Structures algébriques usuelles : lois, groupes, sous-groupes, morphismes, anneaux et corps

Q: Comment montrer qu'une partie est un sous-groupe ?

On utilise la caractérisation : H est un sous-groupe du groupe G si et seulement si H ⊂ G, le neutre e de G est dans H, et xy^(-1) ∈ H pour tous x, y ∈ H (en notation additive, x - y ∈ H). La stabilité par produit ne suffit pas : N est stable par addition, mais ce n'est pas un sous-groupe de (Z, +). On peut aussi reconnaître un noyau ou une image de morphisme, qui sont toujours des sous-groupes.

Q: Quel est l'inverse d'un produit dans un groupe ?

(xy)^(-1) = y^(-1)x^(-1) : l'ordre s'inverse. On n'écrit x^(-1)y^(-1) que si x et y commutent. De même, (xy)^n = x^ny^n n'est vrai en général que pour des éléments qui commutent.

Q: Qu'est-ce que le noyau d'un morphisme de groupes ?

Pour un morphisme f : G → G', le noyau est Ker f = \x ∈ G ; f(x) = e'\, où e' est le neutre de G'. C'est un sous-groupe de G, qui contient toujours le neutre e : il n'est jamais vide. Le morphisme est injectif si et seulement si Ker f = \e\. Par exemple, le noyau de θ ↦ e^(iθ), de (R, +) dans (U, ×), est 2piZ.

Q: Le groupe des permutations est-il commutatif ?

Non, dès que l'ensemble a au moins trois éléments. Sur \1, 2, 3\, si σ échange 1 et 2 et si τ échange 2 et 3, alors σ ∘ τ envoie 1 sur 2, tandis que τ ∘ σ envoie 1 sur 3.

Q: Quand peut-on utiliser la formule du binôme dans un anneau ?

Seulement quand les deux éléments commutent : si ab = ba, alors (a + b)^n = Σ_(k=0)^nC(n, k)a^kb^(n-k) et a^n - b^n = (a - b)Σ_(k=0)^(n-1)a^kb^(n-1-k). Sinon, (a + b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2, et l'on ne peut pas regrouper ab + ba en 2ab. L'élément 1 commute avec tous les autres.

Q: Quelle différence entre un anneau intègre et un corps ?

Un anneau intègre est un anneau commutatif, non réduit à \0\, où un produit nul a un facteur nul. Un corps est un anneau commutatif, non réduit à \0\, où tout élément non nul est inversible. Tout corps est intègre, mais la réciproque est fausse : Z est intègre et n'est pas un corps, puisque 2 n'y est pas inversible.

Q: Quels sont les éléments inversibles de l'anneau des entiers de Gauss ?

Si z = a + ib, avec a, b ∈ Z, a un inverse z' dans Z[i], alors lvert zrvert^2lvert z'rvert^2 = 1 avec deux entiers naturels, donc a^2 + b^2 = 1. Les inversibles sont donc 1, -1, i et -i, les quatre racines quatrièmes de l'unité.

Q: Qu'est-ce qu'un morphisme d'anneaux ?

Une application f : A → B telle que f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b) et f(1_A) = 1_B. La dernière condition n'est pas automatique : l'application nulle respecte l'addition et la multiplication sans être un morphisme d'anneaux. Le noyau d'un morphisme d'anneaux n'est pas un sous-anneau, puisqu'il ne contient pas 1_A.

Lois de composition internes, groupes et groupe des permutations, sous-groupes, morphismes de groupes, noyau et image ; anneaux, calcul et formule du binôme, groupe des inversibles, anneaux intègres, corps, sous-anneaux, morphismes d'anneaux ; exemples usuels.

17méthodes
35exercices corrigés
4problèmes
15pièges
26figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Les structures algébriques donnent un vocabulaire commun aux calculs sur les nombres, les ensembles et les applications : lois de composition interne, élément neutre et éléments inversibles, groupes et sous-groupes, groupe des permutations, morphismes de groupes avec leur noyau et leur image, puis anneaux, formule du binôme quand deux éléments commutent, groupe des inversibles, anneaux intègres, corps, sous-anneaux et morphismes d'anneaux. Le chapitre est au programme de MPSI au Maroc et en France, et de MP2I ; les autres classes de première année n'ont pas ce chapitre. La suite (sous-groupe engendré, ordre d'un élément, idéaux, anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ) est étudiée en deuxième année, en MP et en MPI.

