Cinématique du solide : paramétrage, vitesse, taux de rotation et torseur cinématique, cours et exercices corrigés

Q: Qu'est-ce que la formule de Bour en SI ?

C'est la formule de changement de base de dérivation : (mathrm dvec u)/(mathrm dt) rvert_(R_0) = (mathrm dvec u)/(mathrm dt) rvert_(R_1) + vecΩ (1/0)wedgevec u. Elle donne la dérivée d'un vecteur dans le repère R_0 quand on connaît sa dérivée dans R_1 et le vecteur taux de rotation de 1 par rapport à 0. Pour un vecteur fixe dans R_1, il reste seulement vecΩ (1/0)wedgevec u : par exemple, pour une rotation d'angle θ autour de vec z_0, la dérivée de vec x_1 vaut dotθ vec y_1.

Q: Comment écrire le vecteur taux de rotation d'un solide ?

Pour une rotation d'angle θ = (vec x_0, vec x_1) autour de vec z_0, vecΩ (1/0) = dotθ vec z_0 : c'est la dérivée de l'angle qui intervient, en rad/s. Pour une translation, vecΩ = vec 0. Au bout de plusieurs rotations, les taux de rotation s'additionnent comme des vecteurs, chacun porté par son axe : vecΩ (2/0) = vecΩ (2/1) + vecΩ (1/0).

Q: Quel est le torseur cinématique d'une liaison pivot ?

Pour une pivot d'axe (A, vec x), écrit dans son repère privilégié : \ω_x vec x ; vec 0\_A, une seule composante non nulle, la rotation autour de l'axe. Cette forme reste valable en tout point de l'axe. Chaque liaison normalisée a une composante non nulle par degré de liberté, sauf l'hélicoïdale, dont la translation est liée à la rotation par le pas.

Q: Pourquoi l'accélération d'un point a-t-elle une partie dirigée vers l'axe ?

Pour un point à la distance R de l'axe d'une rotation, vec a = Rddotθ vec y_1 - Rdotθ^2 vec x_1. Le premier terme, tangentiel, n'existe que si la vitesse angulaire varie ; le second, normal, est dirigé vers l'axe et vaut V^2/R. À vitesse angulaire constante, l'accélération n'est donc pas nulle. Il n'existe pas de torseur des accélérations : on dérive la vitesse d'un point lié.

Repères et paramétrage, figures de calcul, vecteur position, vitesse et accélération d'un point, dérivation vectorielle et formule de Bour, vecteur taux de rotation, champ des vitesses d'un solide, torseur cinématique et torseurs des liaisons, mouvements plans.

19méthodes
34exercices corrigés
6problèmes
16pièges
154figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

La cinématique du solide calcule la vitesse et l'accélération de chaque point d'un mécanisme à partir de son paramétrage. Tout repose sur le vecteur taux de rotation d'un solide par rapport à un autre et sur la formule de Bour, qui dérive un vecteur dans une base qui tourne ; le champ des vitesses d'un solide se résume ensuite par son torseur cinématique. Ce chapitre fait partie du programme de sciences industrielles de MPSI et PCSI au Maroc, et de MPSI, PCSI, MP2I, PTSI et TSI en France ; les sujets du CNC l'interrogent dès l'exercice préliminaire, et les concours français dans presque toutes les parties de mécanique. On y trouve les figures de changement de base, la relation de Varignon, l'équiprojectivité, le centre instantané de rotation, les torseurs cinématiques des onze liaisons normalisées, puis des exercices corrigés tirés de sujets réels.

