Dérivabilité et convexité : nombre dérivé, accroissements finis, monotonie, dérivées successives, fonctions convexes

Q: Un point où la dérivée s'annule est-il un extremum ?

Pas forcément. Si f, dérivable, a un extremum local en un point a intérieur à son intervalle de définition, alors f'(a) = 0 : a est un point critique. La réciproque est fausse : x ↦ x^3 a une dérivée nulle en 0 sans extremum. Et un extremum peut se trouver à une extrémité de l'intervalle sans que la dérivée s'y annule, comme le maximum de x ↦ x sur [0, 1], atteint en 1. Pour conclure, on étudie le signe de f' de part et d'autre du point et l'on compare aux valeurs aux bornes.

Q: Que dit l'inégalité des accroissements finis ?

Si f est dérivable sur un intervalle I et si lvert f'(x)rvert ≤ M pour tout x ∈ I, alors lvert f(y) - f(x)rvert ≤ Mlvert y - xrvert pour tous x, y ∈ I ; si m ≤ f' ≤ M sur [a, b], alors m(b - a) ≤ f(b) - f(a) ≤ M(b - a). Par exemple, lvert cos y - cos xrvert ≤ lvert y - xrvert. La borne doit valoir sur tout l'intervalle qui contient x et y, pas en un seul point. Le résultat sert à majorer une différence, à encadrer une valeur comme ln (1,1) entre (1)/(11) et (1)/(10), ou à encadrer une somme.

Q: Quel est le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation ?

Sur un intervalle, une fonction dérivable est constante si et seulement si sa dérivée est nulle, croissante si et seulement si f' ≥ 0, et strictement croissante si f' > 0 sauf en un nombre fini de points (x^3 est strictement croissante bien que sa dérivée s'annule en 0). L'hypothèse d'intervalle est indispensable : la fonction égale à -1 sur ]-∞, 0[ et à 1 sur ]0, +∞[ a une dérivée nulle sans être constante. Une dérivée positive en un seul point ne donne pas une fonction croissante au voisinage de ce point.

Q: Comment calculer une dérivée n-ième ?

Pour un produit, par la formule de Leibniz : (fg)^((n)) = Σ_(k=0)^nbinom nk f^((k))g^((n-k)), la somme commençant à k = 0. Si l'un des facteurs est un polynôme, ses dérivées s'annulent au-delà de son degré et la somme se réduit à quelques termes : (x^3e^(-x) )^((5)) = e^(-x) (-x^3 + 15x^2 - 60x + 60 ). Sinon, on linéarise une puissance de sinus ou de cosinus, on décompose une fraction rationnelle, on passe par l'exponentielle complexe, ou l'on conjecture la formule sur les premières dérivées avant de la démontrer par récurrence.

Q: Que disent le théorème de Rolle et l'égalité des accroissements finis ?

Rolle : si f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et si f(a) = f(b), il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = 0. Égalité des accroissements finis : si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, il existe c ∈ ]a, b[ tel que f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), c'est-à-dire une tangente parallèle à la corde ; un mobile atteint, à un instant, sa vitesse moyenne. Les trois hypothèses de Rolle sont nécessaires, et le point c n'est pas unique en général. Ces théorèmes sont au programme de toutes les classes de maths sup sauf la TPC1 ; en TSI1 de France, la démonstration du théorème de Rolle n'est pas exigible.

Nombre dérivé, dérivabilité à gauche et à droite, tangente, opérations et dérivée d'une réciproque, extremum local et point critique, inégalité des accroissements finis et monotonie, dérivées successives et formule de Leibniz ; selon la classe, théorème de Rolle et égalité des accroissements finis, fonctions lipschitziennes, théorème de la limite de la dérivée, fonctions à valeurs complexes, fonctions convexes.

20méthodes
51exercices corrigés
5problèmes
25pièges
41figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une fonction $f$ est dérivable en $a$ si son taux d'accroissement $\frac{f(a + t) - f(a)}{t}$ a une limite finie quand $t \to 0$ ; cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ , pente de la tangente. Le chapitre démontre les règles de calcul (produit, quotient, composée, réciproque), étudie les extremums et les points critiques, l'inégalité des accroissements finis et le lien entre le signe de la dérivée et la monotonie, puis les dérivées successives et la formule de Leibniz. Il est au programme de toutes les classes de maths sup (MPSI, PCSI, TSI1, MP2I, PTSI, TPC1), au Maroc comme en France ; le théorème de Rolle et l'égalité des accroissements finis (toutes les classes sauf TPC1), les fonctions lipschitziennes, le théorème de la limite de la dérivée, les fonctions à valeurs complexes et les fonctions convexes (au Maroc, en MPSI, MP2I et PCSI de France) n'y sont étudiés que dans certaines classes. Ces outils servent dans presque tous les sujets d'analyse du CNC et des concours français.

