Suites récurrentes : intervalle stable, point fixe, monotonie, convergence et vitesse de convergence

Q: Comment montrer qu'une suite récurrente est bien définie ?

On cherche un intervalle stable J qui contient u_0, c'est-à-dire tel que f(J) ⊂ J, puis on montre par récurrence, initialisée au rang 0, que u_n ∈ J pour tout n. Une récurrence dite « évidente » ne suffit pas. Sans intervalle stable, la suite peut cesser d'exister : avec u_0 = 2 et u_(n+1) = ln u_n, on trouve u_2 = ln (ln 2) < 0, et u_3 n'est pas défini.

Q: Comment trouver la limite d'une suite u(n+1) = f(u(n)) ?

Si la suite converge vers un réel ell de l'intervalle où l'on travaille et si f est continue en ell, alors f(ell) = ell : la limite est un point fixe de f. Il faut d'abord établir la convergence, par exemple par la monotonie, puis situer la limite et choisir le bon point fixe. Passer à la limite avant de savoir que la suite converge mène à des erreurs : pour u_(n+1) = 2u_n et u_0 = 1, « ell = 2ell » donnerait 0, alors que u_n = 2^n tend vers +∞.

Q: Si f est croissante, la suite est-elle croissante ?

Pas forcément. Si f est croissante sur un intervalle stable, la suite est monotone : croissante si u_0 ≤ u_1, décroissante si u_0 ≥ u_1. Le sens dépend de la position de u_0 par rapport aux points fixes, ou du signe de f(x) - x. Avec f(x) = √(2x + 3), la suite issue de 0 croît vers 3, celle issue de 6 décroît vers 3.

Q: Que faire quand f est décroissante ?

En général, la suite n'est pas monotone : ses termes alternent autour d'un point fixe (escargot). Sur un intervalle stable, la fonction f ∘ f est croissante, et les suites (u_(2n)) et (u_(2n+1)) sont monotones, de sens contraires. Si elles ont la même limite, la suite converge et sa limite est encadrée par deux termes consécutifs ; sinon, elle s'approche d'un cycle d'ordre 2. Quand on résout f(f(x)) = x, il faut trier les solutions : toutes ne sont pas des points fixes de f.

Q: Comment prouver la convergence avec l'inégalité des accroissements finis ?

Si J est un intervalle stable qui contient u_0 et un point fixe ell et si lvert f'(x)rvert ≤ k < 1 pour tout x ∈ J, l'inégalité des accroissements finis donne lvert u_(n+1) - ellrvert ≤ klvert u_n - ellrvert, puis lvert u_n - ellrvert ≤ k^nlvert u_0 - ellrvert : la suite converge vers ell, qui est le seul point fixe de f dans J. La constante k doit être la même pour tous les points : une dérivée de valeur absolue strictement inférieure à 1 en chaque point ne suffit pas.

Q: Qu'est-ce que la vitesse de convergence d'une suite récurrente ?

Elle mesure le nombre d'itérations nécessaires pour une précision donnée. Une convergence géométrique vérifie lvert u_n - ellrvert ≤ Ck^n avec k < 1 ; une convergence quadratique vérifie lvert u_(n+1) - ellrvert ≤ λlvert u_n - ellrvert^2, et le nombre de décimales exactes double à peu près à chaque pas ; une convergence lente, comme celle de u_(n+1) = sin u_n vers 0, n'admet aucune majoration géométrique. Pour une précision ε, on cherche n tel que k^nD ≤ ε, où D majore lvert u_0 - ellrvert.

Q: Qu'est-ce que la méthode de Héron ?

Pour approcher √ a, avec a > 0, on itère x_(n+1) = frac 12 (x_n + (a)/(x_n) ) à partir de x_0 > 0. L'identité x_(n+1) - √ a = ((x_n - √ a)^2)/(2x_n) montre que x_n ≥ √ a dès n ≥ 1, que la suite décroît ensuite et que la convergence est quadratique. Avec a = 5 et x_0 = 2, x_3 = (51841)/(23184) approche √ 5 à moins de 10^(-9) près.

