Modélisation des actions mécaniques et frottement : cours, méthodes et exercices corrigés

Q: Comment passer du modèle local au modèle global ?

On écrit la force élémentaire dF⃗ à partir de la densité d'effort et de l'élément d'intégration (ρ dρ dθ sur un disque), puis on intègre : R⃗ = ∫dF⃗ et M⃗(A) = ∫AM⃗∧dF⃗. Le moment se calcule avec la force élémentaire, jamais avec la résultante déjà intégrée. Un vecteur qui tourne avec le point courant se projette sur une base fixe avant d'intégrer.

Q: Où s'applique la poussée de l'eau sur une paroi verticale ?

La pression vaut p = ρ g (h - z) à la hauteur z au-dessus du fond. Sur une paroi de largeur L, la résultante vaut (ρ g L h^2)/(2) ; elle est horizontale et s'applique au tiers de la hauteur d'eau à partir du fond, pas au milieu. Elle croît comme le carré de la hauteur d'eau : doubler la hauteur multiplie la poussée par quatre.

Actions mécaniques à distance et de contact, modèle local (densités surfacique, linéique, pression) et modèle global (torseur), lois de Coulomb du frottement, frottement visqueux, adhérence et glissement, cône de frottement, contact réel d'une roue selon les classes, torseurs des actions transmissibles par les liaisons normalisées parfaites.

20méthodes
37exercices corrigés
6problèmes
20pièges
154figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Avant d'écrire l'équilibre d'un mécanisme, il faut savoir décrire chaque effort qu'il reçoit. Ce chapitre construit le modèle local d'une action mécanique (densités volumique, surfacique et linéique, pression), puis le modèle global : le torseur des actions mécaniques, le glisseur et le couple, le changement de point et la somme de deux torseurs. Il donne les cas à connaître (pesanteur, pression uniforme, charge triangulaire, poussée de l'eau sur une paroi), les actions des ressorts, vérins et moteurs, les torseurs des actions transmissibles par les liaisons parfaites, dans l'espace et dans un problème plan, puis le frottement de Coulomb : adhérence, glissement, cône de frottement, freins et embrayages, frottement visqueux. Il fait partie du programme de sciences industrielles de MPSI et PCSI au Maroc, au deuxième trimestre, et de MPSI, PCSI, MP2I, PTSI et TSI en France. On y trouve aussi un programme Python qui intègre une pression mesurée, puis des exercices corrigés tirés de sujets réels.

Ce que tu sauras faire

Le chapitre précédent s'est arrêté sur une question : le tapis élévateur de l'huilerie est chargé, le moteur est coupé, qu'est-ce qui retient la bande ? Pour y répondre, il faut savoir décrire ce qu'un solide fait subir à un autre : c'est une action mécanique. Ce chapitre apprend à la modéliser, sans encore écrire l'équilibre. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

dire, pour chaque action, quel solide agit sur quel autre, et si l'action est à distance ou de contact ;
écrire une force élémentaire à partir d'une densité d'effort (volumique, surfacique, linéique) ;
écrire le torseur d'une action mécanique, le changer de point, sommer deux torseurs ;
reconnaître un glisseur et un couple ;
passer du modèle local au modèle global par une intégrale ;
modéliser la pesanteur, une pression uniforme, une pression qui varie linéairement ;
écrire l'action d'un ressort, d'un vérin, d'un moteur, d'un câble ;
écrire le torseur des actions transmissibles par chacune des onze liaisons parfaites, dans l'espace et dans un problème plan ;
appliquer les lois de Coulomb à un contact, ponctuel ou étendu, et utiliser le cône de frottement ;
distinguer le frottement sec du frottement visqueux.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Action mécanique et torseur

Toujours deux acteurs : « action de 1 sur 2 », notée $1\to2$ , en face du mouvement 2/1. L'action de 2 sur 1 est l'opposée.
À distance (pesanteur) ou de contact (liaison, actionneur, fluide).
Torseur : $\{\mathcal T(1\to2)\} = \{\vec R(1\to2) \;;\; \vec M(A,1\to2)\}_A$ , résultante en N, moment en N·m. Toujours le point, toujours la base.
Changement de point : $\vec M(B) = \vec M(A) + \overrightarrow{BA}\wedge\vec R$ . La résultante ne change pas.
Somme de deux torseurs : au même point, dans la même base.

