Nombres réels et suites numériques : inégalités, borne supérieure, partie entière, limites, suites monotones et adjacentes

Q: Comment trouver la borne supérieure d'une partie de R ?

On vérifie d'abord que la partie X est non vide et majorée : elle admet alors une borne supérieure, le plus petit de ses majorants. On devine un candidat M, on montre que M majore X, puis que pour tout ε > 0 il existe x ∈ X tel que x > M - ε : c'est la caractérisation de la borne supérieure. Par exemple, X = \1 - frac 1n ; n ∈ N^* \ a pour borne supérieure 1, qui n'est pas atteinte. Une borne supérieure n'est un maximum que si elle appartient à la partie : sup [0, 1[ = 1 et 1 ∉ [0, 1[.

Q: Comment utiliser la partie entière d'un réel ?

La partie entière lfloor x rfloor est l'unique entier n tel que n ≤ x < n + 1 ; on a aussi x - 1 < lfloor x rfloor ≤ x, et lfloor x + k rfloor = lfloor x rfloor + k pour tout entier k. Pour un négatif non entier, on descend à l'entier inférieur : lfloor -3,7 rfloor = -4. La partie entière n'est pas additive : pour x = y = 0,6, lfloor x + y rfloor = 1 alors que lfloor x rfloor + lfloor y rfloor = 0. Pour résoudre une équation qui la contient, on pose n la valeur de la partie entière et on écrit l'encadrement.

Q: Comment montrer qu'une suite converge ?

Selon la forme de la suite : les opérations sur les limites (factoriser le terme dominant, quantité conjuguée) ; le théorème d'encadrement, si v_n ≤ u_n ≤ w_n avec v_n et w_n de même limite ell ; une majoration lvert u_n - ell rvert ≤ v_n avec v_n → 0 ; le théorème de la limite monotone ; les suites adjacentes. Le théorème d'encadrement donne l'existence de la limite, alors que le passage à la limite dans une inégalité la suppose : on montre toujours que la limite existe avant de la calculer.

Q: Que dit le théorème de la limite monotone ?

Une suite croissante et majorée converge, vers la borne supérieure de l'ensemble de ses termes ; une suite croissante non majorée tend vers +∞ ; de même, une suite décroissante et minorée converge. Le théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur : la suite (1 - frac 1n ) est croissante, majorée par 2, et tend vers 1. Pour trouver la limite, on passe ensuite à la limite dans une relation qui lie les termes.

Q: Quand deux suites sont-elles adjacentes ?

Deux suites réelles (u_n) et (v_n) sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et si v_n - u_n → 0. Elles convergent alors vers une même limite ell, et si (u_n) croît et (v_n) décroît, u_n ≤ ell ≤ v_n pour tout n : on obtient un encadrement de ell à la précision v_n - u_n. C'est le principe de la dichotomie : pour f continue sur [a, b] avec f(a)f(b) ≤ 0, elle approche une solution de f(x) = 0 avec des intervalles de longueur (b - a)/(2^n).

Q: À quoi servent les suites extraites ?

Une suite extraite de (u_n) s'écrit (u_(φ (n))), avec φ strictement croissante de N dans N, comme (u_(2n)) et (u_(2n+1)). Si (u_n) tend vers ell, toutes ses suites extraites tendent vers ell : deux suites extraites de limites différentes prouvent donc la divergence, comme pour ((-1)^n). Si (u_(2n)) et (u_(2n+1)) ont la même limite ell, alors u_n → ell. Le théorème de Bolzano-Weierstrass, selon lequel toute suite bornée a une suite extraite convergente, n'est au programme qu'en MPSI (Maroc et France) et en MP2I.

Q: Comment étudier une suite arithmético-géométrique ?

Pour u_(n+1) = au_n + b avec a ≠ 1, on cherche la solution constante c = (b)/(1 - a) ; la suite (u_n - c) est géométrique de raison a, donc u_n = c + a^n(u_0 - c), et u_n → c si -1 < a < 1. Ces suites sont au programme de toutes les classes sauf la TSI1 de France. Les récurrences linéaires d'ordre 2 u_(n+2) = α u_(n+1) + β u_n avec β ≠ 0, résolues par l'équation caractéristique x^2 = α x + β, et les suites complexes ne sont pas au programme de TSI1 et TPC1 en France.