Ce que tu sauras faire

Les entiers, les réels, les complexes, les bijections d'un ensemble se calculent avec des règles qui se ressemblent. Ce chapitre leur donne un vocabulaire commun : lois, groupes, anneaux, corps. À la fin, tu dois savoir :

étudier une loi de composition interne : associativité, commutativité, élément neutre, éléments inversibles ;
montrer qu'un ensemble est un groupe, qu'une partie est un sous-groupe ;
reconnaître un morphisme de groupes, calculer son noyau et son image, en déduire son injectivité ;
reconnaître un anneau, un sous-anneau, un corps, calculer dans un anneau et déterminer ses éléments inversibles ;
reconnaître un morphisme d'anneaux.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Lois de composition interne

Une loi interne sur $E$ associe à deux éléments de $E$ un élément de $E$ . Une partie $F$ est stable si $x, y \in F$ entraîne $x \star y \in F$ .
Associative : $(x \star y) \star z = x \star (y \star z)$ . Commutative : $x \star y = y \star x$ .
Neutre : $e \star x = x \star e = x$ pour tout $x$ ; il est unique.
Inversible (loi de neutre $e$ ) : il existe $y$ tel que $x \star y = y \star x = e$ . Si la loi est associative, l'inverse est unique, noté $x^{-1}$ , et $(x^{-1})^{-1} = x$ .
Inverse d'un produit : $(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$ , l'ordre s'inverse.
Distributivité de $\times$ sur $+$ : $a(b + c) = ab + ac$ et $(b + c)a = ba + ca$ .
Itérés : $x^{m+n} = x^mx^n$ , $(x^m)^n = x^{mn}$ , $x^{-n} = (x^n)^{-1}$ ; $(xy)^n = x^ny^n$ si $x$ et $y$ commutent.

À retenir Groupes

Groupe : loi interne associative, avec neutre, dont tout élément est inversible. Commutatif (abélien) si la loi l'est.
Dans un groupe, on simplifie à gauche et à droite ; $ax = b$ a l'unique solution $x = a^{-1}b$ .
Exemples du programme : $(\mathbb{Z}, +)$ , $(\mathbb{Q}, +)$ , $(\mathbb{R}, +)$ , $(\mathbb{C}, +)$ ; $(\mathbb{Q}^*, \times)$ , $(\mathbb{Q}_+^*, \times)$ , $(\mathbb{R}^*, \times)$ , $(\mathbb{R}_+^*, \times)$ , $(\mathbb{C}^*, \times)$ , $(\mathbb{U}, \times)$ , $(\mathbb{U}_n, \times)$ .
$(\mathcal{S}_E, \circ)$ , bijections de $E$ dans $E$ , est un groupe, non commutatif dès que $E$ a au moins trois éléments.
Groupe produit $G \times G'$ : loi composante par composante, neutre $(e, e')$ , inverse $(x^{-1}, x'^{-1})$ .
Dans la table d'un groupe fini, chaque élément apparaît une fois par ligne et une fois par colonne.

À retenir Sous-groupes

$H$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $H \subset G$ , $e \in H$ et $xy^{-1} \in H$ pour tous $x, y \in H$ (en additif : $x - y \in H$ ). On peut remplacer $e \in H$ par $H \neq \varnothing$ .
Un sous-groupe est un groupe, de même neutre que $G$ .
Exemples : $n\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$ ; $\mathbb{U}$ dans $\mathbb{C}^*$ ; $\mathbb{U}_n$ dans $\mathbb{U}$ ; $\mathbb{R}_+^*$ dans $\mathbb{R}^*$ .