À retenir Glisseur, couple, pesanteur

Glisseur : $\{\vec F \;;\; \vec 0\}_A$ , moment nul sur toute la droite d'action. C'est une force. Moment ailleurs : force fois bras de levier.
Couple : $\{\vec 0 \;;\; \vec C\}$ , même moment en tout point.
Pesanteur : glisseur $\{m\vec g \;;\; \vec 0\}_G$ .

À retenir Du local au global

Densités : volumique en N·m⁻³, surfacique en N·m⁻² (Pa), linéique en N·m⁻¹.
Au contact, normale $\vec n$ de 1 vers 2 : $\vec f_M(1\to2) = p\,\vec n + \vec t$ , avec $p \ge 0$ .
$\vec R = \int\mathrm d\vec F$ et $\vec M(A) = \int\overrightarrow{AM}\wedge\mathrm d\vec F$ : le moment s'intègre avec la force élémentaire.
Élément de surface d'un disque : $\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta$ .
Pression uniforme : $pS$ sur une surface plane ; $p$ fois la surface projetée sur une surface courbe ( $2pRL$ pour un demi-cylindre).
Charge uniforme : $qL$ au milieu. Charge triangulaire : $\frac{q_{max}L}{2}$ aux deux tiers.
Eau sur une paroi verticale : $\frac{\rho gLh^2}{2}$ , au tiers de la hauteur depuis le fond.

À retenir Ressort, vérin, moteur, câble

Ressort : glisseur sur la droite des attaches, $k\,\lvert\ell-\ell_0\rvert$ ; en torsion, couple $k_\theta\,\lvert\theta-\theta_0\rvert$ .
Vérin : glisseur sur la droite des attaches, $F = pS$ ; côté tige, $S = \frac{\pi(D^2-d^2)}{4}$ .
Moteur : couple sur le rotor, couple opposé sur le stator.
Câble : il tire, le long du brin.

À retenir Liaisons parfaites

Mouvement libre, composante d'action nulle : translation libre selon $\vec x$ , $X = 0$ ; rotation libre autour de $\vec x$ , $L = 0$ . Inconnues : $n_s = 6 - n_c$ .
Repères du tableau cinématique : axe selon $\vec x$ , normale selon $\vec z$ .

Liaison	Action de 1 sur 2	$n_s$	Forme valable
encastrement	$X, Y, Z \;;\; L, M, N$	6	partout
pivot	$X, Y, Z \;;\; M, N$	5	sur l'axe
glissière	$Y, Z \;;\; L, M, N$	5	partout
hélicoïdale, pas à droite	$X, Y, Z \;;\; L, M, N$ , $L = -\frac{p}{2\pi}X$	5	sur l'axe
pivot glissant	$Y, Z \;;\; M, N$	4	sur l'axe
sphérique à doigt	$X, Y, Z \;;\; M$	4	au centre
sphérique	$X, Y, Z \;;\; 0$	3	au centre
appui plan	$Z \;;\; L, M$	3	partout
sphère-cylindre	$Y, Z \;;\; 0$	2	au centre
linéaire rectiligne	$Z \;;\; M$	2	plan $(A,\vec x,\vec z)$
sphère-plan	$Z \;;\; 0$	1	sur la normale

Problème plan : $X$ , $Y$ , $N$ ; les tirets ne sont pas des zéros.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Appliquer les lois de Coulomb à un contact ponctuel : normale, hypothèse, sens de l'effort tangentiel, cas limite

Quand l’utiliser

Dès qu'un énoncé donne un coefficient de frottement ou d'adhérence en un point de contact.

