Limites et continuité : limite d'une fonction, prolongement par continuité, valeurs intermédiaires, bornes atteintes, théorème de la bijection

Q: Quand peut-on prolonger une fonction par continuité ?

Si f n'est pas définie en un point a (extrémité de son intervalle de définition, ou point intérieur exclu), elle se prolonge par continuité en a si et seulement si elle a une limite finie ell en a ; on pose alors f(a) = ell. Ainsi x ↦ (e^x - 1)/(x) se prolonge par 1 en 0. Une limite infinie, ou des limites à droite et à gauche différentes, empêchent le prolongement. On ne dit pas qu'une fonction est continue en un point où elle n'est pas définie.

Q: Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ?

Si f est continue sur un segment [a, b], elle prend toute valeur y comprise entre f(a) et f(b) : il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = y. En particulier, si f(a)f(b) < 0, f s'annule sur ]a, b[, et l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Le théorème ne donne pas l'unicité, qui vient d'une stricte monotonie, et il demande un intervalle : frac 1x prend les valeurs -1 et 1 sans s'annuler. Sa démonstration par dichotomie donne aussi une valeur approchée de la solution.

Q: Que dit le théorème des bornes atteintes ?

Une fonction continue sur un segment [a, b] est bornée et atteint ses bornes : elle a un minimum et un maximum, et l'image du segment est un segment. Hors d'un segment, c'est faux : frac 1x n'est pas bornée sur ]0, 1], et arctan n'atteint pas sa borne supérieure fracπ 2 sur R. Une conséquence très utile : une fonction continue et strictement positive sur [a, b] a un minorant strictement positif. Sa démonstration, par le théorème de Bolzano-Weierstrass, n'est faite qu'en MPSI (Maroc et France) et en MP2I ; elle est hors programme en PCSI, PTSI, TSI1 et TPC1 de France.

Q: Comment montrer qu'une fonction est une bijection ?

Par le théorème de la bijection : si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, elle réalise une bijection de I sur l'intervalle f(I), dont les extrémités se lisent sur les valeurs et les limites de f aux bornes de I ; sa réciproque est continue et strictement monotone, de même sens, et les deux graphes sont symétriques par rapport à la droite y = x. On calcule toujours f(I) : arctan est une bijection de R sur ]-fracπ 2, fracπ 2 [, et non sur R.

Q: Comment trouver la limite d'une suite définie par u(n+1) = f(u(n)) ?

On montre d'abord que la suite converge, vers un réel ell de l'intervalle d'étude. Si f est continue en ell, alors f(u_n) → f(ell), et comme u_(n+1) → ell, la limite vérifie f(ell) = ell : on résout cette équation et l'on garde la solution compatible avec un encadrement de la suite. Sans la continuité, la conclusion peut être fausse, et les rapports de jury relèvent souvent cet oubli. L'étude complète de ces suites fait l'objet du chapitre « Suites récurrentes », dans les classes qui l'ont au programme.

Q: Qu'est-ce que la caractérisation séquentielle de la limite ?

Dans toutes les classes, si f → ell en a et u_n → a, alors f(u_n) → ell. La réciproque, « f → ell en a si f(u_n) → ell pour toute suite u_n → a », n'est au programme qu'au Maroc et en MPSI, MP2I et PCSI de France. La caractérisation séquentielle de la continuité et le théorème « une fonction continue sur un intervalle est injective si et seulement si elle est strictement monotone » sont au programme marocain et en MPSI et MP2I de France ; la densité appliquée aux fonctions continues, en MPSI (Maroc et France), en MP2I et en PCSI du Maroc.

Limite d'une fonction en un point et en l'infini, limites à droite et à gauche, limites et suites, opérations, limites et inégalités, limite monotone ; continuité, prolongement par continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dichotomie, bornes atteintes, théorème de la bijection ; selon la classe, fonctions à valeurs complexes, caractérisation séquentielle, densité.