Ce que tu sauras faire

Le vantail d'un portail qui s'ouvre, le chariot d'un portique qui roule sur sa flèche, la roue d'un vélo : le chapitre précédent a dit quels mouvements sont possibles ; celui-ci dit à quelle vitesse chaque point se déplace. Les sujets de concours ouvrent souvent sur ces calculs, au CNC dans l'exercice préliminaire noté sur 4 points. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

paramétrer un mécanisme et tracer ses figures de changement de base ;
écrire le vecteur taux de rotation d'un solide par rapport à un autre, et composer les taux de rotation ;
dériver un vecteur dans une base qui tourne (formule de Bour) ;
calculer la vitesse et l'accélération d'un point d'un solide ;
passer de la vitesse d'un point à celle d'un autre point du même solide ;
écrire, transporter et lire un torseur cinématique, dont ceux des liaisons normalisées ;
reconnaître une translation, une rotation, un mouvement plan, et trouver un centre instantané de rotation.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Repères et paramétrage

Un repère par classe ; $R_0$ lié au bâti ; « 2/1 » se lit « 2 par rapport à 1 ».
Un paramètre par degré de liberté : un angle par pivot, une longueur par glissière.
Un angle se définit entre deux vecteurs, autour du vecteur commun : $\theta = (\vec x_0, \vec x_1)$ autour de $\vec z_0$ .
Figure plane : vecteur commun vers le lecteur, angle positif d'environ 20°, $\vec\Omega$ écrit à côté.

À retenir Dérivation et taux de rotation

La base de dérivation s'écrit toujours : $\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt}\Big\rvert_{R_0}$ ; elle n'est pas la base d'expression.
Rotation d'angle $\theta$ autour de $\vec z_0$ : $\vec\Omega(1/0) = \dot\theta\,\vec z_0$ ; translation : $\vec\Omega = \vec 0$ ; $\vec\Omega(0/1) = -\vec\Omega(1/0)$ .
Formule de Bour : la dérivée de $\vec u$ dans $R_0$ est sa dérivée dans $R_1$ plus $\vec\Omega(1/0)\wedge\vec u$ .
Vecteur fixe dans $R_1$ : sa dérivée dans $R_0$ vaut $\vec\Omega(1/0)\wedge\vec u$ ; pour $\vec x_1$ , elle vaut $\dot\theta\,\vec y_1$ .
Dérivée de $\lambda\,\vec u$ : $\dot\lambda\,\vec u$ (variation de module) plus $\lambda$ fois la dérivée de $\vec u$ (variation de direction).
Composition : $\vec\Omega(2/0) = \vec\Omega(2/1) + \vec\Omega(1/0)$ , indices enchaînés, somme de vecteurs.

À retenir Vitesse et accélération d'un point

Point lié : $\vec V(P \in 2/1)$ est la dérivée de $\overrightarrow{O_1P}$ dans $R_1$ , $O_1$ fixe dans 1, $P$ fixe dans 2.
$\vec a(P \in 2/1)$ est la dérivée de $\vec V(P \in 2/1)$ dans $R_1$ ; les sujets écrivent souvent $\vec\Gamma$ .
Rotation de rayon $R$ : $\vec V = R\dot\theta\,\vec y_1$ ; $\vec a = R\ddot\theta\,\vec y_1 - R\dot\theta^2\,\vec x_1$ (normale vers l'axe, $V^2/R$ ).
Une vitesse s'écrit avec son point, son solide, son référentiel. Un point géométrique n'est pas un point lié.
La vitesse est antisymétrique, l'accélération ne l'est pas.

À retenir Champ des vitesses et torseur cinématique

Varignon (BABAR), pour $A$ et $B$ liés à 2 : $\vec V(B) = \vec V(A) + \overrightarrow{BA}\wedge\vec\Omega(2/1)$ .
Équiprojectivité : $\vec V(A)\cdot\overrightarrow{AB} = \vec V(B)\cdot\overrightarrow{AB}$ .
$\{\mathcal V(2/1)\} = \{\vec\Omega(2/1) \;;\; \vec V(A \in 2/1)\}_A$ ; en colonnes : $\omega$ à gauche, $v$ à droite, point et base en indice.
Invariants : $\vec\Omega$ et l'automoment $\vec\Omega\cdot\vec V$ .
Couple ( $\vec\Omega = \vec 0$ ) : translation. Glisseur (automoment nul, $\vec\Omega \neq \vec 0$ ) : rotation. Sinon : axe central, mouvement hélicoïdal.
Pas de torseur des accélérations.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Dériver un vecteur par la formule de Bour

Quand l’utiliser

Pour dériver dans $R_0$ un vecteur fixe dans une base mobile, ou écrit dans une base mobile.