Ce que tu sauras faire

Ce chapitre fonde ce que le chapitre « Techniques fondamentales de calcul en analyse » a utilisé en pratique : la dérivée, ses règles de calcul et son lien avec les variations. À la fin, tu dois savoir :

étudier la dérivabilité d'une fonction en un point par le taux d'accroissement, à droite et à gauche, et écrire une tangente ;
démontrer et utiliser les opérations sur les fonctions dérivables, dériver une réciproque ;
chercher les extremums d'une fonction dérivable, aux points critiques et aux extrémités ;
majorer un accroissement par l'inégalité des accroissements finis et étudier une monotonie par le signe de la dérivée ;
calculer une dérivée $n$ -ième, en particulier par la formule de Leibniz.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Nombre dérivé

$f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\frac{f(a + t) - f(a)}{t}$ a une limite finie quand $t \to 0$ ; cette limite est $f'(a)$ .
Caractérisation : $f(a + t) = f(a) + f'(a)t + t\,\varepsilon(t)$ , avec $\varepsilon(t) \to 0$ (développement limité à l'ordre 1).
Dérivable donc continue ; la réciproque est fausse ( $\lvert x\rvert$ et $\sqrt{x}$ en $0$ ).
Tangente : $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ . Taux de limite $\pm\infty$ : tangente verticale $x = a$ , pas de dérivée.
En un point intérieur, dérivable si et seulement si dérivable à droite et à gauche avec $f'_d(a) = f'_g(a)$ ; sinon, point anguleux.
Interprétation cinématique : la dérivée de la position est la vitesse instantanée.

À retenir Opérations et réciproque

$(fg)' = f'g + fg'$ ; $\big(\frac fg\big)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ si $g(a) \neq 0$ ; $(g \circ f)'(a) = f'(a)\,g'\big(f(a)\big)$ .
$f$ continue strictement monotone sur $I$ , dérivable en $a$ : $f^{-1}$ est dérivable en $b = f(a)$ si et seulement si $f'(a) \neq 0$ , et $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ . Si $f'(a) = 0$ : tangente verticale pour $f^{-1}$ .

À retenir Extremums

Extremum local en un point intérieur où $f$ est dérivable : $f'(a) = 0$ (point critique).
La réciproque est fausse ( $x^3$ en $0$ ) ; en une extrémité, la dérivée n'est pas forcément nulle.

À retenir Inégalité des accroissements finis et monotonie

$f$ dérivable sur un intervalle $I$ avec $\lvert f'\rvert \leq M$ : $\lvert f(y) - f(x)\rvert \leq M\lvert y - x\rvert$ pour tous $x, y \in I$ .
$m \leq f' \leq M$ sur $[a, b]$ : $m(b - a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b - a)$ .
Sur un intervalle : $f' = 0$ si et seulement si $f$ constante ; $f' \geq 0$ si et seulement si $f$ croissante ; $f$ strictement croissante si et seulement si $f' \geq 0$ sans être nulle sur un intervalle non réduit à un point (par exemple $f' > 0$ sauf en un nombre fini de points).
Hors d'un intervalle, ces résultats sont faux : $-1$ puis $1$ sur $\mathbb{R}^*$ .

À retenir Dérivées successives

$C^n$ : $f^{(n)}$ existe et est continue ; $C^\infty$ : $C^n$ pour tout $n$ . Une fonction dérivable n'est pas forcément $C^1$ ( $x^2\sin\frac1x$ prolongée par $0$ ).
Formule de Leibniz : $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom nk f^{(k)}g^{(n-k)}$ , somme à partir de $k = 0$ .
Combinaisons linéaires, produits, quotients, composées, réciproques (dérivée non nulle) de fonctions $C^n$ sont $C^n$ .