Q: Un point fixe attire-t-il toujours les termes de la suite ?

Non. Si f est de classe C^1 près du point fixe ell et si lvert f'(ell)rvert 1, il est répulsif : seule une suite stationnaire, égale à ell à partir d'un certain rang, converge vers lui. Pour f(x) = x^2, le point fixe 0 attire, le point fixe 1 repousse ; si lvert f'(ell)rvert = 1, il faut une étude directe.

Suites définies par u(n+1) = f(u(n)) : intervalle stable, points fixes, lecture graphique en escalier et en escargot, limite et continuité, monotonie selon que f est croissante ou décroissante, cycle d'ordre 2, convergence par l'inégalité des accroissements finis, points fixes attractifs et répulsifs, vitesse de convergence lente, géométrique ou quadratique, méthode de Héron, suites définies implicitement ; selon la classe, fonctions contractantes et méthode de Newton.

15méthodes
32exercices corrigés
5problèmes
20pièges
37figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une suite récurrente est définie par un premier terme $u_0$ et la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ : chaque terme est l'image du précédent par la même fonction. Le chapitre montre comment justifier que la suite est définie (intervalle stable), trouver ses limites possibles parmi les points fixes de $f$ , étudier sa monotonie selon que $f$ est croissante ou décroissante, prouver la convergence et majorer l'erreur par l'inégalité des accroissements finis, comparer des vitesses de convergence (lente, géométrique, quadratique, avec la méthode de Héron) et étudier une suite définie implicitement. Il est au programme de MPSI, PCSI et TSI au Maroc et de MPSI, MP2I, PCSI et PTSI en France ; la méthode de Newton et le vocabulaire des fonctions contractantes n'y sont étudiés que dans certaines classes. Ces suites reviennent dans de nombreux sujets d'analyse du CNC et des concours français.

Ce que tu sauras faire

Ce chapitre étudie les suites définies par $u_0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ , celles que l'on obtient en répétant un même calcul. À la fin, tu dois savoir :

justifier qu'une telle suite est bien définie, par un intervalle stable ;
trouver ses limites possibles parmi les points fixes de $f$ , en citant la continuité ;
étudier sa monotonie selon que $f$ est croissante ou décroissante, et reconnaître un cycle ;
prouver une convergence et majorer l'erreur par l'inégalité des accroissements finis ;
reconnaître un point fixe qui attire et un point fixe qui repousse ;
comparer des vitesses de convergence et calculer un nombre d'itérations, y compris en Python ;
étudier une suite définie implicitement.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Suite bien définie, points fixes

$J$ est stable par $f$ si $f(J) \subset J$ . Si $J$ est stable et $u_0 \in J$ , alors $(u_n)$ est définie et $u_n \in J$ pour tout $n$ (récurrence à rédiger, initialisée au rang $0$ ).
$\ell$ est un point fixe si $f(\ell) = \ell$ : abscisse d'un point commun à la courbe de $f$ et à la droite $y = x$ ; zéro de $f - \mathrm{Id}$ .
Ne pas confondre $u_n = f(n)$ , $u_{n+1} = f(u_n)$ et $u_{n+1} = f_n(u_n)$ .

À retenir Limite et point fixe

Si $u_n \to \ell \in J$ et $f$ est continue en $\ell$ , alors $f(\ell) = \ell$ . Il faut savoir que la suite converge avant de passer à la limite.
Sur un segment stable où $f$ est continue, une limite éventuelle est un point fixe dans le segment. Si $J$ n'est pas fermé, la limite peut sortir de $J$ .
Croissante, sans point fixe accessible au-delà de $u_0$ : $u_n \to +\infty$ (par l'absurde).