Rappel de cours

\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt}\big\rvert_{R_0} = \frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt}\big\rvert_{R_1} + \vec\Omega(1/0)\wedge\vec u .

Pour un vecteur fixe dans $R_1$ , le premier terme est nul.

Démarche

Écrire la base de dérivation : « dérivée dans $R_0$ ».
Choisir la base où le vecteur est fixe (ou s'écrit simplement) : $R_1$ .
Écrire $\vec\Omega(1/0)$ (méthode 4), puis le produit vectoriel avec la figure plane.
Contrôle par dérivation en deux temps : pour un vecteur de la base 2 au bout de deux rotations, on peut aussi dériver dans $R_1$ (rotation $\vec\Omega(2/1)$ ), puis ajouter $\vec\Omega(1/0)\wedge\vec u$ ; les deux calculs doivent coïncider.

Rédaction type

« $\vec x_1$ est fixe dans $R_1$ :

\frac{\mathrm d\vec x_1}{\mathrm dt}\big\rvert_{R_0} = \vec\Omega(1/0)\wedge\vec x_1 = \dot\theta_1\,\vec z_0\wedge\vec x_1 = \dot\theta_1\,\vec y_1 .

Exemple traité

Bras de robot d'assemblage :

\frac{\mathrm d\vec x_2}{\mathrm dt}\big\rvert_{R_0} = \vec\Omega(2/0)\wedge\vec x_2 = (\dot\theta_1 + \dot\theta_2)\,\vec y_2 .

En deux temps :

\frac{\mathrm d\vec x_2}{\mathrm dt}\big\rvert_{R_1} = \dot\theta_2\,\vec y_2 ,

puis $\dot\theta_1\,\vec z_0\wedge\vec x_2 = \dot\theta_1\,\vec y_2$ ; la somme est la même.

Erreurs fréquentes

Formule écrite en opposé ( $\vec u\wedge\vec\Omega$ ).
Base de dérivation non écrite : la copie est pénalisée.
Dériver les composantes d'un vecteur après projection dans la base 0, avec des erreurs de dérivée de sinus et de cosinus.

Pour s’entraîner

Exercices 12, 17, 18, 20, 21, 28, 29, 30, 31 et 33 ; problèmes 3 et 5.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Un robot à deux axes sur document réponse ★☆☆

Un robot à portique au-dessus de piles de caisses : le chariot roule le long de la poutre et la pince descend vers les caisses ; chaque axe est commandé séparément, comme ceux du robot de l'exercice.

Un robot à deux axes est formé d'un solide 1, lié au bâti 0 par une liaison glissière de direction $\vec x_0$ , et d'un bras 2, lié à 1 par une liaison pivot d'axe $(A,\vec z_0)$ . Repères : $R_0 = (O, \vec x_0, \vec y_0, \vec z_0)$ lié au bâti, $R_1 = (A, \vec x_1, \vec y_1, \vec z_1)$ lié à 1, $R_2 = (A, \vec x_2, \vec y_2, \vec z_2)$ lié au bras. Paramètres : $\overrightarrow{OA} = x(t)\,\vec x_0$ ; $\alpha = (\vec x_1, \vec x_2) = (\vec y_1, \vec y_2)$ autour de $\vec z_1 = \vec z_0$ ; $\overrightarrow{AB} = L\,\vec x_2$ , $L$ constant.