Rappel de cours

Adhérence : $\lVert\vec T\rVert \le fN$ . Limite du glissement et glissement : $\lVert\vec T\rVert = fN$ , $\vec T(1\to2)$ opposé à $\vec V(I\in2/1)$ , ou au glissement qui se produirait sans frottement. $N \ge 0$ .

Démarche

Tracer le plan tangent et la normale $\vec n$ , de 1 vers 2.
Écrire $\vec R(1\to2) = N\,\vec n + \vec T$ .
Dire dans quel cas on est : adhérence, limite du glissement, glissement. L'énoncé le dit, ou on fait une hypothèse qu'on vérifiera.
Trouver le sens de $\vec T$ : question « sans frottement, dans quel sens 2 glisserait-il sur 1 ? ».
Écrire l'inégalité ou l'égalité.
En adhérence, vérifier après calcul que $\lVert\vec T\rVert \le fN$ et $N \ge 0$ .

Rédaction type

« On suppose qu'il y a adhérence en $I$ . Sans frottement, la caisse 2 glisserait vers le bas de la rampe 1 : $\vec T(1\to2)$ est dirigé vers le haut de la rampe. Il faut vérifier $T \le fN$ : $76 \le 0{,}4\times233 = 93$ N, l'hypothèse est juste. »

Exemple traité

Caisse de 25 kg sur la rampe à 18°, $f = 0{,}4$ : $N = 233$ N, $T = 76$ N, maximum permis 93 N. Elle tient. La même caisse sur une rampe à 25° demanderait $T = 104$ N pour un maximum de $0{,}4\times222 = 89$ N : l'hypothèse d'adhérence est fausse, la caisse glisse, et alors $T = fN = 89$ N.

Erreurs fréquentes

Écrire $T = fN$ en adhérence.
Ne pas justifier le sens de $\vec T$ .
Inverser les indices : l'action de 1 sur 2 va avec la vitesse de 2 par rapport à 1.
Oublier de vérifier l'hypothèse.

Pour s’entraîner

Exercices 11, 12, 13, 25, 26 et 27 ; problème 4.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Le carton poussé sur une table ★☆☆

Dans une salle de tri, un carton de livres est posé sur une table horizontale. On le pousse à la main, horizontalement, en augmentant peu à peu l'effort : il ne bouge pas d'abord, puis part d'un coup. On suit l'effort tangentiel de la table sur le carton pendant cette manœuvre.

La table est le solide 1, le carton le solide 2, la main le solide 3. $\vec y$ est vertical ascendant, $\vec x$ horizontal, dans le sens de la poussée.
Masse du carton : $m = 20$ kg ; $g = 9{,}81$ m·s⁻².
Entre le carton et la table : coefficient d'adhérence $f_0 = 0{,}5$ , coefficient de frottement en glissement $f = 0{,}4$ .
La main exerce sur le carton une force $F\,\vec x$ . Le carton ne bascule pas.
On note $\vec R(1\to2) = -T\,\vec x + N\,\vec y$ la résultante de l'action de la table sur le carton. L'étude statique, faite au chapitre « Statique des solides : principe fondamental et stratégie d'isolement », donne tant que le carton est immobile $N = m\,g$ et $T = F$ . Quand il glisse, $N$ garde la même valeur.

Le carton 2 sur la table 1 : la main le pousse avec la force F\,\vec x, la pesanteur l'appuie sur la table. — Le carton 2 sur la table 1 : la main le pousse avec la force $F\,\vec x$ , la pesanteur l'appuie sur la table.

