Réduction des endomorphismes et des matrices carrées : cours, méthodes et exercices corrigés

• MP
• MPI
• PC
• PSI
• PT
• TSI 2
• TPC 2
• Offert à l'essai

Sous-espaces stables, valeurs propres et vecteurs propres, polynôme caractéristique, diagonalisation et trigonalisation, polynômes annulateurs, applications aux puissances de matrices, aux suites récurrentes et aux chaînes de Markov ; polynôme minimal, lemme des noyaux, endomorphismes nilpotents et sous-espaces caractéristiques en MP et MPI.

• 16méthodes
• 51exercices corrigés
• 6problèmes
• 29pièges
• 3figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Un endomorphisme se lit dans une base par une matrice, et cette matrice dépend de la base. Réduire un endomorphisme, c'est chercher une base dans laquelle sa matrice est la plus simple possible : diagonale si l'on peut, triangulaire sinon. Les puissances, les suites récurrentes, les systèmes différentiels, les chaînes de Markov et, plus tard, les équations différentielles linéaires se ramènent à cette question. Le chapitre présente deux points de vue qui se complètent : le point de vue géométrique (sous-espaces stables, valeurs propres, vecteurs propres) et le point de vue algébrique (polynômes annulateurs). À la fin, tu dois savoir :

• déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres d'une matrice ou d'un endomorphisme, avec ou sans polynôme caractéristique ;
• décider si une matrice est diagonalisable et, quand elle l'est, écrire $A = PDP^{-1}$ en contrôlant le résultat ;
• exploiter une diagonalisation : puissances, suites récurrentes, systèmes $X_{n+1} = AX_n$ ;
• hors TPC2 : reconnaître un endomorphisme trigonalisable et exploiter une base de trigonalisation, donnée par l'énoncé ou, en MP, MPI, PSI, PC et en TSI2 au Maroc, obtenue avec une indication ;
• utiliser un polynôme annulateur pour localiser les valeurs propres et inverser une matrice et, en MP, MPI, PSI et PC, pour décider de la diagonalisabilité ;
• en MP et MPI, manier le polynôme minimal, le lemme des noyaux, les endomorphismes nilpotents et les sous-espaces caractéristiques.

Plan du cours

• 1. Sous-espaces stables et compléments
  • 1.1 Sommes directes d'une famille finie de sous-espaces
  • 1.2 Matrices par blocs
  • 1.3 Sous-espaces stables
  • 1.4 Polynômes d'un endomorphisme
• 2. Éléments propres
  • 2.1 Définitions
  • 2.2 Somme directe des sous-espaces propres
  • 2.3 Matrices semblables, changement de corps
• 3. Polynôme caractéristique
  • 3.1 Définition et premières propriétés
  • 3.2 Multiplicité d'une valeur propre
  • 3.3 Théorème de Cayley-Hamilton
• 4. Diagonalisation
  • 4.1 Définition et critères
  • 4.2 Diagonaliser en pratique
• 5. Applications de la diagonalisation
  • 5.1 Puissances d'une matrice
  • 5.2 Suites récurrentes
  • 5.3 Chaînes de Markov et matrices stochastiques
  • 5.4 Systèmes différentiels à coefficients constants
• 6. Polynômes annulateurs et réduction
  • 6.1 Idéal annulateur et polynôme minimal
  • 6.2 Lemme de décomposition des noyaux
  • 6.3 Diagonalisabilité et polynômes annulateurs
• 7. Trigonalisation
• 8. Endomorphismes nilpotents et sous-espaces caractéristiques
  • 8.1 Nilpotents
  • 8.2 Sous-espaces caractéristiques

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Déterminer les éléments propres d'une matrice
2. Éléments propres d'un endomorphisme sans matrice
3. Calculer un polynôme caractéristique sans souffrir
4. Décider si une matrice est diagonalisable
5. Diagonaliser effectivement
6. Matrice à paramètre
7. Puissances et suites récurrentes
8. Utiliser la trace et le déterminant
9. Montrer qu'un endomorphisme est diagonalisable sans calcul
10. Étudier la convergence de $(A^n)$ et d'une suite $X_{n+1} = AX_n$
11. Passer d'un endomorphisme à sa matrice, et revenir
12. Trigonaliser en dimension 3
13. Exploiter un polynôme annulateur
14. Déterminer un polynôme minimal
15. Décomposer avec le lemme des noyaux
16. Reconnaître et manier un nilpotent

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

• Éléments propres de deux matrices
• Éléments propres sans matrice
• Polynômes caractéristiques
• Diagonalisable ou non ?
• Diagonaliser effectivement
• Puissances d'une matrice
• Suites récurrentes
• Projecteurs et symétries
• Trace, déterminant et valeurs propres
• Spectre complexe d'une matrice réelle
• Matrices à paramètre, taille 2
• Commutation et sous-espaces propres
• L'endomorphisme $P \mapsto P - P'$
• Récurrences linéaires d'ordre 2 : les trois cas

Entraînement (27)

• Matrices de rang 1
• La matrice $J_n$
• Matrices circulantes d'ordre 3
• Un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$
• Endomorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$
• Matrice à paramètre, taille 3
• Suite de Fibonacci et matrice compagnon
• Chaîne de Markov à deux états
• Sous-espaces stables d'un endomorphisme diagonalisable
• Semblables ou non
• Trois suites couplées
• Racines carrées d'une matrice
• Commutant d'une matrice diagonalisable
• Diagonalisation et système différentiel
• Une matrice à paramètre et trois valeurs critiques
• Une seule valeur propre : puissances par le binôme
• Valeurs propres de $u \circ v$ et de $v \circ u$
• Marche aléatoire sur un triangle
• Une récurrence linéaire d'ordre 3
• Une trigonalisation guidée
• Trigonalisation en dimension 2 et système différentiel
• Équations matricielles et diagonalisabilité
• Inverse et puissances par un polynôme annulateur
• Sous-espaces stables et endomorphisme induit
• Polynômes minimaux
• Lemme des noyaux en action
• Décomposition spectrale

Approfondissement (10)

• Matrices stochastiques
• L'endomorphisme $M \mapsto AM - MA$
• Matrices réelles de carré $-I$
• Une matrice tridiagonale
• Permutation cyclique et matrices circulantes
• Diagonalisation simultanée
• Matrices compagnon
• Endomorphismes nilpotents
• Sous-espaces caractéristiques et puissances
• Carré diagonalisable

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Diagonalisation avec base fournie et puissances
  CNC 2024, filière MP, Mathématiques II, exercice
• Un polynôme annulateur, puis une diagonalisation
  CNC 2025, filière MP, Mathématiques II, exercice
• Trois suites couplées et condition de convergence
  CCINP 2024, filière MP, Mathématiques 2, exercice 1
• Trigonalisation dans une base donnée et suites
  CCINP 2023, filière TSI, Mathématiques, problème 1
• Diagonalisation et puissances par un polynôme annulateur
  CCINP 2023, filière PSI, Mathématiques, problème 2, partie I, questions 19 à 24
• Lemme des noyaux, projecteurs associés et décomposition spectrale
  CCINP 2023, filière MP, Mathématiques 2, problème, questions 6 à 16

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie des chapitres offerts : il s'ouvre en entier avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter.