporte flèches, valeurs et limites. Exemple : f(x) = (x^2 + 8)/(x - 1) a pour dérivée ((x - 4)(x + 2))/((x - 1)^2) ; f croît jusqu'à f(-2) = -4, décroît sur [-2, 1[ et sur ]1, 4], puis croît à partir de f(4) = 8. Les flèches doivent s'accorder avec les valeurs et les limites.

Q: Où le coût moyen est-il minimal ?

Là où il est égal au coût marginal : la dérivée de (C(q))/(q) est (qC'(q) - C(q))/(q^2), du signe de C'(q) - (C(q))/(q). Exemple construit : pour C(q) = q^2 + 8q + 20, le coût moyen q + 8 + (20)/(q) est minimal en q = 2√ 5 ≈ 4,47, où il vaut 8 + 4√ 5 ≈ 16,94, égal à C'(2√ 5).

Nombre dérivé et tangente, fonction dérivée, opérations, dérivées usuelles et composée ; dérivée et sens de variation, extremums ; théorème de Rolle et des accroissements finis ; dérivées successives ; convexité et points d'inflexion en ECT1 ; fonctions marginales et élasticité en économie.

20méthodes
58exercices corrigés
8problèmes
19pièges
38figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une fonction $f$ est dérivable en $a$ quand le taux d'accroissement $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ a une limite finie quand $x$ tend vers $a$ ; cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ , pente de la tangente $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ . Les dérivées se calculent par les opérations, $(uv)' = u'v + uv'$ et $\left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ , et par la composée, $(g \circ u)' = u' \times g'(u)$ , après une phrase qui justifie la dérivabilité. Sur un intervalle, le signe de la dérivée donne le sens de variation, et le principe de Lagrange permet des zéros isolés de $f'$ . En un point intérieur où $f$ est dérivable, un extremum annule la dérivée, mais la réciproque est fausse. Le chapitre traite aussi la dérivée d'une réciproque, le nombre de solutions d'une équation, les inégalités par l'étude d'une fonction, le coût marginal, le bénéfice maximal et le coût moyen minimal ; en ECS et en ECG, le théorème de Rolle et les accroissements finis ; en ECT, la convexité et les points d'inflexion. Il suit le programme de première année ECS1 et ECT1 au Maroc et sert en ECG et en ECT en France ; ces outils reviennent dans les sujets du CNAEM, de l'ISCAE, de la BCE et d'ECRICOME.

Ce que tu sauras faire

Que rapporte une tonne de plus ? Combien coûte la dernière unité produite ? Où le coût moyen est-il le plus bas ? Ces questions d'économie demandent toutes la même chose : la pente d'une courbe en un point. Ce chapitre définit cette pente, le nombre dérivé, apprend à la calculer et en tire le sens de variation d'une fonction. À la fin, tu dois savoir :

calculer un nombre dérivé par le taux d'accroissement, et reconnaître un point où la fonction n'est pas dérivable ;
écrire l'équation d'une tangente et utiliser l'approximation affine ;
dériver par les opérations, dériver une composée et une réciproque, en justifiant la dérivabilité ;
étudier les variations d'une fonction par le signe de sa dérivée et dresser un tableau de variations complet ;
trouver un maximum ou un minimum, compter les solutions d'une équation, démontrer une inégalité par l'étude d'une fonction ;
interpréter un coût marginal, un bénéfice maximal et un coût moyen minimal.

S'ajoutent les dérivées de l'exponentielle, du logarithme et des puissances, la classe $C^1$ , le théorème de Rolle, les accroissements finis, leur application aux suites $u_{n+1} = f(u_n)$ et le prolongement de la dérivée ; en ECS et en mathématiques approfondies, les dérivées des fonctions trigonométriques.

L'essentiel : Calcul des dérivées Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Dérivées usuelles

$(x^n)' = nx^{n-1}$ ( $n$ entier non nul, $x \neq 0$ si $n < 0$ ) ; $\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}$ ; $(\sqrt x)' = \frac{1}{2\sqrt x}$ sur $]0, +\infty[$ .

