Diagonalisation d'une matrice : méthode et exercice corrigé

Diagonaliser une matrice carrée $A$ d'ordre $n$, c'est trouver une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$. Les colonnes de $P$ sont des vecteurs propres de $A$, et les coefficients diagonaux de $D$ sont les valeurs propres associées, dans le même ordre. C'est possible si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $n$.

La méthode est la même en MP, PSI, PC, PT, TSI et en ECS2 ; seule la recherche des valeurs propres change selon le programme.

Quand une matrice est-elle diagonalisable ?

Pour une valeur propre $\lambda$, le sous-espace propre est $E_\lambda = \operatorname{Ker}(A - \lambda I_n)$, et le théorème du rang donne $\dim E_\lambda = n - \operatorname{rg}(A - \lambda I_n)$.

Comment trouver les valeurs propres ?

Dans les filières scientifiques, on calcule le polynôme caractéristique $\chi_A = \det(XI_n - A)$ ; ses racines sont les valeurs propres. Pour une matrice d'ordre $2$, $\chi_A = X^2 - (\operatorname{tr}A)X + \det A$.

En ECS2, le programme marocain travaille sans déterminant : $\lambda$ est valeur propre si et seulement si $A - \lambda I_n$ n'est pas inversible, c'est-à-dire si $\operatorname{rg}(A - \lambda I_n) < n$. On cherche alors les valeurs propres par un calcul de rang (pivot de Gauss sur $A - \lambda I_n$), ou par un polynôme annulateur dont les racines donnent des candidates qu'il faut ensuite vérifier.

Un contrôle gratuit vaut dans tous les programmes : si $A$ est diagonalisable, la somme des valeurs propres, répétées selon la dimension de leur sous-espace propre, vaut la trace de $A$. En filière scientifique, dès que $\chi_A$ est scindé, la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité vaut $\operatorname{tr}A$ et leur produit vaut $\det A$.

Méthode en cinq étapes

1. Valeurs propres. Par le polynôme caractéristique, par le rang de $A - \lambda I_n$ ou par un polynôme annulateur. Contrôler avec la trace.
2. Sous-espaces propres. Pour chaque $\lambda$, résoudre $(A - \lambda I_n)X = 0$ et donner une base de $E_\lambda$.
3. Critère. Additionner les dimensions. Si la somme vaut $n$, $A$ est diagonalisable ; sinon, conclure qu'elle ne l'est pas.
4. Matrices $P$ et $D$. Placer les vecteurs propres en colonnes dans $P$, et les valeurs propres dans $D$ dans le même ordre.
5. Vérification. Contrôler $AP = PD$, ce qui évite de calculer $P^{-1}$. On ne calcule $P^{-1}$ que si l'on en a besoin, par exemple pour $A^k = PD^kP^{-1}$.

Exercice 1 : diagonaliser et calculer $A^k$

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$. Diagonaliser $A$ et calculer $A^k$ pour tout entier $k \geq 0$.

Valeurs propres. $\operatorname{tr}A = 3$ et $\det A = 2 - 6 = -4$, donc

$\chi_A = X^2 - 3X - 4 = (X - 4)(X + 1).$

Les valeurs propres sont $4$ et $-1$. Contrôle : $4 + (-1) = 3$ et $4 \times (-1) = -4$. Deux valeurs propres distinctes pour une matrice d'ordre $2$ : $A$ est diagonalisable.

Vecteurs propres. Pour $\lambda = 4$, $A - 4I_2 = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ ; l'équation $-3x + 2y = 0$ donne $E_4 = \operatorname{Vect}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Pour $\lambda = -1$, $A + I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ ; l'équation $x + y = 0$ donne $E_{-1} = \operatorname{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Matrices.

$P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} = \frac15\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}.$

Puissances. $A^k = PD^kP^{-1}$, et le produit donne

$A^k = \frac15\begin{pmatrix} 2 \cdot 4^k + 3(-1)^k & 2 \cdot 4^k - 2(-1)^k \\ 3 \cdot 4^k - 3(-1)^k & 3 \cdot 4^k + 2(-1)^k \end{pmatrix}.$

Contrôles. Pour $k = 0$, on retrouve $I_2$ ; pour $k = 1$, on retrouve $\frac15\begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 10 \end{pmatrix} = A$.