Inégalités dans R, valeur absolue, partie entière, approximations décimales, borne supérieure ; suites réelles : limites, opérations, théorèmes de comparaison, suites monotones et adjacentes, dichotomie, suites extraites, suites arithmétiques et géométriques ; selon la classe, suites arithmético-géométriques, suites complexes, récurrences linéaires d'ordre 2, densité, théorème de Bolzano-Weierstrass.

20méthodes
51exercices corrigés
5problèmes
25pièges
39figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Toute l'analyse repose sur deux outils de ce chapitre : les inégalités dans $\mathbb{R}$ et la borne supérieure. Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure, le plus petit de ses majorants ; c'est elle qui démontre le théorème de la limite monotone : une suite croissante et majorée converge. Le chapitre étudie la valeur absolue, la partie entière $\lfloor x \rfloor$ et les approximations décimales d'un réel, puis la limite d'une suite (définition, opérations, passage à la limite, théorème d'encadrement), les suites adjacentes, la dichotomie et les suites extraites. Il est au programme de toutes les classes de maths sup (MPSI, PCSI, TSI1, MP2I, PTSI, TPC1), au Maroc comme en France ; les suites arithmético-géométriques, les suites complexes, les récurrences linéaires d'ordre 2, la densité et le théorème de Bolzano-Weierstrass n'y sont étudiés que dans certaines classes. Ces notions reviennent dans tous les sujets d'analyse du CNC et des concours français.

Ce que tu sauras faire

Les nombres réels et les suites sont le socle de toute l'analyse : chaque limite, chaque continuité, chaque intégrale de l'année repose sur les inégalités et sur la borne supérieure. À la fin, tu dois savoir :

manipuler des inégalités sans erreur, majorer ou minorer une expression, résoudre une inéquation ;
utiliser la valeur absolue, la partie entière et les approximations décimales d'un réel ;
déterminer une borne supérieure ou inférieure et dire si elle est atteinte ;
étudier la monotonie, la convergence et la limite d'une suite réelle ;
utiliser les théorèmes de comparaison, de la limite monotone, des suites adjacentes et des suites extraites ;
approcher un réel par des décimaux ou par dichotomie, avec un programme Python.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Inégalités dans

\mathbb{R}

On peut ajouter des inégalités de même sens, multiplier des inégalités entre réels positifs, passer à l'inverse entre réels strictement positifs en changeant le sens, appliquer une fonction croissante (le sens reste) ou décroissante (le sens change).
On ne soustrait pas et on ne divise pas membre à membre : pour $x - y$ , on encadre $-y$ , puis on ajoute.
Un quotient de positifs se majore en majorant le numérateur et en minorant le dénominateur.
On n'élève au carré qu'une inégalité entre réels positifs.

À retenir Valeur absolue

$\lvert x - a \rvert \leq \varepsilon$ équivaut à $a - \varepsilon \leq x \leq a + \varepsilon$ ; $\lvert x - y \rvert$ est la distance de $x$ à $y$ .
$\lvert x + y \rvert \leq \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$ ; et $\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert$ est au plus égal à $\lvert x - y \rvert$ .
$\max(x, y) = \frac{x + y + \lvert x - y \rvert}{2}$ , $\min(x, y) = \frac{x + y - \lvert x - y \rvert}{2}$ ; $\lvert \sin x \rvert \leq \lvert x \rvert$ .

À retenir Archimède, partie entière, décimaux

Propriété d'Archimède : pour $a > 0$ et $b$ réel, il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $na > b$ .
$\lfloor x \rfloor$ est l'unique entier $n$ tel que $n \leq x < n + 1$ ; aussi $x - 1 < \lfloor x \rfloor \leq x$ .
$\lfloor x + k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k$ pour $k \in \mathbb{Z}$ ; $\lfloor -3{,}7 \rfloor = -4$ .
$d_n(x) = \frac{\lfloor 10^nx \rfloor}{10^n}$ vérifie $d_n(x) \leq x < d_n(x) + 10^{-n}$ et $d_n(x) \to x$ : tout réel est limite d'une suite de rationnels.

