Transmetteurs de puissance et trains d'engrenages : cours, méthodes et exercices corrigés

Q: Qu'est-ce que le rapport de transmission ?

Pour un transmetteur de rotation en rotation, c'est k = (ω_(s/0))/(ω_(e/0)), vitesse de sortie sur vitesse d'entrée par rapport au bâti. C'est un réducteur si lvert krvert 1 ; pour des axes parallèles, un rapport négatif signifie que la sortie tourne en sens inverse. Certains sujets définissent le rapport à l'envers, entrée sur sortie : on recopie toujours la définition de l'énoncé avant de calculer.

Q: Que valent le module, le diamètre primitif et l'entraxe d'un engrenage ?

Une roue de Z dents et de module m a un diamètre primitif D = mZ et un pas p = π m. Deux roues qui engrènent ont le même module. L'entraxe vaut a = (m(Z_1 + Z_2))/(2) pour un contact extérieur et a = (m(Z_2 - Z_1))/(2) pour un contact intérieur, Z_2 étant la couronne. Ces grandeurs servent à vérifier une condition de montage ou à trouver un nombre de dents.

Q: Comment obtenir le signe d'un engrenage conique ou d'une roue et vis ?

La règle (-1)^n ne vaut que pour des axes parallèles. Pour un engrenage conique, on oriente les deux axes par des vecteurs et l'on écrit le roulement sans glissement au point de contact depuis le sommet commun ; le signe dépend des vecteurs choisis. Pour une roue et vis, on regarde la dent en prise comme un écrou guidé sur la vis qui tourne sur place, et le sens d'hélice donne le sens de rotation de la roue.

Q: Quelle est la loi d'une vis-écrou et d'un pignon-crémaillère ?

Un tour de vis fait avancer l'écrou d'un pas p : lvert Vrvert = (p)/(2π) lvertωrvert, avec ω en rad/s ; le signe dépend du sens d'hélice et du solide qui tourne. Un tour du pignon fait avancer la crémaillère d'un périmètre primitif : V = R ω = (mZ)/(2) ω. Oublier le facteur 2π ou prendre le diamètre pour le rayon sont les deux erreurs les plus fréquentes.

Fonction transmettre, transmetteurs usuels (engrenages, poulies-courroie, roues de friction, pignon-crémaillère, vis-écrou, roue et vis sans fin, cames, joints de cardan), rapport de transmission, engrenages cylindriques et coniques, trains simples, réducteurs, trains épicycloïdaux et formule de Willis, réversibilité et rendement annoncés.

18méthodes
39exercices corrigés
6problèmes
20pièges
157figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Entre le moteur et l'effecteur, un transmetteur adapte la vitesse, change parfois le sens ou la direction de l'axe, ou transforme une rotation en translation. Ce chapitre établit leur loi entrée-sortie : le rapport de transmission, les engrenages et leur module, les trains d'engrenages simples, les poulies et courroies, la chaîne, la roue et vis sans fin, le pignon-crémaillère et la vis-écrou, puis les trains épicycloïdaux et la relation de Willis. Il fait partie du programme de sciences industrielles de MPSI et PCSI au Maroc, au deuxième trimestre, et de MPSI, PCSI, MP2I, PTSI et TSI en France. On y trouve le signe d'un engrenage et des axes non parallèles, la roue intermédiaire, le réducteur coaxial, la loi d'une chaîne complète, le porte-axe mobile, les configurations d'un train épicycloïdal, la réversibilité, un programme Python qui choisit des nombres de dents, puis des exercices corrigés tirés de sujets réels.

Ce que tu sauras faire

Un moteur électrique tourne à 1 440 tr/min ; le tambour qui entraîne la bande d'un tapis élévateur doit tourner à 60 tr/min. Entre les deux, un réducteur. Un vélo, une grue, un robot, une éolienne ont tous, entre l'actionneur et l'effecteur, un transmetteur qui change la vitesse, parfois le sens, parfois la nature du mouvement. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

reconnaître et classer un transmetteur sur un schéma, un plan ou une photo ;
écrire son rapport de transmission, avec son signe et la définition de l'énoncé ;
exploiter module, nombres de dents, diamètres primitifs et entraxe ;
calculer le rapport d'un train d'engrenages simple, d'une transmission par poulies, par chaîne, par roue et vis sans fin, et la loi d'un pignon-crémaillère ou d'une vis-écrou ;
établir la relation d'un train épicycloïdal et en tirer le rapport d'un réducteur ;
écrire la loi d'une chaîne de transmission complète et conclure sur l'exigence du cahier des charges.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Transmetteurs et rapport de transmission

Un transmetteur se caractérise par ses mouvements (rotation, translation), ses axes (parallèles, concourants, orthogonaux non concourants), son mode (adhérence, qui peut glisser ; obstacle, qui ne glisse pas) et sa réversibilité.
$k = \frac{\omega_{s/0}}{\omega_{e/0}}$ : réducteur si $\lvert k\rvert < 1$ , multiplicateur si $\lvert k\rvert > 1$ ; écrire d'abord la définition de l'énoncé (certains sujets prennent entrée sur sortie).
$N$ tr/min $= \frac{2\pi N}{60}$ rad/s.

À retenir Engrenages

Les cercles primitifs roulent sans glisser : rapport de deux roues de friction de rayons les rayons primitifs.
$D = mZ$ , $R = \frac{mZ}{2}$ , pas $p = \pi m$ ; deux roues qui engrènent ont le même module.
Extérieur : $\frac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}} = -\frac{Z_1}{Z_2}$ , $a = \frac{m(Z_1 + Z_2)}{2}$ ; intérieur : $+\frac{Z_1}{Z_2}$ , $a = \frac{m(Z_2 - Z_1)}{2}$ .
Axes non parallèles (conique, roue et vis) : pas de signe sans vecteurs orientés ; jamais de comptage des contacts.

À retenir Trains simples

Tous les axes fixes par rapport au bâti : $k = (-1)^n\,\frac{\prod Z_{\text{menantes}}}{\prod Z_{\text{menées}}}$ , $n$ contacts extérieurs, axes parallèles, parcours depuis l'entrée.
Roue folle (menée puis menante) : change le sens, pas la valeur.
Réducteur coaxial : $m_{12}(Z_1 + Z_2) = m_{34}(Z_3 + Z_4)$ .

À retenir Autres transmetteurs

Poulies et courroie : $\frac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}} = \frac{R_1}{R_2}$ , même sens (croisée : sens inverse) ; hypothèse de non-glissement écrite ; courroie crantée et chaîne synchrones.
Roue et vis sans fin : $\lvert k\rvert = \frac{n_v}{Z_r}$ ; forte réduction ; peut être irréversible.
Pignon-crémaillère : $V = R\,\omega = \frac{mZ}{2}\,\omega$ . Vis-écrou : $\lvert V\rvert = \frac{p}{2\pi}\,\lvert\omega\rvert$ ; signe par le sens d'hélice ; règle d'un tour.
Joint de cardan : $\tan\theta_2 = \frac{\tan\theta_1}{\cos\alpha}$ , rapport entre $\cos\alpha$ et $\frac{1}{\cos\alpha}$ ; double cardan bien monté : homocinétique. Oldham : arbres parallèles décalés, rapport 1.

À retenir Chaînes et porte-axe mobile

Loi d'une chaîne : produit des rapports et des constantes, chaque hypothèse écrite, unité vérifiée, conclusion sur l'exigence.
Rapport de dents valable seulement dans le référentiel où les axes sont fixes ; puis $\omega_{i/j} = \omega_{i/0} - \omega_{j/0}$ .

