Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs : divisibilité, PGCD, PPCM, nombres premiers et décomposition

Q: Comment écrire la division euclidienne d'un entier négatif ?

Pour a ∈ Z et b ∈ N^*, il existe un unique couple (q, r) tel que a = bq + r et 0 ≤ r < b ; le quotient est la partie entière q = lfloor frac ab rfloor. Le reste n'est jamais négatif : -17 = 5 × (-4) + 3, quotient -4 et reste 3. L'égalité -17 = 5 × (-3) - 2 est vraie, mais ce n'est pas la division euclidienne.

Q: Comment calculer un PGCD avec l'algorithme d'Euclide ?

On divise le plus grand entier par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et ainsi de suite : le PGCD est le dernier reste non nul. Cela marche parce que, si a = bq + r, les diviseurs communs de a et b sont ceux de b et r. Par exemple 75 = 42 + 33, 42 = 33 + 9, 33 = 3 × 9 + 6, 9 = 6 + 3, 6 = 2 × 3 : donc 75 wedge 42 = 3.

Q: Quel lien entre le PGCD et les diviseurs communs ?

Les diviseurs communs de a et b sont exactement les diviseurs de leur PGCD : D(a) ∩ D(b) = D(a wedge b). Un entier qui divise a et b divise donc a wedge b. Ce résultat se démontre par l'algorithme d'Euclide, et il permet de montrer que deux PGCD sont égaux par double divisibilité.

Q: Si a et b divisent c, est-ce que ab divise c ?

Pas en général : 6 et 9 divisent 18, mais 54 ne divise pas 18. Ce qui est toujours vrai, c'est que le PPCM de a et b divise c, puisque les multiples communs de a et b sont exactement les multiples de a vee b.

Q: Quelle relation entre PGCD, PPCM et produit ?

Pour des entiers non nuls, (a wedge b)(a vee b) = lvert abrvert. Sur les décompositions en facteurs premiers, le PGCD prend pour chaque nombre premier le plus petit des deux exposants, le PPCM le plus grand. Avec 72 = 2^3 × 3^2 et 108 = 2^2 × 3^3, on trouve 72 wedge 108 = 36, 72 vee 108 = 216 et 36 × 216 = 72 × 108.

Q: Comment savoir si un entier est premier ?

Un entier n ≥ 2 est premier si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et n ; 1 n'est pas premier. Il suffit d'essayer les nombres premiers p tels que p^2 ≤ n : si aucun ne divise n, alors n est premier. Ainsi 221 = 13 × 17 est composé, alors que 211 est premier, puisque ni 2, 3, 5, 7, 11 ni 13 ne le divisent et que 17^2 > 211. Pour lister tous les nombres premiers jusqu'à N, on utilise le crible d'Ératosthène.

Q: Pourquoi y a-t-il une infinité de nombres premiers ?

Si p_1, …, p_k étaient tous les nombres premiers, l'entier N = p_1 p_2 … p_k + 1 aurait un diviseur premier, égal à l'un des p_i ; ce p_i diviserait N et le produit p_1 … p_k, donc leur différence 1, ce qui est impossible. C'est le théorème d'Euclide.

Q: Combien un entier a-t-il de diviseurs ?

On le décompose en facteurs premiers, n = p_1^(α_1) … p_k^(α_k) : ses diviseurs positifs sont les p_1^(β_1) … p_k^(β_k) avec 0 ≤ β_i ≤ α_i, et il y en a (α_1 + 1)… (α_k + 1). Par exemple 72 = 2^3 × 3^2 a 4 × 3 = 12 diviseurs positifs, et 600 = 2^3 × 3 × 5^2 en a 24.

Divisibilité et division euclidienne, PGCD et algorithme d'Euclide, PPCM, nombres premiers et leur infinité, décomposition en facteurs premiers et calcul du PGCD et du PPCM, arithmétique en Python ; selon la classe, entiers premiers entre eux, valuations p-adiques et forme irréductible d'un rationnel, relation et théorème de Bézout, lemme de Gauss, congruences, inverse modulo n et petit théorème de Fermat.

20méthodes
44exercices corrigés
5problèmes
21pièges
30figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

L'arithmétique des entiers étudie la divisibilité : diviseurs et multiples, division euclidienne et restes, PGCD calculé par l'algorithme d'Euclide, PPCM, nombres premiers et leur infinité, décomposition en facteurs premiers, qui donne les diviseurs d'un entier, son PGCD et son PPCM avec un autre. Le chapitre montre aussi comment programmer ces calculs en Python. Il est au programme de MPSI et de PCSI au Maroc, et de MPSI, MP2I, PCSI et PTSI en France, la PTSI travaillant dans $\mathbb{N}$ ; il ne concerne pas la TSI ni la TPC. Les entiers premiers entre eux, les valuations et la forme irréductible d'un rationnel sont étudiés en MPSI, en MP2I et en PCSI au Maroc ; la relation de Bézout, le lemme de Gauss, les congruences et le petit théorème de Fermat le sont seulement en MPSI et en MP2I.

Ce que tu sauras faire

Ce chapitre étudie la divisibilité des entiers relatifs : diviseurs, restes, plus grand diviseur commun, nombres premiers. À la fin, tu dois savoir :

écrire une division euclidienne et raisonner sur les restes ;
calculer un PGCD par l'algorithme d'Euclide, un PPCM, et raisonner sur les diviseurs communs ;
reconnaître un nombre premier et utiliser la décomposition en facteurs premiers ;
programmer ces calculs en Python.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Divisibilité

$a \mid b$ s'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $b = ka$ . $\mathcal{D}(a) = \mathcal{D}(-a)$ ; $0$ est multiple de tout entier et ne divise que $0$ .
Transitivité ; si $a \mid b$ et $a \mid c$ , alors $a \mid bu + cv$ pour tous $u, v \in \mathbb{Z}$ .
Si $a \mid b$ et $b \neq 0$ , alors $\lvert a\rvert \leq \lvert b\rvert$ . Si $a \mid b$ et $b \mid a$ , alors $b = \pm a$ .
$a - b$ divise $a^n - b^n$ .

À retenir Division euclidienne

Pour $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$ , il existe un unique $(q, r) \in \mathbb{Z}^2$ tel que $a = bq + r$ et $0 \leq r < b$ . Le quotient est $q = \left\lfloor \frac ab\right\rfloor$ .
$b \mid a$ si et seulement si $r = 0$ .
Deux entiers ont le même reste par $n$ si et seulement si $n$ divise leur différence. Le reste d'une somme, d'un produit, d'une puissance ne dépend que des restes.

À retenir PGCD et algorithme d'Euclide

Pour $a, b$ non tous deux nuls, $a \wedge b$ est le plus grand diviseur commun ; $a \wedge 0 = \lvert a\rvert$ ; convention $0 \wedge 0 = 0$ .
Si $a = bq + r$ , alors $a \wedge b = b \wedge r$ .
Algorithme d'Euclide : le PGCD est le dernier reste non nul.
$\mathcal{D}(a) \cap \mathcal{D}(b) = \mathcal{D}(a \wedge b)$ : tout diviseur commun divise le PGCD. Deux PGCD qui se divisent l'un l'autre sont égaux.

À retenir PPCM

Pour $a, b$ non nuls, $a \vee b$ est le plus petit multiple commun strictement positif ; $a \vee 0 = 0$ .
Les multiples communs de $a$ et $b$ sont les multiples de $a \vee b$ : si $a \mid c$ et $b \mid c$ , alors $a \vee b \mid c$ (et pas forcément $ab \mid c$ ).
$(a \wedge b)(a \vee b) = \lvert ab\rvert$ .

