Techniques de calcul en analyse : fonctions usuelles, dérivées, primitives, intégration par parties

Q: Quelles sont les primitives usuelles à connaître ?

Sur un intervalle où elles ont un sens : x^α a pour primitive (x^(α + 1))/(α + 1) pour α ≠ -1 ; (1)/(x) a pour primitive lnlvert xrvert ; e^(λ x) a pour primitive (e^(λ x))/(λ) pour λ ≠ 0 ; cos et sin ont pour primitives sin et -cos ; (1)/(1 + x^2) a pour primitive arctan x, et (1)/(√(1 - x^2)) a pour primitive arcsin x sur ]-1, 1[. Pour les formes composées, une primitive de (u')/(u) est lnlvert urvert et une primitive de u'e^u est e^u. Contrôle toujours une primitive en la dérivant.

Q: Comment faire une intégration par parties ?

Pour u et v de classe C^1 sur [a, b] : ∫_a^b u'(t)v(t) dt = [u(t)v(t) ]_a^b - ∫_a^b u(t)v'(t) dt. On dérive la fonction qui se simplifie (un polynôme, ln, arctan) et l'on intègre l'autre. Par exemple ∫_0^1 xe^x dx = [xe^x ]_0^1 - ∫_0^1 e^x dx = 1. Pour e^(ax)cos (bx), deux intégrations par parties dans le même sens font réapparaître l'intégrale de départ.

Q: Comment faire un changement de variable dans une intégrale ?

Pour φ de classe C^1 sur I et f continue sur φ (I) : ∫_(φ (a))^(φ (b)) f(x) dx = ∫_a^b f(φ (t))φ'(t) dt. En pratique, on pose x = φ (t), on écrit dx = φ'(t) dt et l'on remplace tout : la variable, dx et les deux bornes. Avec x = sin t, on obtient ainsi ∫_0^1√(1 - x^2) dx = (π)/(4), l'aire d'un quart de disque.

Q: Quelle est la dérivée de arctan, arcsin et arccos ?

arctan'(x) = (1)/(1 + x^2) sur R ; arcsin'(x) = (1)/(√(1 - x^2)) et arccos'(x) = -(1)/(√(1 - x^2)) sur ]-1, 1[ seulement : en ± 1, les courbes ont des tangentes verticales. Ces formules viennent de la dérivée d'une réciproque, (f^(-1))' = (1)/(f' ∘ f^(-1)). Attention : arcsin (sin x) = x n'est vrai que pour x ∈ [-(π)/(2), (π)/(2) ], et arctan x + arctan (1)/(x) vaut (π)/(2) si x > 0 mais -(π)/(2) si x < 0.

Q: Comment trouver une primitive de 1/(ax² + bx + c) ?

On regarde le discriminant Δ. Si Δ > 0, on factorise et l'on décompose en deux termes, d'où deux logarithmes. Si Δ = 0, ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2 et une primitive est -(1)/(a(x - x_0)) sur un intervalle qui ne contient pas x_0. Si Δ 0). Pour (α x + β)/(ax^2 + bx + c), on fait d'abord apparaître la dérivée du dénominateur, qui donne un logarithme.

Généralités sur les fonctions, dérivation pratique, exponentielle, logarithme et puissances, fonctions circulaires réciproques et hyperboliques, calcul de primitives, intégration par parties et changement de variable.

23méthodes
46exercices corrigés
4problèmes
21pièges
46figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Pour calculer une intégrale, on cherche une primitive sur un intervalle, puis $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)$ . On reconnaît d'abord une forme usuelle ou une dérivée de composée ( $u'u^\alpha$ , $\frac{u'}{u}$ , $u'e^u$ , $\frac{u'}{1 + u^2}$ ) ; sinon on intègre par parties, $\int_a^b u'v = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b uv'$ pour $u$ et $v$ de classe $C^1$ , ou l'on change de variable, en remplaçant la variable, $\mathrm{d}x$ et les bornes. Le chapitre rassemble aussi l'étude d'une fonction (domaine, dérivée d'une composée, tableau de variations, inégalités), l'exponentielle, le logarithme et les puissances réelles, et les fonctions circulaires réciproques $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ . Il est au programme de toutes les classes de maths sup (MPSI, PCSI, TSI1, MP2I, PTSI, TPC1), au Maroc comme en France ; les fonctions hyperboliques n'y sont étudiées que dans certaines classes. Ces calculs reviennent dans tous les sujets du CNC et des concours français.

