Cinématique des mécanismes : composition des mouvements, contact ponctuel, lois entrée-sortie et fermetures, cours et exercices corrigés

Q: Comment composer les vitesses en SI ?

Pour trois solides 0, 1, 2 et tout point P : vec V(P ∈ 2/0) = vec V(P ∈ 2/1) + vec V(P ∈ 1/0). Les indices s'enchaînent comme une relation de Chasles. Le dernier terme est la vitesse du point de 1 qui coïncide avec P à l'instant considéré : on la calcule par la relation de Varignon dans le mouvement de 1 par rapport à 0, jamais en dérivant la position de P. On choisit le solide intermédiaire 1 pour que les deux mouvements soient simples, une rotation autour d'un axe fixe ou une translation.

Q: Comment traduire le roulement sans glissement ?

On écrit l'hypothèse au point de contact I entre les deux solides qui se touchent : vec V(I ∈ 2/1) = vec 0. Puis on part des deux côtés vers les centres des liaisons : vec V(I ∈ 2/0) = vec V(I ∈ 1/0), chaque terme transporté vers l'axe de son solide. Pour une roue de rayon R qui roule sur un sol fixe, on obtient la relation entre la vitesse du centre et la vitesse angulaire, dont le signe dépend du paramétrage. Écrire « V = Rω » sans hypothèse ni calcul vectoriel est sanctionné.

Q: Comment résoudre une loi de la forme P cos θ + Q sin θ = R ?

On pose psi l'angle tel que cospsi = P/√(P^2 + Q^2) et sinpsi = Q/√(P^2 + Q^2), soit psi = atan2(Q, P). Les solutions sont θ = psi ± arccos (R/√(P^2 + Q^2) ), à condition que lvert Rrvert ≤ √(P^2 + Q^2) ; sinon le mécanisme ne peut pas s'assembler. Les deux solutions correspondent à deux modes d'assemblage : c'est la figure, ou la position de départ du mécanisme réel, qui choisit.

Q: Quelle est la loi entrée-sortie d'un système bielle-manivelle ?

Pour une manivelle de longueur a, une bielle de longueur L > a et un piston dont la glissière passe par l'axe de la manivelle : x = acosα + √(L^2 - a^2sin^2α). La course vaut 2a. Au premier ordre, x ≈ acosα + L - (a^2)/(2L)sin^2α ; l'approximation x = acosα + L est fausse de plusieurs pour cent de la course. En dérivant, la vitesse du piston est nulle aux deux points morts, où manivelle et bielle sont alignées.

Composition des vitesses et des torseurs cinématiques, mouvement relatif, contact ponctuel entre solides (vitesse de glissement, roulement sans glissement, pivotement), fermeture géométrique et fermeture cinématique d'une chaîne, lois entrée-sortie d'un mécanisme, constructions graphiques et centre instantané de rotation, simulation et courbes.

19méthodes
33exercices corrigés
6problèmes
18pièges
157figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

La cinématique des mécanismes relie le mouvement d'entrée d'un mécanisme, celui que donne le moteur, au mouvement de sortie, celui qui agit. Elle s'appuie sur la composition des vitesses, qui observe un même point depuis deux solides, sur la vitesse de glissement au contact de deux pièces, et sur la fermeture géométrique d'une boucle, d'où l'on tire la loi entrée-sortie. Ce chapitre fait partie du programme de sciences industrielles de MPSI et PCSI au Maroc, au deuxième trimestre, et de MPSI, PCSI, MP2I, PTSI et TSI en France. On y trouve le point coïncident, le roulement sans glissement, le pivotement et le roulement, la bielle-manivelle traitée en entier, la fermeture cinématique, le choix de la bonne solution d'une loi, les points morts, les constructions graphiques, un programme Python qui résout une loi implicite, puis des exercices corrigés tirés de sujets réels.