À retenir Monotonie

Signe de $f(x) - x$ sur un intervalle stable : positif, suite croissante ; négatif, suite décroissante.
$f$ croissante sur $J$ stable : $(u_n)$ est monotone, croissante si $u_0 \leq u_1$ , décroissante si $u_0 \geq u_1$ . Le sens dépend de la position de $u_0$ par rapport aux points fixes, pas du sens de $f$ .
$f$ décroissante sur $J$ stable : $f \circ f$ est croissante ; $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones de sens contraires. Même limite : la suite converge et $\ell$ est encadré par deux termes consécutifs. Limites différentes : cycle d'ordre 2.
Les points fixes de $f$ sont points fixes de $f \circ f$ ; la réciproque est fausse : trier les solutions de $f(f(x)) = x$ .

Hypothèse sur $f$ (sur $J$ stable)	Ce qu'on sait de $(u_n)$	Outil
$f(x) - x \geq 0$	croissante	différence $u_{n+1} - u_n$
$f$ croissante	monotone, sens selon $u_0$ et $u_1$	récurrence
$f$ décroissante	suites extraites monotones, de sens contraires	$f \circ f$
$\lvert f'\rvert \leq k < 1$ , $\ell \in J$	converge vers $\ell$ , erreur au plus $k^n\lvert u_0 - \ell\rvert$	inégalité des accroissements finis

À retenir Convergence géométrique

$J$ stable, $\ell \in J$ point fixe, $f$ dérivable sur $J$ avec $\lvert f'\rvert \leq k < 1$ sur $J$ : $\lvert u_{n+1} - \ell\rvert \leq k\lvert u_n - \ell\rvert$ , $\lvert u_n - \ell\rvert \leq k^n\lvert u_0 - \ell\rvert$ , et $\ell$ est le seul point fixe dans $J$ .
La constante $k$ est la même pour tous les points ; la borne vaut sur un intervalle stable qui contient $\ell$ .
Rang pour une précision $\varepsilon$ : $k^nD \leq \varepsilon$ , où $D \geq \lvert u_0 - \ell\rvert$ . Le rang réel est souvent plus petit.
Estimation a posteriori : $\lvert u_n - \ell\rvert \leq \frac{k}{1 - k}\lvert u_n - u_{n-1}\rvert$ ; test d'arrêt sûr.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Prouver la convergence par l'inégalité des accroissements finis

Quand l’utiliser

$f$ est dérivable et sa dérivée est petite près du point fixe ; l'énoncé demande une majoration $\lvert u_{n+1} - \ell\rvert \leq k\lvert u_n - \ell\rvert$ ou une vitesse de convergence.

Rappel de cours

$J$ intervalle stable, $\ell \in J$ point fixe, $f$ dérivable sur $J$ avec $\lvert f'\rvert \leq k < 1$ sur $J$ : $\lvert u_{n+1} - \ell\rvert \leq k\lvert u_n - \ell\rvert$ , puis $\lvert u_n - \ell\rvert \leq k^n\lvert u_0 - \ell\rvert$ ; $\ell$ est le seul point fixe dans $J$ .

Démarche

Trouver un intervalle stable $J$ qui contient $u_0$ et le point fixe (existence par les valeurs intermédiaires si besoin).
Majorer $\lvert f'\rvert$ sur $J$ entier par une constante $k < 1$ .
Appliquer l'inégalité des accroissements finis entre $u_n$ et $\ell$ , puis faire la récurrence.
Conclure : limite, majoration de l'erreur, unicité du point fixe.

Rédaction type

« Pour tout $n$ , $u_n$ et $\ell$ appartiennent à l'intervalle $J$ , sur lequel $f$ est dérivable avec $\lvert f'\rvert \leq k$ . Par l'inégalité des accroissements finis, $\lvert f(u_n) - f(\ell)\rvert \leq k\lvert u_n - \ell\rvert$ , soit $\lvert u_{n+1} - \ell\rvert \leq k\lvert u_n - \ell\rvert$ . Par récurrence, $\lvert u_n - \ell\rvert \leq k^n\lvert u_0 - \ell\rvert$ , qui tend vers $0$ car $0 \leq k < 1$ . »

Exemple traité

Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \ln(u_n + 3)$ . Montrer que la suite converge.