À retenir Opérations et composée

$(u + v)' = u' + v'$ ; $(uv)' = u'v + uv'$ ; $\left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ ; $\left(\frac1v\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ ; $(g \circ u)' = u' \times (g' \circ u)$ ; $(u^n)' = nu'u^{n-1}$ ; $(\sqrt u)' = \frac{u'}{2\sqrt u}$ là où $u > 0$ .

À retenir Réciproque

Si $f'\left(f^{-1}(y)\right) \neq 0$ : $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ . Si elle est nulle : tangente verticale à la courbe de $f^{-1}$ .

Méthode Rédiger

« $f$ est dérivable sur $I$ comme [somme, produit, quotient à dénominateur non nul, composée] de fonctions dérivables, et pour tout $x \in I$ , $f'(x) = \dots$ » ; puis $f'(x)$ factorisée.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Étudier les variations par le signe de

f'

et dresser le tableau complet

Quand l’utiliser

« Étudier les variations de $f$ », « dresser le tableau de variations ».

Rappel de cours

Sur un intervalle, $f' \geqslant 0$ donne $f$ croissante, $f' \leqslant 0$ décroissante, $f' > 0$ (ou positive sauf en un nombre fini de points) strictement croissante.

Démarche

Justifier la dérivabilité et calculer $f'(x)$ factorisée (méthodes 2 et 3).
Étudier le signe de chaque facteur et dresser le tableau de signes ; si un facteur résiste, l'étudier comme une nouvelle fonction (fonction auxiliaire).
Reporter les flèches, les valeurs aux points où $f'$ s'annule et les limites aux bornes (chapitre 6).
Vérifier la cohérence : une flèche montante va d'une valeur plus petite à une plus grande.

Rédaction type

« Pour tout réel $x$ , $f'(x) = \frac{(2 - x)(2 + x)}{(x^2 + 4)^2}$ , du signe de $(2 - x)(2 + x)$ : $f'$ est négative sur $]-\infty, -2]$ , positive sur $[-2, 2]$ , négative sur $[2, +\infty[$ . Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty, -2]$ , croissante sur $[-2, 2]$ et décroissante sur $[2, +\infty[$ . »

Exemple traité

$f(x) = \frac{x}{x^2 + 4}$ , dérivable sur $\mathbb{R}$ , $f'(x) = \frac{x^2 + 4 - 2x^2}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2}$ . Avec $f(-2) = -\frac14$ , $f(2) = \frac14$ et des limites nulles en $\pm\infty$ (terme dominant) :

$x$	$-\infty$		$-2$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$0$	$\searrow$	$-\frac14$	$\nearrow$	$\frac14$	$\searrow$	$0$

$f$ est bornée, de minimum $-\frac14$ et de maximum $\frac14$ .

Erreurs fréquentes

Donner les variations sans justifier le signe de la dérivée.
Obtenir le signe d'une somme par la règle des signes, qui ne vaut que pour un produit ou un quotient.
Un tableau dont les flèches contredisent les valeurs ou les limites.

Pour s’entraîner

Exercices 7, 8, 18 et 19.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Deux tableaux de variations complets ★☆☆

Dresser le tableau de variations complet (limites et valeurs remarquables comprises) de :

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ sur $\mathbb{R}$ ;
$g(x) = \frac{x^2 + 5}{x + 2}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$ .

Indications

1. $f'(x) = 6(x^2 - x - 2)$ ; chercher la racine évidente.
1. Le numérateur de $g'(x)$ est $x^2 + 4x - 5$ . Les limites en $-2$ se lisent au signe de $x + 2$ .

Correction détaillée

1. $f$ est polynomiale et $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 2)(x + 1)$ . $f'$ est positive sur $]-\infty, -1]$ , négative sur $[-1, 2]$ , positive sur $[2, +\infty[$ . $f(-1) = -2 - 3 + 12 + 1 = 8$ et $f(2) = 16 - 12 - 24 + 1 = -19$ . En $\pm\infty$ , $f(x)$ a la limite de $2x^3$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$-\infty$	$\nearrow$	$8$	$\searrow$	$-19$	$\nearrow$	$+\infty$

2. $g$ est dérivable sur $]-\infty, -2[$ et sur $]-2, +\infty[$ (quotient dont le dénominateur ne s'annule pas), et

g'(x) = \frac{2x(x + 2) - (x^2 + 5)}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x + 2)^2} = \frac{(x - 1)(x + 5)}{(x + 2)^2}.