À retenir Démonstrations à savoir refaire

Dérivable donc continue ; dérivées d'un produit et d'une composée.
Condition nécessaire d'extremum en un point intérieur.
Formule de Leibniz, par récurrence.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Majorer ou encadrer un accroissement par l'inégalité des accroissements finis

Quand l’utiliser

On veut majorer $\lvert f(x) - f(y)\rvert$ , encadrer une valeur comme $\sqrt{101}$ ou $\ln(1{,}1)$ , encadrer une somme $\sum\big(f(k + 1) - f(k)\big)$ , ou montrer qu'une suite de différences tend vers $0$ .

Rappel de cours

$f$ dérivable sur un intervalle $I$ avec $\lvert f'\rvert \leq M$ : $\lvert f(y) - f(x)\rvert \leq M\lvert y - x\rvert$ . Avec $m \leq f' \leq M$ sur $[a, b]$ : $m(b - a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b - a)$ .

Démarche

Choisir la fonction $f$ et l'intervalle qui contient les deux points.
Majorer $\lvert f'\rvert$ , ou encadrer $f'$ , sur tout l'intervalle, souvent par monotonie de $f'$ .
Appliquer l'inégalité et conclure.

Rédaction type

« La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[a, b]$ et, pour tout $x \in [a, b]$ , $m \leq f'(x) \leq M$ avec $m = \ldots$ et $M = \ldots$ Par l'inégalité des accroissements finis, $m(b - a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b - a)$ . »

Exemple traité

Encadrer $\ln(1{,}1)$ , puis montrer que $\lvert\arctan b - \arctan a\rvert \leq \lvert b - a\rvert$ pour tous réels $a$ et $b$ .

$\ln$ est dérivable sur $[1;\ 1{,}1]$ et $\frac{1}{1{,}1} \leq \frac1x \leq 1$ sur cet intervalle. Donc $\frac{0{,}1}{1{,}1} \leq \ln(1{,}1) - \ln 1 \leq 0{,}1$ , soit $\frac{1}{11} \leq \ln(1{,}1) \leq \frac{1}{10}$ . Ensuite, $\arctan$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\lvert\arctan'(x)\rvert = \frac{1}{1 + x^2} \leq 1$ : l'inégalité des accroissements finis donne le résultat.

Erreurs fréquentes

Majorer $\lvert f'\rvert$ en un seul point au lieu de tout l'intervalle.
Oublier que l'inégalité demande un intervalle : la fonction doit être dérivable entre les deux points.
Ne pas y penser : devant $\lvert\sin t\rvert \leq \lvert t\rvert$ , le rapport du CCINP 2020 (filière PSI, question 1) note que « si certains ont pensé à la solution consistant à appliquer une inégalité des accroissements finis, beaucoup s'en sortent avec des études de fonctions ».

Pour s’entraîner

Exercices 9, 19, 23 et 26, problème 4.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Trois encadrements par l'inégalité des accroissements finis ★☆☆

Montrer que $\lvert\sin x\rvert \le \lvert x\rvert$ pour tout réel $x$ .
Montrer que $0 \le \sqrt{x + 5} - \sqrt{x + 4} \le \frac14$ pour tout $x \ge 0$ . L'inégalité reste-t-elle vraie pour $x = -3{,}9$ ?
Montrer que $\left\lvert\sqrt{10001} - 100\right\rvert \le 5 \cdot 10^{-3}$ .

Indications

Appliquer l'inégalité des accroissements finis à une fonction bien choisie sur un segment bien choisi, après avoir majoré (ou encadré) sa dérivée sur tout ce segment.

Correction détaillée

1. La fonction $\sin$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\lvert\sin'\rvert = \lvert\cos\rvert \le 1$ sur $\mathbb{R}$ , qui est un intervalle. L'inégalité des accroissements finis entre $0$ et $x$ donne $\lvert\sin x - \sin 0\rvert \le 1 \times \lvert x - 0\rvert$ , soit $\lvert\sin x\rvert \le \lvert x\rvert$ .

2. Soit $x \ge 0$ . La fonction $\varphi = \sqrt{\phantom{x}}$ est dérivable sur le segment $[x + 4, x + 5]$ , contenu dans $]0, +\infty[$ , et, pour $s$ dans ce segment,

0 < \varphi'(s) = \frac{1}{2\sqrt s} \le \frac{1}{2\sqrt{x + 4}} \le \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14,

la dernière inégalité utilisant $x \ge 0$ . L'inégalité des accroissements finis sous forme encadrée, sur ce segment de longueur $1$ , donne $0 \le \sqrt{x + 5} - \sqrt{x + 4} \le \frac14$ .