$f(x) = \ln(x + 3)$ est croissante sur $[1, 2]$ , avec $f(1) = \ln 4 \approx 1{,}386$ et $f(2) = \ln 5 \approx 1{,}609$ : $[1, 2]$ est stable. La fonction $g(x) = f(x) - x$ est continue, $g(1) > 0$ et $g(2) < 0$ : $f$ a un point fixe $\ell \in [1, 2]$ (valeurs intermédiaires). Sur $[1, 2]$ , $\lvert f'(x)\rvert = \frac{1}{x + 3} \leq \frac14$ . Par l'inégalité des accroissements finis, $\lvert u_n - \ell\rvert \leq \frac{\lvert u_0 - \ell\rvert}{4^n}$ , et $\lvert u_0 - \ell\rvert \leq 1$ , donc $u_n \to \ell$ , et $\ell \approx 1{,}50524$ est le seul point fixe de $f$ dans $[1, 2]$ .

Erreurs fréquentes

Ne pas citer l'inégalité des accroissements finis : le rapport du jury e3a-Polytech 2026 (filière PSI) note qu'elle « n'apparaît que très rarement ».
Majorer $\lvert f'\rvert$ sur un intervalle qui n'est pas stable, ou qui ne contient pas $\ell$ .
Se contenter de $\lvert f'(x)\rvert < 1$ en chaque point, sans constante $k < 1$ commune.

Pour s’entraîner

Exercices 8, 10, 15, 16 et 27, problèmes 1 et 3.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Itérer le cosinus : convergence et précision ★★☆

On pose $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \cos(u_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . On note $\ell$ l'unique réel de $[0, 1]$ tel que $\cos\ell = \ell$ (son existence et son unicité ont été établies au chapitre « Limites et continuité »).

Montrer que $[0, 1]$ est stable par $\cos$ et faire la figure.
Montrer que les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones, de sens contraires.
Montrer que $\ell$ est le seul point fixe de $\cos\circ\cos$ dans $[0, 1]$ . En déduire que $(u_n)$ converge vers $\ell$ et que $u_{2n} \leq \ell \leq u_{2n+1}$ pour tout $n$ .
Comment obtenir une valeur approchée de $\ell$ à $10^{-6}$ près ?

Indications

2 : $\cos$ est décroissante sur $[0, 1]$ , donc $g = \cos\circ\cos$ y est croissante ; comparer $u_2$ à $u_0$ .
3 : étudier $\theta(x) = \cos(\cos x) - x$ ; sa dérivée est $\sin(\cos x)\sin x - 1$ .
4 : l'écart $u_{2n+1} - u_{2n}$ majore l'erreur.

Analyse : comment trouver l’idée

Avec une $f$ décroissante, la figure est un escargot : les termes de rang pair montent, ceux de rang impair descendent, et ils encadrent le point fixe. On passe par $g = f\circ f$ , croissante, et l'on vérifie que $g$ n'a pas d'autre point fixe que celui de $f$ .

Correction détaillée

1. $\cos$ est décroissante sur $[0, 1] \subset [0, \pi]$ , donc $\cos([0, 1]) = [\cos 1, 1] \subset [0, 1]$ ( $\cos 1 \approx 0{,}54$ ). Par récurrence $u_n \in [0, 1]$ . La figure montre un escargot qui s'enroule autour du point $(\ell, \ell)$ .

2. $g = \cos\circ\cos$ est croissante sur $[0, 1]$ (composée de deux fonctions décroissantes) et $u_{2n+2} = g(u_{2n})$ , $u_{2n+3} = g(u_{2n+1})$ . Comme $u_0 = 0 < u_2 = \cos 1$ , la suite $(u_{2n})$ est croissante (méthode de la fonction croissante appliquée à $g$ ) ; comme $u_1 = 1 > u_3 = \cos(\cos 1)$ , la suite $(u_{2n+1})$ est décroissante.