19méthodes
47exercices corrigés
5problèmes
27pièges
40figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une fonction $f$ tend vers $\ell$ en $a$ si, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $\eta > 0$ tel que $\lvert x - a \rvert \leq \eta$ entraîne $\lvert f(x) - \ell \rvert \leq \varepsilon$ ; elle est continue en $a$ si $f(x) \to f(a)$ . Le chapitre étudie la limite d'une fonction (limites à droite et à gauche, opérations, composition, encadrement, limite monotone, limites de référence comme $\frac{\sin x}{x} \to 1$ ), le prolongement par continuité, puis les trois grands théorèmes sur un intervalle : le théorème des valeurs intermédiaires et la dichotomie, le théorème des bornes atteintes sur un segment et le théorème de la bijection. Il est au programme de toutes les classes de maths sup (MPSI, PCSI, TSI1, MP2I, PTSI, TPC1), au Maroc comme en France ; les fonctions à valeurs complexes, la caractérisation séquentielle, le lien entre injectivité et stricte monotonie, la densité et la démonstration des bornes atteintes n'y sont étudiés que dans certaines classes. Ces théorèmes reviennent dans presque tous les sujets d'analyse du CNC et des concours français.

Ce que tu sauras faire

Ce chapitre donne un sens précis à « $f(x)$ s'approche de $\ell$ quand $x$ s'approche de $a$ », puis en tire les grands théorèmes sur les fonctions continues, ceux qui servent dans toute l'analyse et en physique. À la fin, tu dois savoir :

écrire et utiliser la définition d'une limite avec $\varepsilon$ et $\eta$ , et la nier ;
calculer une limite par les opérations, la composition, les limites de référence et les encadrements, et montrer qu'une fonction n'a pas de limite ;
étudier la continuité en un point, prolonger une fonction par continuité, passer à la limite dans $f(u_n)$ ;
utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et la dichotomie, le théorème des bornes atteintes et le théorème de la bijection.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Définitions de la limite

$f \to \ell$ en $a$ réel : pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $\eta > 0$ tel que, pour tout $x \in I$ , $\lvert x - a \rvert \leq \eta$ entraîne $\lvert f(x) - \ell \rvert \leq \varepsilon$ . Le réel $\eta$ se choisit après $\varepsilon$ .
Limite $+\infty$ : « $f(x) \geq A$ » à la place de « $\lvert f(x) - \ell \rvert \leq \varepsilon$ ». Limite en $+\infty$ : « $x \geq B$ » à la place de « $\lvert x - a \rvert \leq \eta$ ». Inégalités larges partout.
Une limite est unique. Si $f$ est définie en $a$ et a une limite en $a$ , cette limite est $f(a)$ .
Limite finie : $f$ est bornée au voisinage de $a$ . Limite $\ell > 0$ : $f > \frac{\ell}{2}$ au voisinage de $a$ .

À retenir Droite, gauche, suites

$f(a^+)$ et $f(a^-)$ : limites des restrictions de $f$ à droite et à gauche de $a$ .
$f$ définie en $a$ (point intérieur) a une limite en $a$ si et seulement si $f(a^-) = f(a^+) = f(a)$ . L'indicatrice de $\{0\}$ a des limites $0$ à droite et à gauche, et pas de limite en $0$ .
Image d'une suite : si $f \to \ell$ en $a$ et $u_n \to a$ , alors $f(u_n) \to \ell$ .
Pas de limite : deux suites de limite $a$ dont les images ont des limites différentes. Une suite seule ne prouve jamais une limite.

À retenir Opérations et limites de référence

Somme, produit, quotient (limite du dénominateur non nulle), composition : mêmes règles que pour les suites.
Formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac00$ , $1^\infty$ , $\infty^0$ , $0^0$ . On écrit $u^v = e^{v\ln u}$ .
$\sin x \leq x \leq \tan x$ sur $\left]0, \frac\pi2\right[$ , et $\lvert \sin x \rvert \leq \lvert x \rvert$ sur $\mathbb{R}$ .
En $0$ : $\frac{\sin x}{x} \to 1$ , $\frac{1 - \cos x}{x^2} \to \frac12$ , $\frac{e^x - 1}{x} \to 1$ , $\frac{\ln(1 + x)}{x} \to 1$ .

