Circuit RLC série : régimes, facteur Q et exercice corrigé

Dans un circuit RLC série soumis à un échelon de tension $E$, la tension $u$ aux bornes du condensateur obéit à une équation du second ordre caractérisée par deux grandeurs : la pulsation propre $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ et le facteur de qualité $Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$. Le régime est pseudo-périodique si $Q > \frac12$, critique si $Q = \frac12$, apériodique si $Q < \frac12$. Tout le reste, l'allure de la courbe, la durée du transitoire, le dépassement, se lit sur ces deux nombres.

Comment établir l'équation du circuit ?

Le générateur de tension $E$, la résistance $R$, la bobine $L$ et le condensateur $C$ sont en série, parcourus par le même courant $i = C\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$. La loi des mailles donne

$E = Ri + L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + u = RC\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + LC\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}t^2} + u.$

On divise par $LC$ et l'on identifie à la forme canonique :

$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2\, u = \omega_0^2\, E, \qquad \frac{\omega_0}{Q} = \frac{R}{L}.$

D'où $Q = \dfrac{L\omega_0}{R} = \dfrac{1}{RC\omega_0} = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$. Le facteur de qualité est sans dimension, et il diminue quand la résistance augmente : c'est elle qui amortit.

Quels sont les trois régimes ?

L'équation caractéristique $r^2 + \dfrac{\omega_0}{Q}r + \omega_0^2 = 0$ a pour discriminant $\omega_0^2\left(\dfrac{1}{Q^2} - 4\right)$, dont le signe dépend de la position de $Q$ par rapport à $\frac12$.

En régime pseudo-périodique, $\alpha = \dfrac{\omega_0}{2Q} = \dfrac{R}{2L}$ et la pseudo-pulsation vaut $\omega = \omega_0\sqrt{1 - \dfrac{1}{4Q^2}}$. La résistance critique, qui donne $Q = \frac12$, est $R_c = 2\sqrt{\dfrac{L}{C}}$.

Trois ordres de grandeur se retiennent pour le régime pseudo-périodique :

• la pseudo-période $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ est très proche de $T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0}$ dès que $Q \geq 2$ ;
• le transitoire dure environ $Q$ pseudo-périodes (à $5\ \%$ près) ;
• le décrément logarithmique, logarithme du rapport de deux écarts successifs à la valeur finale séparés d'une pseudo-période, vaut $\delta = \alpha T \approx \dfrac{\pi}{Q}$ pour $Q$ grand.

Méthode : résoudre un RLC série en cinq étapes

1. Établir l'équation par la loi des mailles et l'écrire sous forme canonique ; en déduire $\omega_0$ et $Q$.
2. Comparer $Q$ à $\frac12$ et écrire la forme de la solution homogène correspondante.
3. Ajouter la solution particulière, ici la valeur finale $u_\infty = E$, lue sur le circuit en régime permanent (condensateur ouvert, bobine remplacée par un fil).
4. Fixer les deux constantes par les deux conditions initiales : $u(0^+)$ par continuité de la tension du condensateur, $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(0^+) = \dfrac{i(0^+)}{C}$ par continuité du courant de la bobine. Le détail de cette étape et ses pièges sont traités dans l'article sur les conditions initiales en régime transitoire.
5. Vérifier la solution en $t = 0$ et quand $t \to \infty$, et contrôler l'homogénéité de chaque terme.

Exercice corrigé : réponse à un échelon

Un circuit RLC série comprend $R = 100\ \Omega$, $L = 0{,}10\ \mathrm{H}$ et $C = 1{,}0\ \mu\mathrm{F}$. Le condensateur est déchargé et aucun courant ne circule. À $t = 0$, on applique un échelon $E = 5{,}0\ \mathrm{V}$.

1. Calculer $\omega_0$, $Q$ et $R_c$, et en déduire le régime. 2. Établir $u(t)$. 3. Calculer la pseudo-période, la valeur maximale de $u$ et la durée du transitoire. 4. On remplace $R$ par $1{,}0\ \mathrm{k\Omega}$. Quel est le nouveau régime ?

1. Grandeurs caractéristiques.

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0{,}10 \times 1{,}0 \cdot 10^{-6}}} = 3{,}16 \cdot 10^3\ \mathrm{rad \cdot s^{-1}}, \qquad Q = \frac{1}{100}\sqrt{\frac{0{,}10}{1{,}0 \cdot 10^{-6}}} = 3{,}16.$

La résistance critique vaut $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\ \Omega$. Comme $Q > \frac12$ (ou $R < R_c$), le régime est pseudo-périodique.

2. Expression de $u(t)$. On a $\alpha = \dfrac{R}{2L} = 500\ \mathrm{s^{-1}}$ et $\omega = \omega_0\sqrt{1 - \dfrac{1}{4Q^2}} = 3{,}12 \cdot 10^3\ \mathrm{rad \cdot s^{-1}}$. La solution s'écrit

$u(t) = E + e^{-\alpha t}(A\cos\omega t + B\sin\omega t).$

Conditions initiales : $u(0^+) = 0$ donne $A = -E$ ; $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(0^+) = \dfrac{i(0^+)}{C} = 0$ donne $-\alpha A + \omega B = 0$, soit $B = -\dfrac{\alpha}{\omega}E$. Donc

$u(t) = E\left[1 - e^{-\alpha t}\left(\cos\omega t + \frac{\alpha}{\omega}\sin\omega t\right)\right].$

Vérification : $u(0) = 0$, et $u \to E$ quand $t \to \infty$.