Faire l'inventaire des actions mécaniques qui s'exercent sur le carton. Dire pour chacune si elle est à distance ou de contact.
Calculer $N$ , puis la plus grande valeur que $T$ peut prendre sans que le carton glisse, et la valeur de $T$ pendant le glissement.
Pour $F = 40$ N, 80 N, 98,1 N puis 120 N, dire dans quel état se trouve le carton et donner $T$ .
Tracer $T$ en fonction de $F$ , pour $F$ allant de 0 à 160 N.
Calculer dans chacun des quatre cas l'angle que fait $\vec R(1\to2)$ avec la verticale. Le comparer aux angles $\varphi_0$ et $\varphi$ définis par $\tan\varphi_0 = f_0$ et $\tan\varphi = f$ .
On pose un second carton identique sur le premier. Que deviennent les résultats de la question 2 ? Les coefficients ont-ils changé ?

Indications

Méthodes 1 et 15. Pour l'inventaire, cherchez ce qui touche le carton, puis ajoutez la pesanteur. Ensuite, ne partez pas de $T = f\,N$ : demandez-vous d'abord si le carton glisse. S'il ne glisse pas, $T$ est donné par l'énoncé et vous vérifiez l'inégalité ; s'il glisse, $T$ est donné par la loi de Coulomb.

Correction détaillée

1. Trois actions s'exercent sur le carton 2 :

la pesanteur, action à distance, répartie dans tout son volume ;
l'action de la table 1, action de contact, répartie sur le fond du carton ;
l'action de la main 3, action de contact.

L'air exerce aussi une action de contact, négligée. On n'oublie pas la pesanteur : c'est elle qui appuie le carton sur la table et qui fixe $N$ .

2. $N = m\,g = 20\times9{,}81 = 196{,}2$ N. Tant que le carton ne glisse pas, $T \le f_0\,N$ : la plus grande valeur possible est

f_0\,N = 0{,}5\times196{,}2 = 98{,}1 \text{ N} .

Pendant le glissement, $T = f\,N = 0{,}4\times196{,}2 = 78{,}5$ N.

3. On compare chaque fois la poussée au seuil de 98,1 N.

Poussée $F$	État	Effort tangentiel $T$
40 N	adhérence, $40 < 98{,}1$	$T = F = 40$ N
80 N	adhérence, $80 < 98{,}1$	$T = F = 80$ N
98,1 N	limite du glissement	$T = f_0\,N = 98{,}1$ N
120 N	glissement	$T = f\,N = 78{,}5$ N

En adhérence, $T$ n'est pas égal à $f_0\,N$ : il vaut ce qu'il faut pour retenir le carton, ni plus ni moins. À 120 N, la poussée dépasse l'effort tangentiel de 41,5 N : le carton accélère, ce que la dynamique étudiera. À 80 N, le carton reste immobile alors que $80 > f\,N = 78{,}5$ N : pour décider s'il part, c'est le coefficient d'adhérence qui compte.

4. La courbe a deux parties. De 0 à 98,1 N, le carton est immobile et $T = F$ : c'est un segment de pente 1. Au seuil, le carton part et $T$ tombe à 78,5 N, valeur qu'il garde ensuite quelle que soit la poussée.

L'effort tangentiel de la table sur le carton en fonction de la poussée : il suit la poussée jusqu'au seuil de 98,1 N, puis retombe à 78,5 N dès que le carton glisse.

La chute au départ vaut $98{,}1 - 78{,}5 = 19{,}6$ N, soit 20 % du seuil : c'est pour cela qu'un objet lourd part d'un coup quand on le pousse.

5. L'angle $\theta$ entre la résultante et la verticale, qui est la normale au contact, vérifie $\tan\theta = \dfrac{T}{N}$ .

$F = 40$ N : $\tan\theta = 40/196{,}2$ , $\theta = 11{,}5°$ .
$F = 80$ N : $\theta = 22{,}2°$ .
$F = 98{,}1$ N : $\tan\theta = f_0$ , $\theta = \varphi_0 = 26{,}6°$ .
$F = 120$ N : $\tan\theta = f$ , $\theta = \varphi = 21{,}8°$ .