3. $\theta(x) = \cos(\cos x) - x$ est dérivable et $\theta'(x) = \sin(\cos x)\sin x - 1$ . Sur $[0, 1]$ , $\cos x \in [0, 1]$ et $\sin$ est croissante positive sur $[0, 1]$ , donc $0 \leq \sin(\cos x)\sin x \leq \sin^2 1 < 1$ : $\theta' < 0$ , $\theta$ est strictement décroissante et s'annule au plus une fois. Or $\theta(\ell) = \cos(\cos\ell) - \ell = \cos\ell - \ell = 0$ : $\ell$ est le seul point fixe de $g$ dans $[0, 1]$ .

Les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones et bornées, donc convergent ; leurs limites sont dans $[0, 1]$ et sont des points fixes de $g$ , continue : elles valent toutes deux $\ell$ . Les suites extraites de rangs pairs et impairs ayant la même limite, $u_n \to \ell$ . Enfin, une suite croissante est majorée par sa limite et une suite décroissante minorée par la sienne : $u_{2n} \leq \ell \leq u_{2n+1}$ .

4. L'encadrement donne $0 \leq \ell - u_{2n} \leq u_{2n+1} - u_{2n}$ . On calcule les termes jusqu'à ce que $u_{2n+1} - u_{2n} \leq 10^{-6}$ ; c'est le cas pour la première fois pour $2n = 34$ : $u_{34} \approx 0{,}7390845$ et $u_{35} \approx 0{,}7390855$ . Donc $\ell \approx 0{,}739085$ à $10^{-6}$ près. L'encadrement est sûr : il ne repose sur aucune estimation de la vitesse.

Méthodes à retenir

$f$ décroissante : $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont récurrentes pour $f\circ f$ , croissante, et de monotonies contraires. Il faut vérifier que $f\circ f$ n'a pas d'autre point fixe que celui de $f$ , sinon les deux suites extraites peuvent avoir des limites différentes. Quand elles convergent vers $\ell$ , elles l'encadrent. Voir les méthodes 2, 6 et 9.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 15 méthodes, 20 pièges corrigés, la carte mentale, 32 exercices corrigés, 5 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Suites $u_{n+1} = f(u_n)$
- 1.1 Intervalle stable, suite bien définie
- 1.2 Points fixes
- 1.3 Trois écritures à ne pas confondre
2. Lecture graphique
- 2.1 Escalier et escargot
- 2.2 Trois comportements à reconnaître
3. Limite et point fixe
- 3.1 Le théorème du chapitre « Limites et continuité »
- 3.2 Où chercher la limite
- 3.3 Divergence vers l'infini
4. Monotonie
- 4.1 Le signe de $f(x) - x$
- 4.2 Quand $f$ est croissante
- 4.3 Quand $f$ est décroissante
5. Contraction et convergence géométrique
- 5.1 L'inégalité des accroissements finis appliquée aux suites
- 5.2 Nombre d'itérations, estimation a posteriori
- 5.3 Point fixe attractif, point fixe répulsif
- 5.4 Le vocabulaire des fonctions lipschitziennes
6. Vitesse de convergence
- 6.1 Trois comportements
- 6.2 Un exemple lent
- 6.3 Un exemple quadratique : la méthode de Héron
- 6.4 Programmer une itération
7. Suites définies implicitement
8. La méthode de Newton
- 8.1 La tangente qui coupe l'axe
- 8.2 Convergence quadratique locale
- 8.3 Le cas d'une fonction convexe