À retenir Nombres premiers

$p$ est premier si $p \geq 2$ et si ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $p$ ; $1$ n'est pas premier.
Le plus petit diviseur $d \geq 2$ d'un entier $n \geq 2$ est premier. Si $n$ n'a aucun diviseur premier $p \leq \sqrt n$ , il est premier.
Crible d'Ératosthène : barrer les multiples de chaque nombre premier, en commençant par son carré, s'arrêter quand $p^2 > N$ .
Théorème d'Euclide : il y a une infinité de nombres premiers.

À retenir Décomposition en facteurs premiers

Tout $n \geq 2$ s'écrit de façon unique $p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$ , avec $p_1 < \cdots < p_k$ premiers et $\alpha_i \geq 1$ .
Un nombre premier qui divise un produit divise l'un des facteurs (souvent appelé lemme d'Euclide).
Les diviseurs positifs de $n$ sont les $\prod p_i^{\beta_i}$ avec $0 \leq \beta_i \leq \alpha_i$ ; il y en a $\prod(\alpha_i + 1)$ .
PGCD : plus petits exposants ; PPCM : plus grands exposants.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Calculer un PGCD par l'algorithme d'Euclide

Quand l’utiliser

On demande le PGCD de deux entiers donnés, surtout s'ils sont grands, ou une justification algorithmique.

Rappel de cours

Si $a = bq + r$ , alors $a \wedge b = b \wedge r$ . L'algorithme d'Euclide divise successivement ; le PGCD est le dernier reste non nul.

Démarche

Se ramener à $a \geq b > 0$ (valeurs absolues).
Écrire les divisions successives dans un tableau : dividende, diviseur, quotient, reste.
S'arrêter au premier reste nul ; lire le dernier reste non nul.
Contrôler : le résultat divise $a$ et $b$ .

Rédaction type

« Par l'algorithme d'Euclide : $a = bq_1 + r_1$ , $b = r_1q_2 + r_2$ , …, $r_{N-1} = r_Nq_{N+1} + 0$ . Le dernier reste non nul est $r_N$ , donc $a \wedge b = r_N$ . »

Exemple traité

Calculer $1914 \wedge 899$ .

dividende	diviseur	quotient	reste
$1914$	$899$	$2$	$116$
$899$	$116$	$7$	$87$
$116$	$87$	$1$	$29$
$87$	$29$	$3$	$0$

Le dernier reste non nul est $29$ : $1914 \wedge 899 = 29$ . Contrôle : $1914 = 29 \times 66$ et $899 = 29 \times 31$ .

Erreurs fréquentes

Prendre le dernier reste, qui est nul, au lieu du dernier reste non nul.
Écrire une égalité dont le reste dépasse le diviseur.
S'arrêter trop tôt, sur un reste qui ne divise pas le précédent.

Pour s’entraîner

Exercices 5, 11, 26 et 28, problèmes 1 et 2.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Paver un panneau de 252 cm sur 198 cm ★☆☆

On veut couvrir le panneau rectangulaire d'une bibliothèque de quartier, de $252$ cm sur $198$ cm, par des carreaux carrés identiques, dont le côté est un nombre entier de centimètres, sans découpe ni chevauchement.

Montrer que le côté d'un carreau doit diviser $252$ et $198$ .
Quel est le plus grand côté possible ? Combien faut-il alors de carreaux ?
Quels sont tous les côtés possibles ?

Indications

1 : une rangée le long d'un bord contient un nombre entier de carreaux.
2 : calculer $252 \wedge 198$ par l'algorithme d'Euclide.
3 : les diviseurs communs sont les diviseurs du PGCD.

Analyse : comment trouver l’idée

Un pavage exact par des carrés de côté $c$ demande que $c$ tienne un nombre entier de fois dans chaque côté : $c$ est un diviseur commun. Le plus grand est le PGCD, et l'ensemble des côtés possibles est l'ensemble des diviseurs du PGCD.

Correction détaillée

1. Le long du côté de $252$ cm, les carreaux sont posés bord à bord, sans découpe : si l'on en pose $k$ , alors $kc = 252$ . De même $k'c = 198$ le long de l'autre côté. Donc $c$ divise $252$ et $198$ . Réciproquement, si $c$ divise les deux, une grille de $\frac{252}{c}$ colonnes et $\frac{198}{c}$ rangées pave exactement le panneau.