$g(-5) = \frac{30}{-3} = -10$ et $g(1) = \frac{6}{3} = 2$ . Limites : en $-\infty$ et en $+\infty$ , $g(x)$ a la limite de $\frac{x^2}{x} = x$ ; en $-2$ , le numérateur tend vers $9$ et le dénominateur vers $0$ , négatif à gauche, positif à droite.

$x$	$-\infty$		$-5$		$-2$		$1$		$+\infty$
$g'(x)$		$+$	$0$	$-$		$-$	$0$	$+$
$g$	$-\infty$	$\nearrow$	$-10$	$\searrow$	$-\infty \mid +\infty$	$\searrow$	$2$	$\nearrow$	$+\infty$

Contrôle de cohérence : sur $]-2, +\infty[$ , $g$ décroît de $+\infty$ à $2$ puis croît vers $+\infty$ , et son minimum $2$ est positif, comme $g(0) = \frac{5}{2}$ .

Méthodes à retenir

Un tableau complet comporte la ligne de signe de $f'$ , les flèches, les valeurs aux zéros de $f'$ et les limites aux bornes ; on vérifie que tout s'accorde. Voir la méthode 5.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 20 méthodes, 19 pièges corrigés, la carte mentale, 58 exercices corrigés, 8 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Nombre dérivé
- 1.1 Taux d'accroissement et nombre dérivé
- 1.2 Dérivées à gauche et à droite
- 1.3 Tangente et approximation affine
- 1.4 Dérivabilité et continuité
- 1.5 Illustration en Python
2. Fonction dérivée et calcul des dérivées
- 2.1 Fonction dérivée et dérivées usuelles
- 2.2 Opérations
- 2.3 Composée
- 2.4 Dérivée d'une fonction réciproque
- 2.5 Exponentielle, logarithme, puissances
- 2.6 Classe $C^1$
- 2.7 Fonctions trigonométriques
3. Dérivée et sens de variation
- 3.1 Signe de la dérivée et monotonie
- 3.2 Dresser un tableau de variations
- 3.3 Maximum, minimum, extremum local
- 3.4 Nombre de solutions d'une équation
- 3.5 Démontrer une inégalité par l'étude d'une fonction
4. Applications économiques
- 4.1 Coût marginal
- 4.2 Bénéfice maximal
- 4.3 Coût moyen minimal
- 4.4 Pour aller plus loin : l'élasticité
5. Théorème de Rolle et accroissements finis
- 5.1 Théorème de Rolle
- 5.2 Égalité des accroissements finis
- 5.3 Inégalités des accroissements finis
- 5.4 Démonstration de la caractérisation des fonctions monotones
- 5.5 Suites $u_{n+1} = f(u_n)$
- 5.6 Prolongement de la dérivée
5. Dérivées successives et convexité
- 5.1 Dérivées successives
- 5.2 Fonctions convexes
- 5.3 Minimum d'une fonction convexe
- 5.4 Point d'inflexion

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Étudier la dérivabilité en un point par le taux d'accroissement
Justifier la dérivabilité par les opérations et calculer $f'$ factorisée
Dériver une composée
Écrire une tangente, une approximation affine, et placer la courbe par rapport à sa tangente
Étudier les variations par le signe de $f'$ et dresser le tableau complet
Obtenir une stricte monotonie malgré des zéros isolés de $f'$
Déterminer le nombre de solutions d'une équation
Démontrer une inégalité par l'étude d'une fonction
Trouver le maximum ou le minimum d'une fonction sur un intervalle
Dériver une réciproque et écrire la tangente à sa courbe
Utiliser la dérivée en économie
Tracer en Python une courbe et sa tangente, illustrer le taux d'accroissement
Dériver avec l'exponentielle, le logarithme et les puissances ; lire une limite comme un nombre dérivé
Étudier un raccord par le prolongement de la dérivée ; montrer qu'une fonction est de classe $C^1$
Appliquer le théorème de Rolle
Appliquer les accroissements finis
Étudier une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ par l'inégalité des accroissements finis
Étudier un extremum local par le changement de signe de $f'$
Calculer des dérivées successives, étudier la convexité et trouver un point d'inflexion
Utiliser la convexité