Le sujet ne le dit pas, mais son document réponse l'emploie : 1 est en translation par rapport à 0, sa base est celle du bâti, et l'on prend $\vec x_1 = \vec x_0$ , $\vec y_1 = \vec y_0$ , $\vec z_1 = \vec z_0$ .

Le robot dans une position quelconque : glissière 1/0 en O, pivot 2/1 en A, bras 2 jusqu'à B ; à droite, la figure de changement de base de l'angle \alpha. — Le robot dans une position quelconque : glissière 1/0 en $O$ , pivot 2/1 en $A$ , bras 2 jusqu'à $B$ ; à droite, la figure de changement de base de l'angle $\alpha$ .

Répondre sur le document réponse :

Document réponse à compléter, questions 1 à 8.

Écrire le torseur cinématique $\{\mathcal V(1/0)\}$ réduit en $A$ .
Écrire $\overrightarrow{AB}$ dans la base $(\vec x_1, \vec y_1, \vec z_1)$ .
Écrire $\vec\Omega(2/1)$ .
Donner $\vec V(A \in 2/1)$ .
En déduire $\vec V(B \in 2/1)$ .
Écrire $\overrightarrow{OB}$ dans la base $(\vec x_0, \vec y_0, \vec z_0)$ .
Écrire $\vec\Omega(2/0)$ .
Déterminer $\vec V(B \in 2/0)$ par dérivation, puis contrôler le résultat par la relation de Varignon.

Indications

Méthodes 1, 4, 7 et 8. Questions 5 et 8 : choisissez un point fixe dans le référentiel du mouvement ( $A$ dans $R_1$ , $O$ dans $R_0$ ) et dérivez le vecteur position. Question 7 : composez les taux de rotation, ou remarquez que la base 1 est celle du bâti. Pour le contrôle, $A$ est sur l'axe de la pivot entre 1 et 2.

Correction détaillée

1. Le solide 1 est en translation rectiligne : $\vec\Omega(1/0) = \vec 0$ . $O$ est fixe dans $R_0$ et $A$ est lié à 1, d'où

\vec V(A \in 1/0) = \frac{\mathrm d(x\,\vec x_0)}{\mathrm dt}\Big\vert_{R_0} = \dot x\,\vec x_0, \qquad \{\mathcal V(1/0)\} = \begin{Bmatrix} \vec 0 \\ \dot x\,\vec x_0 \end{Bmatrix}_A .

C'est un couple, valable en tout point puisque tous les points de 1 ont la même vitesse.

2. Sur la figure de changement de base : $\overrightarrow{AB} = L\cos\alpha\,\vec x_1 + L\sin\alpha\,\vec y_1$ .

3. Le bras tourne d'un angle $\alpha$ autour de $\vec z_1$ : $\vec\Omega(2/1) = \dot\alpha\,\vec z_1 = \dot\alpha\,\vec z_0$ .

4. $A$ est sur l'axe de la pivot 2/1 : $\vec V(A \in 2/1) = \vec 0$ .

5. $A$ est fixe dans $R_1$ et $B$ est lié à 2 ; $\vec x_1$ et $\vec y_1$ sont fixes dans $R_1$ :

\vec V(B \in 2/1) = \frac{\mathrm d\overrightarrow{AB}}{\mathrm dt}\Big\vert_{R_1} = -L\dot\alpha\sin\alpha\,\vec x_1 + L\dot\alpha\cos\alpha\,\vec y_1 = L\dot\alpha\,\vec y_2 .

6. La base 1 étant celle de 0 :

\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = (x + L\cos\alpha)\,\vec x_0 + L\sin\alpha\,\vec y_0 .

7. Par composition des taux de rotation :

\vec\Omega(2/0) = \vec\Omega(2/1) + \vec\Omega(1/0) = \dot\alpha\,\vec z_0 + \vec 0 = \dot\alpha\,\vec z_0 .

On le voit aussi directement : la base 1 étant celle de 0, l'angle $\alpha$ est aussi l'angle de $\vec x_2$ par rapport à $\vec x_0$ .