Ce que tu sauras faire

Le bras d'un ouvre-portail pousse le vantail, une roue de vélo roule sur la route, un poussoir glisse sur une came, la manivelle d'une barrière lève la lisse. Dans chaque cas, un mouvement d'entrée devient un mouvement de sortie, à travers plusieurs solides. Le chapitre précédent a donné la vitesse des points d'un solide dans un seul mouvement ; celui-ci relie les mouvements entre eux. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

composer les vitesses d'un point vu depuis deux solides, et composer les torseurs cinématiques ;
calculer une vitesse de glissement et traduire le roulement sans glissement ;
écrire une fermeture géométrique et en tirer une loi entrée-sortie, en choisissant la bonne solution ;
obtenir la loi entrée-sortie cinématique, en dérivant ou par une fermeture cinématique ;
tracer une loi, la résoudre par un programme, l'exploiter et la comparer au cahier des charges.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Composer les mouvements

Composition des vitesses, en tout point $P$ : $\vec V(P \in 2/0) = \vec V(P \in 2/1) + \vec V(P \in 1/0)$ , indices enchaînés.
$\vec V(P \in 1/0)$ : vitesse du point de 1 qui coïncide avec $P$ à l'instant $t$ ; par Varignon dans le mouvement 1/0, jamais en dérivant la position de $P$ .
Torseurs : $\{\mathcal V(2/0)\} = \{\mathcal V(2/1)\} + \{\mathcal V(1/0)\}$ , réduits au même point avant la somme.
Point de l'axe d'une pivot entre 1 et 2, centre d'une sphérique : $\vec V(P \in 2/0) = \vec V(P \in 1/0)$ , car $\vec V(P \in 2/1) = \vec 0$ .
Composition des accélérations : jamais écrite ; une accélération se calcule en dérivant une vitesse.

À retenir Contact ponctuel

En $I$ : le point géométrique, le point $I \in 1$ , le point $I \in 2$ ; normale $\vec n$ , plan tangent $\Pi$ .
Vitesse de glissement : $\vec V(I \in 2/1) = \vec V(I \in 2/0) - \vec V(I \in 1/0)$ ; antisymétrique ; jamais par dérivation de $\overrightarrow{OI}$ .
Maintien du contact : $\vec V(I \in 2/1)\cdot\vec n = 0$ .
Roulement sans glissement, hypothèse écrite : $\vec V(I \in 2/1) = \vec 0$ ; « des deux côtés vers les centres des liaisons ».
Roue sur le sol : $v = -R\omega$ avec le paramétrage du cours ; contact = CIR ; sommet à $2v$ .
Pivotement $\vec\Omega_p(2/1) = (\vec\Omega(2/1)\cdot\vec n)\,\vec n$ ; roulement $\vec\Omega_r(2/1)$ : le reste, dans $\Pi$ .
Glisser n'est pas frotter.

À retenir Fermeture géométrique et loi entrée-sortie

Loi entrée-sortie : relation entre le paramètre d'entrée et celui de sortie (géométrique), ou leurs dérivées (cinématique).
Chaîne ouverte : modèle direct (Chasles projeté), modèle inverse (deux solutions, atan2).
Fermeture : Chasles le long du cycle par les centres des liaisons, vecteurs dans leurs bases ; fermeture angulaire en plan, angles orientés.
Éliminer : somme des carrés pour un angle, quotient pour une longueur, propriété géométrique, produit scalaire avec un vecteur perpendiculaire à l'inconnue.
$P\cos\theta + Q\sin\theta = R$ : $\theta = \psi \pm \arccos\frac{R}{\sqrt{P^2 + Q^2}}$ , $\psi = \operatorname{atan2}(Q, P)$ ; domaine $\lvert R\rvert \le \sqrt{P^2 + Q^2}$ ; deux modes d'assemblage ; deux barres alignées à la limite.