À retenir Limites et inégalités

Passage à la limite : $f \leq g$ au voisinage de $a$ et limites finies $\ell$ , $\ell'$ donnent $\ell \leq \ell'$ ; l'inégalité stricte devient large ; les limites doivent exister.
Encadrement : $g \leq f \leq h$ et $g$ , $h \to \ell$ donnent l'existence de la limite de $f$ , égale à $\ell$ . Minoration par une fonction de limite $+\infty$ ; majoration par une fonction de limite $-\infty$ .
Limite monotone : $f$ croissante sur $]\alpha, \beta[$ a en $\beta$ une limite finie si elle est majorée (sa borne supérieure), $+\infty$ sinon ; en un point intérieur, $f(x_0^-) \leq f(x_0) \leq f(x_0^+)$ .

À retenir Continuité

$f$ continue en $a$ : $f(x) \to f(a)$ . Continue en $a$ intérieur si et seulement si continue à droite et à gauche.
Prolongement : pour $a \notin I$ , $f$ se prolonge par continuité en $a$ si et seulement si elle a une limite finie en $a$ .
Sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues. Les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition ; la partie entière l'est sur chaque intervalle $]n, n + 1[$ .
$f$ continue en $\ell$ et $u_n \to \ell$ donnent $f(u_n) \to f(\ell)$ . Si $u_{n+1} = f(u_n)$ , $u_n \to \ell \in I$ et $f$ est continue en $\ell$ , alors $f(\ell) = \ell$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Montrer qu'une équation a une solution, compter les solutions

Quand l’utiliser

L'énoncé demande de montrer qu'une équation $f(x) = y$ , ou $g(x) = h(x)$ , a au moins une solution, exactement une, ou un nombre donné de solutions ; ou qu'une fonction s'annule.

Rappel de cours

Théorème des valeurs intermédiaires : $f$ continue sur $[a, b]$ prend toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ . Avec des limites aux bornes : si $f$ est continue sur $]\alpha, \beta[$ de limites $\ell$ et $\ell'$ , toute valeur strictement entre $\ell$ et $\ell'$ est atteinte. Une fonction strictement monotone prend chaque valeur au plus une fois.

Démarche

Se ramener à $\varphi(x) = 0$ avec une fonction auxiliaire $\varphi = f - y$ ou $\varphi = g - h$ .
Plan en trois points : $\varphi$ est continue sur un intervalle ; elle prend des valeurs (ou a des limites) de signes opposés ; conclusion par le théorème des valeurs intermédiaires.
Pour l'unicité, montrer que $\varphi$ est strictement monotone sur l'intervalle (somme de fonctions strictement monotones, ou signe de la dérivée, résultat du chapitre « Techniques fondamentales de calcul en analyse »).
Pour compter, découper en intervalles de stricte monotonie et appliquer 2 et 3 sur chacun.

Rédaction type

« La fonction $\varphi$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$ ; $\varphi(a) = \ldots < 0$ et $\varphi(b) = \ldots > 0$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires, $\varphi$ s'annule au moins une fois sur $]a, b[$ . Comme $\varphi$ est strictement croissante, cette solution est unique. »

Exemple traité

Montrer que $e^x = 3 - x$ a une unique solution réelle, puis que $x^3 - 3x + 1 = 0$ a exactement trois solutions réelles.

Soit $\varphi(x) = e^x + x - 3$ : continue sur $\mathbb{R}$ , strictement croissante (somme de deux fonctions strictement croissantes), avec $\varphi(0) = -2 < 0$ et $\varphi(1) = e - 2 > 0$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires, elle s'annule sur $]0, 1[$ , et une seule fois sur $\mathbb{R}$ (environ $0{,}7921$ ).

Soit $p(x) = x^3 - 3x + 1$ , continue : $p(-2) = -1$ , $p(0) = 1$ , $p(1) = -1$ , $p(2) = 3$ . Les trois changements de signe donnent une racine dans chacun des intervalles $]-2, 0[$ , $]0, 1[$ et $]1, 2[$ ; un polynôme de degré $3$ a au plus trois racines, donc exactement trois.

Erreurs fréquentes

Oublier la continuité ou l'intervalle : un rapport de l'oral CCINP 2021 de la filière TSI écrit que l'hypothèse de continuité a été « massivement « oubliée » ».
Prendre un tableau de variations pour une preuve : un rapport de jury (CCINP 2024, filières MP et MPI, Mathématiques 2) note que « Le tableau de variation est parfois utilisé comme preuve ».
Déduire l'unicité du théorème des valeurs intermédiaires.