8. $O$ est fixe dans $R_0$ et $B$ est lié à 2 ; on dérive les composantes de la question 6 dans la base 0, fixe :

\vec V(B \in 2/0) = \frac{\mathrm d\overrightarrow{OB}}{\mathrm dt}\Big\vert_{R_0} = (\dot x - L\dot\alpha\sin\alpha)\,\vec x_0 + L\dot\alpha\cos\alpha\,\vec y_0 .

Contrôle par Varignon sur le bras 2. $A$ est sur l'axe de la pivot entre 1 et 2 : il a la même vitesse par rapport à 0 qu'on le dise lié à 1 ou à 2 (propriété admise du cours, section 10), soit $\vec V(A \in 2/0) = \dot x\,\vec x_0$ . Alors

\vec V(B \in 2/0) = \vec V(A \in 2/0) + \overrightarrow{BA}\wedge\vec\Omega(2/0) = \dot x\,\vec x_0 + (-L\,\vec x_2)\wedge\dot\alpha\,\vec z_0 = \dot x\,\vec x_0 + L\dot\alpha\,\vec y_2 ,

et, avec $\vec y_2 = -\sin\alpha\,\vec x_0 + \cos\alpha\,\vec y_0$ , on retrouve le même résultat. Lecture : $B$ a la vitesse du chariot, $\dot x\,\vec x_0$ , plus celle que lui donne la rotation du bras, $L\dot\alpha$ perpendiculaire au bras. Si le bras ne tourne pas, $B$ avance comme $A$ ; si le chariot est arrêté, $B$ tourne autour de $A$ .

Le sujet note les vitesses $\vec V(A, 2/1)$ : c'est l'écriture $\vec V(A \in 2/1)$ du cours.

Méthodes à retenir

Un solide en translation a la même base que le bâti : son taux de rotation est nul et le taux de rotation d'un solide qu'il porte est le même par rapport à lui et par rapport au bâti. Une vitesse au bout de la chaîne se calcule en dérivant un vecteur position écrit par Chasles, puis se contrôle par Varignon (méthodes 4, 7, 8 et 11).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 19 méthodes, 16 pièges corrigés, la carte mentale, 34 exercices corrigés, 6 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Repères et référentiel
2. Paramétrer un mécanisme
3. Figures de changement de base et calcul vectoriel
- 3.1 La figure plane
- 3.2 Projections et produits
4. Position et trajectoire d'un point
5. Dérivée d'un vecteur et vecteur taux de rotation
- 5.1 Dériver un vecteur par rapport à une base
- 5.2 Le vecteur taux de rotation
- 5.3 Formule de changement de base de dérivation et composition des taux de rotation
6. Vitesse d'un point
- 6.1 Vitesse d'un point lié à un solide
- 6.2 Point lié et point géométrique
7. Accélération d'un point
8. Champ des vitesses d'un solide
- 8.1 Relation de Varignon
- 8.2 Équiprojectivité
- 8.3 Profil des vitesses d'une rotation
9. Torseur cinématique
- 9.1 Définition et écritures
- 9.2 Invariants et torseurs particuliers
- 9.3 Exemples
10. Mouvements particuliers
- 10.1 Translation
- 10.2 Rotation autour d'un axe fixe
- 10.3 Mouvement plan et centre instantané de rotation
11. Torseurs cinématiques des liaisons normalisées
12. Calculer une vitesse : choisir et vérifier
13. Python : trajectoire et vitesse d'un point
14. Angles d'Euler