À retenir Trains épicycloïdaux de type 1

Satellite : roue dont l'axe est mobile ; planétaire intérieur, couronne, porte-satellite.
Par rapport au porte-satellite, axes fixes : roulement sans glissement aux deux contacts, puis composition.
Raison basique $\lambda = \frac{\omega_{s/0} - \omega_{ps/0}}{\omega_{e/0} - \omega_{ps/0}}$ ; type 1, du planétaire vers la couronne : $\lambda = -\frac{Z_p}{Z_c}$ .
Relation de Willis : $\omega_{s/0} - \lambda\,\omega_{e/0} + (\lambda - 1)\,\omega_{ps/0} = 0$ ; contrôle « tout en bloc ».
Couronne fixe, entrée planétaire, sortie porte-satellite : $\frac{Z_p}{Z_p + Z_c}$ ; porte-satellite fixe : $\lambda$ ; planétaire fixe, entrée porte-satellite, sortie couronne : $1 - \lambda$ .
Coaxialité $Z_c = Z_p + 2Z_s$ ; nombre de satellites sans effet sur les vitesses ; étages en série : rapports multipliés.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Calculer le rapport d'un train simple

Quand l’utiliser

Quand tous les axes d'un train d'engrenages sont fixes par rapport au bâti.

Rappel de cours

$k = (-1)^n\,\frac{\prod Z_{\text{menantes}}}{\prod Z_{\text{menées}}}$ , $n$ contacts extérieurs, axes parallèles ; c'est aussi le produit des rapports des étages.

Démarche

Vérifier que tous les axes sont fixes par rapport au bâti (sinon méthodes 11 et suivantes).
Parcourir le train depuis l'entrée ; à chaque engrènement, noter la roue menante et la roue menée.
Repérer les roues intermédiaires (menées puis menantes) : elles se simplifient.
Compter les contacts extérieurs.
Écrire la formule, calculer, contrôler le sens sur la figure.

Rédaction type

« Train simple (axes fixes). Roues menantes 1 et 3, menées 2 et 4, deux contacts extérieurs :

k = \frac{\omega_{4/0}}{\omega_{1/0}} = (-1)^2\,\frac{Z_1 Z_3}{Z_2 Z_4} = \frac{19 \times 16}{96 \times 76} = \frac{1}{24} .

Exemple traité

Réducteur du tapis : $k = \frac{1}{24}$ , sortie dans le même sens que le moteur. Si l'on ajoutait une roue intermédiaire entre 3 et 4, le rapport vaudrait $-\frac{1}{24}$ : même valeur, sens inversé.

Erreurs fréquentes

Parcourir le train depuis la sortie et inverser menantes et menées.
Mettre le nombre de dents d'une roue folle dans la valeur du rapport.
Appeler cette formule « formule de Willis ».

Pour s’entraîner

Exercices 1, 2, 3, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 19, 25 et 26 ; problèmes 1 et 4.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice La table élévatrice d'un poste de soudage ★☆☆

Une table élévatrice à ciseaux : deux bras croisés, articulés en leur milieu, soulèvent le plateau. Cette table est poussée par des vérins ; celle de l'exercice l'est par un motoréducteur et une vis.

Dans un atelier de soudage, les caisses métalliques reposent sur une table élévatrice à ciseaux, qui les amène à la hauteur des têtes de soudage. Un motoréducteur entraîne une vis ; l'écrou, guidé en translation, écarte le pied des ciseaux, et le plateau monte. On étudie la vis-écrou et le réducteur.

Le bâti 0 porte le repère $(B, \vec x, \vec y, \vec z)$ , $\vec z$ vertical ascendant.
L'arbre 1, arbre de sortie du motoréducteur, est en liaison pivot d'axe $(F, \vec y)$ avec le bâti et en liaison hélicoïdale d'axe $(F, \vec y)$ avec l'écrou 4 ; l'hélice est à droite, de pas $p = 6$ mm. On note $\vec\Omega(1/0) = \omega_{1/0}\,\vec y$ .
L'écrou 4 est en liaison glissière de direction $\vec y$ avec le bâti.
Le réducteur a quatre arbres d'axes parallèles à $\vec y$ , fixes par rapport au bâti : l'arbre moteur M porte la roue A ; l'arbre I porte les roues B et C ; l'arbre II porte les roues D et E ; l'arbre de sortie 1 porte la roue F. Les engrenages A et B, C et D, E et F sont extérieurs. On note $\vec\Omega(M/0) = \omega_{m/0}\,\vec y$ .
Nombres de dents : $Z_A = 20$ , $Z_B = 45$ , $Z_C = 25$ , $Z_D = 52$ , $Z_E = 22$ , $Z_F = 48$ ; toutes les roues ont le même module. Les roues roulent sans glisser l'une sur l'autre au contact de leurs cercles primitifs.