Ce que tu sauras faire

Ce chapitre rassemble les techniques de calcul dont l'analyse, la physique et la chimie ont besoin dès les premières semaines : étudier une fonction, dériver, connaître les fonctions usuelles, trouver une primitive, calculer une intégrale. Le point de vue est pratique : plusieurs résultats sont admis ici et démontrés dans les chapitres d'analyse qui suivent. À la fin, tu dois savoir :

déterminer un ensemble de définition, réduire un domaine d'étude, tracer un graphe à partir d'un graphe connu ;
dériver une composée en précisant où elle est dérivable, mener l'étude complète d'une fonction, démontrer une inégalité ou chercher un extremum par une étude de fonction ;
manipuler l'exponentielle, les logarithmes et les puissances réelles, lever une forme indéterminée par croissances comparées ;
utiliser $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ : définitions, dérivées, graphes, relations ;
reconnaître une primitive, primitiver $\frac{1}{ax^2 + bx + c}$ et $e^{ax}\cos(bx)$ , intégrer par parties, changer de variable ;
pour les classes concernées, calculer avec les fonctions hyperboliques.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Généralités

Ensemble de définition : une condition par opération (dénominateur $\neq 0$ , radicande $\geq 0$ , argument de $\ln$ strictement positif, argument de $\arcsin$ et $\arccos$ dans $[-1, 1]$ ).
Graphes : $f(x) + a$ translation verticale ; $f(x + a)$ translation de $-a$ horizontalement ; $f(a - x)$ symétrie d'axe $x = \frac{a}{2}$ ; $f(ax)$ contraction horizontale ; $af(x)$ dilatation verticale.
Paire : symétrie d'axe $(Oy)$ ; impaire : symétrie de centre $O$ ; $T$ -périodique : étude sur une période, puis sur $[0, \frac{T}{2}]$ si de plus paire ou impaire.
$f$ bornée $\iff$ $\lvert f\rvert$ majorée ; $\max(f, g) = \frac{f + g + \lvert f - g\rvert}{2}$ .

À retenir Dérivation

Tangente en $a$ : $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ .
$(uv)' = u'v + uv'$ , $\big(\frac{u}{v}\big)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ , $(g \circ u)' = u' \times (g' \circ u)$ .
$(u^\alpha)' = \alpha u'u^{\alpha - 1}$ ( $u > 0$ si $\alpha$ n'est pas entier), $(e^u)' = u'e^u$ , $(\ln\lvert u\rvert)' = \frac{u'}{u}$ ( $u \neq 0$ ), $(\sqrt u)' = \frac{u'}{2\sqrt u}$ ( $u > 0$ ).
Sur un intervalle : $f' = 0 \iff f$ constante ; $f' \geq 0 \iff f$ croissante ; $f' > 0$ sauf en un nombre fini de points $\Rightarrow f$ strictement croissante.
Réciproque d'une bijection continue strictement monotone $f : I \to J$ : graphe symétrique par rapport à $y = x$ ; $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ en tout $y$ tel que $f'(f^{-1}(y)) \neq 0$ .
$(e^{ax})^{(n)} = a^ne^{ax}$ , $\sin^{(n)}(x) = \sin(x + n\frac{\pi}{2})$ , $\big(\frac{1}{x - a}\big)^{(n)} = \frac{(-1)^nn!}{(x - a)^{n+1}}$ .
$\varphi$ à valeurs complexes : $(e^{\varphi})' = \varphi'e^{\varphi}$ .

À retenir Exponentielle, logarithmes, puissances

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ , $\ln' = \frac{1}{x}$ ; $\exp' = \exp$ ; $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ .
$x^\alpha = e^{\alpha\ln x}$ pour $x > 0$ ; $a^b = e^{b\ln a}$ seulement si $a > 0$ ; $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ , $(a^x)' = (\ln a)\,a^x$ .
Croissances comparées ( $\alpha, \beta > 0$ ) : $\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} \to 0$ et $\frac{x^\alpha}{e^{\beta x}} \to 0$ en $+\infty$ ; $x^\alpha\lvert\ln x\rvert^\beta \to 0$ en $0^+$ .
En $0$ : $\frac{\ln(1 + x)}{x} \to 1$ , $\frac{e^x - 1}{x} \to 1$ , $\frac{\sin x}{x} \to 1$ , $\frac{\cos x - 1}{x^2} \to -\frac{1}{2}$ .
$e^x \geq 1 + x$ pour tout réel $x$ ; $\ln(1 + x) \leq x$ pour $x > -1$ .