À retenir Mécanismes classiques

Bielle-manivelle centrée : $x = a\cos\alpha + \sqrt{L^2 - a^2\sin^2\alpha}$ ; course $2a$ ; points morts à $\alpha = 0$ et $\pi$ ; $L > a$ .
Premier ordre : $x \approx a\cos\alpha + L - \frac{a^2}{2L}\sin^2\alpha$ ; « $x = a\cos\alpha + L$ » est faux.
Désaxée : $x = a\cos\alpha + \sqrt{L^2 - (a' + a\sin\alpha)^2}$ .
Came ronde et poussoir plat : $\lambda = R + e\sin\theta$ ; vitesse de glissement $(R + e\sin\theta)\dot\theta$ .
Coulisse ( $\theta$ et $\varphi$ mesurés depuis $\overrightarrow{O'O}$ ) : $\tan\varphi = \frac{r\sin\theta}{d + r\cos\theta}$ , amplitude $\pm\arcsin(r/d)$ , retour rapide.
Hélicoïdale dans une boucle : $\lambda = \frac{p}{2\pi}\,\theta$ (pas à droite).

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Composer les vitesses en un point

Quand l’utiliser

Quand un point est observé depuis deux solides : un point qui se déplace sur un solide lui-même en mouvement, un point au bout d'une chaîne de solides, un point de contact.

Rappel de cours

$\vec V(P \in 2/0) = \vec V(P \in 2/1) + \vec V(P \in 1/0)$ , pour tout point $P$ ; les indices s'enchaînent ; le dernier terme est la vitesse du point de 1 qui coïncide avec $P$ .

Démarche

Écrire le mouvement cherché, $2/0$ , et choisir un solide intermédiaire 1 tel que les mouvements $2/1$ et $1/0$ soient simples (une rotation autour d'un axe fixe, une translation).
Écrire la chaîne d'indices et vérifier qu'elle s'enchaîne.
Calculer chaque terme dans son mouvement, par dérivation ou par Varignon.
Additionner, en laissant chaque terme dans sa base.

Rédaction type

« Par composition des vitesses en $P$ , avec le corps du vérin comme solide intermédiaire :

\vec V(P \in 2/0) = \vec V(P \in 2/1) + \vec V(P \in 1/0) = \dot\lambda\,\vec x_1 + \lambda\dot\theta\,\vec y_1 .

Exemple traité

Tige d'un vérin d'ouvre-portail (cours, section 2.3) : $2/1$ est une translation selon $\vec x_1$ , $1/0$ une rotation autour de $(A, \vec z_0)$ . Avec $\lambda = 0{,}60$ m, $\dot\lambda = 0{,}02$ m/s et $\dot\theta = 0{,}05$ rad/s (valeurs choisies), le bout de tige va à 0,036 m/s, dont 0,030 m/s viennent de la rotation du corps : c'est surtout elle qui fait avancer la tige.

Erreurs fréquentes

Indices qui ne s'enchaînent pas ( $\vec V(P \in 2/1) + \vec V(P \in 0/1)$ ).
Un point différent dans les termes.
Vitesse d'entraînement prise égale à $\vec 0$ « parce que $P$ ne bouge pas sur 1 ».

Pour s’entraîner

Exercices 1, 6, 9, 10, 15 et 25 ; problèmes 3 et 4.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice L'orientation des miroirs ★☆☆

Un système de projection d'images sur un écran au plafond, utilisé pour la réalité virtuelle, renvoie l'image d'un projecteur par un miroir. Le support du miroir est orienté par un vérin électrique. Constituants :

le châssis 0, repère $R_0 = (O, \vec x_0, \vec y_0, \vec z_0)$ ;
l'ensemble miroir et support 1, en liaison pivot d'axe $(O, \vec z_0)$ avec 0, repère $R_1 = (O, \vec x_1, \vec y_1, \vec z_0)$ , avec $\theta = (\vec x_0, \vec x_1) = (\vec y_0, \vec y_1)$ ;
la tige du vérin 2, en liaison pivot d'axe $(A, \vec z_0)$ avec 1, repère $R_2 = (A, \vec x_2, \vec y_2, \vec z_0)$ , avec $\varphi = (\vec x_0, \vec x_2) = (\vec y_0, \vec y_2)$ ;
le corps du vérin 3, en liaison pivot d'axe $(B, \vec z_0)$ avec 0 et en liaison glissière de direction $\vec x_2$ avec la tige 2.

