Équations différentielles linéaires : premier ordre, second ordre, équation caractéristique, problème de Cauchy

Q: Comment résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre y' + ay = b ?

On se place sur un intervalle. Pour a constant, les solutions de y' + ay = 0 sont les x ↦ Ke^(-ax), K constante. Si a ≠ 0 et si b est une constante, la fonction constante (b)/(a) est solution particulière, et les solutions de y' + ay = b sont les x ↦ (b)/(a) + Ke^(-ax). Par exemple, les solutions de y' + 4y = 8 sont les 2 + Ke^(-4x) ; si a > 0, toutes tendent vers (b)/(a) en +∞, avec la constante de temps (1)/(a).

Q: Comment utiliser l'équation caractéristique d'une équation du second ordre ?

Pour y'' + ay' + by = 0 avec a et b réels, on écrit r^2 + ar + b = 0 et son discriminant Δ = a^2 - 4b. Si Δ > 0, de racines r_1 ≠ r_2, les solutions réelles sont K_1e^(r_1x) + K_2e^(r_2x) ; si Δ = 0, de racine double r, ce sont les (K_1x + K_2)e^(rx) ; si Δ 0) se résolvent de tête : Acos (ω x) + Bsin (ω x) et K_1e^(ω x) + K_2e^(-ω x).

Q: Comment trouver une solution particulière ?

On cherche une fonction de la forme du second membre. Pour Ae^(λ x) au second ordre, on cherche Ce^(λ x), multipliée par x si λ est racine simple de l'équation caractéristique et par x^2 si elle est racine double. Pour cos (ω x) ou sin (ω x), on cherche Ccos (ω x) + Dsin (ω x), ou l'on prend la partie réelle d'une solution pour e^(iω x) quand a et b sont réels ; si iω est racine (équation y'' + ω^2y), c'est la résonance et l'on multiplie par x. Une somme au second membre se traite terme à terme (principe de superposition). Le second membre polynôme-exponentielle R(x)e^(λ x), avec R polynôme, n'est au programme qu'au Maroc.

Q: Qu'est-ce que la méthode de variation de la constante ?

Elle résout y' + a(x)y = b(x) avec a et b continues sur un intervalle I. Les solutions de l'équation homogène sont les Ke^(-A(x)), A primitive de a ; on cherche alors y = K(x)e^(-A(x)), et il reste K'(x) = b(x)e^(A(x)), qu'on primitive. Elle est au programme au Maroc et, en France, en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI ; en TSI et TPC françaises, elle vient en deuxième année. Au second ordre, la variation des constantes (méthode de Lagrange) n'est au programme qu'en MPSI au Maroc.

Q: Quels sont les régimes d'un circuit RLC série ?

La tension u du condensateur vérifie LCu'' + RCu' + u = E, soit, sous forme canonique, u'' + (ω_0)/(Q)u' + ω_0^2u = ω_0^2E avec ω_0 = (1)/(√(LC)) et Q = (1)/(R)√((L)/(C)). Le discriminant de l'équation caractéristique vaut ω_0^2 ((1)/(Q^2) - 4 ) : le régime est apériodique si Q frac 12, avec la pseudo-pulsation ω_0√(1 - (1)/(4Q^2)). Dans les trois cas, la solution de l'équation homogène tend vers 0 et u tend vers E.

Équations différentielles linéaires du premier ordre et du second ordre à coefficients constants : structure des solutions, équation homogène, solution particulière selon la forme du second membre, problème de Cauchy, modélisation en physique ; selon la classe, premier ordre à coefficient variable et raccordement.

23méthodes
49exercices corrigés
4problèmes
22pièges
46figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Les solutions d'une équation différentielle linéaire sur un intervalle sont la somme d'une solution particulière et des solutions de l'équation homogène. Au premier ordre à coefficient constant, $y' + ay = 0$ a pour solutions $Ke^{-ax}$ ; au second ordre à coefficients constants réels, on résout $y'' + ay' + by = 0$ par l'équation caractéristique $r^2 + ar + b = 0$ , selon le signe de son discriminant. On cherche ensuite une solution particulière de la forme du second membre (exponentielle, cosinus, sinus), puis on fixe les constantes par les conditions initiales : c'est le problème de Cauchy. Le chapitre traite aussi la modélisation (circuits RC, LC et RLC, refroidissement, oscillateurs). Il est au programme de toutes les classes de maths sup (MPSI, PCSI, TSI1, MP2I, PTSI, TPC1), au Maroc comme en France ; le coefficient variable, la variation de la constante et le raccordement n'y sont étudiés que dans certaines classes. Ces équations reviennent dans les sujets du CNC et des concours français, en mathématiques comme en physique.