À retenir Fonctions circulaires réciproques

	$\arcsin$	$\arccos$	$\arctan$
Définie sur	$[-1, 1]$	$[-1, 1]$	$\mathbb{R}$
À valeurs dans	$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$	$[0, \pi]$	$]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$
Dérivée	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ sur $]-1, 1[$	$-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ sur $]-1, 1[$	$\frac{1}{1 + x^2}$
Parité	impaire	$\arccos(-x) = \pi - \arccos x$	impaire

$\tan' = 1 + \tan^2 = \frac{1}{\cos^2}$ .
$\sin(\arcsin x) = x$ sur $[-1, 1]$ ; $\arcsin(\sin\theta) = \theta$ seulement sur $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ (sur $[0, \pi]$ pour $\arccos$ , sur $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ pour $\arctan$ ).
$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ ; $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ si $x > 0$ , $-\frac{\pi}{2}$ si $x < 0$ .
$\cos(\arcsin x) = \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$ ; $\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ , $\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Intégrer par parties

Quand l’utiliser

Un produit d'un polynôme et d'une exponentielle, d'un sinus ou d'un cosinus ; un $\ln$ , un $\arctan$ , un $\arcsin$ à faire disparaître ; une relation de récurrence entre intégrales $I_n$ et $I_{n-1}$ .

Rappel de cours

Pour $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[a, b]$ : $\int_a^b u'v = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b uv'$ .

Démarche

Choisir $v$ , la fonction que l'on dérive (elle doit se simplifier : polynôme, $\ln$ , $\arctan$ ) et $u'$ , celle que l'on intègre (elle doit avoir une primitive simple).
Écrire $u$ , $u'$ , $v$ , $v'$ et justifier qu'elles sont de classe $C^1$ .
Appliquer la formule en une suite d'égalités ; recommencer si le degré du polynôme n'est pas nul.
Pour une récurrence, faire apparaître $I_{n-1}$ (ou $I_{n+1}$ ) dans l'intégrale restante.

Rédaction type

« Posons $u'(t) = \ldots$ , $u(t) = \ldots$ , $v(t) = \ldots$ , $v'(t) = \ldots$ ; $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $[a, b]$ . Par intégration par parties, $\int_a^b \ldots = \big[\ldots\big]_a^b - \int_a^b \ldots = \ldots$ . »

Exemple traité

$\int_0^1 x^2e^x\,\mathrm{d}x$ : avec $v = x^2$ et $u' = e^x$ (fonctions de classe $C^1$ sur $[0, 1]$ ), on obtient

\int_0^1 x^2e^x\,\mathrm{d}x = \big[x^2e^x\big]_0^1 - 2\int_0^1 xe^x\,\mathrm{d}x = e - 2\int_0^1 xe^x\,\mathrm{d}x .

Une seconde intégration par parties donne

\int_0^1 xe^x\,\mathrm{d}x = \big[xe^x\big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = e - (e - 1) = 1 .

Donc $\int_0^1 x^2e^x\,\mathrm{d}x = e - 2 \approx 0{,}72$ , valeur positive et inférieure à $e$ , comme attendu pour une fonction comprise entre $0$ et $e$ sur $[0, 1]$ .

Erreurs fréquentes

Choisir les rôles à l'envers (intégrer le polynôme) : l'intégrale restante se complique.
Une suite de calculs sans signes d'égalité, ou des notations intermédiaires sans lien : un rapport de jury rappelle qu'un calcul est une suite d'égalités.
Oublier le crochet ou se tromper de signe devant l'intégrale restante.

Pour s’entraîner

Exercices 15, 30, 32, 33, 39 et 40.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Primitives par reconnaissance ★☆☆

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes en précisant sur quel intervalle elle est valable.

$t\,e^{t^2}$ ; 2. $\tan t$ ; 3. $\dfrac{1}{t\ln t}$ ; 4. $\dfrac{t^2}{1 + t^3}$ ; 5. $\dfrac{\arctan^2 t}{1 + t^2}$ ; 6. $\dfrac{1}{\sqrt{4 - t^2}}$ ; 7. $\dfrac{1}{t^2 + 9}$ ; 8. $e^{3t}$ .

