Description et paramétrage du mouvement d'un point : cours, méthodes et exercices corrigés

Espace et temps classiques, référentiel et repère, caractère relatif du mouvement, repérage d'un point en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques, vecteurs position, déplacement élémentaire, vitesse et accélération, mouvements rectilignes, à vecteur accélération constant et circulaires, abscisse curviligne et base de Frenet, exploitation d'un enregistrement vidéo ; au Maroc, vitesse en coordonnées sphériques et mouvement rectiligne sinusoïdal.

18méthodes
38exercices corrigés
2problèmes
22pièges
93figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Une rame de tramway qui quitte sa station, la pale d'un ventilateur qui démarre, une camionnette dans les lacets d'une route de montagne, une bille filmée au téléphone : avant de chercher pourquoi ces objets bougent, il faut savoir dire comment ils bougent. C'est l'objet de la cinématique : décrire le mouvement d'un point, sans en chercher les causes. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

choisir un référentiel, un repère et un système de coordonnées adapté au mouvement ;
exprimer la position, le déplacement élémentaire, la vitesse et l'accélération d'un point en coordonnées cartésiennes et cylindriques ;
reconnaître et étudier les mouvements types : rectiligne, à vecteur accélération constant, circulaire uniforme ou non ;
situer la vitesse et l'accélération sur une trajectoire et dire si le mouvement est accéléré ou ralenti ;
exploiter un enregistrement vidéo pour obtenir l'évolution de la vitesse et de l'accélération.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

Ce qu'il faut savoir sans hésiter sur la description du mouvement d'un point : définitions, expressions de la vitesse et de l'accélération, mouvements types, lecture d'un enregistrement. Les démonstrations sont dans le cours.

À retenir Référentiel, repère, caractère relatif

Référentiel : solide de référence et horloge. Repère : origine et base fixes dans le référentiel ; un référentiel admet une infinité de repères.
Trajectoire et vitesse dépendent du référentiel : la valve d'une roue décrit un cercle pour le cycliste, une cycloïde pour le passant.
Les dérivées se prennent dans le référentiel d'étude, avec une origine $O$ fixe dans ce référentiel.

À retenir Coordonnées et bases

Système	Coordonnées	Base	$\overrightarrow{OM}$
cartésien	$x, y, z$	$\vec u_x, \vec u_y, \vec u_z$ , fixe	$x\,\vec u_x + y\,\vec u_y + z\,\vec u_z$
cylindrique (polaire si $z = 0$ )	$r \geq 0$ (distance à l'axe), $\theta$ , $z$	$\vec u_r, \vec u_\theta, \vec u_z$ , mobile	$r\,\vec u_r + z\,\vec u_z$

$\vec u_r = \cos\theta\,\vec u_x + \sin\theta\,\vec u_y$ , $\vec u_\theta = -\sin\theta\,\vec u_x + \cos\theta\,\vec u_y$ . $\theta = \arctan\frac{y}{x}$ si $x > 0$ , $\arctan\frac{y}{x} + \pi$ si $x < 0$ .

À retenir Déplacement élémentaire, vitesse, accélération

Cartésiennes : on dérive chaque coordonnée, la base étant fixe ; $\vec v = \dot x\,\vec u_x + \dot y\,\vec u_y + \dot z\,\vec u_z$ et $\vec a = \ddot x\,\vec u_x + \ddot y\,\vec u_y + \ddot z\,\vec u_z$ .
Dérivées de la base cylindrique : $\frac{\mathrm d\vec u_r}{\mathrm dt} = \dot\theta\,\vec u_\theta$ , $\frac{\mathrm d\vec u_\theta}{\mathrm dt} = -\dot\theta\,\vec u_r$ .
Cylindriques : déplacements $\mathrm dr$ , $r\,\mathrm d\theta$ , $\mathrm dz$ selon $\vec u_r$ , $\vec u_\theta$ , $\vec u_z$ ; $\vec v = \dot r\,\vec u_r + r\dot\theta\,\vec u_\theta + \dot z\,\vec u_z$ .