Tant que le carton est immobile, la résultante reste à l'intérieur du cône de demi-angle $\varphi_0 = 26{,}6°$ ; elle atteint son bord à la limite du glissement. Dès que le carton glisse, elle se place sur le cône de demi-angle $\varphi = 21{,}8°$ , plus fermé. À 80 N, elle fait $22{,}2°$ : elle est déjà sortie du second cône mais pas du premier, et le carton tient.

6. L'effort normal double : $N = 392{,}4$ N. Le seuil passe à 196,2 N et l'effort en glissement à 157,0 N. Les coefficients $f_0$ et $f$ n'ont pas changé, ni les angles $\varphi_0$ et $\varphi$ : ils ne dépendent que des deux matériaux et de l'état des surfaces. C'est l'effort tangentiel qui est proportionnel à la charge, pas le coefficient.

Méthodes à retenir

L'inventaire des actions sur un solide commence par ce qui le touche et se termine par la pesanteur (méthode 1). Devant un contact avec frottement, on se demande d'abord s'il y a glissement : en adhérence, l'effort tangentiel est donné par l'équilibre et vérifie $T \le f_0 N$ ; en glissement, $T = fN$ (méthode 15). Le coefficient est une propriété des surfaces ; l'effort tangentiel dépend de la charge.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 20 méthodes, 20 pièges corrigés, la carte mentale, 37 exercices corrigés, 6 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Action mécanique : de qui sur qui
2. Le modèle local : forces élémentaires et densités
3. Le modèle global : le torseur d'une action mécanique
4. Glisseur et couple : les deux torseurs simples
5. Du local au global : intégrer
6. La pesanteur
7. Pressions réparties : les cas à connaître
- 7.1 Pression uniforme sur une surface plane
- 7.2 Pression uniforme sur une surface courbe
- 7.3 Le piston d'un vérin
- 7.4 Charge linéique sur une poutre
- 7.5 Pression de l'eau sur une paroi plane verticale
8. Actions données par un modèle : ressort, vérin, moteur, câble
9. Actions transmissibles par une liaison parfaite
- 9.1 La règle
- 9.2 Le tableau des onze liaisons
- 9.3 Lire une liaison sur un schéma et répondre sur le document réponse
10. Quand le problème est plan
11. Le contact ponctuel réel
12. Les lois de Coulomb
13. Le cône de frottement, et le solide sur un plan incliné
14. Contact étendu avec frottement : freins, embrayages
15. Le frottement visqueux
16. Python : intégrer une pression donnée par points
17. Vérifier et conclure
18. Résistance au roulement et au pivotement (MPSI et PCSI au Maroc, PTSI)

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Dire de qui sur qui, classer une action et dresser l'inventaire des actions sur un solide
Écrire le torseur d'une force de point d'application connu : produit vectoriel ou bras de levier
Changer le point d'un torseur d'action et sommer deux torseurs au même point
Reconnaître un glisseur ou un couple et trouver la droite où le moment est nul
Écrire une force élémentaire : densité, unité, élément d'intégration, sens de la normale
Passer d'une densité d'effort au torseur global
Modéliser la pesanteur : du poids réparti au glisseur en G, dans une base inclinée
Traiter une pression uniforme : surface plane, surface projetée, surface utile d'un piston
Traiter une répartition linéaire : résultante et centre de poussée
Écrire l'action d'un ressort de traction-compression ou de torsion
Écrire l'action d'un vérin, d'un moteur, d'un câble ou d'une courroie
Écrire le torseur des actions transmissibles d'une liaison parfaite et dire où sa forme est gardée ; répondre sur le document réponse
Écrire le torseur d'une liaison hélicoïdale : relation entre moment et effort axial, signe selon le sens de l'hélice
Écrire les torseurs d'un problème plan
Appliquer les lois de Coulomb à un contact ponctuel : normale, hypothèse, sens de l'effort tangentiel, cas limite
Utiliser le cône de frottement et un ordre de grandeur de coefficient
Calculer le couple d'un contact étendu avec frottement : frein, embrayage, tambour
Frottement sec ou frottement visqueux : choisir le modèle et l'écrire
Intégrer numériquement une répartition donnée par points et contrôler le résultat
Écrire la résistance au roulement et au pivotement d'un contact