Pour $x = -3{,}9$ , $\sqrt{1{,}1} - \sqrt{0{,}1} \approx 0{,}73 > \frac14$ : l'hypothèse $x \ge 0$ est nécessaire, car la borne $\frac14$ de la dérivée n'est plus valable près de $0$ .

3. Sur $[10000, 10001]$ , $0 < \varphi'(s) = \frac{1}{2\sqrt s}$ et $\frac{1}{2\sqrt s} \le \frac{1}{2 \times 100} = 5 \cdot 10^{-3}$ . Donc $0 \le \sqrt{10001} - \sqrt{10000} \le 5 \cdot 10^{-3} \times 1$ , ce qui est l'inégalité demandée.

Méthodes à retenir

L'inégalité des accroissements finis demande un intervalle et une borne de $\lvert f'\rvert$ valable sur tout cet intervalle ; la borne dépend souvent de l'intervalle, d'où les hypothèses comme $x \ge 0$ . Elle sert à majorer un écart ou à donner une valeur approchée sans calculatrice. Voir la méthode 9.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 20 méthodes, 25 pièges corrigés, la carte mentale, 51 exercices corrigés, 5 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Nombre dérivé
- 1.1 Taux d'accroissement, dérivabilité en un point
- 1.2 Développement limité à l'ordre 1, continuité
- 1.3 Tangente, interprétation cinématique
- 1.4 Dérivabilité à droite et à gauche
- 1.5 Fonction dérivée
2. Opérations
- 2.1 Combinaison linéaire, produit, quotient
- 2.2 Composée
- 2.3 Réciproque
3. Extremums
- 3.1 Extremum local, extremum global
- 3.2 Condition nécessaire en un point intérieur
4. Accroissements finis et monotonie
- 4.1 Inégalité des accroissements finis
- 4.2 Dérivée et monotonie
- 4.3 Théorème de Rolle
- 4.4 Égalité des accroissements finis
- 4.5 Démonstrations de l'inégalité des accroissements finis et de la monotonie
- 4.6 Fonctions lipschitziennes
5. Dérivées successives
- 5.1 Classes $C^n$ et $C^\infty$
- 5.2 Opérations, formule de Leibniz
- 5.3 Composée et réciproque de classe $C^n$
- 5.4 Théorème de la limite de la dérivée
6. Fonctions à valeurs complexes
- 6.1 Dérivabilité par parties réelle et imaginaire
- 6.2 Ce qui s'étend, ce qui ne s'étend pas
7. Fonctions convexes
- 7.1 Définition
- 7.2 Position par rapport aux sécantes
- 7.3 Convexe dérivable : position par rapport aux tangentes
- 7.4 Convexe deux fois dérivable
- 7.5 Inégalités de convexité
- 7.6 Inégalité des pentes
- 7.7 Inégalité de Jensen, inégalité arithmético-géométrique
- 7.8 Applications du programme : Young et Cauchy-Schwarz
- 7.9 Barycentres, parties convexes du plan, épigraphe

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Étudier la dérivabilité en un point par le taux d'accroissement
Calculer une limite en reconnaissant un nombre dérivé
Déterminer une tangente ou des demi-tangentes, et la position de la courbe
Étudier la dérivabilité d'une réciproque et calculer sa dérivée
Montrer qu'une fonction est de classe $C^1$ ou $C^k$ , en particulier en un point de raccord
Calculer une dérivée $n$ -ième
Chercher les extremums d'une fonction dérivable
Étudier une monotonie, stricte ou non, par le signe de la dérivée
Majorer ou encadrer un accroissement par l'inégalité des accroissements finis
Démontrer une inégalité en dérivant plusieurs fois
Déterminer le nombre de solutions d'une équation par les variations
Résoudre une équation fonctionnelle à l'aide de la dérivation
Montrer qu'une dérivée s'annule par le théorème de Rolle
Majorer le nombre de zéros par Rolle répété
Utiliser l'égalité des accroissements finis
Montrer qu'une fonction est lipschitzienne, ou qu'elle ne l'est pas
Montrer qu'une fonction est convexe ou concave
Démontrer une inégalité par convexité
Utiliser l'inégalité de Jensen
Utiliser l'inégalité des pentes ou la croissance de la dérivée

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (19)

