Prepa HelpSignaux périodiques et filtrage linéaire : cours, méthodes et exercices corrigés
Décomposition de Fourier et spectre d'un signal périodique, valeurs moyenne et efficace, fonction de transfert et diagrammes de Bode, action d'un filtre linéaire sur un signal périodique, comportements intégrateur, dérivateur et moyenneur, effet d'une non-linéarité.
- 16méthodes
- 50exercices corrigés
- 6problèmes
- 35pièges
- 53figures
Ce que tu sauras faire
Un son musical, la tension d'un capteur, le signal d'horloge d'un microprocesseur : ces signaux sont périodiques sans être sinusoïdaux. Le théorème de Fourier les décompose en une somme de sinusoïdes, ce qui permet de prévoir, grâce à la linéarité, ce que devient un tel signal à la traversée d'un filtre : chaque composante est traitée séparément, avec le gain et le déphasage du filtre à sa fréquence. Ce chapitre relie ainsi la représentation temporelle d'un signal et sa représentation fréquentielle, son spectre. À la fin, tu dois savoir :
- relier l'allure d'un signal périodique à son spectre, et calculer sa valeur moyenne et sa valeur efficace ;
- exploiter un spectre obtenu expérimentalement ;
- établir la fonction de transfert d'un filtre du premier ordre, tracer et lire un diagramme de Bode ;
- exploiter la fonction de transfert d'un filtre du second ordre ;
- prévoir l'effet d'un filtre linéaire sur la composition spectrale, puis sur la forme, d'un signal périodique.
Plan du cours
- 1. Signaux périodiques et spectre
- 1.1 Décomposition de Fourier
- 1.2 Signaux usuels
- 1.3 Relier la forme du signal et son spectre
- 1.4 Valeur moyenne et valeur efficace
- 1.5 Obtenir un spectre expérimentalement
- 2. Filtres linéaires
- 2.1 Fonction de transfert harmonique
- 2.2 Diagramme de Bode
- 2.3 Filtres du premier ordre
- 2.4 Filtres du second ordre
- 2.5 Relever un diagramme de Bode
- 2.6 Filtres en cascade
- 2.7 Filtres actifs
- 3. Action d'un filtre sur un signal périodique
- 3.1 Principe : linéarité et superposition
- 3.2 Trois situations types
- 3.3 Comportements intégrateur et dérivateur
- 3.4 Simuler l'action d'un filtre
- 3.5 Caractère moyenneur
- 4. Linéarité et non-linéarité
Les méthodes du chapitre
Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.
- Lire et commenter un spectre
- Calculer une valeur moyenne et une valeur efficace
- Exploiter un spectre obtenu par acquisition
- Établir la fonction de transfert d'un filtre du premier ordre
- Tracer le diagramme de Bode d'un filtre du premier ordre
- Exploiter un diagramme de Bode ou une fonction de transfert donnée
- Relever expérimentalement un gain et un déphasage
- Prévoir la sortie d'un filtre attaqué par un signal périodique
- Choisir un filtre pour un cahier des charges
- Établir une fonction de transfert du second ordre
- Reconnaître un comportement intégrateur ou dérivateur
- Associer des filtres en cascade
- Simuler numériquement l'action d'un filtre
- Réaliser un filtre moyenneur
- Détecter et analyser une non-linéarité
- Étudier un filtre actif à amplificateur linéaire intégré
Les exercices corrigés
Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.
Application directe (18)
- Reconnaître un signal par son spectre
- Spectre, valeur moyenne et valeur efficace d'un signal composé
- Un triangle entre 0 et 2 V : quel spectre ?
- Signal rectangulaire de rapport cyclique un tiers
- Puissance portée par les harmoniques d'un créneau
- Somme de deux sinusoïdes
- Trois filtres du premier ordre
- Filtre RC chargé
- Lire un diagramme de Bode
- Un signal, huit filtres idéaux
- Passe-bas atténuateur et signal à trois composantes
- Les trois sorties du circuit RLC série
- Passe-bas à bobine en série
- Circuit d'accord d'un récepteur radio
- Linéaire ou non
- Additionner ou multiplier deux sinusoïdes
- Passe-bas actif
- Voltmètre ordinaire et voltmètre efficace vrai
Entraînement (24)
- Reconnaître la bonne décomposition
- Régler une acquisition et lire un spectre
- Filtre RL et signal à trois composantes
- Gain et déphasage à l'oscilloscope
- Créneau, passe-bande et lecture d'un diagramme de Bode
- D'un triangle à une sinusoïde
- Spectre d'un créneau filtré par un passe-bas
- Lisser une tension
- Cahier des charges d'un filtre acoustique
- Rejeter le 50 Hz
- Résonance d'un passe-bas du second ordre
- Intégrer, dériver
- Deux cellules en cascade, avec et sans suiveur
- Deux cellules RC différentes
- Dipôles masqués
- Signal carré dans un passe-bande sélectif
- Filtre séparateur pour ligne téléphonique
- Simuler la dérivation d'un triangle
- Tension redressée : puissance par composante, puis filtrage
- Filtre moyenneur et couplage de l'oscilloscope
- Doubleur de fréquence et mesure d'une valeur efficace
- Redressement simple alternance et filtre chargé
- Écrêtage d'une sinusoïde
- Déphaseur
Approfondissement (8)
- Combien d'harmoniques pour transmettre un créneau
- Extraire la cinquième harmonique d'un triangle
- Filtrer une commande par largeur d'impulsion
- Filtre en double T
- Tripleur de fréquence
- Un filtre qui retarde
- Mesure d'une impédance par détection synchrone
- Sinusoïde au cube dans un passe-bas actif du second ordre
Les problèmes de concours
Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.
- Onduleur : du créneau à la sinusoïde
- Capteur de niveau : extraire une valeur moyenne
- Accordeur de guitare : suivre un spectre à travers une chaîne de filtres
- Filtre téléphonique : du relevé expérimental au modèle RLC
- Doubleur de fréquence
- Filtre sélectif à amplificateur et analyse d'un créneau
Comment y accéder
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