À retenir Morphismes de groupes

$f : G \to G'$ est un morphisme si $f(xy) = f(x)f(y)$ . Alors $f(e) = e'$ , $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$ , $f(x^n) = f(x)^n$ .
La composée de deux morphismes est un morphisme.
L'image directe d'un sous-groupe, l'image réciproque d'un sous-groupe sont des sous-groupes.
$\operatorname{Ker} f = f^{-1}(\{e'\})$ et $\operatorname{Im} f = f(G)$ sont des sous-groupes ; le noyau contient toujours $e$ .
$f(x) = f(y) \iff xy^{-1} \in \operatorname{Ker} f$ ; $f$ injectif si et seulement si $\operatorname{Ker} f = \{e\}$ .
La réciproque d'un isomorphisme est un isomorphisme. Deux groupes isomorphes ont les mêmes propriétés de calcul (commutativité, nombre de solutions de $x^2 = e$ ).
Exemples : $\ln$ , $\exp$ ; $\theta \mapsto e^{i\theta}$ , de noyau $2\pi\mathbb{Z}$ ; $z \mapsto \lvert z\rvert$ , de noyau $\mathbb{U}$ ; $z \mapsto z^n$ , de noyau $\mathbb{U}_n$ ; exponentielle complexe, de noyau $2i\pi\mathbb{Z}$ ; $(\rho, u) \mapsto \rho u$ , isomorphisme de $\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{U}$ sur $\mathbb{C}^*$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Montrer qu'une partie est un sous-groupe

Quand l’utiliser

L'énoncé demande si une partie $H$ d'un groupe $G$ est un sous-groupe, ou en a besoin pour conclure qu'elle est un groupe.

Rappel de cours

Caractérisation : $H \subset G$ , $e \in H$ et $xy^{-1} \in H$ pour tous $x, y \in H$ (cours, 2.4). Le noyau, l'image d'un morphisme, l'image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme sont des sous-groupes (cours, 3.2 et 3.3).

Démarche

Chercher d'abord un raccourci : $H$ défini par une équation $f(x) = e'$ est un noyau ; $H$ décrit par un paramètre est souvent une image ; $H$ défini par « $f(x) \in H'$ » est une image réciproque.
Sinon, vérifier l'inclusion et le neutre (celui de $G$ ).
Prendre $x, y \in H$ quelconques et montrer $xy^{-1} \in H$ .

Rédaction type

« $H \subset G$ et $e \in H$ car $\ldots$ , donc $H$ est non vide. Soient $x, y \in H$ . Alors $\ldots$ , donc $xy^{-1} \in H$ . Ainsi $H$ est un sous-groupe de $G$ . »

Exemple traité

Montrer que $H = \{z \in \mathbb{C}^* \ ;\ z^6 \in \mathbb{R}\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$ .

Par la caractérisation : $H \subset \mathbb{C}^*$ , et $1 \in H$ . Soient $z, w \in H$ ; alors $w^6$ est un réel non nul et $(zw^{-1})^6 = \frac{z^6}{w^6}$ est un réel, puisque $\mathbb{C}^*$ est commutatif : $zw^{-1} \in H$ .

Par un morphisme : $f : z \mapsto z^6$ est un morphisme de $(\mathbb{C}^*, \times)$ dans lui-même, et pour $z \neq 0$ , $z^6 \neq 0$ , donc $z^6 \in \mathbb{R}$ équivaut à $z^6 \in \mathbb{R}^*$ . Ainsi $H = f^{-1}(\mathbb{R}^*)$ , image réciproque du sous-groupe $\mathbb{R}^*$ de $\mathbb{C}^*$ : c'est un sous-groupe.

Erreurs fréquentes

Oublier de montrer que $H$ est non vide, ou ne vérifier que la stabilité par produit : le rapport du jury X-ENS 2023 (filières MP et MPI, Mathématiques A) relève des candidats « oubliant de montrer que l'ensemble était non vide, ou vérifiant simplement la stabilité par produit ».
Vérifier $0 \in H$ dans un groupe multiplicatif.

Pour s’entraîner

Exercices 6, 7, 18, 19, 23, 30 et 32 ; problèmes 1 et 4.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice U_d est un sous-groupe de U_n si et seulement si d divise n ★☆☆

Soient $d$ et $n$ deux entiers naturels non nuls. On rappelle que $\mathbb{U}_n = \{z \in \mathbb{C} \ ;\ z^n = 1\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{U}, \times)$ .