Ce que tu sauras faire

Une équation différentielle relie une fonction inconnue à ses dérivées. Les équations linéaires de ce chapitre décrivent la charge d'un condensateur, le refroidissement d'un corps, les oscillations d'un ressort ou d'un circuit : on les retrouve en physique, en chimie et en sciences industrielles dès les premières semaines. À la fin, tu dois savoir :

reconnaître une équation différentielle linéaire, son ordre, et fixer l'intervalle où on la résout ;
résoudre une équation du premier ordre à coefficient constant et une équation du second ordre à coefficients constants réels ;
trouver une solution particulière quand le second membre est une constante, une exponentielle, un cosinus ou un sinus, ou une somme de telles fonctions ;
résoudre un problème de Cauchy ;
mettre en équation un modèle physique simple, le résoudre et interpréter le résultat.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Structure des solutions

Équation linéaire : $y$ , $y'$ , $y''$ au premier degré seulement. On résout sur un intervalle.
Solutions de $(E)$ = une solution particulière + toutes les solutions de l'équation homogène $(H)$ .
Superposition : une solution pour $f_1$ plus une solution pour $f_2$ donnent une solution pour $f_1 + f_2$ .

À retenir Premier ordre à coefficient constant :

y' + ay = f(x)

$y' + ay = 0$ : $y = Ke^{-ax}$ , $K \in \mathbb{K}$ .
$y' + ay = b$ constant, $a \neq 0$ : $y = \frac{b}{a} + Ke^{-ax}$ ; si $a > 0$ , toutes les solutions tendent vers $\frac{b}{a}$ , avec la constante de temps $\tau = \frac{1}{a}$ .
Problème de Cauchy : une unique solution avec $y(x_0) = y_0$ ; deux solutions distinctes ne se croisent jamais.

Second membre	Forme cherchée
constante $b$ ( $a \neq 0$ )	la constante $\frac{b}{a}$
$Ae^{\lambda x}$ , $\lambda \neq -a$	$Ce^{\lambda x}$ , $C = \frac{A}{\lambda + a}$
$Ae^{\lambda x}$ , $\lambda = -a$	$Cxe^{\lambda x}$ , $C = A$
$A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)$ , $a$ réel	$C\cos(\omega x) + D\sin(\omega x)$

À retenir Second ordre à coefficients constants réels :

y'' + ay' + by = f(x)

Équation caractéristique $r^2 + ar + b = 0$ , $\Delta = a^2 - 4b$ ; polynôme caractéristique $P(r) = r^2 + ar + b$ .

Cas	Solutions réelles de l'équation homogène
$\Delta > 0$ , racines $r_1 \neq r_2$	$K_1e^{r_1x} + K_2e^{r_2x}$
$\Delta = 0$ , racine double $r$	$(K_1x + K_2)e^{rx}$
$\Delta < 0$ , racines $\alpha \pm i\beta$	$e^{\alpha x}\big(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)\big)$

Par cœur ( $\omega > 0$ ) : $y'' + \omega^2y = 0$ donne $A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)$ ; $y'' - \omega^2y = 0$ donne $K_1e^{\omega x} + K_2e^{-\omega x}$ .
Forme amplitude-phase : $A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x) = C\cos(\beta x - \varphi)$ , $C = \sqrt{A^2 + B^2}$ .
Avec $y = ze^{rx}$ : $y'' + ay' + by = \big(z'' + P'(r)z' + P(r)z\big)e^{rx}$ .