Schéma cinématique du motoréducteur et de la vis : trois engrenages extérieurs entre l'arbre moteur M et l'arbre 1 ; l'arbre 1 est la vis, l'écrou 4 glisse selon \vec y par rapport au bâti. — Schéma cinématique du motoréducteur et de la vis : trois engrenages extérieurs entre l'arbre moteur M et l'arbre 1 ; l'arbre 1 est la vis, l'écrou 4 glisse selon $\vec y$ par rapport au bâti.

On pose $\vec V(F \in 4/0) = V_y\,\vec y$ . Exprimer $V_y$ en fonction de $\omega_{1/0}$ et de $p$ , puis le calculer pour $\omega_{1/0} = -16$ rad/s.
Le réducteur est-il un train simple ? Exprimer le rapport $\dfrac{\omega_{1/0}}{\omega_{m/0}}$ en fonction des nombres de dents.
Calculer $\omega_{m/0}$ en rad/s et en tr/min. Le moteur tourne-t-il dans le même sens que l'arbre 1 ?
Question ajoutée. Écrire la loi de la chaîne complète sous la forme $V_y = C\,\omega_{m/0}$ et calculer $C$ . De combien l'écrou avance-t-il pour un tour du moteur ?

Les autres questions du sujet sur cette table (vitesse du plateau par construction graphique, autre architecture, graphe de structure du réducteur) ne sont pas reprises : elles relèvent des chapitres « Cinématique du solide », « Cinématique des mécanismes » et « Chaînes de solides ».

Indications

Méthodes 2, 6, 9 et 10. Pour la vis, écrivez la relation de l'hélicoïdale dans le mouvement de l'écrou par rapport à la vis, puis composez avec le mouvement de la vis par rapport au bâti ; l'écrou ne tourne pas. Pour le réducteur, parcourez la chaîne depuis l'arbre moteur : les roues menantes sont A, C et E. Comptez les contacts extérieurs avant de conclure sur le sens.

Correction détaillée

1. Pour une hélice à droite, la liaison hélicoïdale entre 4 et 1 impose $\vec V(F \in 4/1) = \dfrac{p}{2\pi}\,\omega_{4/1}\,\vec y$ . Par composition, $\vec V(F \in 4/0) = \vec V(F \in 4/1) + \vec V(F \in 1/0)$ , et $\vec V(F \in 1/0) = \vec 0$ car $F$ est sur l'axe de la pivot entre 1 et 0. La glissière empêche l'écrou de tourner : $\omega_{4/0} = 0$ , donc $\omega_{4/1} = \omega_{4/0} - \omega_{1/0} = -\omega_{1/0}$ . D'où :

V_y = -\frac{p}{2\pi}\,\omega_{1/0} .

Application : $V_y = -\dfrac{6\times10^{-3}}{2\pi}\times(-16) = 0{,}0153$ m/s, soit 15,3 mm/s. $V_y$ est positif : avec cette rotation de la vis, l'écrou avance selon $+\vec y$ ; en inversant le sens du moteur, il recule. Un tour de vis fait avancer l'écrou d'un pas, 6 mm.

2. Les quatre arbres ont des axes fixes par rapport au bâti : c'est un train simple. En partant de l'arbre moteur, les roues menantes sont A, C et E, les roues menées B, D et F ; il y a trois contacts extérieurs :

\frac{\omega_{1/0}}{\omega_{m/0}} = (-1)^3\,\frac{Z_A Z_C Z_E}{Z_B Z_D Z_F} = -\frac{20\times25\times22}{45\times52\times48} = -\frac{275}{2\,808} \approx -0{,}0979 .

La valeur absolue est inférieure à 1 : c'est un réducteur, de rapport voisin de $1/10{,}2$ .