\vec a = (\ddot r - r\dot\theta^2)\,\vec u_r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\,\vec u_\theta + \ddot z\,\vec u_z

À retenir Mouvements types

Mouvement	Équations	Accélération
rectiligne uniforme	$x = x_0 + v_0t$	$\vec a = \vec 0$
rectiligne uniformément varié	$v = v_0 + at$ , $x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$ , $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$	constante, selon l'axe
vecteur accélération constant	$\vec v = \vec a\,t + \vec v_0$ , $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\vec a\,t^2 + \vec v_0\,t + \overrightarrow{OM_0}$	trajectoire plane, parabolique ou rectiligne
circulaire de rayon $R$	$\vec v = R\dot\theta\,\vec u_\theta$	$-R\dot\theta^2\,\vec u_r + R\ddot\theta\,\vec u_\theta$
circulaire uniforme	$\theta = \omega t + \theta_0$ , $T = \frac{2\pi}{\lvert\omega\rvert}$	centripète, $a = R\omega^2 = \frac{v^2}{R}$

Distance d'arrêt : $d = v_0t_R + \frac{v_0^2}{2a_0}$ . Conversion : $N$ tr/min font $\frac{2\pi N}{60}\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ ; $1\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} = 3{,}6\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Choisir le référentiel, le repère et le système de coordonnées

Quand l’utiliser

Début de tout exercice de cinématique ; l'énoncé décrit un mouvement en mots (« tourne autour de », « glisse le long de », « monte en spirale ») sans imposer de coordonnées.

Rappel de cours

Le référentiel est l'objet par rapport auquel on décrit le mouvement ; le repère (origine et base) est fixe dans ce référentiel et se choisit librement. On choisit le système où le moins de coordonnées varient : cartésien pour un mouvement rectiligne ou à vecteur accélération constant, polaire pour un mouvement circulaire ou une spirale plane, cylindrique pour un mouvement autour d'un axe.

Démarche

Nommer le référentiel d'étude et dire de quel objet il est solidaire.
Compter les degrés de liberté du point : combien de coordonnées varient ?
Choisir le système de coordonnées par la symétrie du mouvement, placer l'origine (centre du cercle, point de départ, point de l'axe) et orienter les axes.
Faire le schéma avec la base au point $M$ .

Rédaction type

« On étudie le mouvement de $M$ dans le référentiel $\ldots$ , lié à $\ldots$ . Le point décrit $\ldots$ : on le repère par ses coordonnées $\ldots$ d'origine $\ldots$ , et l'on projette sur la base $\ldots$ . »

Exemple traité

Trois cas. Une bille qui descend un plan incliné en ligne droite, dans le référentiel terrestre : axe $Ox$ selon la ligne de plus grande pente, une seule coordonnée varie, $x(t)$ . L'extrémité d'une pale de ventilateur, dans le référentiel de la pièce : coordonnées polaires centrées sur l'axe du ventilateur, $r = R$ fixe, seul $\theta(t)$ varie. Un point d'un globe terrestre, dans le référentiel lié au globe : il ne bouge pas, mais on le repère par deux angles.

Erreurs fréquentes

Écrire des vitesses sans avoir nommé le référentiel.
Choisir des cartésiennes pour un mouvement circulaire, ce qui rend les calculs inutilement lourds.
Centrer les polaires ailleurs qu'au centre du cercle : $r$ n'est plus constant.

Pour s’entraîner

Exercices 1, 15 et 22.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Changer de système de coordonnées ★☆☆

On travaille dans un repère $(O, \vec u_x, \vec u_y, \vec u_z)$ lié au référentiel d'étude ; les longueurs sont en mètres et les durées en secondes.

Le point M de coordonnées cartésiennes (2{,}0 ; 3{,}0 ; 4{,}0), sa projection H sur le plan (Oxy), la distance r = OH, l'angle \theta entre \vec u_x et \overrightarrow{OH}, et la cote z. — Le point $M$ de coordonnées cartésiennes $(2{,}0 ; 3{,}0 ; 4{,}0)$ , sa projection $H$ sur le plan $(Oxy)$ , la distance $r = OH$ , l'angle $\theta$ entre $\vec u_x$ et $\overrightarrow{OH}$ , et la cote $z$ .

Un point $M$ a pour coordonnées cartésiennes $x = 2{,}0$ m, $y = 3{,}0$ m et $z = 4{,}0$ m. Calculer ses coordonnées cylindriques $(r, \theta, z)$ d'axe $Oz$ , avec $\theta$ en degrés et en radians.
Même question pour le point $N$ de coordonnées $(-2{,}0 ; -3{,}0 ; 4{,}0)$ . Que donne la calculatrice pour $\arctan\frac yx$ ? Conclure.
Un point $P$ se déplace selon les équations horaires $x(t) = 3{,}0\cos(4{,}0\,t)$ , $y(t) = 3{,}0\sin(4{,}0\,t)$ , $z(t) = 2{,}0$ . Exprimer $r(t)$ et $\theta(t)$ . En déduire les vecteurs vitesse et accélération de $P$ en coordonnées cylindriques. Quel est le mouvement de $P$ ? Calculer sa période.