Indications

Chercher dans l'expression une fonction $u$ et sa dérivée $u'$ : formes $u'e^u$ , $\frac{u'}{u}$ , $u'u^n$ , $\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$ , $\frac{u'}{1 + u^2}$ . Contrôler chaque résultat en le dérivant.

Correction détaillée

1. Forme $\frac12u'e^u$ avec $u = t^2$ : $\frac12e^{t^2}$ sur $\mathbb{R}$ .

2. $\tan t = -\frac{-\sin t}{\cos t}$ , forme $-\frac{u'}{u}$ avec $u = \cos t$ : $-\ln\lvert\cos t\rvert$ sur chaque intervalle $\big]-\frac\pi2 + k\pi, \frac\pi2 + k\pi\big[$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

3. Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u = \ln t$ , $u' = \frac1t$ : $\ln\lvert\ln t\rvert$ sur $]0, 1[$ et sur $]1, +\infty[$ .

4. Forme $\frac13\frac{u'}{u}$ avec $u = 1 + t^3$ : $\frac13\ln\lvert 1 + t^3\rvert$ sur $]-\infty, -1[$ et sur $]-1, +\infty[$ .

5. Forme $u'u^2$ avec $u = \arctan t$ : $\frac13\arctan^3 t$ sur $\mathbb{R}$ .

6. $\frac{1}{\sqrt{4 - t^2}} = \frac{1/2}{\sqrt{1 - (t/2)^2}}$ , forme $\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$ avec $u = \frac t2$ : $\arcsin\frac t2$ sur $]-2, 2[$ .

7. $\frac{1}{t^2 + 9} = \frac19\,\frac{1}{1 + (t/3)^2}$ , forme $\frac13\,\frac{u'}{1 + u^2}$ avec $u = \frac t3$ : $\frac13\arctan\frac t3$ sur $\mathbb{R}$ .

8. $\frac13e^{3t}$ sur $\mathbb{R}$ .

Contrôle sur 2 : $\big(-\ln\lvert\cos t\rvert\big)' = -\frac{-\sin t}{\cos t} = \tan t$ .

Méthodes à retenir

Une primitive se donne toujours sur un intervalle : quand la fonction est définie sur une réunion d'intervalles, on travaille sur chacun séparément, avec la valeur absolue dans le logarithme. Dériver le résultat est le meilleur contrôle. Voir la méthode 15.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 23 méthodes, 21 pièges corrigés, la carte mentale, 46 exercices corrigés, 4 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Généralités sur les fonctions
- 1.1 Ensemble de définition, graphe
- 1.2 Transformations du graphe
- 1.3 Parité, périodicité, réduction du domaine d'étude
- 1.4 Opérations sur les fonctions
- 1.5 Monotonie, fonctions bornées, extremums
2. Dérivation, point de vue pratique
- 2.1 Dérivée, tangente
- 2.2 Opérations et dérivée d'une composée
- 2.3 Dérivée et variations
- 2.4 Plan d'étude d'une fonction
- 2.5 Inégalités et optimisation
- 2.6 Fonction réciproque
- 2.7 Fonctions de classe $C^1$ , dérivées successives
- 2.8 Fonctions à valeurs complexes
3. Exponentielle, logarithme, puissances
- 3.1 Logarithme népérien et exponentielle
- 3.2 Logarithmes de base $a$
- 3.3 Puissances réelles
- 3.4 Croissances comparées
- 3.5 Deux inégalités fondamentales
- 3.6 Racine carrée, valeur absolue, partie entière
4. Fonctions circulaires et leurs réciproques
- 4.1 Rappels sur $\sin$ , $\cos$ et $\tan$
- 4.2 Arcsinus
- 4.3 Arccosinus
- 4.4 Arctangente
- 4.5 Relations entre les fonctions et leurs réciproques
5. Calcul de primitives
- 5.1 Primitives sur un intervalle
- 5.2 Intégrale et primitive
- 5.3 Primitives usuelles
- 5.4 Reconnaître une dérivée composée
- 5.5 Exponentielles complexes, $e^{ax}\cos(bx)$ et $e^{ax}\sin(bx)$
- 5.6 Primitives de $\frac{1}{ax^2 + bx + c}$
- 5.7 Puissances de sinus et de cosinus
6. Calcul d'intégrales
- 6.1 Intégration par parties
- 6.2 Changement de variable
- 6.3 Changements de variable affines
7. Fonctions hyperboliques
- 7.1 Cosinus et sinus hyperboliques
- 7.2 Tangente hyperbolique
- 7.3 Formules d'addition hyperboliques
- 7.4 Fonctions hyperboliques réciproques