Un nombre dérivé par la définition
Une fonction dérivable dont la formule change en 0
Une fonction construite avec la partie entière
Deux arcsinus en 0, par le taux d'accroissement
Trois limites qui cachent un nombre dérivé
La dérivée symétrique
La réciproque de x exp(x)
Deux dérivées n-ièmes
Trois encadrements par l'inégalité des accroissements finis
Points critiques et extremums d'un polynôme
x plus sinus x
Demi-tangentes et tangente verticale
Une équation polynomiale qui a une racine entre 0 et 1
Courbe au-dessus de ses tangentes, par les accroissements finis
Ce que devient Rolle pour une fonction complexe
De classe C¹ sur un segment, donc lipschitzienne
Deux encadrements par une corde et une tangente
Les points d'inflexion d'une somme de cosinus
Le pavé droit de volume maximal

Entraînement (24)

La famille x puissance n fois cosinus de 1/x
La racine dans le cosinus
Un polynôme qui a exactement trois racines réelles
Un chemin le plus court, par la dérivée
Encadrer sinus par deux polynômes
Une somme de carrés de coefficients binomiaux
Les dérivées successives de exp(-x²)
La dérivée n-ième de x puissance n moins 1 fois ln x
Les fonctions dérivables additives
Un accroissement majoré par une puissance plus grande que 1
Un encadrement du logarithme et la constante d'Euler
Une inégalité différentielle
Voir un panneau sous le plus grand angle
Une dérivée proportionnelle à la fonction
Les polynômes de Legendre
Un polynôme à trois termes a au plus trois racines réelles
Dérivabilité en un point par l'égalité des accroissements finis
Une fonction convexe construite avec le logarithme
Inégalités de Young et de Cauchy-Schwarz
Une inégalité de convexité pour l'exponentielle
Une inégalité de puissances de 2
Une inégalité sous une contrainte de somme
Variations de deux quotients par l'inégalité des pentes
Convexité d'une fonction et de son épigraphe

Approfondissement (8)

Une limite par l'encadrement des accroissements
Si f plus f' tend vers 0, alors f aussi
Une dérivée égale à la fonction retournée
Une dérivée prend toutes les valeurs intermédiaires
Accroissements finis généralisés et règle de L'Hôpital
L'inégalité complexe par une rotation
Fonctions convexes bornées sur une demi-droite ou sur R
Une fonction convexe sur un ouvert est continue

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Une famille de polynômes et l'irrationalité de π
CNC 2007, filière TSI, Mathématiques I, premier problème, parties 1 à 3, adaptées (question I.2(a) sans ordre de multiplicité ; question II.2(b) sans règle de d'Alembert ; positivité stricte de l'intégrale admise en III.2)
Une famille de courbes, puis des inégalités
CNC 2010, filière TSI, Mathématiques I, exercice I, questions 1 à 7, et exercice III, partie A, questions 1 et 2, adaptées (question I.2 précisée ; une valeur approchée de la question I.6 corrigée)
La fonction exp(-1/x)/x² et ses dérivées successives
Concours commun 2007 des écoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes, épreuve spécifique de mathématiques (filière MPSI), premier problème, questions 1 à 4 et 7 à 17, adaptées (question 15 écrite avec g^(n+1) ; relations (3) et (4) établies pour x > 0)
L'inégalité de Landau
CNC 2026, filière TSI, Mathématiques I, 3e partie (questions numérotées 4 dans le sujet), questions 4.1.1 à 4.1.3, 4.2.5 et 4.2.6, adaptées (question 4.1.2 sans la formule de Taylor ; hypothèse ajoutée en 4.2 à la place des questions 4.2.1 à 4.2.4)
Rolle répété et erreur d'interpolation
Centrale-Supélec 2020, filière TSI, Mathématiques 2, partie II, questions 13, 20 et 22 à 26, puis 28 à 30, adaptées (question 21 remplacée par une vérification ; pas des nœuds noté p ; application numérique ajoutée)

Questions fréquentes

Comment montrer qu'une fonction est dérivable en un point ?

Hors des points litigieux, par les théorèmes généraux (sommes, produits, quotients, composées de fonctions dérivables). En un point où la formule ne s'applique pas (raccord de deux formules, racine ou valeur absolue qui s'annule, fonction prolongée par continuité), on étudie le taux d'accroissement $\frac{f(a + t) - f(a)}{t}$ : $f$ est dérivable en $a$ s'il a une limite finie. En un point intérieur, il faut que les limites à droite et à gauche existent et soient égales : $\lvert x\rvert$ a des nombres dérivés $-1$ à gauche et $1$ à droite en $0$ , ce qui donne un point anguleux. Une fonction dérivable est continue, mais une fonction continue n'est pas forcément dérivable.