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Justifier que la suite est définie : trouver un intervalle stable
Faire la figure, conjecturer, repérer les points fixes
Trouver les limites possibles et choisir la bonne
Étudier la monotonie par le signe de $f(x) - x$
Étudier une suite quand $f$ est croissante
Étudier une suite quand $f$ est décroissante
Montrer qu'une suite tend vers l'infini
Prouver la convergence par l'inégalité des accroissements finis
Trouver un rang qui assure une précision donnée
Reconnaître un point fixe attractif ou répulsif
Se ramener à une suite usuelle par un changement d'inconnue
Montrer une convergence quadratique et compter les décimales
Étudier une suite définie implicitement
Appliquer la méthode de Newton dans un cas simple
Justifier la convergence de Newton par la convexité

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (12)

Une suite définie par ln(1 + u)
Des racines carrées successives à partir de 1/10
La suite racine de 1 + u et le nombre d'or
Une suite rationnelle qui approche racine de 2
Une suite définie par u/(u² + 1)
Une suite définie par 1 + ln u
Deux suites qui tendent vers l'infini
Une contraction de rapport 1/4
Itérer l'arc tangente
Un rang pour une précision donnée, et le programme
Une suite homographique et sa forme explicite
Calculer un inverse sans division

Entraînement (15)

Itérer le cosinus : convergence et précision
La suite racine de 3 − u
Deux points fixes, l'un attire, l'autre repousse
La suite 1 − u²/4
Une suite définie avec sin(1/u)
Une suite homographique à point fixe double
La suite logistique 2u(1 − u)
La disparition d'une maladie dans une palmeraie
Une suite de cosinus d'angles moitiés
Un produit qui se télescope
La racine positive de x + x² + … + x^n = 1
Le minimum de 1 + x + … + x^(2n)
La méthode de Héron pour racine de 7
ln 2 par la méthode de Newton
La méthode de Newton pour une fonction convexe

Approfondissement (5)

La suite 4u(1 − u) ne converge pas
Une moyenne entre x et f(x)
Une dérivée de valeur absolue strictement inférieure à 1
Une convergence lente
La méthode de Newton pour l'arc tangente

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

L'équation de Kepler
CNC 2012, filière MP, Mathématiques I, quatrième partie, questions 4.1.1 à 4.2.3, adaptées ; questions 4.6 à 4.8 ajoutées
Une tour infinie d'exposants
Concours commun 2008 des écoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes, épreuve spécifique de mathématiques (filière MPSI), deuxième problème, questions 21 à 40, adaptées
Une suite croissante, une suite alternée
CCINP 2024, filière PSI, Mathématiques, problème 1, partie II.1, questions Q7 à Q11 ; e3a-Polytech 2026, filière PSI, Mathématiques, exercice 2, partie 1, questions 1.1 à 1.6
Un cycle d'ordre 2
CCINP 2019, filière TPC, Mathématiques, exercice 2, questions Q7 à Q14
Approcher racine de 2 par la méthode de Héron
Centrale-Supélec 2024, filière PC, Mathématiques 1, partie I.B, questions Q7 à Q10, et partie I.C, question Q12 ; selon la classe, partie III, questions Q20 à Q25, adaptées

Questions fréquentes

Comment montrer qu'une suite récurrente est bien définie ?

On cherche un intervalle stable $J$ qui contient $u_0$ , c'est-à-dire tel que $f(J) \subset J$ , puis on montre par récurrence, initialisée au rang $0$ , que $u_n \in J$ pour tout $n$ . Une récurrence dite « évidente » ne suffit pas. Sans intervalle stable, la suite peut cesser d'exister : avec $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \ln u_n$ , on trouve $u_2 = \ln(\ln 2) < 0$ , et $u_3$ n'est pas défini.

Comment trouver la limite d'une suite u(n+1) = f(u(n)) ?

Si la suite converge vers un réel $\ell$ de l'intervalle où l'on travaille et si $f$ est continue en $\ell$ , alors $f(\ell) = \ell$ : la limite est un point fixe de $f$ . Il faut d'abord établir la convergence, par exemple par la monotonie, puis situer la limite et choisir le bon point fixe. Passer à la limite avant de savoir que la suite converge mène à des erreurs : pour $u_{n+1} = 2u_n$ et $u_0 = 1$ , « $\ell = 2\ell$ » donnerait $0$ , alors que $u_n = 2^n$ tend vers $+\infty$ .