Données : $\overrightarrow{OA} = a\,\vec x_1$ , $\overrightarrow{BA} = -\lambda(t)\,\vec x_2$ , $\overrightarrow{OB} = d\,\vec x_0 - h\,\vec y_0$ , avec $a = 905$ mm, $d = 1\,000$ mm et $h = 630$ mm. Le sujet écrit $\overrightarrow{OB} = d\,\vec x_0 + h\,\vec y_0$ , mais sa courbe de $\lambda(\theta)$ et son corrigé ne sont justes que si $B$ est sous $O$ : on prend donc $B$ à 630 mm sous $O$ , comme sur le schéma redessiné. Avec la donnée écrite, la course trouvée serait 0,212 m.

Le mécanisme d'orientation : support du miroir 1 en pivot en O, vérin électrique (tige 2, corps 3) entre A et B, B sous O ; à droite, les figures de changement de base des angles \theta et \varphi (\varphi est négatif dans cette position). — Le mécanisme d'orientation : support du miroir 1 en pivot en $O$ , vérin électrique (tige 2, corps 3) entre $A$ et $B$ , $B$ sous $O$ ; à droite, les figures de changement de base des angles $\theta$ et $\varphi$ ( $\varphi$ est négatif dans cette position).

Le miroir travaille autour de la position $\theta = 45°$ , avec un débattement de $\pm 10°$ .

Écrire les équations, projetées dans la base $(\vec x_0, \vec y_0, \vec z_0)$ , de la fermeture géométrique de la chaîne 0, 1, 2, 3, 0.
En déduire $\lambda$ en fonction de $a$ , $d$ , $h$ et $\theta$ .
Calculer $\lambda$ pour $\theta = 35°$ et $\theta = 55°$ , puis la course du vérin.
Tracer le graphe des liaisons du mécanisme.
Déterminer $\vec V(A \in 1/0)$ en fonction de $a$ et $\dot\theta$ .
Déterminer $\vec V(A \in 2/0)$ en fonction de $\lambda$ , $\dot\lambda$ et $\dot\varphi$ .
Justifier que $\vec V(A \in 1/0) = \vec V(A \in 2/0)$ .
En déduire $\dot\lambda$ en fonction de $a$ , $d$ , $h$ , $\theta$ et $\dot\theta$ .
On écrit $\dot\lambda \approx K_\theta\,\dot\theta$ sur le débattement. Donner $K_\theta$ en mm/rad, d'abord par la course et le débattement, puis par la loi de la question 8 en $\theta = 45°$ . Commenter.

Indications

Méthodes 1, 4, 9, 11, 13 et 16. Parcourez la boucle par les centres des liaisons, $O$ , $A$ , $B$ , en laissant chaque vecteur dans sa base. Pour éliminer $\varphi$ , isolez $\lambda\cos\varphi$ et $\lambda\sin\varphi$ et faites la somme des carrés. Pour la question 7, $A$ est sur l'axe d'une pivot. Pour la question 8, dérivez $\lambda^2$ plutôt que $\lambda$ .

Correction détaillée

1. Fermeture par Chasles, $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BO} = \vec 0$ , avec $\overrightarrow{AB} = \lambda\,\vec x_2$ et $\overrightarrow{BO} = -d\,\vec x_0 + h\,\vec y_0$ :

a\,\vec x_1 + \lambda\,\vec x_2 - d\,\vec x_0 + h\,\vec y_0 = \vec 0 .