3. On inverse la loi de la question 2 :

\omega_{m/0} = -\frac{2\,808}{275}\,\omega_{1/0} = -\frac{2\,808}{275}\times(-16) = 163{,}4 \text{ rad/s},

soit $163{,}4\times\dfrac{60}{2\pi} = 1\,560$ tr/min. $\omega_{m/0}$ et $\omega_{1/0}$ sont de signes contraires : avec trois contacts extérieurs, un nombre impair, l'arbre 1 tourne en sens inverse du moteur. Une vitesse de 1 560 tr/min est celle d'un moteur électrique courant : le résultat est plausible. Le corrigé du sujet donne 163,36 rad/s, arrondi un peu trop tôt.

4. On enchaîne les deux lois :

V_y = -\frac{p}{2\pi}\,\frac{\omega_{1/0}}{\omega_{m/0}}\,\omega_{m/0} = \frac{p}{2\pi}\,\frac{275}{2\,808}\,\omega_{m/0} ,

d'où

C = \frac{6\times10^{-3}}{2\pi}\times\frac{275}{2\,808} = 9{,}35\times10^{-5} \text{ m/rad} .

Contrôle : $9{,}35\times10^{-5}\times163{,}4 = 0{,}0153$ m/s, la valeur de la question 1. $C$ est en mètres par radian, comme un pas réduit : la chaîne transforme une rotation en translation. Un tour du moteur fait avancer l'écrou de $2\pi C = 0{,}588$ mm.

Méthodes à retenir

Une vis-écrou se traite par la relation de l'hélicoïdale dans le mouvement relatif de l'écrou par rapport à la vis, puis par composition ; le signe vient du sens de l'hélice et de la pièce qui tourne (méthode 9). Un train simple se calcule en partant de l'entrée, menantes en haut, menées en bas, avec $(-1)^n$ (méthode 6). La loi d'une chaîne complète est le produit des lois des transmetteurs ; son unité, ici des mètres par radian, contrôle le calcul (méthodes 2 et 10).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 18 méthodes, 20 pièges corrigés, la carte mentale, 39 exercices corrigés, 6 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

Ouvrir l'essai gratuit Une question ? WhatsApp

Plan du cours

1. Transmettre : fonction et familles de transmetteurs
2. Le rapport de transmission
3. Des roues de friction aux engrenages
4. Les engrenages cylindriques
- 4.1 Technologie
- 4.2 Module, pas, diamètre primitif
- 4.3 Entraxe
5. Le signe, et les axes non parallèles
6. Les trains d'engrenages simples
- 6.1 Définition et produit des rapports
- 6.2 La roue intermédiaire
- 6.3 Réducteur à plusieurs étages
- 6.4 Réducteur coaxial
- 6.5 Boîte de vitesses
7. Poulies et courroie, pignons et chaîne
8. La roue et vis sans fin
9. Transformer la rotation en translation
- 9.1 Pignon et crémaillère
- 9.2 Vis et écrou
- 9.3 Bielle-manivelle et came
10. La loi d'une chaîne de transmission complète
11. Quand le porte-axe tourne
12. Les trains épicycloïdaux de type 1
- 12.1 Reconnaître et nommer
- 12.2 La relation par la composition des mouvements
- 12.3 Vu du porte-satellite : raison basique et relation de Willis
- 12.4 Les configurations
- 12.5 Montage, usage, exemple
13. Autres transmetteurs
14. Réversibilité et puissance
15. Python : choisir des nombres de dents, calculer un train
16. Vérifier et conclure
17. Trains épicycloïdaux : autres types, différentiel, boîtes (PCSI en France, MP2I, PTSI, TSI)
- 17.1 Les autres types
- 17.2 Le différentiel
- 17.3 Additionneur et boîte de vitesses

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Identifier et classer un transmetteur
Écrire un rapport de transmission algébrique et conclure
Établir le rapport d'un engrenage par le roulement sans glissement
Exploiter module, nombres de dents et entraxe
Donner le signe d'un engrenage
Calculer le rapport d'un train simple
Poulies et courroie, pignons et chaîne
Roue et vis sans fin
Pignon-crémaillère et vis-écrou : la règle d'un tour
Écrire la loi d'une chaîne de transmission complète
Transmission dont le porte-axe tourne
Reconnaître un train épicycloïdal et nommer ses éléments
Établir la relation d'un train de type 1 par la composition des mouvements
Calculer la raison basique et écrire la relation de Willis
Obtenir le rapport d'un réducteur épicycloïdal et conclure
Annoncer la réversibilité et le rendement sans les calculer
Choisir des nombres de dents et vérifier un train en Python
Exploiter un train épicycloïdal à deux entrées ou à plusieurs rapports