Si f est croissante, la suite est-elle croissante ?

Pas forcément. Si $f$ est croissante sur un intervalle stable, la suite est monotone : croissante si $u_0 \leq u_1$ , décroissante si $u_0 \geq u_1$ . Le sens dépend de la position de $u_0$ par rapport aux points fixes, ou du signe de $f(x) - x$ . Avec $f(x) = \sqrt{2x + 3}$ , la suite issue de $0$ croît vers $3$ , celle issue de $6$ décroît vers $3$ .

Que faire quand f est décroissante ?

En général, la suite n'est pas monotone : ses termes alternent autour d'un point fixe (escargot). Sur un intervalle stable, la fonction $f \circ f$ est croissante, et les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones, de sens contraires. Si elles ont la même limite, la suite converge et sa limite est encadrée par deux termes consécutifs ; sinon, elle s'approche d'un cycle d'ordre 2. Quand on résout $f(f(x)) = x$ , il faut trier les solutions : toutes ne sont pas des points fixes de $f$ .

Comment prouver la convergence avec l'inégalité des accroissements finis ?

Si $J$ est un intervalle stable qui contient $u_0$ et un point fixe $\ell$ et si $\lvert f'(x)\rvert \leq k < 1$ pour tout $x \in J$ , l'inégalité des accroissements finis donne $\lvert u_{n+1} - \ell\rvert \leq k\lvert u_n - \ell\rvert$ , puis $\lvert u_n - \ell\rvert \leq k^n\lvert u_0 - \ell\rvert$ : la suite converge vers $\ell$ , qui est le seul point fixe de $f$ dans $J$ . La constante $k$ doit être la même pour tous les points : une dérivée de valeur absolue strictement inférieure à $1$ en chaque point ne suffit pas.

Qu'est-ce que la vitesse de convergence d'une suite récurrente ?

Elle mesure le nombre d'itérations nécessaires pour une précision donnée. Une convergence géométrique vérifie $\lvert u_n - \ell\rvert \leq Ck^n$ avec $k < 1$ ; une convergence quadratique vérifie $\lvert u_{n+1} - \ell\rvert \leq \lambda\lvert u_n - \ell\rvert^2$ , et le nombre de décimales exactes double à peu près à chaque pas ; une convergence lente, comme celle de $u_{n+1} = \sin u_n$ vers $0$ , n'admet aucune majoration géométrique. Pour une précision $\varepsilon$ , on cherche $n$ tel que $k^nD \leq \varepsilon$ , où $D$ majore $\lvert u_0 - \ell\rvert$ .

Qu'est-ce que la méthode de Héron ?

Pour approcher $\sqrt a$ , avec $a > 0$ , on itère $x_{n+1} = \frac12\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)$ à partir de $x_0 > 0$ . L'identité $x_{n+1} - \sqrt a = \frac{(x_n - \sqrt a)^2}{2x_n}$ montre que $x_n \geq \sqrt a$ dès $n \geq 1$ , que la suite décroît ensuite et que la convergence est quadratique. Avec $a = 5$ et $x_0 = 2$ , $x_3 = \frac{51841}{23184}$ approche $\sqrt5$ à moins de $10^{-9}$ près.

Un point fixe attire-t-il toujours les termes de la suite ?

Non. Si $f$ est de classe $C^1$ près du point fixe $\ell$ et si $\lvert f'(\ell)\rvert < 1$ , le point fixe est attractif : les suites qui en partent assez près y convergent. Si $\lvert f'(\ell)\rvert > 1$ , il est répulsif : seule une suite stationnaire, égale à $\ell$ à partir d'un certain rang, converge vers lui. Pour $f(x) = x^2$ , le point fixe $0$ attire, le point fixe $1$ repousse ; si $\lvert f'(\ell)\rvert = 1$ , il faut une étude directe.

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