Second membre	Forme cherchée
$Ae^{\lambda x}$ , $\lambda$ non racine	$Ce^{\lambda x}$ , $C = \frac{A}{P(\lambda)}$
$Ae^{\lambda x}$ , $\lambda$ racine simple	$Cxe^{\lambda x}$ , $C = \frac{A}{P'(\lambda)}$
$Ae^{\lambda x}$ , $\lambda$ racine double	$Cx^2e^{\lambda x}$ , $C = \frac{A}{2}$
$\cos(\omega x)$ ou $\sin(\omega x)$ , $i\omega$ non racine	$C\cos(\omega x) + D\sin(\omega x)$ , ou partie réelle (imaginaire) de $\frac{e^{i\omega x}}{P(i\omega)}$
$\cos(\omega x)$ ou $\sin(\omega x)$ pour $y'' + \omega^2y$ (résonance)	$x\big(C\cos(\omega x) + D\sin(\omega x)\big)$

Problème de Cauchy : une unique solution avec $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = v_0$ , au même point.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Trouver une solution particulière pour un second membre exponentiel (second ordre)

Quand l’utiliser

$y'' + ay' + by = Ae^{\lambda x}$ avec $\lambda$ réel, ou une somme de tels termes.

Rappel de cours

Avec $P(r) = r^2 + ar + b$ : $\frac{A}{P(\lambda)}e^{\lambda x}$ si $P(\lambda) \neq 0$ ; $\frac{A}{P'(\lambda)}xe^{\lambda x}$ si $\lambda$ est racine simple ; $\frac{A}{2}x^2e^{\lambda x}$ si $\lambda$ est racine double.

Démarche

Calculer les racines de l'équation caractéristique et situer $\lambda$ : non racine, racine simple, racine double.
Écrire la forme $Ce^{\lambda x}$ , $Cxe^{\lambda x}$ ou $Cx^2e^{\lambda x}$ .
Trouver $C$ par la formule, ou en reportant dans l'équation ; contrôler en réinjectant.

Rédaction type

« Le réel $\lambda = \ldots$ est racine simple de l'équation caractéristique ; cherchons une solution particulière de la forme $x \mapsto Cxe^{\lambda x}$ . En reportant, on obtient $C = \ldots$ . »

Exemple traité

$y'' - 5y' + 6y = e^{2x}$ : les racines sont $2$ et $3$ , donc $2$ est racine simple et $P'(2) = 2 \times 2 - 5 = -1$ . La fonction $-xe^{2x}$ est solution particulière. Contrôle : avec $y = -xe^{2x}$ , $y' = -(1 + 2x)e^{2x}$ et $y'' = -(4 + 4x)e^{2x}$ , d'où $y'' - 5y' + 6y = (-4 - 4x + 5 + 10x - 6x)e^{2x} = e^{2x}$ .

Erreurs fréquentes

Chercher $Ce^{\lambda x}$ quand $\lambda$ est racine : on tombe sur « $0 = A$ ».
Oublier le $x^2$ pour une racine double.

Pour s’entraîner

Exercices 6, 8 et 17.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Second membre exponentiel : racine ou non ★☆☆

Résoudre sur $\mathbb{R}$ :

$y'' + 2y' + y = e^{2x}$ ;
$y'' + y' - 2y = e^{x}$ ;
$y'' - 4y' + 4y = 2e^{2x}$ .

Indications

Pour un second membre $Ae^{\lambda x}$ , regarder si $\lambda$ est racine de l'équation caractéristique : la solution particulière cherchée est $Ce^{\lambda x}$ , $Cxe^{\lambda x}$ ou $Cx^2e^{\lambda x}$ selon que $\lambda$ n'est pas racine, est racine simple ou racine double.

Correction détaillée

1. $r^2 + 2r + 1 = (r + 1)^2$ : racine double $-1$ , homogène $(K_1 x + K_2)e^{-x}$ . Comme $2$ n'est pas racine, on cherche $y = Ce^{2x}$ : $4C + 4C + C = 1$ , donc $C = \frac19$ . Solutions :

x \mapsto \frac{e^{2x}}{9} + (K_1 x + K_2)e^{-x}, \qquad (K_1, K_2) \in \mathbb{R}^2.