2. Par l'algorithme d'Euclide :

252 = 1 \times 198 + 54, \quad 198 = 3 \times 54 + 36, \quad 54 = 1 \times 36 + 18, \quad 36 = 2 \times 18.

Donc $252 \wedge 198 = 18$ : le plus grand côté est $18$ cm. Il faut $\frac{252}{18} \times \frac{198}{18} = 14 \times 11 = 154$ carreaux.

Le panneau de 252 cm sur 198 cm pavé par 154 carreaux de 18 cm de côté : 14 colonnes et 11 rangées.

3. Les côtés possibles sont les diviseurs communs de $252$ et $198$ , c'est-à-dire les diviseurs positifs de $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ cm.

Méthodes à retenir

Un problème de pavage exact ou de partage en parts égales se traduit par des diviseurs communs ; le plus grand est le PGCD, et tous les autres sont ses diviseurs. Voir la méthode 4.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 20 méthodes, 21 pièges corrigés, la carte mentale, 44 exercices corrigés, 5 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Divisibilité dans $\mathbb{Z}$
- 1.1 Diviseurs et multiples
- 1.2 Propriétés
- 1.3 Inversibles, entiers associés, divisibilité et ordre
2. Division euclidienne
- 2.1 Le théorème
- 2.2 Restes et disjonction de cas
- 2.3 Quotient et partie entière, calcul pratique
3. PGCD de deux entiers et algorithme d'Euclide
- 3.1 Définition
- 3.2 Le lemme des restes
- 3.3 L'algorithme d'Euclide
- 3.4 Diviseurs communs et PGCD
- 3.5 Entiers premiers entre eux
4. PPCM
- 4.1 Définition
- 4.2 Multiples communs
5. Nombres premiers
- 5.1 Définition, plus petit diviseur
- 5.2 Le crible d'Ératosthène
- 5.3 Il y a une infinité de nombres premiers
6. Décomposition en facteurs premiers
- 6.1 Le théorème fondamental de l'arithmétique
- 6.2 Un nombre premier qui divise un produit
- 6.3 Les diviseurs d'un entier
- 6.4 PGCD et PPCM par la décomposition
7. Arithmétique en Python
- 7.1 Division et PGCD
- 7.2 Primalité, crible, décomposition
- 7.3 Exponentiation rapide
8. Valuations $p$ -adiques et forme irréductible
- 8.1 Valuation
- 8.2 Divisibilité, PGCD et PPCM par les valuations
- 8.3 Forme irréductible d'un rationnel
9. Relation de Bézout et lemme de Gauss
- 9.1 Relation de Bézout, algorithme d'Euclide étendu
- 9.2 Théorème de Bézout
- 9.3 Lemme de Gauss et conséquences
- 9.4 PGCD d'un nombre fini d'entiers
- 9.5 Démonstration de l'unicité de la décomposition
10. Congruences et petit théorème de Fermat
- 10.1 Rappel et opérations
- 10.2 Critères de divisibilité, cycles de restes
- 10.3 Inverse modulo $n$ , équation $ax \equiv b \ [n]$
- 10.4 Systèmes de deux congruences
- 10.5 Petit théorème de Fermat
- 10.6 Programmes Python

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Montrer qu'un entier en divise un autre
Démontrer une divisibilité qui dépend de $n$ par récurrence
Effectuer une division euclidienne et raisonner sur les restes
Calculer un PGCD par l'algorithme d'Euclide
Montrer qu'un entier divise un PGCD, ou que deux PGCD sont égaux
Trouver le PGCD de deux entiers qui dépendent de $n$
Calculer un PPCM, résoudre un problème de période ou un système PGCD-PPCM
Résoudre une équation en entiers
Montrer qu'un entier est premier ou composé
Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers d'une forme donnée
Utiliser la décomposition en facteurs premiers
Programmer l'arithmétique en Python
Montrer que deux entiers sont premiers entre eux, rendre une fraction irréductible
Calculer avec les valuations $p$ -adiques
Obtenir une relation de Bézout
Résoudre $ax + by = c$ dans $\mathbb{Z}^2$
Utiliser Bézout et Gauss pour une divisibilité ou une coprimalité
Calculer modulo $n$
Inverser modulo $n$ et résoudre $ax \equiv b \ [n]$
Résoudre un système de deux congruences à la main