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Paramétrer un mécanisme
Tracer une figure de changement de base juste
Projeter un vecteur et calculer un produit avec la figure
Écrire le vecteur taux de rotation d'un solide, et composer les taux de rotation
Dériver un vecteur par la formule de Bour
Dériver un vecteur de longueur variable
Écrire un vecteur position par une relation de Chasles
Calculer la vitesse d'un point lié par dérivation
Distinguer point lié et point géométrique, écrire une vitesse complète
Calculer l'accélération d'un point lié par dérivation de sa vitesse
Transporter une vitesse d'un point à un autre du même solide
Contrôler une vitesse par l'équiprojectivité
Écrire et transporter un torseur cinématique, en lire la nature
Écrire le torseur cinématique d'une liaison et répondre sur document réponse
Reconnaître la nature d'un mouvement et les trajectoires
Trouver par le calcul le centre instantané de rotation d'un solide en mouvement plan
Exploiter une loi horaire et convertir les unités
Choisir la méthode de calcul d'une vitesse et vérifier le résultat
Tracer une trajectoire en Python et calculer une vitesse par dérivation numérique

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (13)

Les torseurs de trois liaisons
Le disque en pivot
La tige d'orientation d'un poste de soudage
Un robot à deux axes sur document réponse
Quatre liaisons en perspective et leurs torseurs
L'axe d'un centre d'usinage
La tête d'une imprimante 3D de béton
Le piston d'une pompe haute pression
Changer de point sur un châssis de robot
Les trajectoires d'une porte d'avion cargo
Les deux rotations d'un poignet de robot : figures et produits
Un bras de robot plan
Une loi de commande en trapèze

Entraînement (16)

Un chariot et son bras, par deux chemins
Le bras d'un chargeur de bobines
Un simulateur de vol en translation circulaire
La centrifugeuse de laboratoire
L'équilibreuse de roue
Le rotor d'un hélicoptère en vol
Le bout de pale d'un drone
L'excentrique et sa tige
La table élévatrice à ciseaux
La bielle d'un système bielle-manivelle
Les gradins escamotables
L'avion en virage
Le robot de marquage en ligne droite
Le bras plan à trois pivots
La trayeuse automatique
Le cap, le tangage et le roulis d'un navire

Approfondissement (5)

L'affûteuse
Le mélangeur de peinture à deux axes
La machine de découpe laser à cinq axes
Une trajectoire en Python
L'éolienne et la vitesse du son

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le bras de verticalisation d'un déambulateur robotisé
CNC 2021, filières MP et PSI, Sciences industrielles, exercice préliminaire, questions Q1 à Q11
Un robot agricole de verger en virage
CNC 2025, filière TSI, génie mécanique, partie 2 « Étude cinématique du robot en virage », questions Q2, Q3, Q5, Q8, Q9 et Q13 à Q16, et partie 4 « Validation de la géométrie du robot en mouvement », question Q21
Le vibreur d'olivier
CNC 2014, filière TSI, génie mécanique, partie IV « Étude mécanique du système buggy + arbre olivier », sous-partie 4.1 « Étude cinématique », questions 18 à 21
L'érecteur de voussoirs d'un tunnelier
ATS 2023, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie 1 « Etude cinématique de l'érecteur », questions Q1 à Q6
Le robot de transfert d'une unité de traitement plasma
CCINP 2026, filière TSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie IV « Limites dynamiques du déplacement », questions Q25 à Q29
La centrifugeuse de calibration d'accéléromètres
Banque PT 2026, filière PT, Sciences industrielles B, partie I, sous-partie I.1 « Gamme d'accélération centripète », questions Q1 à Q4, et sous-partie I.2 « Temps de montée en régime », question Q7

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la formule de Bour en SI ?

C'est la formule de changement de base de dérivation : $\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt}\big\rvert_{R_0} = \frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt}\big\rvert_{R_1} + \vec\Omega(1/0)\wedge\vec u$ . Elle donne la dérivée d'un vecteur dans le repère $R_0$ quand on connaît sa dérivée dans $R_1$ et le vecteur taux de rotation de 1 par rapport à 0. Pour un vecteur fixe dans $R_1$ , il reste seulement $\vec\Omega(1/0)\wedge\vec u$ : par exemple, pour une rotation d'angle $\theta$ autour de $\vec z_0$ , la dérivée de $\vec x_1$ vaut $\dot\theta\,\vec y_1$ .