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

La presse à huile : qui agit sur qui ?
La clé de roue et la clé en croix
Une action ramenée d'un point à un autre
Le poids d'une poutre en I
Trois charges réparties sur une poutre de rayonnage
La pression des gaz sur une aube de turbine
La pression dans un demi-coussinet
Le vérin à double effet
Le portillon : moteur et ressort de rappel
Quatre liaisons d'un portail
Le vélo cargo sur sa béquille
Le plateau qui glisse sur son bâti
Le carton poussé sur une table
La palette sur une rampe de quai
Le chariot filoguidé

Entraînement (17)

Le vérin d'une machine de traction
Le balancier rappelé par deux ressorts
La vanne de fond d'un bassin d'irrigation
Le tambour d'un convoyeur de bouteilles d'eau
Le frein à manque de courant d'une vitrine motorisée
Le frein multidisque d'un treuil
L'embrayage d'une roue motorisée d'avion
Le palier lisse : pression en sinus
La pale d'un malaxeur dans la pâte
Le joint d'une vitre de portière
La barre dans un coin : dans quel sens frotte-t-elle ?
Le robot laveur de façade
La roue motrice sur son rail
Six liaisons d'un mélangeur, dont deux vis
Python : la pression mesurée sous une garniture
La rame qui roule
Le pivotement d'une roue directrice à l'arrêt

Approfondissement (5)

Le frein à disque d'un train : usure uniforme
La pression du sol sous les chenilles d'une foreuse
Le vérin à palettes d'une machine de traction
Le limiteur de couple d'une voiture radiocommandée
La cabine suspendue sous le vent

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le frein à disque d'une enrouleuse de fil
CNC 2008, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie D « ETUDE DU FREINAGE », questions 11 à 16
Le tambour de levage d'un pont roulant et son frein à ressorts
CNC 2025, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie A « Exercice préliminaire », question 2, et partie B « Comportement statique du système de levage », sous-parties 2 « Analyse statique du tambour », question 5 a, et 3 « Etude du freinage du tambour d'enroulement », question 6
Le tambour moteur d'un tapis d'évacuation
CNC 2003, Sciences industrielles, partie C « SYSTEME D'EVACUATION DES CAISSES PLEINES », sous-partie C.1 « Couple transmissible par adhérence entre le tambour moteur et le tapis », question 5
La table d'aspiration d'un érecteur de voussoirs
ATS 2023, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie 2 « Préhension du voussoir », sous-parties A « Etude statique du levage », questions Q7 à Q10, et B « Etude statique en phase de sortie du chariot radial », questions Q14 à Q17
Les panneaux d'un toit solaire : pesanteur, neige et vent
Centrale-Supélec 2025, filière TSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie D « Validation de la structure mécanique permettant de maintenir l'inclinaison des panneaux photovoltaïques », questions Q26 à Q29
Le fauteuil roulant électrique sur une rampe
CCINP 2017, filière TSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie III « Changement de motorisation », sous-partie III.1 « Détermination du couple des moteurs-roues. », questions Q29 et Q31 à Q33

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le torseur des actions mécaniques ?

C'est le modèle global de l'action d'un solide 1 sur un solide 2 : une résultante $\vec R(1\to2)$ , en newtons, et un moment $\vec M(A,1\to2)$ au point $A$ , en N·m. On l'écrit toujours avec son point de réduction et sa base. La résultante ne dépend pas du point ; le moment se transporte par $\vec M(B) = \vec M(A) + \overrightarrow{BA}\wedge\vec R$ . Deux torseurs ne s'ajoutent qu'écrits au même point et dans la même base.