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (18)

Divisions euclidiennes de 1000 et de −1000 par 7
Divisibilité de 5n³ + n par 6
Divisibilité de 3^(2n+1) + 2^(n+2) par 7
Restes d'un carré dans les divisions par 4 et par 8
Algorithme d'Euclide pour 1071 et 462
Deux PGCD qui dépendent de n
Un système PGCD et PPCM
Le nombre 2027 est-il premier ? Et 2021 ?
Décomposer 360 et 756
Le crible en Python
Paver un panneau de 252 cm sur 198 cm
Une fraction toujours irréductible
Les zéros à la fin de l'écriture de factorielle 1000
Bézout pour 473 et 220
L'équation 147x + 495y = 12
Deux calculs de restes
Inverse modulo 30, congruence modulo 21
Si a ∧ b = 1, alors (a + b) ∧ ab = 1

Entraînement (19)

Le PGCD de 15a + 4b et 11a + 3b
Les nombres de Mersenne
Si a^m + 1 est premier, a est pair et m est une puissance de 2
Les nombres 2^(2^n) + 1 et l'infinité des nombres premiers
L'équation xy = 2x + 3y dans Z²
Quels entiers sont différence de deux carrés ?
L'équation 3x³ + xy + 4y³ = 349 dans N²
Nombre et somme des diviseurs
Deux entiers de somme 144 et de PPCM 420
Critères de divisibilité par 9, par 11 et par 7
Le problème d'Ibn al-Haytham
L'équation x² + y² = 3z²
Exponentiation rapide en Python
Racine carrée d'un entier : entière ou irrationnelle
Le petit théorème de Fermat par les coefficients binomiaux
Systèmes de congruences
Le théorème de Wilson
Deux divisibilités par le petit théorème de Fermat
Premiers dans leur ensemble, premiers deux à deux

Approfondissement (7)

La règle de Thabit ibn Qurra pour les nombres amiables
Le PGCD de a^m − 1 et a^n − 1
La somme des chiffres de 4444^4444
Le PGCD de deux termes de la suite de Fibonacci
Le produit de diviseurs premiers entre eux
Un chiffrement RSA à petits nombres
Divisibilité de p² − 1 par 24 et de p^16 − 1 par 16 320

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Diviseurs, nombres premiers et plus grand diviseur commun
CNC 2026, filière MP, épreuve d'informatique, exercice « Plus grand diviseur commun », questions Q.1 à Q.7 (exemple de la question Q.3 corrigé) ; questions 8 à 10 ajoutées
L'algorithme d'Euclide et la suite de Fibonacci
CCINP 2016, filière MP, Mathématiques 2, exercice I (informatique), questions I.1 à I.5, adaptées (comparaison de la question I.3.c faite par un encadrement de F_n)
Une majoration du PPCM des premiers entiers
Centrale-Supélec 2025, filière MP-MPI, Mathématiques 1, partie B, questions Q15 à Q18, adaptées (Q14 remplacée par une question sur la division euclidienne ; Q19 retirée)
Un encadrement du nombre de nombres premiers
Centrale-Supélec 2025, filière MP-MPI, Mathématiques 1, partie A, questions Q1 à Q13 (énoncé de la question Q9 corrigé)
Le petit théorème de Fermat et une suite récurrente
Concours commun 2010 des écoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes, épreuve spécifique de mathématiques (filière MPSI), problème 2, questions 21, 22, 33, 34 et 37, adaptées (parties matricielles retirées)

Questions fréquentes

Comment écrire la division euclidienne d'un entier négatif ?