Comment écrire le vecteur taux de rotation d'un solide ?

Pour une rotation d'angle $\theta = (\vec x_0, \vec x_1)$ autour de $\vec z_0$ , $\vec\Omega(1/0) = \dot\theta\,\vec z_0$ : c'est la dérivée de l'angle qui intervient, en rad/s. Pour une translation, $\vec\Omega = \vec 0$ . Au bout de plusieurs rotations, les taux de rotation s'additionnent comme des vecteurs, chacun porté par son axe : $\vec\Omega(2/0) = \vec\Omega(2/1) + \vec\Omega(1/0)$ .

Comment calculer la vitesse d'un point d'un solide ?

Deux voies. Si aucune vitesse n'est connue, on dérive le vecteur position du point dans le repère de référence, avec une origine fixe dans ce repère et un point lié au solide : $\vec V(P \in 2/1) = \frac{\mathrm d\overrightarrow{O_1P}}{\mathrm dt}\big\rvert_{R_1}$ . Si la vitesse d'un autre point du même solide est connue, on utilise la relation de Varignon : $\vec V(B) = \vec V(A) + \overrightarrow{BA}\wedge\vec\Omega$ . On contrôle ensuite l'homogénéité, le sens sur la figure et les unités.

Qu'est-ce qu'un torseur cinématique ?

C'est le torseur dont la résultante est le vecteur taux de rotation $\vec\Omega(2/1)$ et dont le moment en un point $A$ est la vitesse $\vec V(A \in 2/1)$ . Il résume tout le champ des vitesses d'un solide. On écrit toujours son point de réduction, et sa base quand on l'écrit en colonnes. Résultante nulle : c'est un couple, le solide est en translation. Résultante non nulle et automoment nul : c'est un glisseur, le solide tourne autour d'un axe.

Quel est le torseur cinématique d'une liaison pivot ?

Pour une pivot d'axe $(A, \vec x)$ , écrit dans son repère privilégié : $\{\omega_x\,\vec x \;;\; \vec 0\}_A$ , une seule composante non nulle, la rotation autour de l'axe. Cette forme reste valable en tout point de l'axe. Chaque liaison normalisée a une composante non nulle par degré de liberté, sauf l'hélicoïdale, dont la translation est liée à la rotation par le pas.

Pourquoi l'accélération d'un point a-t-elle une partie dirigée vers l'axe ?

Pour un point à la distance $R$ de l'axe d'une rotation, $\vec a = R\ddot\theta\,\vec y_1 - R\dot\theta^2\,\vec x_1$ . Le premier terme, tangentiel, n'existe que si la vitesse angulaire varie ; le second, normal, est dirigé vers l'axe et vaut $V^2/R$ . À vitesse angulaire constante, l'accélération n'est donc pas nulle. Il n'existe pas de torseur des accélérations : on dérive la vitesse d'un point lié.

Comment trouver le centre instantané de rotation d'un solide ?

Dans un mouvement plan, le centre instantané de rotation est le point de vitesse nulle à l'instant considéré. Il se trouve à l'intersection des perpendiculaires aux vitesses de deux points du solide. Si ces perpendiculaires sont parallèles et distinctes, le solide est en translation à cet instant. Chaque vitesse vaut alors $\lvert\Omega\rvert$ fois la distance au centre instantané, perpendiculairement à la droite qui les joint.

Quelles erreurs coûtent le plus de points en cinématique ?

La base de dérivation oubliée, alors qu'elle change le résultat ; le signe du produit vectoriel, dans la formule de Bour comme dans la relation de Varignon ; les unités, avec des tours par minute non convertis en rad/s ( $1$ tr/min $\approx 0{,}105$ rad/s) ou un diamètre pris pour un rayon. Les rapports de jury relèvent aussi les vitesses écrites sans le solide ni le référentiel.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.