3. Exploitation. La pseudo-période vaut $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2{,}01\ \mathrm{ms}$, à peine plus que $T_0 = 1{,}99\ \mathrm{ms}$.

En dérivant, on trouve $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \dfrac{E\omega_0^2}{\omega}\, e^{-\alpha t}\sin\omega t$. Le premier maximum est atteint en $t = \dfrac{\pi}{\omega} = \dfrac{T}{2} = 1{,}01\ \mathrm{ms}$, où $\cos\omega t = -1$ et $\sin\omega t = 0$ :

$u_{\max} = E\left(1 + e^{-\alpha\pi/\omega}\right) = 5{,}0 \times (1 + e^{-0{,}503}) = 5{,}0 \times 1{,}60 = 8{,}0\ \mathrm{V}.$

Le condensateur dépasse donc de $60\ \%$ la tension finale. L'enveloppe $e^{-\alpha t}$ tombe à $5\ \%$ au bout de $\dfrac{\ln 20}{\alpha} = 6{,}0\ \mathrm{ms}$, soit environ trois pseudo-périodes, ce qui est cohérent avec $Q \approx 3$. Enfin $\alpha T = 1{,}01$, proche de $\pi/Q = 0{,}99$.

4. Avec $R = 1{,}0\ \mathrm{k\Omega}$. $R > R_c$ : le régime est apériodique, avec $Q = 0{,}316$. Les racines de l'équation caractéristique sont $r = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$, avec maintenant $\alpha = 5{,}0 \cdot 10^3\ \mathrm{s^{-1}}$ :

$r_1 = -1{,}13 \cdot 10^3\ \mathrm{s^{-1}}, \qquad r_2 = -8{,}87 \cdot 10^3\ \mathrm{s^{-1}}.$

La racine la plus proche de zéro fixe la durée : la constante de temps lente vaut $\dfrac{1}{|r_1|} = 0{,}89\ \mathrm{ms}$, près de trois fois plus que la constante $\dfrac{1}{\omega_0} = 0{,}32\ \mathrm{ms}$ du régime critique. Augmenter la résistance au-delà de $R_c$ supprime le dépassement mais ralentit le retour.

Quelles sont les erreurs classiques ?

• Confondre pseudo-période et période propre. $T$ dépend de $Q$ ; elle ne se confond avec $T_0$ que pour un amortissement faible.
• Dire que le régime critique est le plus rapide de tous. Il est le plus rapide sans dépassement. Un régime pseudo-périodique peu amorti atteint la valeur finale plus tôt, mais la dépasse.
• Prendre $\dfrac{L}{R}$ pour $\dfrac{1}{\alpha}$. En RLC série, $\alpha = \dfrac{R}{2L}$ : le facteur $2$ se perd souvent.
• Oublier le terme en sinus. Avec une seule constante, la condition sur la dérivée initiale ne peut pas être satisfaite.
• Utiliser la notation complexe. Elle sert au régime sinusoïdal forcé, pas au régime transitoire, où l'on résout l'équation différentielle.
• Confondre fréquence et pulsation. $\omega_0$ est en $\mathrm{rad \cdot s^{-1}}$ ; la fréquence propre vaut $f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi}$, ici $503\ \mathrm{Hz}$.

Questions fréquentes

Que représente physiquement le facteur de qualité ?

Il compare l'énergie stockée dans le circuit à l'énergie perdue par effet Joule à chaque oscillation. Un grand $Q$ signifie peu de pertes, donc de nombreuses oscillations avant le retour à l'équilibre.

Le circuit RLC parallèle a-t-il le même facteur de qualité ?

Non. Pour le circuit parallèle alimenté en courant, $Q = R\sqrt{\dfrac{C}{L}}$ : l'amortissement diminue quand $R$ augmente. Il faut refaire la mise en équation au lieu de transposer la formule.

Que devient l'énergie dans un circuit RLC ?

Le bilan de puissance s'écrit $Ei = Ri^2 + \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac12 Li^2 + \dfrac12 Cu^2\right)$. En régime libre, l'énergie stockée décroît et se dissipe dans la résistance ; sans résistance, elle se conserve et le circuit oscille à $\omega_0$.

Pour aller plus loin

Le chapitre « Régimes transitoires » de physique de première année traite aussi les circuits RC et RL, l'analogie avec l'oscillateur mécanique, les bilans d'énergie et la simulation par la méthode d'Euler, avec une trentaine d'exercices corrigés. Sa page publique montre un extrait et le plan complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière s'ouvrent en entier avec l'essai gratuit. Pour une question sur un exercice ou pour demander l'accès complet, tu peux écrire sur WhatsApp.