Pour $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$ , il existe un unique couple $(q, r)$ tel que $a = bq + r$ et $0 \leq r < b$ ; le quotient est la partie entière $q = \left\lfloor \frac ab\right\rfloor$ . Le reste n'est jamais négatif : $-17 = 5 \times (-4) + 3$ , quotient $-4$ et reste $3$ . L'égalité $-17 = 5 \times (-3) - 2$ est vraie, mais ce n'est pas la division euclidienne.

Comment calculer un PGCD avec l'algorithme d'Euclide ?

On divise le plus grand entier par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et ainsi de suite : le PGCD est le dernier reste non nul. Cela marche parce que, si $a = bq + r$ , les diviseurs communs de $a$ et $b$ sont ceux de $b$ et $r$ . Par exemple $75 = 42 + 33$ , $42 = 33 + 9$ , $33 = 3 \times 9 + 6$ , $9 = 6 + 3$ , $6 = 2 \times 3$ : donc $75 \wedge 42 = 3$ .

Quel lien entre le PGCD et les diviseurs communs ?

Les diviseurs communs de $a$ et $b$ sont exactement les diviseurs de leur PGCD : $\mathcal{D}(a) \cap \mathcal{D}(b) = \mathcal{D}(a \wedge b)$ . Un entier qui divise $a$ et $b$ divise donc $a \wedge b$ . Ce résultat se démontre par l'algorithme d'Euclide, et il permet de montrer que deux PGCD sont égaux par double divisibilité.

Si a et b divisent c, est-ce que ab divise c ?

Pas en général : $6$ et $9$ divisent $18$ , mais $54$ ne divise pas $18$ . Ce qui est toujours vrai, c'est que le PPCM de $a$ et $b$ divise $c$ , puisque les multiples communs de $a$ et $b$ sont exactement les multiples de $a \vee b$ .

Quelle relation entre PGCD, PPCM et produit ?

Pour des entiers non nuls, $(a \wedge b)(a \vee b) = \lvert ab\rvert$ . Sur les décompositions en facteurs premiers, le PGCD prend pour chaque nombre premier le plus petit des deux exposants, le PPCM le plus grand. Avec $72 = 2^3 \times 3^2$ et $108 = 2^2 \times 3^3$ , on trouve $72 \wedge 108 = 36$ , $72 \vee 108 = 216$ et $36 \times 216 = 72 \times 108$ .

Comment savoir si un entier est premier ?

Un entier $n \geq 2$ est premier si ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $n$ ; $1$ n'est pas premier. Il suffit d'essayer les nombres premiers $p$ tels que $p^2 \leq n$ : si aucun ne divise $n$ , alors $n$ est premier. Ainsi $221 = 13 \times 17$ est composé, alors que $211$ est premier, puisque ni $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ ni $13$ ne le divisent et que $17^2 > 211$ . Pour lister tous les nombres premiers jusqu'à $N$ , on utilise le crible d'Ératosthène.

Pourquoi y a-t-il une infinité de nombres premiers ?

Si $p_1, \ldots, p_k$ étaient tous les nombres premiers, l'entier $N = p_1 p_2 \cdots p_k + 1$ aurait un diviseur premier, égal à l'un des $p_i$ ; ce $p_i$ diviserait $N$ et le produit $p_1 \cdots p_k$ , donc leur différence $1$ , ce qui est impossible. C'est le théorème d'Euclide.

Combien un entier a-t-il de diviseurs ?

On le décompose en facteurs premiers, $n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$ : ses diviseurs positifs sont les $p_1^{\beta_1} \cdots p_k^{\beta_k}$ avec $0 \leq \beta_i \leq \alpha_i$ , et il y en a $(\alpha_1 + 1)\cdots(\alpha_k + 1)$ . Par exemple $72 = 2^3 \times 3^2$ a $4 \times 3 = 12$ diviseurs positifs, et $600 = 2^3 \times 3 \times 5^2$ en a $24$ .

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