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

La table élévatrice d'un poste de soudage
Poulies et engrenages d'un arbre d'extraction de film
Le scooter à variateur
L'arceau d'un appareil d'imagerie médicale
Le robot de chantier : réducteur, poulies dentées et vis à billes
La tête de vissage de capsules : un porte-satellite bloqué
Le motoréducteur épicycloïdal d'un robot mobile
La boîte de transmission d'une voiture radiocommandée
Le réducteur d'une turbine à gaz : simple ou épicycloïdal ?
Les poulies étagées d'une banderoleuse et l'engrenage de son capteur
Le pas d'une vis donné pour un tour
Le tambour moteur d'un convoyeur
Train simple, poulie et courroie : les contraintes d'assemblage
Le réducteur à satellite double d'un dégrilleur
Un train à satellite double et deux blocages

Entraînement (18)

Le vérin électrique d'un déambulateur robotisé
Le rapport global d'un chargeur de bobines
Le réducteur à trois étages d'une orthèse de marche robotisée
La chaîne d'une table de radiologie
Le correcteur d'assiette d'un phare : deux roues et vis et une vis-écrou
L'élévateur à bateaux : des roues folles sur un bras qui tourne
Le bras à retour d'effort : des poulies sur un porte-axe mobile
Une chaîne de cinq transmetteurs
Les rapports d'un vélo
Le broyeur de déchets : trouver l'erreur
La relation d'un train de type 1 par deux fermetures cinématiques
Le réducteur de levage d'un poste de soudage
L'essieu moteur d'un chariot élévateur
Le motoréducteur planétaire et la poulie d'un transfert de dosettes
Le différentiel d'une voiture en virage
L'axe vertical d'une imprimante de précision : satellite double et vis
Le surmultiplicateur d'une boîte de vitesses
La boîte à deux vitesses et marche arrière

Approfondissement (6)

Le bras à courroie et la trajectoire de son poignet
Le réducteur à billes
Le réducteur à onde de déformation d'un robot de stimulation
Le joint de cardan et le double cardan
Deux trains de type 1 en série
La boîte à quatre rapports d'un convoyeur

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

La grue de reportage : contrepoids et roue motrice
CNC 2017, filière TSI, génie mécanique, partie A « Position du contrepoids et sa mise en mouvement », questions 3 et 4, et partie D « Roue motrice du chariot », questions 15 à 19
Le mélangeur de peinture bi-axial
CNC 2019, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie I « Partie préliminaire », questions Q1 à Q5, et partie II « Etude cinématique et dynamique de l'unité de rotation », questions Q18 et Q21 à Q24
Le portique d'une machine d'assemblage
CNC 2006, filière MP, Sciences industrielles, partie 3 « Etude mécanique », A « Etude de la machine d'assemblage du document 1 », questions 3 à 6
La machine de microfraisage : débobinage et élévation
CCINP 2018, filière TSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie II « Détermination des spécifications du système de débobinage/récupération pour le respect de l'exigence 1.1 », questions Q2 et Q3, et partie IV « Détermination des caractéristiques de la motorisation afin de respecter l'exigence 1.1.2 », questions Q33 à Q35, Q37, Q54 et Q57
La machine d'essai de traction
Concours commun 2003 des écoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes, épreuve spécifique de Sciences industrielles, filière PCSI, option PSI, partie A « Etude cinématique », questions A.1 à A.9
La transmission hybride à air comprimé
Banque PT 2017, filière PT, Sciences industrielles C, partie II « Fonctionnement cinématique interne du système », questions 8 à 10 et 15

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le rapport de transmission ?