Avec $\vec x_1 = \cos\theta\,\vec x_0 + \sin\theta\,\vec y_0$ et $\vec x_2 = \cos\varphi\,\vec x_0 + \sin\varphi\,\vec y_0$ :

\text{sur } \vec x_0 : \; a\cos\theta + \lambda\cos\varphi - d = 0 \qquad \text{sur } \vec y_0 : \; a\sin\theta + \lambda\sin\varphi + h = 0 .

La projection sur $\vec z_0$ donne $0 = 0$ : le problème est plan.

2. On isole le terme qui contient $\varphi$ : $\lambda\cos\varphi = d - a\cos\theta$ et $\lambda\sin\varphi = -(h + a\sin\theta)$ . La somme des carrés élimine $\varphi$ ; $\lambda$ est une longueur, positive :

\lambda = \sqrt{(d - a\cos\theta)^2 + (h + a\sin\theta)^2} .

C'est la distance $AB$ , ce que la figure confirme : la longueur du vérin ne dépend que de la position du miroir.

3. Avec $a = 0{,}905$ m, $d = 1$ m, $h = 0{,}63$ m : $\lambda(35°) = 1{,}178$ m, $\lambda(45°) = 1{,}320$ m et $\lambda(55°) = 1{,}453$ m. La course est $1{,}453 - 1{,}178 = 0{,}275$ m. Sur les 20° du débattement, la courbe est presque une droite : elle s'écarte de sa corde de 4,5 mm au plus.

Loi \lambda(\theta) recalculée avec B sous O, de 35° à 55° : la course vaut 0,275 m. — Loi $\lambda(\theta)$ recalculée avec $B$ sous $O$ , de 35° à 55° : la course vaut 0,275 m.

Le corrigé du sujet lit 1,175 m et 1,451 m sur la courbe, soit 0,276 m : même résultat à la lecture près.

4. Une seule boucle de quatre solides :

Graphe des liaisons : trois pivots d'axes parallèles à \vec z_0 et une glissière de direction \vec x_2. — Graphe des liaisons : trois pivots d'axes parallèles à $\vec z_0$ et une glissière de direction $\vec x_2$ .

5. $O$ est fixe dans 0 et $A$ est lié à 1 :

\vec V(A \in 1/0) = \frac{\mathrm d\overrightarrow{OA}}{\mathrm dt}\Big\rvert_{R_0} = a\dot\theta\,\vec y_1 .

6. $B$ est fixe dans 0 et $A$ est lié à la tige 2 ; $\overrightarrow{BA} = -\lambda\,\vec x_2$ , et $\vec x_2$ tourne de $\dot\varphi$ autour de $\vec z_0$ :

\vec V(A \in 2/0) = \frac{\mathrm d\overrightarrow{BA}}{\mathrm dt}\Big\rvert_{R_0} = -\dot\lambda\,\vec x_2 - \lambda\dot\varphi\,\vec y_2 .

Le premier terme vient de la sortie de la tige, le second de la rotation du vérin autour de $B$ .

7. Par composition des vitesses en $A$ , avec 1 comme solide intermédiaire :

\vec V(A \in 2/0) = \vec V(A \in 2/1) + \vec V(A \in 1/0) .

$A$ est sur l'axe de la pivot entre 1 et 2 : $\vec V(A \in 2/1) = \vec 0$ . Donc $\vec V(A \in 2/0) = \vec V(A \in 1/0)$ : le point $A$ a la même vitesse, qu'on le dise lié au support ou à la tige.

8. On dérive l'expression de $\lambda^2$ de la question 2 :

2\lambda\dot\lambda = 2(d - a\cos\theta)\,a\dot\theta\sin\theta + 2(h + a\sin\theta)\,a\dot\theta\cos\theta ,

d'où

\dot\lambda = \frac{a\,(d\sin\theta + h\cos\theta)}{\lambda}\,\dot\theta .