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction
Réduire le domaine d'étude et tracer un graphe par transformations
Dériver une composée et préciser le domaine de dérivabilité
Mener l'étude complète d'une fonction
Démontrer une inégalité par l'étude d'une fonction
Chercher un extremum global (optimisation)
Montrer qu'une fonction est bijective et dériver sa réciproque
Calculer une dérivée $n$ -ième simple
Dériver une fonction à valeurs complexes
Manipuler exponentielle, logarithme et puissances
Lever une forme indéterminée par croissances comparées
Calculer avec arcsin, arccos et arctan
Démontrer une identité entre réciproques circulaires
Résoudre une équation avec des réciproques circulaires
Reconnaître une primitive usuelle ou composée
Primitiver une fraction dont le dénominateur est du second degré
Primitiver $e^{ax}\cos(bx)$ et $e^{ax}\sin(bx)$
Primitiver un produit de puissances de sinus et de cosinus
Intégrer par parties
Changer de variable dans une intégrale
Calculer avec ch et sh
Étudier et utiliser la tangente hyperbolique
Exprimer argsh, argch, argth par des logarithmes et les dériver

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (17)

Ensembles de définition
Graphes par transformations
Parité, périodicité, réduction du domaine d'étude
Dérivées et domaines de dérivabilité
Plan d'étude d'une fonction rationnelle
Deux inégalités classiques
Équations et simplifications
Limites par croissances comparées
Dérivées n-ièmes
Fonctions à valeurs complexes
Valeurs et composées
La relation arcsin x + arccos x = π/2
Tangente et arctangente
Primitives par reconnaissance
Premières intégrations par parties
Premiers changements de variable
Calculs avec ch et sh

Entraînement (22)

La fonction ln x / x
L'équation 3^x + 4^x = 5^x
La fonction (1 + 1/x)^x
Le plus grand rectangle sous une parabole
Étude de sin⁴ x + cos⁴ x
Une fonction homographique
La réciproque de x + e^x
Les dents de scie arccos(cos x) et arcsin(sin x)
La fonction arccos(2x² − 1) et l'angle moitié
L'égalité arcsin(x/√(1 + x²)) = arctan x
La somme arctan x + arctan(1/x)
Deux équations avec des réciproques
Fractions du second degré
L'intégrale de e^x cos x de deux façons
Puissances de sinus et de cosinus
Intégrations par parties répétées
Une relation de récurrence par intégration par parties
L'intégrale de √(1 − t²) et le quart de disque
Étude de ch et sh
La fonction arctan(sh x)
La tangente hyperbolique
Les fonctions argsh, argch, argth par des logarithmes

Approfondissement (7)

La formule de arctan a + arctan b
Une somme télescopique d'arctangentes et la formule de Machin
L'intégrale de ln(1 + tan t) sur [0, π/4]
L'intégrale de t sin t / (1 + cos² t) sur [0, π]
Les intégrales J_q et une relation de récurrence
Les intégrales de Wallis
La relation argth a + argth b

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Primitives par décomposition et par parties
CNC 2022, filière TSI, Mathématiques I, problème, première partie, questions 1.1 à 1.4, et exercice 2, question 2.4
Une intégrale à paramètre et l'arctangente
CNC 2025, filière MP, Mathématiques 1, exercice, questions 2 b à 2 e, intégrales sur [0, +∞[ remplacées par des intégrales sur un segment [0, A]
La fonction x puissance x
CCINP 2021, filière TSI, Mathématiques, problème 1, partie I, questions Q1 à Q3, Q5 et Q6, et partie II, questions Q7 à Q10
Arctangente, angle moitié et une intégrale à paramètre
Banque PT 2019, Mathématiques C, préambule, questions 1 et 2 a à 2 c, partie I, question 1 c, et partie II, questions 1, 4 et 5

Questions fréquentes

Quelles sont les primitives usuelles à connaître ?