Pour s’entraîner

Exercices 11, 12, 13, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 27, 34, 37 et 39, problèmes 2 et 4.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Un polynôme du troisième degré a trois racines réelles ★☆☆

Démontrer que le polynôme $P(X) = X^3 - 6X^2 + 9X - 3$ admet trois racines réelles distinctes, sans chercher à les déterminer.

Indications

Calculer $P(0)$ , $P(1)$ , $P(3)$ , $P(4)$ et appliquer trois fois le théorème des valeurs intermédiaires, sur des intervalles disjoints.

Correction détaillée

La fonction polynomiale $P$ est continue sur $\mathbb{R}$ . On calcule

P(0) = -3, \qquad P(1) = 1, \qquad P(3) = 27 - 54 + 27 - 3 = -3, \qquad P(4) = 64 - 96 + 36 - 3 = 1.

$P$ change de signe sur chacun des segments $[0, 1]$ , $[1, 3]$ et $[3, 4]$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur chacun d'eux, $P$ a une racine dans chacun des intervalles ouverts $]0, 1[$ , $]1, 3[$ et $]3, 4[$ (les extrémités ne sont pas racines). Ces intervalles sont disjoints : les trois racines sont distinctes. Un polynôme de degré $3$ a au plus trois racines : ce sont toutes ses racines, et elles sont réelles.

Valeurs approchées (non demandées) : $0{,}4679$ ; $1{,}6527$ ; $3{,}8794$ .

Méthodes à retenir

Pour compter des racines, on trouve des changements de signe sur des intervalles disjoints, on applique le théorème des valeurs intermédiaires sur chacun, puis on borne le nombre de racines par le degré. Le rapport du jury de cette épreuve note : « Le tableau de variation est parfois utilisé comme preuve » ; un tableau résume, il ne démontre pas. Voir la méthode 10.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 19 méthodes, 27 pièges corrigés, la carte mentale, 47 exercices corrigés, 5 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Limite d'une fonction en un point
- 1.1 Cadre et voisinages
- 1.2 Limite finie en un point réel
- 1.3 Limites infinies, limites en $\pm\infty$
- 1.4 Premières propriétés
2. Limites à droite et à gauche
- 2.1 Définitions
- 2.2 Fonction définie sauf en un point
3. Limites et suites
- 3.1 Image d'une suite par une fonction
- 3.2 Montrer qu'une fonction n'a pas de limite
4. Opérations et composition
- 4.1 Opérations
- 4.2 Composition
- 4.3 Limites de référence, justifiées sans dérivée
5. Limites et inégalités
- 5.1 Passage à la limite
- 5.2 Encadrement, minoration, majoration
6. Théorème de la limite monotone
7. Continuité en un point
- 7.1 Définition
- 7.2 Prolongement par continuité
- 7.3 Opérations et composition
- 7.4 Continuité et suites
8. Continuité sur un intervalle, fonctions usuelles
9. Théorème des valeurs intermédiaires
- 9.1 Énoncé et démonstration
- 9.2 Conséquences
- 9.3 Approcher une solution par dichotomie
- 9.4 Un peu d'histoire
10. Théorème des bornes atteintes
11. Continuité, stricte monotonie et théorème de la bijection
- 11.1 Image d'un intervalle par une fonction strictement monotone
- 11.2 Théorème de la bijection
- 11.3 Pourquoi un intervalle
12. Fonctions à valeurs complexes
13. Caractérisation séquentielle de la limite
14. Caractérisation séquentielle de la continuité, continuité et injectivité
- 14.1 Caractérisation séquentielle de la continuité
- 14.2 Continuité, injectivité et stricte monotonie
15. Densité et continuité
16. Démonstration du théorème des bornes atteintes

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Écrire, nier et démontrer une limite par la définition
Calculer une limite par les opérations et la composition
Lever une forme indéterminée
Obtenir une limite par comparaison
Montrer l'existence d'une limite par la monotonie
Montrer qu'une fonction n'a pas de limite
Étudier la continuité en un point, d'une fonction définie par morceaux
Prolonger une fonction par continuité
Passer à la limite par continuité
Montrer qu'une équation a une solution, compter les solutions
Montrer l'existence d'un point fixe
Approcher une solution par dichotomie
Utiliser le théorème des bornes atteintes
Montrer qu'une fonction est une bijection et étudier sa réciproque
Résoudre une équation fonctionnelle avec une hypothèse de continuité
Étudier la limite ou la continuité d'une fonction à valeurs complexes
Démontrer une limite par les suites
Utiliser « continue et injective sur un intervalle, donc strictement monotone »
Identifier une fonction continue par ses valeurs sur une partie dense