Contrôle par les questions 5 à 7 : on projette sur $\vec x_2$ l'égalité

a\dot\theta\,\vec y_1 = -\dot\lambda\,\vec x_2 - \lambda\dot\varphi\,\vec y_2 ;

on trouve $\dot\lambda = a\dot\theta\sin(\theta - \varphi)$ , et la fermeture donne $\lambda\sin(\theta - \varphi) = d\sin\theta + h\cos\theta$ : même résultat. Avec la convention du sujet, où $h$ serait l'ordonnée signée de $B$ , on lit $d\sin\theta - h\cos\theta$ dans son corrigé.

9. Par la course : $K_\theta \approx \dfrac{0{,}275}{20\pi/180} = 789$ mm/rad. Par la loi en $\theta = 45°$ : $K_\theta = \dfrac{a\,(d\sin 45° + h\cos 45°)}{\lambda(45°)} = 790$ mm/rad. Les deux valeurs sont presque égales parce que la loi est presque linéaire sur le débattement : le vérin peut être commandé avec un rapport constant, $\dot\lambda \approx 0{,}79\,\dot\theta$ (en m/s pour $\dot\theta$ en rad/s). Le corrigé du sujet trouve 790 mm/rad.

Méthodes à retenir

Une fermeture géométrique projetée, puis la somme des carrés, donne la longueur du vérin ; en dérivant $\lambda^2$ , on obtient la loi cinématique, que l'on contrôle par la composition des vitesses au centre d'une pivot (méthodes 1, 4, 9, 11 et 13). Une loi presque linéaire sur un petit débattement se résume par un rapport des vitesses constant (méthode 16). Une courbe donnée doit rester cohérente avec les données : ici, elle impose $B$ sous $O$ .

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 19 méthodes, 18 pièges corrigés, la carte mentale, 33 exercices corrigés, 6 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Un point qui change de solide
2. Composition des vitesses
- 2.1 La relation et sa démonstration
- 2.2 Le point coïncident
- 2.3 Un exemple : la tige d'un vérin
3. Composition des torseurs cinématiques
4. Point de l'axe d'une pivot, centre d'une sphérique
5. Contact ponctuel entre deux solides
- 5.1 Géométrie du contact
- 5.2 Vitesse de glissement
- 5.3 Roulement sans glissement
- 5.4 Pivotement et roulement
6. Chaînes ouvertes, chaînes fermées, loi entrée-sortie
7. Fermeture géométrique
- 7.1 Écrire la fermeture
- 7.2 Projeter et éliminer
- 7.3 Résoudre et choisir la solution
8. Lois entrée-sortie des mécanismes classiques
- 8.1 La bielle-manivelle
- 8.2 L'excentrique et la came ronde
- 8.3 La coulisse
- 8.4 Le quadrilatère articulé
- 8.5 Une liaison hélicoïdale dans une boucle
- 8.6 Linéariser une loi
9. Loi entrée-sortie cinématique : dériver la loi géométrique
10. Fermeture cinématique
11. Constructions graphiques à l'échelle
12. Python : tracer une loi, résoudre une loi implicite
13. Exploiter une loi et la vérifier

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Composer les vitesses en un point
Calculer la vitesse d'un point coïncident
Composer les torseurs cinématiques d'une chaîne ouverte
Passer d'un solide à l'autre par l'axe d'une pivot
Calculer une vitesse de glissement
Traduire le maintien du contact
Traduire le roulement sans glissement
Décomposer un taux de rotation en pivotement et en roulement
Écrire la fermeture géométrique d'un cycle
Choisir la projection qui ne garde que les paramètres utiles
Éliminer un paramètre jusqu'à la loi
Résoudre $P\cos\theta + Q\sin\theta = R$ et choisir la solution
Obtenir la loi cinématique en dérivant la loi géométrique
Écrire une fermeture cinématique
Écrire la loi entrée-sortie d'une chaîne ouverte
Exploiter une loi entrée-sortie et conclure sur l'exigence
Construire les vitesses à l'échelle sur un document réponse
Résoudre et tracer une loi entrée-sortie en Python
Vérifier un résultat de cinématique des mécanismes