À retenir Borne supérieure

$\sup X$ est le plus petit des majorants de $X$ . Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ a une borne supérieure (admis).
Caractérisation : $M = \sup X$ si et seulement si $M$ majore $X$ et, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $x \in X$ tel que $x > M - \varepsilon$ .
Si $X$ a un maximum, c'est sa borne supérieure ; $\sup\,[0, 1[ = 1$ sans maximum.
En TSI1 et TPC1 de France, la borne supérieure sert à démontrer le théorème de la limite monotone ; aucun développement n'est attendu.

À retenir Limites

$u_n \to \ell$ : pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $N$ tel que $\lvert u_n - \ell \rvert \leq \varepsilon$ pour tout $n \geq N$ . $u_n \to +\infty$ : pour tout $A$ , il existe $N$ tel que $u_n \geq A$ pour tout $n \geq N$ .
La limite est unique ; une suite convergente est bornée ; si $\ell > 0$ , $u_n > \frac{\ell}{2}$ à partir d'un rang.
Opérations : somme, produit, quotient (limite du dénominateur non nulle). Formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac00$ , $1^\infty$ .
Suite bornée fois suite de limite nulle : limite nulle.
Avant le chapitre « Limites et continuité », pas de « $f(u_n) \to f(\ell)$ » : on passe par les opérations ou par des inégalités.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Montrer que deux suites sont adjacentes et encadrer leur limite

Quand l’utiliser

Deux suites sont données ensemble, souvent une somme partielle et la même somme corrigée d'un petit terme, ou deux suites définies l'une par l'autre ; on veut une limite et un encadrement.

Rappel de cours

$(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $v_n - u_n \to 0$ : elles convergent vers une même limite $\ell$ , et $u_n \leq \ell \leq v_n$ pour tout $n$ .

Démarche

Montrer que l'une est croissante.
Montrer que l'autre est décroissante.
Montrer que la différence tend vers $0$ .
Conclure, puis utiliser l'encadrement pour une valeur approchée de $\ell$ à la précision $v_n - u_n$ .

Rédaction type

« La suite $(u_n)$ est croissante, car $\ldots$ ; $(v_n)$ est décroissante, car $\ldots$ ; et $v_n - u_n = \ldots \to 0$ . Les suites sont adjacentes : elles convergent vers une même limite $\ell$ , et $u_n \leq \ell \leq v_n$ pour tout $n$ . »

Exemple traité

Soient $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k\,2^k}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n\,2^n}$ pour $n \geq 1$ . Montrer qu'elles sont adjacentes.

$(u_n)$ est croissante : $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n + 1)2^{n+1}} > 0$ . Ensuite

v_{n+1} - v_n = \frac{1}{(n + 1)2^{n+1}} + \frac{1}{(n + 1)2^{n+1}} - \frac{1}{n\,2^n} = \frac{1}{2^n}\left(\frac{1}{n + 1} - \frac1n\right) < 0,

donc $(v_n)$ est décroissante. Enfin $v_n - u_n = \frac{1}{n\,2^n} \to 0$ . Les suites sont adjacentes. Pour $n = 10$ , l'encadrement $u_{10} \leq \ell \leq v_{10}$ donne $0{,}69306 \leq \ell \leq 0{,}69317$ . Un calcul en Python suggère que $\ell = \ln 2$ ; ce chapitre ne le démontre pas.

Erreurs fréquentes

Oublier l'une des trois conditions ; un rapport de jury (Banque PT 2014, Mathématiques C) relève des suites dites adjacentes alors qu'elles ont la même monotonie.
Calculer $\lim v_n - \lim u_n$ avant de savoir que les limites existent.
Confondre la définition et le théorème.

Pour s’entraîner

Exercices 11, 22, 24, 25, 30, 31, 32 et 38, problèmes 1 et 2.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Une somme croissante et majorée, puis deux suites adjacentes ★☆☆

Pour $n \ge 1$ , on pose $a_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}$ .

Montrer que, pour tout entier $k \ge 2$ , $\dfrac{1}{k^2} \le \dfrac{1}{k - 1} - \dfrac1k$ . En déduire que $a_n \le 2 - \dfrac1n$ pour tout $n \ge 1$ .
En déduire que $(a_n)$ converge.
On pose $b_n = a_n + \dfrac1n$ . Montrer que $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes. Calculer $a_{10}$ et $b_{10}$ et en déduire un encadrement de la limite.