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (17)

Deux limites par la définition
Trois limites par les opérations et les limites de référence
Une quantité conjuguée double
Puissances et fonctions réciproques en 0
x fois la partie entière de 1/x
Deux fonctions sans limite en l'infini
Une fonction définie avec la partie entière, continue sur R
Un prolongement par continuité, puis une borne atteinte
Un prolongement à deux paramètres
Continuité aux entiers
Une équation résolue par les valeurs intermédiaires
Un polynôme du troisième degré a trois racines réelles
Une solution approchée par dichotomie en Python
Un minorant strictement positif
Une bijection et sa réciproque explicite
La limite de (1 + x/n) puissance n
Limites et continuité de fonctions complexes

Entraînement (22)

L'indicatrice des rationnels
Le point fixe du cosinus
Une suite définie par une équation
Une équation à paramètre : e puissance lambda x égal à x
Une équation à trois solutions selon un paramètre
Point fixe d'une fonction continue et décroissante
Point fixe sur une demi-droite
Cordes horizontales et trajet de 120 km
Une fonction qui tend vers plus l'infini aux deux bouts atteint son minimum
Une moyenne d'écarts égale à un demi
L'image d'un intervalle semi-ouvert peut être ouverte
Une fonction égale à sa valeur en x sur 2
Une fonction égale à sa valeur en x au carré
Une fonction périodique qui a une limite en plus l'infini est constante
L'itération d'al-Kashi pour calculer sin 1°
Croissante, avec f(x)/x décroissante : continue
Une fonction qui rapproche les points sans avoir de point fixe
Une somme de fonctions inverses s'annule n moins 1 fois
Ce qui ne s'étend pas aux fonctions complexes
Une limite obtenue par les suites
Les fonctions continues égales à leur réciproque
L'image d'une partie dense par une fonction continue surjective

Approfondissement (8)

L'équation de Cauchy
L'équation f(2x) = f(x) cos x
La racine d'un polynôme dépend continûment du paramètre
Deux fonctions qui commutent prennent une même valeur
Aucune fonction continue ne prend chaque valeur exactement deux fois
Si f(x + 1) - f(x) tend vers l, alors f(x)/x aussi
Continue et injective sur un intervalle, donc strictement monotone
L'équation de d'Alembert

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Point fixe d'une fonction qui contracte les distances
CNC 2011, filière TSI, Mathématiques I, premier problème, questions 1.1 à 2.3.2, adaptées (énoncé corrigé aux questions 1.4 et 1.5.1 ; question ajoutée en 1.2.4 ; programme Python ajouté en 2.3.2)
Le minimum du module d'un polynôme et les polynômes de degré impair
CNC 2007, filière MP, Mathématiques II, première partie, A, questions 1(b) et 2, et deuxième partie, A, question 1(a), adaptées à une variable réelle (question 1(a) remplacée ; question 4 ajoutée)
Valeurs intermédiaires, dichotomie et point fixe en Python
e3a 2017, filière PSI, Mathématiques 1, exercice 4, partie A, questions 1(a) à 2(b)
Les zéros de deux fonctions trigonométriques
Concours commun Sup 2008 des écoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes, Mathématiques (toutes filières), second problème, partie A, questions 1, 2(a), 3 et 4(b) à 4(e), adaptées (question 4(a) remplacée ; question 5 adaptée, limite de 4(f) et dichotomie ajoutées)
Les périodes d'une fonction continue
CNC 2002, filière MP, Mathématiques I, partie II, questions 2(a) et 6(b), adaptées (partie stable par différence au lieu de sous-groupe ; résultat de la question 6(a) admis ; question 4 ajoutée)

Questions fréquentes

Comment montrer qu'une fonction a une limite en un point ?