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (13)

L'orientation des miroirs
Le fouloir d'une presse à déchets
La loi du bras de verticalisation
Les pales d'un arbre d'extraction
La bielle-manivelle d'un scooter
La vis à billes d'un scanner 3D
Les roulettes pivotantes d'un chargeur de bobines
Le levier et la bille d'un axe d'usinage
Une roue qui roule dans une couronne fixe
Deux roues de friction
Le micromoteur de modélisme
La table élévatrice à ciseaux, par fermeture cinématique
Le correcteur d'assiette d'un phare

Entraînement (15)

Le moteur hydraulique à came et galets
L'avion au roulage : les moteurs de roue en virage
Les roues omnidirectionnelles d'un robot imprimeur
Le glissement latéral d'un robot de verger en virage
L'axe d'un robot de stimulation : bielle-manivelle et vis
Le stabilisateur d'un robot de chantier, sur document réponse
La tête de découpe de tissus
Le robot à chenilles d'une façade vitrée
La béquille d'un vélo cargo
La porte d'un avion cargo : choisir ses fermetures
La pompe à débit variable : choisir le point et la projection
Le différentiel linéaire
La banderoleuse
Le galet d'une plieuse sur sa came
Une barrière à croisillon

Approfondissement (5)

La pompe à pistons axiaux à plateau incliné
Le robot SCARA : modèles géométriques et loi de commande
Le broyeur à meule d'un moulin
Une loi entrée-sortie en Python
La croix de Malte d'un plateau indexeur

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

L'essieu de direction d'un chariot élévateur
CNC 2022, filière TSI, génie mécanique, partie C « Effort du vérin hydraulique de l'essieu de direction », questions C1 à C4 (C41 à C45)
Un robot de verger en virage : roues et braquage
CNC 2025, filière TSI, génie mécanique, partie 2 « Étude cinématique du robot en virage », questions Q4, Q6, Q7 et Q10 à Q12
Le robot à quatre roues directrices
CNC 2011, filière MP, Sciences industrielles, partie III « Étude cinématique dans une situation particulière », questions 9 à 11, et partie V « Étude graphique de la cinématique du système de direction », questions 17 à 19
La direction et le différentiel d'une voiture radiocommandée
CCINP 2024, filière TSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie I « Exigence 1 : diriger la voiture », questions Q1 à Q8, et partie II « Exigence 3 : mettre en mouvement la voiture », questions Q45 à Q51
Le transfert de lame d'une machine de collage
Concours commun 2008 des écoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes, épreuve spécifique de Sciences industrielles, filière PCSI, option PSI, partie D « Étude du mécanisme de transfert de lame », questions D-1-1 à D-1-7 et D-2-1 à D-2-3
La genouillère d'une presse à injecter
ATS 2026, Sciences industrielles, partie 3 « Étude géométrique et cinématique », questions Q9 à Q15, Q17 et Q18, et partie 6 « Vérification des coussinets », questions Q32 et Q33

Questions fréquentes

Comment composer les vitesses en SI ?

Pour trois solides 0, 1, 2 et tout point $P$ : $\vec V(P \in 2/0) = \vec V(P \in 2/1) + \vec V(P \in 1/0)$ . Les indices s'enchaînent comme une relation de Chasles. Le dernier terme est la vitesse du point de 1 qui coïncide avec $P$ à l'instant considéré : on la calcule par la relation de Varignon dans le mouvement de 1 par rapport à 0, jamais en dérivant la position de $P$ . On choisit le solide intermédiaire 1 pour que les deux mouvements soient simples, une rotation autour d'un axe fixe ou une translation.

Qu'est-ce que la vitesse de glissement ?

C'est la vitesse, dans le mouvement de 2 par rapport à 1, du point de 2 qui coïncide avec le point de contact $I$ : $\vec V(I \in 2/1)$ . On la calcule par le bâti, $\vec V(I \in 2/1) = \vec V(I \in 2/0) - \vec V(I \in 1/0)$ , chaque terme par la relation de Varignon. Tant que le contact dure, elle est contenue dans le plan tangent : sa composante selon la normale est nulle. On ne l'obtient jamais en dérivant la position du point de contact.