Indications

$\frac{1}{k - 1} - \frac1k = \frac{1}{k(k - 1)}$ . Sommer pour $k$ de $2$ à $n$ : la somme télescope.
Calculer $b_{n+1} - b_n$ et réduire au même dénominateur.

Correction détaillée

1. Pour $k \ge 2$ , $k(k - 1) \le k^2$ , donc $\frac{1}{k^2} \le \frac{1}{k(k - 1)} = \frac{1}{k - 1} - \frac1k$ . Pour $n \ge 2$ , on somme de $k = 2$ à $n$ ; la somme de droite télescope :

a_n = 1 + \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2} \le 1 + \Big(1 - \frac1n\Big) = 2 - \frac1n.

Pour $n = 1$ , $a_1 = 1 = 2 - 1$ .

2. $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n + 1)^2} > 0$ : $(a_n)$ est croissante, et majorée par $2$ . Par le théorème de la limite monotone, elle converge.

3. $(a_n)$ est croissante. Ensuite

b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n + 1)^2} + \frac{1}{n + 1} - \frac1n = \frac{1}{(n + 1)^2} - \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{-1}{n(n + 1)^2} < 0,

donc $(b_n)$ est décroissante ; enfin $b_n - a_n = \frac1n \to 0$ . Les suites sont adjacentes : elles convergent vers une même limite $\ell$ et $a_n \le \ell \le b_n$ pour tout $n$ . Avec $a_{10} \approx 1{,}5498$ et $b_{10} \approx 1{,}6498$ :

1{,}5497 \le \ell \le 1{,}6498.

On montre en deuxième année que $\ell = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449$ .

Méthodes à retenir

Une somme à termes positifs est croissante ; pour la majorer, on compare son terme général à une différence qui télescope. Deux suites adjacentes encadrent leur limite commune à chaque rang : c'est un encadrement numérique gratuit. Voir les méthodes 10 et 11.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 20 méthodes, 25 pièges corrigés, la carte mentale, 51 exercices corrigés, 5 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Nombres réels et inégalités
- 1.1 Les ensembles de nombres
- 1.2 Ordre et opérations
- 1.3 Majorer, minorer, résoudre une inéquation
- 1.4 Intervalles
2. Valeur absolue
- 2.1 Définition et distance
- 2.2 Intervalle centré
- 2.3 Inégalités triangulaires
3. Propriété d'Archimède, partie entière, approximations décimales
- 3.1 Propriété d'Archimède
- 3.2 Partie entière
- 3.3 Approximations décimales
4. Majorant, maximum, borne supérieure
- 4.1 Majorant et maximum
- 4.2 Borne supérieure
- 4.3 Caractérisation
5. Suites réelles : généralités
- 5.1 Définitions
- 5.2 Suites majorées, minorées, bornées
- 5.3 Suites monotones
- 5.4 Représenter une suite $u_{n+1} = f(u_n)$
6. Limite d'une suite
- 6.1 Limite finie
- 6.2 Limites infinies, suites convergentes
- 6.3 Opérations sur les limites
7. Limites et inégalités
- 7.1 Passage à la limite
- 7.2 Théorèmes de comparaison
- 7.3 Tout réel est limite de décimaux
8. Suites monotones
- 8.1 Théorème de la limite monotone
- 8.2 Suites adjacentes
- 8.3 Dichotomie
9. Suites extraites
- 9.1 Définition et théorème
- 9.2 Montrer une divergence, étudier les indices pairs et impairs
10. Suites arithmétiques et géométriques
- 10.1 Suites arithmétiques
- 10.2 Suites géométriques
11. Suites arithmético-géométriques
- 11.1 Coefficients réels
- 11.2 Coefficients complexes
12. Suites complexes
- 12.1 Définitions et caractérisation
- 12.2 Suites géométriques complexes
13. Récurrences linéaires homogènes d'ordre 2
- 13.1 Le cas complexe
- 13.2 Le cas réel
- 13.3 Suites et équations différentielles
14. Borne supérieure et suites
15. Densité, droite achevée
- 15.1 Parties denses
- 15.2 Caractérisation séquentielle
- 15.3 La droite achevée
16. Théorème de Bolzano-Weierstrass