2. $r^2 + r - 2 = (r - 1)(r + 2)$ : racines $1$ et $-2$ . Le second membre $e^{x}$ correspond à la racine simple $1$ : on cherche $y = Cxe^{x}$ . Alors $y' = C(x + 1)e^x$ , $y'' = C(x + 2)e^x$ et

y'' + y' - 2y = C\big((x + 2) + (x + 1) - 2x\big)e^{x} = 3Ce^{x},

d'où $C = \frac13$ . Solutions : $x \mapsto \frac{x}{3}e^{x} + K_1 e^{x} + K_2 e^{-2x}$ , $(K_1, K_2) \in \mathbb{R}^2$ .

3. $r^2 - 4r + 4 = (r - 2)^2$ : $2$ est racine double. Les formes $Ce^{2x}$ et $Cxe^{2x}$ sont solutions de l'homogène : en les essayant, on obtiendrait $0 = 2e^{2x}$ . On cherche $y = Cx^2e^{2x}$ . Avec $y = z e^{2x}$ , on a $y'' - 4y' + 4y = z''e^{2x}$ (calcul du cours), donc il faut $z'' = 2$ : $z = x^2$ convient, et $C = 1$ . Solutions :

x \mapsto x^2e^{2x} + (K_1 x + K_2)e^{2x}, \qquad (K_1, K_2) \in \mathbb{R}^2.

Méthodes à retenir

La puissance de $x$ qui multiplie $Ce^{\lambda x}$ est la multiplicité de $\lambda$ comme racine : $0$ , $1$ ou $2$ . Si l'on oublie le facteur $x$ ou $x^2$ , le calcul aboutit à une égalité impossible, signe que la forme était mauvaise. Voir la méthode 8.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 23 méthodes, 22 pièges corrigés, la carte mentale, 49 exercices corrigés, 4 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Généralités
- 1.1 Vocabulaire
- 1.2 Structure de l'ensemble des solutions
2. Premier ordre à coefficient constant
- 2.1 Équation homogène
- 2.2 Solution particulière de la forme du second membre
- 2.3 Problème de Cauchy
- 2.4 Allure des solutions
3. Second ordre à coefficients constants réels
- 3.1 Équation caractéristique
- 3.2 Solutions réelles
- 3.3 Solution particulière
- 3.4 Problème de Cauchy
4. Exemples issus des autres disciplines
- 4.1 Systèmes du premier ordre
- 4.2 Oscillateur harmonique
- 4.3 Oscillateur amorti
- 4.4 Régime libre, régime forcé
5. Premier ordre à coefficient variable, raccordement, coefficients complexes, second membre polynôme
- 5.1 Équation homogène $y' + a(x)y = 0$
- 5.2 Variation de la constante
- 5.3 Problème de Cauchy
- 5.4 Équation $\alpha(x)y' + \beta(x)y = \gamma(x)$
- 5.5 Coefficients complexes au second ordre
- 5.6 Second membre polynôme
- 5.7 L'équation $y'' - \omega^2y = 0$ avec $\mathrm{ch}$ et $\mathrm{sh}$
- 5.8 Raccordement de solutions, solutions maximales
6. Second membre polynôme-exponentielle
7. Variation des constantes au second ordre (méthode de Lagrange)
- 7.1 La méthode
- 7.2 Expression intégrale pour $y'' + y = f$
- 7.3 Justification du problème de Cauchy

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Reconnaître une équation linéaire et appliquer la structure des solutions
Résoudre $y' + ay = 0$ et $y' + ay = b$ à coefficients constants
Trouver une solution particulière pour un second membre exponentiel (premier ordre)
Trouver une solution particulière pour un second membre trigonométrique (premier ordre)
Utiliser le principe de superposition
Résoudre un problème de Cauchy du premier ordre
Résoudre l'équation homogène du second ordre à coefficients réels
Trouver une solution particulière pour un second membre exponentiel (second ordre)
Traiter un second membre cosinus ou sinus au second ordre, reconnaître la résonance
Résoudre un problème de Cauchy du second ordre
Mettre en équation et résoudre un modèle du premier ordre
Mettre en équation et étudier un oscillateur du second ordre
Exploiter une équation fonctionnelle ou intégrale
Étudier le comportement des solutions sans tout recalculer
Résoudre $y' + a(x)y = 0$
Appliquer la variation de la constante
Résoudre $\alpha(x)y' + \beta(x)y = \gamma(x)$ sur un intervalle où $\alpha$ ne s'annule pas
Résoudre une équation du second ordre à coefficients complexes
Trouver une solution particulière polynomiale
Raccorder des solutions d'une équation du premier ordre
Utiliser un changement de fonction indiqué par l'énoncé
Trouver une solution particulière pour un second membre $R(x)e^{\lambda x}$
Résoudre $y'' + ay' + by = f$ par la méthode de Lagrange