Sur un intervalle où elles ont un sens : $x^\alpha$ a pour primitive $\frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1}$ pour $\alpha \neq -1$ ; $\frac{1}{x}$ a pour primitive $\ln\lvert x\rvert$ ; $e^{\lambda x}$ a pour primitive $\frac{e^{\lambda x}}{\lambda}$ pour $\lambda \neq 0$ ; $\cos$ et $\sin$ ont pour primitives $\sin$ et $-\cos$ ; $\frac{1}{1 + x^2}$ a pour primitive $\arctan x$ , et $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ a pour primitive $\arcsin x$ sur $]-1, 1[$ . Pour les formes composées, une primitive de $\frac{u'}{u}$ est $\ln\lvert u\rvert$ et une primitive de $u'e^u$ est $e^u$ . Contrôle toujours une primitive en la dérivant.

Comment faire une intégration par parties ?

Pour $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[a, b]$ : $\int_a^b u'(t)v(t)\,\mathrm{d}t = \big[u(t)v(t)\big]_a^b - \int_a^b u(t)v'(t)\,\mathrm{d}t$ . On dérive la fonction qui se simplifie (un polynôme, $\ln$ , $\arctan$ ) et l'on intègre l'autre. Par exemple $\int_0^1 xe^x\,\mathrm{d}x = \big[xe^x\big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = 1$ . Pour $e^{ax}\cos(bx)$ , deux intégrations par parties dans le même sens font réapparaître l'intégrale de départ.

Comment faire un changement de variable dans une intégrale ?

Pour $\varphi$ de classe $C^1$ sur $I$ et $f$ continue sur $\varphi(I)$ : $\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$ . En pratique, on pose $x = \varphi(t)$ , on écrit $\mathrm{d}x = \varphi'(t)\,\mathrm{d}t$ et l'on remplace tout : la variable, $\mathrm{d}x$ et les deux bornes. Avec $x = \sin t$ , on obtient ainsi $\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{4}$ , l'aire d'un quart de disque.

Quelle est la dérivée de arctan, arcsin et arccos ?

$\arctan'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ sur $\mathbb{R}$ ; $\arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ et $\arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ sur $]-1, 1[$ seulement : en $\pm 1$ , les courbes ont des tangentes verticales. Ces formules viennent de la dérivée d'une réciproque, $(f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}$ . Attention : $\arcsin(\sin x) = x$ n'est vrai que pour $x \in \big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big]$ , et $\arctan x + \arctan\frac{1}{x}$ vaut $\frac{\pi}{2}$ si $x > 0$ mais $-\frac{\pi}{2}$ si $x < 0$ .

Comment trouver une primitive de 1/(ax² + bx + c) ?

On regarde le discriminant $\Delta$ . Si $\Delta > 0$ , on factorise et l'on décompose en deux termes, d'où deux logarithmes. Si $\Delta = 0$ , $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$ et une primitive est $-\frac{1}{a(x - x_0)}$ sur un intervalle qui ne contient pas $x_0$ . Si $\Delta < 0$ , on écrit la forme canonique : par exemple $x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4$ , et une primitive de $\frac{1}{x^2 + 2x + 5}$ sur $\mathbb{R}$ est $\frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2}$ , car une primitive de $\frac{1}{u^2 + k^2}$ est $\frac{1}{k}\arctan\frac{u}{k}$ ( $k > 0$ ). Pour $\frac{\alpha x + \beta}{ax^2 + bx + c}$ , on fait d'abord apparaître la dérivée du dénominateur, qui donne un logarithme.

Que faut-il savoir sur les fonctions ch et sh ?

Elles sont au programme au Maroc et, en France, en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI, pas en TSI1 ni en TPC1. Par définition $\mathrm{ch}\,x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ et $\mathrm{sh}\,x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ ; on a $\mathrm{ch}^2 x - \mathrm{sh}^2 x = 1$ , $\mathrm{ch}' = \mathrm{sh}$ et $\mathrm{sh}' = \mathrm{ch}$ , sans signe moins. La tangente hyperbolique $\mathrm{th}$ s'ajoute au Maroc et en MPSI et MP2I ; les réciproques $\operatorname{argsh}$ , $\operatorname{argch}$ , $\operatorname{argth}$ , par exemple $\operatorname{argsh} x = \ln\big(x + \sqrt{x^2 + 1}\big)$ , ne sont au programme qu'au Maroc.

Comment y accéder

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