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Manipuler des inégalités : majorer, minorer une somme, un produit, un quotient
Résoudre une inéquation
Utiliser la partie entière
Déterminer une borne supérieure ou inférieure
Étudier le sens de variation d'une suite
Démontrer une limite par la définition
Calculer une limite par les opérations
Utiliser un encadrement ou une majoration de l'écart
Montrer qu'une suite diverge
Utiliser le théorème de la limite monotone, puis trouver la limite
Montrer que deux suites sont adjacentes et encadrer leur limite
Étudier les suites extraites d'indices pairs et impairs
Approcher un réel par décimaux ou par dichotomie
Représenter une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ et la démontrer sur un exemple guidé
Résoudre une récurrence arithmético-géométrique
Résoudre une récurrence linéaire d'ordre 2
Étudier une suite complexe
Approcher une borne supérieure par une suite d'éléments
Montrer qu'une partie est dense
Appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (19)

Encadrer une somme, une différence, un produit, un quotient
Une équation avec des valeurs absolues, une inéquation avec une racine
Deux équations en partie entière
Partie entière de l'opposé, entiers d'un segment
Bornes de deux parties de R
Deux limites par la définition
Limites par les opérations
Deux limites par encadrement
Une majoration vraie pour tout k
Deux suites de [0, 1] dont le produit tend vers 1
Une somme croissante et majorée, puis deux suites adjacentes
Sens de variation de deux suites
Divergence par deux suites extraites
Dichotomie en Python
Une suite définie par u(n+1) = racine de u(n) + 6
Deux récurrences arithmético-géométriques
Trois récurrences linéaires d'ordre 2
Une suite arithmético-géométrique complexe
Trois parties denses

Entraînement (23)

Identités de Hermite
Deux identités de parties entières emboîtées
Une somme de parties entières
Borne supérieure d'une somme de parties
Nombre de chiffres d'un entier
La somme des 1/j de n + 1 à kn
La série harmonique et la constante d'Euler
La somme des 1/racine de k
La moyenne arithmético-géométrique
Une somme alternée
Trois suites extraites
Une inégalité qui force la monotonie
Une suite définie par la somme de ses termes
Comparer à une suite géométrique
La suite de Fibonacci partant de 1 et 1
L'exponentielle par deux suites adjacentes
Deux moyennes pondérées
Deux suites couplées affines
Récurrences d'ordre 2 et suites bornées
Une somme trigonométrique par une somme géométrique complexe
Une récurrence complexe à paramètre
Borne supérieure d'une partie définie par deux indices
Une suite bornée dont toutes les suites extraites convergentes ont la même limite

Approfondissement (9)

Point fixe d'une application croissante de [0, 1] dans [0, 1]
Les suites (cos n) et (sin n) divergent
Une suite liée aux coefficients binomiaux centraux
Une suite qui croît très vite : u(n+1) = u(n)² + u(n)
Le théorème de Cesàro
Encadrer π par des polygones réguliers
La suite complexe z(n+1) = (z(n) + module de z(n))/2
Les parties stables par différence
Les valeurs d'adhérence de la suite racine de n moins sa partie entière

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le nombre e est irrationnel
CNC 2026, filières PSI et TSI, Mathématiques I, problème, deuxième partie, questions 3.1.1 à 3.2
Écrire un réel en base 3
CCINP 2020, filière MP, Mathématiques 1, partie I, questions Q4 à Q8, adaptées sans les séries ; question Q9 du sujet remplacée par une question ajoutée sur la base 10
Discrétiser une équation différentielle
Centrale-Supélec 2020, filière TSI, Mathématiques 1, partie I, questions Q1 à Q3 et Q10 à Q14, et, selon la classe, questions Q7 à Q9
Deux suites couplées et les approximations rationnelles de racine de 2
CNC 2022, filière TSI, Mathématiques I, exercice 1, questions 1.2.1 et 1.2.3 (filière PSI : exercice, questions 0.2.1 et 0.2.3), adaptées ; questions 3 à 5 ajoutées
Limites inférieure et supérieure, lemme de Fekete
Mines-Ponts 2018, filière MP, Mathématiques I, partie B, questions 3 à 9

Questions fréquentes

Comment trouver la borne supérieure d'une partie de R ?