On suppose que $d$ divise $n$ . Montrer que $\mathbb{U}_d$ est un sous-groupe de $\mathbb{U}_n$ .
Réciproquement, on suppose $\mathbb{U}_d \subset \mathbb{U}_n$ . En considérant $\omega = e^{2i\pi/d}$ , montrer que $d$ divise $n$ .
$\mathbb{U}_4$ est-il un sous-groupe de $\mathbb{U}_{12}$ ? Et $\mathbb{U}_8$ ?

Indications

1 : si $n = dk$ , écrire $z^n = (z^d)^k$ .
1 : un sous-groupe de $\mathbb{U}$ contenu dans $\mathbb{U}_n$ est un sous-groupe de $\mathbb{U}_n$ .
2 : $e^{i\theta} = 1$ si et seulement si $\theta \in 2\pi\mathbb{Z}$ .

Analyse : comment trouver l’idée

L'inclusion se lit sur les équations $z^d = 1$ et $z^n = 1$ . Pour la réciproque, il suffit d'un seul élément bien choisi de $\mathbb{U}_d$ , celui d'argument $\frac{2\pi}{d}$ .

Correction détaillée

1. Écrivons $n = dk$ avec $k \in \mathbb{N}^*$ . Pour $z \in \mathbb{U}_d$ , $z^n = (z^d)^k = 1$ : donc $\mathbb{U}_d \subset \mathbb{U}_n$ . Or $\mathbb{U}_d$ est un sous-groupe de $\mathbb{U}$ : il contient $1$ et, pour $z, w \in \mathbb{U}_d$ , $zw^{-1} \in \mathbb{U}_d$ . Contenu dans $\mathbb{U}_n$ , il en est donc un sous-groupe.

2. L'élément $\omega = e^{2i\pi/d}$ vérifie $\omega^d = e^{2i\pi} = 1$ , donc $\omega \in \mathbb{U}_d \subset \mathbb{U}_n$ . Ainsi $e^{2i\pi n/d} = \omega^n = 1$ , ce qui impose $\frac{2\pi n}{d} \in 2\pi\mathbb{Z}$ , c'est-à-dire $\frac{n}{d} \in \mathbb{Z}$ : $d$ divise $n$ .

3. $4$ divise $12$ : $\mathbb{U}_4$ est un sous-groupe de $\mathbb{U}_{12}$ . $8$ ne divise pas $12$ : $\mathbb{U}_8 \not\subset \mathbb{U}_{12}$ , et précisément $e^{2i\pi/8} = e^{i\pi/4}$ vérifie $\left(e^{i\pi/4}\right)^{12} = e^{3i\pi} = -1 \neq 1$ .

Méthodes à retenir

Pour montrer qu'une partie est un sous-groupe d'un groupe $G'$ contenu dans $G$ , il suffit qu'elle soit un sous-groupe de $G$ et qu'elle soit incluse dans $G'$ . Pour une réciproque sur des racines de l'unité, on teste la racine d'argument $\frac{2\pi}{d}$ . Voir la méthode 6.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 17 méthodes, 15 pièges corrigés, la carte mentale, 35 exercices corrigés, 4 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Lois de composition interne
- 1.1 Définition, partie stable
- 1.2 Associativité, commutativité
- 1.3 Élément neutre
- 1.4 Éléments inversibles
- 1.5 Distributivité
- 1.6 Itérés d'un élément
2. Groupes
- 2.1 Définition et exemples
- 2.2 Le groupe des permutations
- 2.3 Groupe produit
- 2.4 Sous-groupes
- 2.5 Table d'un groupe fini
3. Morphismes de groupes
- 3.1 Définition et exemples
- 3.2 Propriétés
- 3.3 Noyau et image
- 3.4 Isomorphismes
4. Anneaux
- 4.1 Définition et exemples
- 4.2 Règles de calcul
- 4.3 Formule du binôme
- 4.4 Diviseurs de zéro, éléments nilpotents
- 4.5 Groupe des inversibles
5. Anneaux intègres, corps, sous-anneaux
- 5.1 Anneaux intègres
- 5.2 Corps
- 5.3 Sous-anneaux
- 5.4 Sous-corps
6. Morphismes d'anneaux
- 6.1 Définition et propriétés
- 6.2 Exemples