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (20)

Premier ordre, seconds membres exponentiels
Seconds membres exponentiel et trigonométrique
Un problème de Cauchy où l'exposant est égal à −a
Équations homogènes du second ordre : les trois cas
Les deux équations à connaître par cœur
Second membre exponentiel : racine ou non
Seconds membres trigonométriques
Un problème de Cauchy du second ordre
Décharge puis charge d'un condensateur
Le refroidissement d'un café
Le ressort horizontal sans frottement
Une fonction égale à son intégrale, et l'exponentielle
Équation homogène et structure des solutions
Premier ordre à coefficient variable
Une équation à coefficients polynômes
Un problème de Cauchy avec la tangente
Seconds membres polynômes
Coefficients complexes
Variation de la constante et primitive non usuelle
Seconds membres polynôme-exponentielle

Entraînement (21)

La solution périodique d'une équation forcée
L'oscillateur sans frottement soumis à un forçage : résonance
Linéariser avant de résoudre
La forme dépend du second membre
Le circuit RLC série : trois régimes
Chute verticale avec frottement linéaire
Régime sinusoïdal forcé d'un circuit RC
Les fonctions dérivables telles que f(x + y) = f(x)f(y)
Les fonctions dérivables telles que f'(x) = f(λx)
L'unique solution de limite nulle
Retrouver l'équation à partir de ses solutions
Lire une constante de temps sur un relevé
Établissement du courant dans un circuit RL
Une famille d'oscillateurs : y'' + 2my' + y = 0
Raccordement : la forme des solutions change avec l'exposant
Un raccordement qui ne laisse qu'une solution
Résolution par intervalles, puis sur R
Un problème de Cauchy sur ]−1, 1[
Abaisser l'ordre : z = y'
Un second membre polynôme-trigonométrique, de deux façons
La méthode de Lagrange sur y'' + y = 1/cos x

Approfondissement (8)

Oscillateur amorti forcé : la résonance d'amplitude
Un second membre qui n'a pas de forme classique : y = e^{2x}z
Toutes les solutions bornées sur [0, +∞[
L'équation fonctionnelle f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y)
Une équation intégrale
L'unique solution périodique de y' + ay = f
Pourquoi la forme x^m S(x)e^{μx}
Deux méthodes pour une racine double

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

L'expression intégrale des solutions de y'' + y = f
CNC 2023, filière MP, Mathématiques I, problème, première partie, questions 1.1 à 1.4.3
Oscillateur, énergie et trajectoires bornées
Centrale-Supélec 2023, filière TSI, Mathématiques 2, partie I, questions Q1 à Q9, et partie II.A, question Q12 (sans le système différentiel)
Une équation de la forme y'' + y = f sur un intervalle ouvert
Banque PT 2024, filière PT, Mathématiques C, préambule, questions 2 (b) et 3 (e), et partie II, questions 1 à 4
Une équation à coefficients non constants guidée jusqu'au bout
CNC 2022, filière TSI, Mathématiques I, problème, deuxième et troisième parties, questions 2.1 à 3.3

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre y' + ay = b ?

On se place sur un intervalle. Pour $a$ constant, les solutions de $y' + ay = 0$ sont les $x \mapsto Ke^{-ax}$ , $K$ constante. Si $a \neq 0$ et si $b$ est une constante, la fonction constante $\frac{b}{a}$ est solution particulière, et les solutions de $y' + ay = b$ sont les $x \mapsto \frac{b}{a} + Ke^{-ax}$ . Par exemple, les solutions de $y' + 4y = 8$ sont les $2 + Ke^{-4x}$ ; si $a > 0$ , toutes tendent vers $\frac{b}{a}$ en $+\infty$ , avec la constante de temps $\frac{1}{a}$ .