Un point où la dérivée s'annule est-il un extremum ?

Pas forcément. Si $f$ , dérivable, a un extremum local en un point $a$ intérieur à son intervalle de définition, alors $f'(a) = 0$ : $a$ est un point critique. La réciproque est fausse : $x \mapsto x^3$ a une dérivée nulle en $0$ sans extremum. Et un extremum peut se trouver à une extrémité de l'intervalle sans que la dérivée s'y annule, comme le maximum de $x \mapsto x$ sur $[0, 1]$ , atteint en $1$ . Pour conclure, on étudie le signe de $f'$ de part et d'autre du point et l'on compare aux valeurs aux bornes.

Que dit l'inégalité des accroissements finis ?

Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si $\lvert f'(x)\rvert \leq M$ pour tout $x \in I$ , alors $\lvert f(y) - f(x)\rvert \leq M\lvert y - x\rvert$ pour tous $x, y \in I$ ; si $m \leq f' \leq M$ sur $[a, b]$ , alors $m(b - a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b - a)$ . Par exemple, $\lvert \cos y - \cos x\rvert \leq \lvert y - x\rvert$ . La borne doit valoir sur tout l'intervalle qui contient $x$ et $y$ , pas en un seul point. Le résultat sert à majorer une différence, à encadrer une valeur comme $\ln(1{,}1)$ entre $\frac{1}{11}$ et $\frac{1}{10}$ , ou à encadrer une somme.

Quel est le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation ?

Sur un intervalle, une fonction dérivable est constante si et seulement si sa dérivée est nulle, croissante si et seulement si $f' \geq 0$ , et strictement croissante si $f' > 0$ sauf en un nombre fini de points ( $x^3$ est strictement croissante bien que sa dérivée s'annule en $0$ ). L'hypothèse d'intervalle est indispensable : la fonction égale à $-1$ sur $]-\infty, 0[$ et à $1$ sur $]0, +\infty[$ a une dérivée nulle sans être constante. Une dérivée positive en un seul point ne donne pas une fonction croissante au voisinage de ce point.

Comment calculer une dérivée n-ième ?

Pour un produit, par la formule de Leibniz : $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom nk f^{(k)}g^{(n-k)}$ , la somme commençant à $k = 0$ . Si l'un des facteurs est un polynôme, ses dérivées s'annulent au-delà de son degré et la somme se réduit à quelques termes : $\left(x^3e^{-x}\right)^{(5)} = e^{-x}\left(-x^3 + 15x^2 - 60x + 60\right)$ . Sinon, on linéarise une puissance de sinus ou de cosinus, on décompose une fraction rationnelle, on passe par l'exponentielle complexe, ou l'on conjecture la formule sur les premières dérivées avant de la démontrer par récurrence.

Que disent le théorème de Rolle et l'égalité des accroissements finis ?

Rolle : si $f$ est continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $]a, b[$ et si $f(a) = f(b)$ , il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$ . Égalité des accroissements finis : si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$ , il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ , c'est-à-dire une tangente parallèle à la corde ; un mobile atteint, à un instant, sa vitesse moyenne. Les trois hypothèses de Rolle sont nécessaires, et le point $c$ n'est pas unique en général. Ces théorèmes sont au programme de toutes les classes de maths sup sauf la TPC1 ; en TSI1 de France, la démonstration du théorème de Rolle n'est pas exigible.

Comment montrer qu'une fonction est convexe et s'en servir ?

Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est convexe si et seulement si $f'' \geq 0$ . Sa courbe est alors au-dessus de ses tangentes et, entre deux points, sous ses cordes : c'est la source d'inégalités comme $e^x \geq 1 + x$ , $\ln(1 + x) \leq x$ ou $\frac{2}{\pi}x \leq \sin x \leq x$ sur $\left[0, \frac\pi2\right]$ . L'inégalité de Jensen, avec des coefficients positifs de somme $1$ , donne l'inégalité arithmético-géométrique. La convexité est au programme au Maroc (MPSI, PCSI, TSI) et en MPSI, MP2I et PCSI de France ; en PCSI de France, l'inégalité de Jensen est hors programme, et la convexité n'est pas au programme de PTSI, TSI1 et TPC1.

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