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Étudier une loi de composition interne
Lire ou compléter la table d'une loi sur un ensemble fini
Calculer dans un groupe : simplifier, inverser un produit, manipuler les itérés
Montrer qu'un ensemble est un groupe en en faisant un sous-groupe d'un groupe connu
Montrer qu'un ensemble est un groupe par la définition
Montrer qu'une partie est un sous-groupe
Montrer qu'une partie n'est pas un sous-groupe
Montrer qu'une application est un morphisme de groupes
Déterminer le noyau et l'image d'un morphisme
Montrer qu'un morphisme est injectif par son noyau
Montrer que deux groupes sont isomorphes, ou qu'ils ne le sont pas
Montrer qu'un ensemble est un anneau en en faisant un sous-anneau
Calculer dans un anneau
Déterminer les éléments inversibles d'un anneau
Montrer qu'un anneau est intègre, ou exhiber des diviseurs de zéro
Montrer qu'un ensemble est un corps
Montrer qu'une application est un morphisme d'anneaux

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

Quatre lois usuelles
Les lois ∩ et Δ sur P(E)
Compléter la table d'un groupe à quatre éléments
Calculs dans un groupe
Groupe ou non : quatre affirmations d'un concours
Sous-groupes de C* ou non
U_d est un sous-groupe de U_n si et seulement si d divise n
Morphismes ou non
Noyau et image
Un morphisme injectif à valeurs dans Q+*
Isomorphes ou non : le groupe R*
Développer sans commutativité
Sous-anneaux ou non
Q(√2) est un corps, Z[√2] n'en est pas un

Entraînement (16)

L'anneau (P(E), Δ, ∩)
Deux caractérisations des groupes commutatifs
Conjugaison : si (ab)^n = e, alors (ba)^n = e
Le centre d'un groupe
Intersection et réunion de deux sous-groupes
Les six symétries d'un triangle équilatéral
Morphismes de (Z, +) dans un groupe, de (Q, +) dans (Z, +)
Fonctions à valeurs dans U
Les sommes de deux carrés de rationnels
L'anneau Z[j] et ses inversibles
Morphismes d'anneaux de Z, de Z[i]
Éléments nilpotents
Racines carrées de 1 dans un anneau intègre
Vérifier une table en Python
U_m × U_n et U_mn
Les fonctions puissances

Approfondissement (5)

Dans un groupe commutatif à n éléments, a^n = e
Une partie finie non vide stable par produit est un sous-groupe
L'équation de Pell-Fermat x² − 2y² = 1
Si 1 − ab est inversible, alors 1 − ba l'est aussi
Anneaux où tout élément vérifie x² = x

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le groupe des rotations du plan
CNC 2015, filière MP, Mathématiques II, première partie, questions 1.2.1 et 1.2.2, et deuxième partie, questions 2.1, 2.2 et 2.3.2, adaptées au cas n = 2 (énoncé corrigé aux questions 2.1 et 2.3) ; questions 0, 6, 7 et 8 ajoutées
Un groupe isomorphe à (R, +), puis un anneau non intègre
Concours commun Sup 2005 des écoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes, épreuve spécifique de mathématiques (filière MPSI), premier problème, question 16, et deuxième problème, questions 3 (définition de K) à 7, 8 a, 9 (cas n = 2) et 11, adaptées (question 16 écrite avec les nombres complexes ; noyau de f remplacé par l'ensemble K ; lettres de la question 5 changées) ; fin de la question 8 et question 10 ajoutées
Le groupe des polynômes de degré 1 pour la composition
Centrale-Supélec 2014, filière MP, Mathématiques 2, partie III, questions III.A.2 et III.B.3, et partie IV, question IV.A, adaptées (polynôme T_2 donné ; associativité de la composition admise, comme dans le sujet) ; vérification de la question IV.C.4 ajoutée
Le groupe de Heisenberg discret
Centrale-Supélec 2026, filières MP et MPI, Mathématiques 1, partie C, sous-partie II, questions Q33 à Q35, première question de Q36 et Q37, adaptées (H défini directement comme l'ensemble des matrices M(i, j, k) ; seconde question de Q36 retirée) ; questions sur le produit, le sous-groupe H et le centre ajoutées

Questions fréquentes

Comment montrer qu'une partie est un sous-groupe ?