Indications

Méthode 2. $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ ne pose pas de difficulté ; pour $\theta$ , regarder d'abord dans quel quadrant se trouve la projection du point, puis seulement prendre l'arc tangente.

Méthode 1 pour la question 3 : une distance $r$ constante à l'axe et une cote constante désignent un cercle, que les polaires décrivent le plus simplement.

Correction détaillée

1. La projection $H$ de $M$ sur le plan $(Oxy)$ est à la distance

r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2{,}0^2 + 3{,}0^2} = \sqrt{13} = 3{,}61\ \text{m}

de l'axe. Comme $x > 0$ et $y > 0$ , $H$ est dans le premier quadrant, et l'arc tangente donne directement l'angle :

\theta = \arctan\frac{3{,}0}{2{,}0} = 56{,}3° = 0{,}983\ \text{rad} .

La cote ne change pas : $z = 4{,}0$ m. Contrôle : $r\cos\theta = 3{,}61 \times 0{,}555 = 2{,}0$ m, on retrouve $x$ .

2. Pour $N$ , $r$ est le même, $3{,}61$ m. La calculatrice donne $\arctan\frac{-3{,}0}{-2{,}0} = \arctan 1{,}5 = 56{,}3°$ , le même angle que pour $M$ : c'est faux, car $N$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe $Oz$ , dans le troisième quadrant ( $x < 0$ , $y < 0$ ). L'arc tangente ne rend que des angles compris entre $-90°$ et $90°$ ; quand $x < 0$ , il faut lui retrancher (ou lui ajouter) $180°$ :

\theta_N = 56{,}3° - 180° = -123{,}7° ,

soit $236{,}3°$ si l'on choisit $\theta$ dans $[0, 360°[$ . La fonction atan2(y, x) des langages de programmation tient compte du quadrant et donne directement $-123{,}7°$ .

3. On reconnaît $r(t) = \sqrt{x^2 + y^2} = 3{,}0$ m, constant, et $\theta(t) = 4{,}0\,t$ (en radians), puisque $\cos\theta = \frac{x}{r}$ et $\sin\theta = \frac{y}{r}$ ; la cote reste $z = 2{,}0$ m. La trajectoire est le cercle de centre $(0 ; 0 ; 2{,}0)$ et de rayon $R = 3{,}0$ m, dans le plan $z = 2{,}0$ m. Avec $\dot r = 0$ , $\dot\theta = 4{,}0\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ , $\ddot\theta = 0$ et $\dot z = 0$ :

\vec v = R\dot\theta\,\vec u_\theta = 12\,\vec u_\theta\ \ (\text{m}\cdot\text{s}^{-1}), \qquad \vec a = -R\dot\theta^2\,\vec u_r = -48\,\vec u_r\ \ (\text{m}\cdot\text{s}^{-2}) .

La norme de la vitesse reste égale à $12\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ : le mouvement est circulaire uniforme. L'accélération n'est pas nulle pour autant : elle est dirigée vers le centre du cercle, et l'on vérifie $\frac{v^2}{R} = \frac{144}{3{,}0} = 48\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ . La période vaut $T = \frac{2\pi}{\dot\theta} = \frac{2\pi}{4{,}0} = 1{,}57$ s.

Méthodes à retenir

Le rayon se calcule toujours par Pythagore ; l'angle demande de situer le point dans son quadrant, car $\arctan\frac yx$ confond un point et son symétrique par rapport à l'axe. Un rayon constant et un angle qui croît linéairement décrivent un mouvement circulaire uniforme, dont l'accélération pointe vers le centre (méthodes 1 et 2).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 18 méthodes, 22 pièges corrigés, la carte mentale, 38 exercices corrigés, 2 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Espace, temps et référentiel
- 1.1 Espace et temps classiques, référentiel, repère
- 1.2 Caractère relatif du mouvement
- 1.3 Distances et durées absolues, limites de la description classique
2. Repérage d'un point
- 2.1 Coordonnées et base cartésiennes
- 2.2 Coordonnées polaires et cylindriques
- 2.3 Passer d'un système de coordonnées à l'autre
- 2.4 Degrés de liberté et choix du système de coordonnées
- 2.5 Coordonnées sphériques
3. Position, déplacement, vitesse, accélération
- 3.1 Vitesse et accélération d'un point dans un référentiel
- 3.2 En coordonnées cartésiennes
- 3.3 En coordonnées cylindriques
- 3.4 Vitesse en coordonnées sphériques
4. Mouvements types
- 4.1 Mouvements rectilignes
- 4.2 Mouvement à vecteur accélération constant
- 4.3 Mouvement circulaire
- 4.4 Mouvement rectiligne sinusoïdal
5. Mouvement sur une trajectoire connue
- 5.1 Directions de la vitesse et de l'accélération
- 5.2 Base de Frenet dans le mouvement circulaire
- 5.3 Abscisse curviligne, base de Frenet d'une trajectoire plane, rayon de courbure
6. Exploiter un enregistrement vidéo
- 6.1 Acquérir les positions
- 6.2 Vitesse et accélération par différences finies
- 6.3 Traiter les positions en Python