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (23)

Nombres dérivés par le taux d'accroissement
Dérivées à gauche et à droite
Dérivées par les opérations
Dérivées de fonctions composées
Équations de tangentes
Approximations affines sans calculatrice
Stricte décroissance d'un polynôme sur un intervalle ouvert
Deux tableaux de variations complets
Le principe de Lagrange et une équation
Trois solutions pour une équation du troisième degré
Deux inégalités par l'étude d'une fonction
Maximum et minimum sur un segment
Dérivée d'une réciproque
Coût marginal
Python : taux d'accroissement et tangente
Dérivées avec l'exponentielle et le logarithme
Limites lues comme des nombres dérivés
Stricte croissance et tangente en un point
Dérivée et tangente de ln(1 + e^x)
Le théorème de Rolle sur un polynôme
Dérivées successives
Une dérivée seconde qui s'annule sans changer de signe
Extremums locaux

Entraînement (27)

Une racine carrée qui s'annule aux deux bornes
Choisir deux paramètres pour un raccord dérivable
Étude complète d'une fraction rationnelle
Le signe de la dérivée par une fonction auxiliaire
Les tangentes qui passent par un point
Une tangente qui touche la courbe deux fois
Nombre de solutions selon un paramètre
L'inégalité de Bernoulli
Une inégalité avec une racine carrée
La boîte de volume maximal
Le bénéfice maximal
Le coût moyen minimal
Élasticité de la demande et recette maximale
Une bijection de R sur ]-1, 1[ et sa réciproque
Python : une courbe et quatre tangentes
Dériver sans regarder la fonction
L'encadrement de ln(1 + x)
Encadrer ln(k + 1) - ln k et la somme harmonique
Une stricte décroissance par le principe de Lagrange, puis une suite
Prolongement de la dérivée pour x² ln x
Un raccord de classe C¹
Une suite approchée par les accroissements finis
Une suite qui converge vers racine de 2
Point d'inflexion et tangente d'inflexion
Deux points d'inflexion
Un coût concave puis convexe
Minimum d'une fonction convexe

Approfondissement (8)

La dérivée symétrique
Quand un polynôme de degré trois a-t-il trois racines réelles ?
Une inégalité à trois variables, une variable à la fois
Un monopole et une taxe
Dériver une somme géométrique
Le théorème de Rolle et les racines d'un polynôme
Une suite décroissante et minorée née de la somme harmonique
L'inégalité de convexité au milieu

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Un polynôme de degré trois, ses variations et sa courbe
BCE 2023, BSB, voie technologique, Mathématiques, exercice 1, questions 1 à 6 et 8 (question 6 réservée à l'ECT1, question 7 omise, hachures de la question 8 omises)
Variations et courbe de x exp(-x)
CNAEM 2014, filière ECT, Mathématiques, exercice 4, questions 1 à 3 (questions 4 à 6 omises, question 7 ajoutée)
Une fonction logarithme, sa dérivée et sa réciproque
CNAEM 2018, filière ECT, Mathématiques, exercice 1, partie I, questions 1 à 6 (partie II omise, question 7 ajoutée)
Les tangentes qui passent par l'origine
BCE 2023, BSB, voie technologique, Mathématiques, exercice 1, questions 9 à 16
Dérivée, tangentes et courbe de 1 - x exp(1 - x)
ECRICOME 2026, voie technologique, Mathématiques, exercice 2, questions 2.a, 2.b, 4.a, 4.b, 5 et 11.b (questions 3.a et 3.b réservées à l'ECT1, questions 1.a, 1.b, 11.a et 11.c à 14 traitées au chapitre 6, question 4.b traitée par une fonction auxiliaire avec une indication ajoutée, question 11.b renforcée)
Deux fonctions dont chacune est la dérivée de l'autre
ECRICOME 2025, voie technologique, Mathématiques, exercice 2, partie 1, questions 1, 3.a à 3.c, 5, 6, 7 et 9 (questions 3.d et 4 réservées à l'ECT1, questions 2.a et 2.b traitées au chapitre 6, question 8 omise, question 5.c admise au chapitre 6 et démontrée ici, indication ajoutée en 5.b)
Une fonction logistique et sa tangente au centre
ECRICOME 2024, voie technologique, Mathématiques, exercice 2, partie 1, questions 1, 2.a à 2.d, 3.c et 4 (questions 3.a et 3.b réservées à l'ECT1, question 3.c traitée aussi par une fonction auxiliaire avec une indication ajoutée, question 5 omise, questions 6 et 7.a traitées au chapitre 1)
Un point fixe approché par les accroissements finis
BCE 2014, ESC, voie technologique, Mathématiques, exercice 2, questions 2, 5.c et 5.d (questions 1, 3, 4, 5.a, 5.b et 5.e traitées au chapitre 6 et rappelées, question 5.f ajoutée)