On utilise la caractérisation : $H$ est un sous-groupe du groupe $G$ si et seulement si $H \subset G$ , le neutre $e$ de $G$ est dans $H$ , et $xy^{-1} \in H$ pour tous $x, y \in H$ (en notation additive, $x - y \in H$ ). La stabilité par produit ne suffit pas : $\mathbb{N}$ est stable par addition, mais ce n'est pas un sous-groupe de $(\mathbb{Z}, +)$ . On peut aussi reconnaître un noyau ou une image de morphisme, qui sont toujours des sous-groupes.

Quel est l'inverse d'un produit dans un groupe ?

$(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$ : l'ordre s'inverse. On n'écrit $x^{-1}y^{-1}$ que si $x$ et $y$ commutent. De même, $(xy)^n = x^ny^n$ n'est vrai en général que pour des éléments qui commutent.

Qu'est-ce que le noyau d'un morphisme de groupes ?

Pour un morphisme $f : G \to G'$ , le noyau est $\operatorname{Ker} f = \{x \in G \ ;\ f(x) = e'\}$ , où $e'$ est le neutre de $G'$ . C'est un sous-groupe de $G$ , qui contient toujours le neutre $e$ : il n'est jamais vide. Le morphisme est injectif si et seulement si $\operatorname{Ker} f = \{e\}$ . Par exemple, le noyau de $\theta \mapsto e^{i\theta}$ , de $(\mathbb{R}, +)$ dans $(\mathbb{U}, \times)$ , est $2\pi\mathbb{Z}$ .

Le groupe des permutations est-il commutatif ?

Non, dès que l'ensemble a au moins trois éléments. Sur $\{1, 2, 3\}$ , si $\sigma$ échange $1$ et $2$ et si $\tau$ échange $2$ et $3$ , alors $\sigma \circ \tau$ envoie $1$ sur $2$ , tandis que $\tau \circ \sigma$ envoie $1$ sur $3$ .

Quand peut-on utiliser la formule du binôme dans un anneau ?

Seulement quand les deux éléments commutent : si $ab = ba$ , alors $(a + b)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$ et $a^n - b^n = (a - b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}$ . Sinon, $(a + b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2$ , et l'on ne peut pas regrouper $ab + ba$ en $2ab$ . L'élément $1$ commute avec tous les autres.

Quelle différence entre un anneau intègre et un corps ?

Un anneau intègre est un anneau commutatif, non réduit à $\{0\}$ , où un produit nul a un facteur nul. Un corps est un anneau commutatif, non réduit à $\{0\}$ , où tout élément non nul est inversible. Tout corps est intègre, mais la réciproque est fausse : $\mathbb{Z}$ est intègre et n'est pas un corps, puisque $2$ n'y est pas inversible.

Quels sont les éléments inversibles de l'anneau des entiers de Gauss ?

Si $z = a + ib$ , avec $a, b \in \mathbb{Z}$ , a un inverse $z'$ dans $\mathbb{Z}[i]$ , alors $\lvert z\rvert^2\lvert z'\rvert^2 = 1$ avec deux entiers naturels, donc $a^2 + b^2 = 1$ . Les inversibles sont donc $1$ , $-1$ , $i$ et $-i$ , les quatre racines quatrièmes de l'unité.

Qu'est-ce qu'un morphisme d'anneaux ?

Une application $f : A \to B$ telle que $f(a + b) = f(a) + f(b)$ , $f(ab) = f(a)f(b)$ et $f(1_A) = 1_B$ . La dernière condition n'est pas automatique : l'application nulle respecte l'addition et la multiplication sans être un morphisme d'anneaux. Le noyau d'un morphisme d'anneaux n'est pas un sous-anneau, puisqu'il ne contient pas $1_A$ .

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.