Quelle différence entre un glisseur et un couple ?

Un glisseur a une résultante non nulle et un moment nul sur toute une droite, la droite d'action : c'est une force, comme le poids, l'effort d'un vérin ou d'un ressort. Un couple a une résultante nulle et un moment non nul, le même en tout point : c'est l'action du stator d'un moteur sur son rotor. L'action d'une liaison pivot, elle, n'est ni l'un ni l'autre en général.

Comment passer du modèle local au modèle global ?

On écrit la force élémentaire $\mathrm d\vec F$ à partir de la densité d'effort et de l'élément d'intégration ( $\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta$ sur un disque), puis on intègre : $\vec R = \int\mathrm d\vec F$ et $\vec M(A) = \int\overrightarrow{AM}\wedge\mathrm d\vec F$ . Le moment se calcule avec la force élémentaire, jamais avec la résultante déjà intégrée. Un vecteur qui tourne avec le point courant se projette sur une base fixe avant d'intégrer.

Où s'applique la poussée de l'eau sur une paroi verticale ?

La pression vaut $p = \rho g (h - z)$ à la hauteur $z$ au-dessus du fond. Sur une paroi de largeur $L$ , la résultante vaut $\frac{\rho g L h^2}{2}$ ; elle est horizontale et s'applique au tiers de la hauteur d'eau à partir du fond, pas au milieu. Elle croît comme le carré de la hauteur d'eau : doubler la hauteur multiplie la poussée par quatre.

Comment écrire le torseur des actions transmissibles d'une liaison ?

Pour une liaison parfaite, dans son repère privilégié, chaque translation libre donne une composante de résultante nulle selon la même direction, et chaque rotation libre une composante de moment nulle autour du même axe. Une liaison à $n_c$ degrés de liberté a $n_s = 6 - n_c$ inconnues d'effort : cinq pour une pivot, une pour une sphère-plan. L'hélicoïdale fait exception : effort axial et moment sur l'axe sont liés par le pas, $L = -\frac{p}{2\pi}X$ pour une hélice à droite.

Que disent les lois de Coulomb du frottement ?

Au contact, l'action de 1 sur 2 se décompose en un effort normal $N \ge 0$ et un effort tangentiel $\vec T$ . Sans glissement, c'est l'adhérence : $\lVert\vec T\rVert \le f N$ , inégalité large, et $T$ se déduit de l'équilibre. En glissement, $\lVert\vec T\rVert = f N$ et $\vec T(1\to2)$ est opposé à la vitesse de glissement de 2 par rapport à 1. Écrire $T = fN$ pour un solide immobile est l'erreur la plus fréquente.

Qu'est-ce que le cône de frottement ?

C'est le cône de sommet le point de contact, d'axe la normale et de demi-angle $\varphi$ , avec $\tan\varphi = f$ . En adhérence, l'action de contact est dans le cône ou sur son bord ; en glissement, elle est sur le cône. Un solide posé sur un plan incliné d'un angle $\alpha$ reste immobile tant que $\alpha \le \varphi$ : on mesure ainsi un coefficient de frottement avec une planche et un téléphone.

Comment calculer le couple d'un frein à disque ou d'un embrayage ?

On écrit les lois de Coulomb en chaque point de la garniture, puis on intègre. Pour une couronne de rayons $R_i$ et $R_e$ en pression uniforme, l'effort presseur vaut $F = \pi p (R_e^2 - R_i^2)$ et le couple d'une face vaut $C = \frac{2}{3} f F \frac{R_e^3 - R_i^3}{R_e^2 - R_i^2}$ . C'est le couple en glissement ; à la limite du glissement, c'est le plus grand couple transmissible, et en adhérence le couple lui est inférieur ou égal. On multiplie le couple par le nombre de faces frottantes ; l'effort presseur, lui, ne se multiplie pas.

Comment y accéder

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