Questions fréquentes

Comment écrire l'équation de la tangente en un point ?

On calcule $f(a)$ et $f'(a)$ , puis on écrit $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ . Exemple : pour $f(x) = x^3 - 2x$ en $a = 1$ , $f'(x) = 3x^2 - 2$ , donc $f(1) = -1$ et $f'(1) = 1$ ; la tangente est $y = x - 2$ . On contrôle en remplaçant $x$ par $1$ : on retrouve $-1$ . Une équation de droite commence toujours par « $y =$ ».

La valeur absolue est-elle dérivable en 0 ?

Non. Le taux d'accroissement $\frac{\lvert x \rvert}{x}$ vaut $1$ pour $x > 0$ et $-1$ pour $x < 0$ : la valeur absolue est dérivable à gauche et à droite en $0$ , avec des nombres dérivés $-1$ et $1$ différents, donc elle n'est pas dérivable en $0$ . Elle y est pourtant continue : dérivable implique continue, mais la réciproque est fausse.

Une fonction strictement croissante a-t-elle une dérivée strictement positive ?

Pas forcément. $x \mapsto x^3$ est strictement croissante et sa dérivée $3x^2$ s'annule en $0$ . Le théorème est une condition suffisante : si $f' \geqslant 0$ sur un intervalle et ne s'annule qu'en un nombre fini de points, $f$ est strictement croissante (principe de Lagrange). Exemple : $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$ a pour dérivée $3(x - 1)^2$ , nulle seulement en $1$ ; $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Si f'(a) = 0, la fonction a-t-elle un extremum en a ?

Non : $x^3$ a une dérivée nulle en $0$ sans y avoir d'extremum. Le sens vrai est l'inverse : si $f$ admet un extremum local en un point intérieur où elle est dérivable, alors $f'(a) = 0$ . Aux bornes de l'intervalle et aux points où $f$ n'est pas dérivable, il faut comparer les valeurs : $x \mapsto x$ a sur $[0, 1]$ son maximum en $1$ , où sa dérivée vaut $1$ .

Comment dresser un tableau de variations ?

On justifie la dérivabilité, on calcule $f'(x)$ sous forme factorisée, on étudie son signe facteur par facteur, puis on reporte flèches, valeurs et limites. Exemple : $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x - 1}$ a pour dérivée $\frac{(x - 4)(x + 2)}{(x - 1)^2}$ ; $f$ croît jusqu'à $f(-2) = -4$ , décroît sur $[-2, 1[$ et sur $]1, 4]$ , puis croît à partir de $f(4) = 8$ . Les flèches doivent s'accorder avec les valeurs et les limites.

Où le coût moyen est-il minimal ?

Là où il est égal au coût marginal : la dérivée de $\frac{C(q)}{q}$ est $\frac{qC'(q) - C(q)}{q^2}$ , du signe de $C'(q) - \frac{C(q)}{q}$ . Exemple construit : pour $C(q) = q^2 + 8q + 20$ , le coût moyen $q + 8 + \frac{20}{q}$ est minimal en $q = 2\sqrt5 \approx 4{,}47$ , où il vaut $8 + 4\sqrt5 \approx 16{,}94$ , égal à $C'(2\sqrt5)$ .

Comment y accéder

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