Selon la forme de la fonction : les opérations et la composition, après s'être ramené en $0$ ( $x = a + h$ , ou $x = \frac1t$ en $\pm\infty$ ) ; les limites de référence $\frac{\sin x}{x}$ , $\frac{e^x - 1}{x}$ et $\frac{\ln(1 + x)}{x}$ , qui tendent vers $1$ en $0$ ; le théorème d'encadrement, si $g \leq f \leq h$ avec $g$ et $h$ de même limite ; le théorème de la limite monotone. Pour montrer qu'il n'y a pas de limite, on exhibe deux suites de limite $a$ dont les images ont des limites différentes : $\sin\frac1x$ n'a pas de limite en $0$ . Une seule suite ne prouve jamais une limite.

Quand peut-on prolonger une fonction par continuité ?

Si $f$ n'est pas définie en un point $a$ (extrémité de son intervalle de définition, ou point intérieur exclu), elle se prolonge par continuité en $a$ si et seulement si elle a une limite finie $\ell$ en $a$ ; on pose alors $f(a) = \ell$ . Ainsi $x \mapsto \frac{e^x - 1}{x}$ se prolonge par $1$ en $0$ . Une limite infinie, ou des limites à droite et à gauche différentes, empêchent le prolongement. On ne dit pas qu'une fonction est continue en un point où elle n'est pas définie.

Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ?

Si $f$ est continue sur un segment $[a, b]$ , elle prend toute valeur $y$ comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ : il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$ . En particulier, si $f(a)f(b) < 0$ , $f$ s'annule sur $]a, b[$ , et l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Le théorème ne donne pas l'unicité, qui vient d'une stricte monotonie, et il demande un intervalle : $\frac1x$ prend les valeurs $-1$ et $1$ sans s'annuler. Sa démonstration par dichotomie donne aussi une valeur approchée de la solution.

Que dit le théorème des bornes atteintes ?

Une fonction continue sur un segment $[a, b]$ est bornée et atteint ses bornes : elle a un minimum et un maximum, et l'image du segment est un segment. Hors d'un segment, c'est faux : $\frac1x$ n'est pas bornée sur $]0, 1]$ , et $\arctan$ n'atteint pas sa borne supérieure $\frac\pi2$ sur $\mathbb{R}$ . Une conséquence très utile : une fonction continue et strictement positive sur $[a, b]$ a un minorant strictement positif. Sa démonstration, par le théorème de Bolzano-Weierstrass, n'est faite qu'en MPSI (Maroc et France) et en MP2I ; elle est hors programme en PCSI, PTSI, TSI1 et TPC1 de France.

Comment montrer qu'une fonction est une bijection ?

Par le théorème de la bijection : si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , elle réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$ , dont les extrémités se lisent sur les valeurs et les limites de $f$ aux bornes de $I$ ; sa réciproque est continue et strictement monotone, de même sens, et les deux graphes sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ . On calcule toujours $f(I)$ : $\arctan$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\left]-\frac\pi2, \frac\pi2\right[$ , et non sur $\mathbb{R}$ .

Comment trouver la limite d'une suite définie par u(n+1) = f(u(n)) ?

On montre d'abord que la suite converge, vers un réel $\ell$ de l'intervalle d'étude. Si $f$ est continue en $\ell$ , alors $f(u_n) \to f(\ell)$ , et comme $u_{n+1} \to \ell$ , la limite vérifie $f(\ell) = \ell$ : on résout cette équation et l'on garde la solution compatible avec un encadrement de la suite. Sans la continuité, la conclusion peut être fausse, et les rapports de jury relèvent souvent cet oubli. L'étude complète de ces suites fait l'objet du chapitre « Suites récurrentes », dans les classes qui l'ont au programme.

Qu'est-ce que la caractérisation séquentielle de la limite ?

Dans toutes les classes, si $f \to \ell$ en $a$ et $u_n \to a$ , alors $f(u_n) \to \ell$ . La réciproque, « $f \to \ell$ en $a$ si $f(u_n) \to \ell$ pour toute suite $u_n \to a$ », n'est au programme qu'au Maroc et en MPSI, MP2I et PCSI de France. La caractérisation séquentielle de la continuité et le théorème « une fonction continue sur un intervalle est injective si et seulement si elle est strictement monotone » sont au programme marocain et en MPSI et MP2I de France ; la densité appliquée aux fonctions continues, en MPSI (Maroc et France), en MP2I et en PCSI du Maroc.

Comment y accéder

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