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Choisir le référentiel, le repère et le système de coordonnées
Passer d'un système de coordonnées à un autre, en traitant le quadrant
Construire le déplacement élémentaire et en déduire la vitesse
Dériver un vecteur exprimé dans une base mobile
Calculer la vitesse et l'accélération à partir des équations horaires
Remonter de l'accélération aux équations horaires avec les conditions initiales
Obtenir l'équation de la trajectoire et la reconnaître
Étudier un mouvement rectiligne : graphes, relation entre vitesse et position, distance d'arrêt
Traiter une rencontre ou un dépassement entre deux mobiles
Calculer une distance parcourue ou la longueur d'une trajectoire
Étudier un mouvement circulaire, uniforme ou non, en coordonnées polaires
Écrire la position d'un point comme une somme de vecteurs et dériver dans un seul référentiel
Situer la vitesse et l'accélération, dire si le mouvement est accéléré, ralenti ou uniforme
Exploiter un pointage vidéo : échelle, différences centrées, incertitude, traitement en Python
Utiliser la base de Frenet dans un mouvement circulaire
Utiliser la base de Frenet d'une trajectoire plane : abscisse curviligne, composantes de l'accélération, rayon de courbure
Exprimer position, déplacement élémentaire et vitesse en coordonnées sphériques ; repérer un point de la Terre
Étudier un mouvement rectiligne sinusoïdal

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

Changer de système de coordonnées
Vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes
Vitesse et accélération en coordonnées cylindriques
Repérer un électron en coordonnées cylindriques
Reconnaître un mouvement par ses équations horaires
Freinage d'urgence
Une rame de tramway entre deux stations
Un ascenseur : lire et tracer a(t), v(t) et z(t)
Ralentir un jet d'atomes : la vitesse en fonction de la position
Une scie circulaire qui ralentit
Lire un enregistrement de mouvement rectiligne
Une voiture : la roue en ligne droite, puis un virage en quart de cercle
Le rayon de courbure d'une trajectoire parabolique
Le mouvement rectiligne sinusoïdal d'un mobile accroché à un ressort
Une station scientifique au pôle Sud : coordonnées sphériques

Entraînement (17)

Distance d'arrêt et règle des deux secondes
Doubler un camion
Un disque volant lancé sur le terrain de sport du lycée : trajectoire à accélération constante
Une balle lancée d'une montgolfière : la même chute vue du sol et de la nacelle
Un mouvement circulaire dont la vitesse croît : combien de tours ?
Les conjonctions de Vénus et de la Terre
La fronde : du cercle à la chute
La spirale logarithmique
Deux coureurs sur une piste circulaire
Le couple d'al-Tusi : deux rotations qui donnent un mouvement rectiligne
Monter un escalier en colimaçon : le mouvement hélicoïdal
Un galet qui roule autour d'un disque fixe : la cardioïde
Lire l'enregistrement d'un mouvement circulaire
La bretelle de sortie d'autoroute
Un robot sur une piste faite de droites et de quarts de cercle
Un ion dans un réacteur de fusion : reconnaître un cercle par son rayon de courbure
Le trajet d'un navigateur repéré par GPS

Approfondissement (6)

Une vitesse qui dépend de la position : combien de temps pour la diviser par deux ?
Quatre robots qui se poursuivent aux sommets d'un carré
Un mouvement circulaire uniforme dans l'espace
Reconstruire la vitesse et l'accélération d'une bille filmée, en Python
La valve d'une roue de vélo : accélération et rayon de courbure
Le plus court chemin de Casablanca à Djeddah : l'orthodromie

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

La piste en spirale d'un disque optique
CNC 2016, filière MP, Physique II, partie III « Stockage et lecture de l'information sous forme numérique », questions III.1.1 à III.1.5
La roue d'un vélo et la cycloïde
CNC 2021, filière TSI, Physique I, partie 2 « Vélo », questions 1.1.1 à 1.1.5

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.