On vérifie d'abord que la partie $X$ est non vide et majorée : elle admet alors une borne supérieure, le plus petit de ses majorants. On devine un candidat $M$ , on montre que $M$ majore $X$ , puis que pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $x \in X$ tel que $x > M - \varepsilon$ : c'est la caractérisation de la borne supérieure. Par exemple, $X = \left\{1 - \frac1n ;\ n \in \mathbb{N}^*\right\}$ a pour borne supérieure $1$ , qui n'est pas atteinte. Une borne supérieure n'est un maximum que si elle appartient à la partie : $\sup\,[0, 1[ = 1$ et $1 \notin [0, 1[$ .

Comment utiliser la partie entière d'un réel ?

La partie entière $\lfloor x \rfloor$ est l'unique entier $n$ tel que $n \leq x < n + 1$ ; on a aussi $x - 1 < \lfloor x \rfloor \leq x$ , et $\lfloor x + k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k$ pour tout entier $k$ . Pour un négatif non entier, on descend à l'entier inférieur : $\lfloor -3{,}7 \rfloor = -4$ . La partie entière n'est pas additive : pour $x = y = 0{,}6$ , $\lfloor x + y \rfloor = 1$ alors que $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor = 0$ . Pour résoudre une équation qui la contient, on pose $n$ la valeur de la partie entière et on écrit l'encadrement.

Comment montrer qu'une suite converge ?

Selon la forme de la suite : les opérations sur les limites (factoriser le terme dominant, quantité conjuguée) ; le théorème d'encadrement, si $v_n \leq u_n \leq w_n$ avec $v_n$ et $w_n$ de même limite $\ell$ ; une majoration $\lvert u_n - \ell \rvert \leq v_n$ avec $v_n \to 0$ ; le théorème de la limite monotone ; les suites adjacentes. Le théorème d'encadrement donne l'existence de la limite, alors que le passage à la limite dans une inégalité la suppose : on montre toujours que la limite existe avant de la calculer.

Que dit le théorème de la limite monotone ?

Une suite croissante et majorée converge, vers la borne supérieure de l'ensemble de ses termes ; une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ ; de même, une suite décroissante et minorée converge. Le théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur : la suite $\left(1 - \frac1n\right)$ est croissante, majorée par $2$ , et tend vers $1$ . Pour trouver la limite, on passe ensuite à la limite dans une relation qui lie les termes.

Quand deux suites sont-elles adjacentes ?

Deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et si $v_n - u_n \to 0$ . Elles convergent alors vers une même limite $\ell$ , et si $(u_n)$ croît et $(v_n)$ décroît, $u_n \leq \ell \leq v_n$ pour tout $n$ : on obtient un encadrement de $\ell$ à la précision $v_n - u_n$ . C'est le principe de la dichotomie : pour $f$ continue sur $[a, b]$ avec $f(a)f(b) \leq 0$ , elle approche une solution de $f(x) = 0$ avec des intervalles de longueur $\frac{b - a}{2^n}$ .

À quoi servent les suites extraites ?

Une suite extraite de $(u_n)$ s'écrit $(u_{\varphi(n)})$ , avec $\varphi$ strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ , comme $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ . Si $(u_n)$ tend vers $\ell$ , toutes ses suites extraites tendent vers $\ell$ : deux suites extraites de limites différentes prouvent donc la divergence, comme pour $((-1)^n)$ . Si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ ont la même limite $\ell$ , alors $u_n \to \ell$ . Le théorème de Bolzano-Weierstrass, selon lequel toute suite bornée a une suite extraite convergente, n'est au programme qu'en MPSI (Maroc et France) et en MP2I.

Comment étudier une suite arithmético-géométrique ?

Pour $u_{n+1} = au_n + b$ avec $a \neq 1$ , on cherche la solution constante $c = \frac{b}{1 - a}$ ; la suite $(u_n - c)$ est géométrique de raison $a$ , donc $u_n = c + a^n(u_0 - c)$ , et $u_n \to c$ si $-1 < a < 1$ . Ces suites sont au programme de toutes les classes sauf la TSI1 de France. Les récurrences linéaires d'ordre 2 $u_{n+2} = \alpha u_{n+1} + \beta u_n$ avec $\beta \neq 0$ , résolues par l'équation caractéristique $x^2 = \alpha x + \beta$ , et les suites complexes ne sont pas au programme de TSI1 et TPC1 en France.

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