Pour un transmetteur de rotation en rotation, c'est $k = \frac{\omega_{s/0}}{\omega_{e/0}}$ , vitesse de sortie sur vitesse d'entrée par rapport au bâti. C'est un réducteur si $\lvert k\rvert < 1$ , un multiplicateur si $\lvert k\rvert > 1$ ; pour des axes parallèles, un rapport négatif signifie que la sortie tourne en sens inverse. Certains sujets définissent le rapport à l'envers, entrée sur sortie : on recopie toujours la définition de l'énoncé avant de calculer.

Que valent le module, le diamètre primitif et l'entraxe d'un engrenage ?

Une roue de $Z$ dents et de module $m$ a un diamètre primitif $D = mZ$ et un pas $p = \pi m$ . Deux roues qui engrènent ont le même module. L'entraxe vaut $a = \frac{m(Z_1 + Z_2)}{2}$ pour un contact extérieur et $a = \frac{m(Z_2 - Z_1)}{2}$ pour un contact intérieur, $Z_2$ étant la couronne. Ces grandeurs servent à vérifier une condition de montage ou à trouver un nombre de dents.

Comment calculer le rapport d'un train d'engrenages simple ?

Si tous les axes sont fixes par rapport au bâti et parallèles, $k = (-1)^n\,\frac{\prod Z_{\text{menantes}}}{\prod Z_{\text{menées}}}$ , où $n$ est le nombre de contacts extérieurs. On classe les roues en parcourant le train depuis l'entrée. Une roue intermédiaire, menée puis menante, se simplifie : elle ne change que le sens de rotation.

Comment obtenir le signe d'un engrenage conique ou d'une roue et vis ?

La règle $(-1)^n$ ne vaut que pour des axes parallèles. Pour un engrenage conique, on oriente les deux axes par des vecteurs et l'on écrit le roulement sans glissement au point de contact depuis le sommet commun ; le signe dépend des vecteurs choisis. Pour une roue et vis, on regarde la dent en prise comme un écrou guidé sur la vis qui tourne sur place, et le sens d'hélice donne le sens de rotation de la roue.

Quelle est la loi d'une vis-écrou et d'un pignon-crémaillère ?

Un tour de vis fait avancer l'écrou d'un pas $p$ : $\lvert V\rvert = \frac{p}{2\pi}\,\lvert\omega\rvert$ , avec $\omega$ en rad/s ; le signe dépend du sens d'hélice et du solide qui tourne. Un tour du pignon fait avancer la crémaillère d'un périmètre primitif : $V = R\,\omega = \frac{mZ}{2}\,\omega$ . Oublier le facteur $2\pi$ ou prendre le diamètre pour le rayon sont les deux erreurs les plus fréquentes.

Qu'est-ce que la relation de Willis ?

C'est la relation entre les trois vitesses d'un train épicycloïdal : $\omega_{s/0} - \lambda\,\omega_{e/0} + (\lambda - 1)\,\omega_{ps/0} = 0$ , où $e$ et $s$ sont deux planétaires et $ps$ le porte-satellite. La raison basique $\lambda$ est le rapport du train simple obtenu en se plaçant sur le porte-satellite : pour un train de type 1, du planétaire vers la couronne, $\lambda = -\frac{Z_p}{Z_c}$ . Contrôle rapide : si tout tourne en bloc, la relation est vérifiée.

Comment calculer le rapport d'un réducteur épicycloïdal ?

On écrit la relation de Willis, puis on annule la vitesse de l'élément bloqué. Pour un train de type 1 à couronne fixe, entraîné par le planétaire, le porte-satellite tourne dans le même sens au rapport $\frac{Z_p}{Z_p + Z_c}$ . La condition de coaxialité impose $Z_c = Z_p + 2Z_s$ . Plusieurs étages en série multiplient leurs rapports ; le nombre de satellites ne change pas les vitesses.

Le rendement intervient-il dans le rapport de transmission ?

Non. Le rapport est une relation entre vitesses, imposée par la géométrie ; le rendement est un rapport de puissances, utilisé pour les couples et les bilans d'énergie. Un transmetteur réversible peut être entraîné par sa sortie : c'est le cas des engrenages et des poulies ; une roue et vis sans fin ou une vis-écrou à faible pas peuvent être irréversibles, alors qu'une vis à billes est réversible.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.