Exercice 2 : une valeur propre double, sans déterminant

Soit $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. Montrer que $B$ est diagonalisable.

Ce calcul se fait par le rang, donc il convient aussi en ECS2.

Valeur propre 1. $B - I_3$ a ses trois lignes égales à $(1\ 1\ 1)$ : son rang vaut $1$. Donc $1$ est valeur propre et $\dim E_1 = 3 - 1 = 2$. L'équation $x + y + z = 0$ donne la base $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Autre valeur propre. La somme des coefficients de chaque ligne vaut $4$, donc $B\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 4\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $4$ est valeur propre, et $\dim E_4 \geq 1$.

Conclusion. $\dim E_1 + \dim E_4 \geq 3$, et cette somme est au plus $3$ : elle vaut $3$, $B$ est diagonalisable, avec

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.$

Contrôle par la trace : $1 + 1 + 4 = 6 = \operatorname{tr}B$.

Un contre-exemple à connaître. Pour $C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $\chi_C = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$. La seule valeur propre est $2$, et $C - 2I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ est de rang $1$ : $\dim E_2 = 1 < 2$. La matrice $C$ n'est pas diagonalisable, ce que l'on voyait aussi par $C \neq 2I_2$.

Quelles sont les erreurs classiques ?

• Conclure « diagonalisable » parce que $\chi_A$ est scindé. Il faut aussi que chaque sous-espace propre ait pour dimension la multiplicité de la valeur propre.
• Mélanger l'ordre des colonnes. La $j$-ième colonne de $P$ doit être un vecteur propre pour la $j$-ième valeur propre de $D$.
• Prendre le vecteur nul comme vecteur propre. Un vecteur propre est non nul par définition ; une matrice $P$ avec une colonne nulle n'est pas inversible.
• Confondre racine d'un annulateur et valeur propre. Toute valeur propre est racine d'un polynôme annulateur, mais une racine de l'annulateur n'est pas forcément valeur propre : $X(X - 1)$ annule $I_n$, qui n'a pas $0$ pour valeur propre.
• Lier diagonalisable et inversible. Une matrice peut être diagonalisable et non inversible (une projection), ou inversible et non diagonalisable (la matrice $C$ ci-dessus).

Questions fréquentes

Une matrice symétrique réelle est-elle toujours diagonalisable ?

Oui : c'est le théorème spectral, vu en deuxième année, et la base de vecteurs propres peut être choisie orthonormée. La matrice $B$ de l'exercice 2 en est un exemple.

Faut-il toujours calculer $P^{-1}$ ?

Non. Pour justifier la diagonalisation, la vérification $AP = PD$ suffit. On calcule $P^{-1}$ seulement pour une formule explicite de $A^k$ ou d'un polynôme en $A$.

Que faire si la matrice n'est pas diagonalisable ?

En filière scientifique (hors TPC2), on peut la trigonaliser quand son polynôme caractéristique est scindé, par exemple sur $\mathbb{C}$. Pour une matrice d'ordre $2$ comme $C$, on écrit $C = 2I_2 + N$ avec $N$ nilpotente, et le binôme donne $C^k$.

Pour aller plus loin

Le chapitre « Réduction des endomorphismes et des matrices carrées » de maths spé, pour MP, MPI, PSI, PC, PT, TSI2 et TPC2, va jusqu'aux polynômes annulateurs, aux suites récurrentes et aux chaînes de Markov ; sa page publique montre un extrait et le plan. Pour l'ECS2, le chapitre « Éléments propres et réduction » suit le programme sans déterminant ; voir sa page publique. Les trois premiers chapitres de chaque matière s'ouvrent en entier avec l'essai gratuit. Pour une question sur un exercice ou pour demander l'accès complet, tu peux écrire sur WhatsApp.