Comment traduire le roulement sans glissement ?

On écrit l'hypothèse au point de contact $I$ entre les deux solides qui se touchent : $\vec V(I \in 2/1) = \vec 0$ . Puis on part des deux côtés vers les centres des liaisons : $\vec V(I \in 2/0) = \vec V(I \in 1/0)$ , chaque terme transporté vers l'axe de son solide. Pour une roue de rayon $R$ qui roule sur un sol fixe, on obtient la relation entre la vitesse du centre et la vitesse angulaire, dont le signe dépend du paramétrage. Écrire « $V = R\omega$ » sans hypothèse ni calcul vectoriel est sanctionné.

Comment écrire une fermeture géométrique ?

On parcourt un cycle du graphe des liaisons par les centres des liaisons et l'on écrit la relation de Chasles, une somme de vecteurs nulle, chaque vecteur dans la base du solide qu'il traverse. En mouvement plan, on ajoute la fermeture angulaire, avec des angles orientés. On projette ensuite dans une base, puis on élimine le paramètre qui n'est ni l'entrée ni la sortie : somme des carrés pour un angle, quotient pour une longueur, ou produit scalaire avec un vecteur perpendiculaire à l'inconnue.

Comment résoudre une loi de la forme P cos θ + Q sin θ = R ?

On pose $\psi$ l'angle tel que $\cos\psi = P/\sqrt{P^2 + Q^2}$ et $\sin\psi = Q/\sqrt{P^2 + Q^2}$ , soit $\psi = \operatorname{atan2}(Q, P)$ . Les solutions sont $\theta = \psi \pm \arccos\big(R/\sqrt{P^2 + Q^2}\big)$ , à condition que $\lvert R\rvert \le \sqrt{P^2 + Q^2}$ ; sinon le mécanisme ne peut pas s'assembler. Les deux solutions correspondent à deux modes d'assemblage : c'est la figure, ou la position de départ du mécanisme réel, qui choisit.

Quelle est la loi entrée-sortie d'un système bielle-manivelle ?

Pour une manivelle de longueur $a$ , une bielle de longueur $L > a$ et un piston dont la glissière passe par l'axe de la manivelle : $x = a\cos\alpha + \sqrt{L^2 - a^2\sin^2\alpha}$ . La course vaut $2a$ . Au premier ordre, $x \approx a\cos\alpha + L - \frac{a^2}{2L}\sin^2\alpha$ ; l'approximation $x = a\cos\alpha + L$ est fausse de plusieurs pour cent de la course. En dérivant, la vitesse du piston est nulle aux deux points morts, où manivelle et bielle sont alignées.

Faut-il dériver la loi géométrique ou écrire une fermeture cinématique ?

La voie la plus sûre est d'écrire la loi géométrique, puis de la dériver par rapport au temps. La fermeture cinématique, somme nulle des torseurs cinématiques des liaisons d'un cycle, tous réduits au même point, donne six équations, trois en mouvement plan ; elle sert à vérifier la loi par un second chemin, à obtenir toutes les vitesses d'un coup, ou quand le sujet l'impose. Elle est nommée par les programmes marocains et par celui de TSI, et employée par les sujets dans toutes les filières.

Qu'est-ce qu'un point mort dans un mécanisme ?

C'est une position où la barre d'entrée et la bielle sont alignées : la sortie s'arrête alors que l'entrée tourne, et le rapport des vitesses sortie sur entrée est nul. C'est ce qui verrouille une barrière levante ou un portail en fin de course. Si c'est au contraire la bielle qui s'aligne avec la barre de sortie, c'est l'entrée qui s'arrête : le rapport devient infini et le mécanisme se bloque quand on veut l'entraîner par l'entrée.

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