Comment utiliser l'équation caractéristique d'une équation du second ordre ?

Pour $y'' + ay' + by = 0$ avec $a$ et $b$ réels, on écrit $r^2 + ar + b = 0$ et son discriminant $\Delta = a^2 - 4b$ . Si $\Delta > 0$ , de racines $r_1 \neq r_2$ , les solutions réelles sont $K_1e^{r_1x} + K_2e^{r_2x}$ ; si $\Delta = 0$ , de racine double $r$ , ce sont les $(K_1x + K_2)e^{rx}$ ; si $\Delta < 0$ , de racines $\alpha \pm i\beta$ , ce sont les $e^{\alpha x}\big(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)\big)$ . Les équations $y'' + \omega^2y = 0$ et $y'' - \omega^2y = 0$ ( $\omega > 0$ ) se résolvent de tête : $A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)$ et $K_1e^{\omega x} + K_2e^{-\omega x}$ .

Comment trouver une solution particulière ?

On cherche une fonction de la forme du second membre. Pour $Ae^{\lambda x}$ au second ordre, on cherche $Ce^{\lambda x}$ , multipliée par $x$ si $\lambda$ est racine simple de l'équation caractéristique et par $x^2$ si elle est racine double. Pour $\cos(\omega x)$ ou $\sin(\omega x)$ , on cherche $C\cos(\omega x) + D\sin(\omega x)$ , ou l'on prend la partie réelle d'une solution pour $e^{i\omega x}$ quand $a$ et $b$ sont réels ; si $i\omega$ est racine (équation $y'' + \omega^2y$ ), c'est la résonance et l'on multiplie par $x$ . Une somme au second membre se traite terme à terme (principe de superposition). Le second membre polynôme-exponentielle $R(x)e^{\lambda x}$ , avec $R$ polynôme, n'est au programme qu'au Maroc.

Qu'est-ce que la méthode de variation de la constante ?

Elle résout $y' + a(x)y = b(x)$ avec $a$ et $b$ continues sur un intervalle $I$ . Les solutions de l'équation homogène sont les $Ke^{-A(x)}$ , $A$ primitive de $a$ ; on cherche alors $y = K(x)e^{-A(x)}$ , et il reste $K'(x) = b(x)e^{A(x)}$ , qu'on primitive. Elle est au programme au Maroc et, en France, en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI ; en TSI et TPC françaises, elle vient en deuxième année. Au second ordre, la variation des constantes (méthode de Lagrange) n'est au programme qu'en MPSI au Maroc.

Qu'est-ce qu'un problème de Cauchy ?

C'est l'équation accompagnée de conditions initiales en un même point $x_0$ de l'intervalle : $y(x_0) = y_0$ au premier ordre, $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = v_0$ au second ordre. Pour $y' + a(x)y = b(x)$ (coefficient constant en TSI1 et TPC1 de France) ou $y'' + ay' + by = f(x)$ , coefficients et second membre continus sur l'intervalle, il a une unique solution. On écrit d'abord la solution générale complète, solution particulière comprise, puis on fixe les constantes. Par exemple, pour $y' + 3y = 6$ et $y(0) = 5$ , les solutions $2 + Ke^{-3x}$ donnent $K = 3$ . Des conditions en deux points différents ne relèvent pas de ce théorème.

Quels sont les régimes d'un circuit RLC série ?

La tension $u$ du condensateur vérifie $LCu'' + RCu' + u = E$ , soit, sous forme canonique, $u'' + \frac{\omega_0}{Q}u' + \omega_0^2u = \omega_0^2E$ avec $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ . Le discriminant de l'équation caractéristique vaut $\omega_0^2\big(\frac{1}{Q^2} - 4\big)$ : le régime est apériodique si $Q < \frac12$ , critique si $Q = \frac12$ , pseudo-périodique si $Q > \frac12$ , avec la pseudo-pulsation $\omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}$ . Dans les trois cas, la solution de l'équation homogène tend vers $0$ et $u$ tend vers $E$ .

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.